Математична статика. Курсова робота теорія ймовірності математичної статистики

Теорія ймовірностей та математична статистика – основа ймовірносно-статистичних методів обробки даних. А дані ми обробляємо та аналізуємо насамперед для прийняття рішень. Щоб скористатися сучасним математичним апаратом, необхідно розглянуті завдання висловити у термінах імовірнісно-статистичних моделей.

Застосування конкретного імовірнісно-статистичного методу складається з трьох етапів:

Перехід від економічної, управлінської, технологічної дійсності до абстрактної математико-статистичної схемою, тобто. побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, зокрема за результатами статистичного контролю тощо.

Проведення розрахунків та отримання висновків суто математичними засобами в рамках імовірнісної моделі;

Інтерпретація математико-статистичних висновків стосовно реальної ситуації та прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідність налагодження технологічного процесу тощо), зокрема, висновки (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретному вигляді законів розподілу контрольованих параметрів технологічного процесу та ін.).

Математична статистика використовує поняття, методи та результати теорії ймовірностей. Далі розглядаємо основні питання побудови імовірнісних моделей в економічних, управлінських, технологічних та інших ситуаціях. Наголосимо, що для активного та правильного використання нормативно-технічних та інструктивно-методичних документів за імовірнісно-статистичними методами потрібні попередні знання. Так, необхідно знати, за яких умов слід застосовувати той чи інший документ, яку вихідну інформацію необхідно мати для вибору та застосування, які рішення повинні бути прийняті за результатами обробки даних і т.д.

Приклади застосування теорії ймовірностей та математичної статистики.Розглянемо кілька прикладів, коли вероятностно-статистические моделі є добрим інструментом на вирішення управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських завдань. Так, наприклад, у романі А.Н.Толстого «Ходіння по муках» (т.1) говориться: «майстерня дає двадцять три відсотки шлюбу, цієї цифри ви й тримаєтеся, - сказав Струков Івану Іллічу».

Як розуміти ці слова у розмові заводських менеджерів? Одна одиниця продукції може бути дефектна на 23%. Вона може бути або придатною або дефектною. Напевно, Струков мав на увазі, що у партії великого обсягу міститься приблизно 23% дефектних одиниць продукції. Тоді виникає запитання, а що означає «приблизно»? Нехай із 100 перевірених одиниць продукції 30 виявляться дефектними, чи з 1000 – 300, чи з 100000 – 30000 тощо., чи треба звинувачувати Струкова у брехні?

Або інший приклад. Монетка, яку використовують як жереб, має бути «симетричною». При її киданні в середньому в половині випадків має випадати герб (орел), а в половині випадків – грати (решітка, цифра). Але що означає «у середньому»? Якщо провести багато серій по 10 кидань у кожній серії, то часто зустрічатимуться серії, в яких монета чотири рази випадає гербом. Для симетричної монети це відбуватиметься у 20,5% серій. А якщо на 100 000 кидань виявиться 40 000 гербів, то чи можна вважати монету симетричною? Процедура прийняття рішень будується з урахуванням теорії ймовірностей і математичної статистики.

Приклад може бути недостатньо серйозним. Однак, це не так. Жеребкування широко використовується для організації промислових техніко-економічних експериментів. Наприклад, при обробці результатів вимірювання показника якості (моменту тертя) підшипників залежно від різних технологічних факторів (впливу консерваційного середовища, методів підготовки підшипників перед вимірюванням, впливу навантаження підшипників у процесі вимірювання тощо). Припустимо, необхідно порівняти якість підшипників залежно від результатів зберігання в різних консерваційних маслах, тобто. в оліях складу Аі У. При плануванні такого експерименту виникає питання, які підшипники слід помістити в олію складу А, а які – в олію складу Уале так, щоб уникнути суб'єктивізму і забезпечити об'єктивність прийнятого рішення. Відповідь це питання може бути отримано з допомогою жереба.

Аналогічний приклад можна навести і з контролем якості продукції. Щоб вирішити, чи відповідає чи не відповідає контрольована партія продукції встановленим вимогам, з неї відбирається вибірка. За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партію. І тут дуже важливо уникнути суб'єктивізму для формування вибірки, тобто. Необхідно, щоб кожна одиниця продукції контрольованої партії мала однакову можливість бути відібраною у вибірку. У виробничих умовах відбір одиниць продукції вибірку зазвичай здійснюють за допомогою жереба, а, по спеціальним таблицям випадкових чисел чи з допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.

Схожі проблеми забезпечення об'єктивності порівняння виникають при зіставленні різних схем організації виробництва, оплати праці, під час проведення тендерів та конкурсів, підбору кандидатів на вакантні посади тощо. Усюди потрібне жеребкування або подібні до неї процедури.

Нехай треба виявити найсильнішу та другу за силою команду при організації турніру з олімпійської системи (який програв вибуває). Припустимо, що сильніша команда завжди перемагає слабшу. Зрозуміло, що найсильніша команда однозначно стане чемпіоном. Друга за силою команда вийде у фінал тоді і лише тоді, коли до фіналу вона не матиме ігор з майбутнім чемпіоном. Якщо таку гру заплановано, то друга за силою команда у фінал не потрапить. Той, хто планує турнір, може або достроково «вибити» другу за силою команду з турніру, звівши її в першій зустрічі з лідером, або забезпечити їй друге місце, забезпечивши зустрічі з більш слабкими командами аж до фіналу. Щоб уникнути суб'єктивізму, проводять жеребкування. Для турніру з 8 команд ймовірність того, що у фіналі зустрінуться дві найсильніші команди, дорівнює 4/7. Відповідно до ймовірності 3/7 друга за силою команда залишить турнір достроково.

За будь-якого виміру одиниць продукції (за допомогою штангенциркуля, мікрометра, амперметра тощо) є похибки. Щоб з'ясувати, чи є систематичні похибки, необхідно зробити багаторазові виміри одиниці виробленої продукції, характеристики якої відомі (наприклад, стандартного зразка). При цьому слід пам'ятати, що, крім систематичної похибки, присутня і випадкова похибка.

Тому постає питання, як за результатами вимірювань дізнатися, чи є систематична похибка. Якщо відзначати лише, чи є отримана при черговому вимірі похибка позитивною чи негативною, це завдання можна звести до вже розглянутої. Справді, порівняємо вимір із киданням монети, позитивну похибку – з випаданням герба, негативну – решітки (нульова похибка за достатньої кількості поділів шкали майже будь-коли зустрічається). Тоді перевірка відсутності систематичної похибки еквівалентна перевірці симетричності монети.

Отже, завдання перевірки відсутності систематичної похибки зведено завдання перевірки симетричності монети. Проведені міркування призводять до так званого «критерію знаків» математичної статистики.

При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила та плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладки технологічних процесів та вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва та втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі з урахуванням методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок із партій продукції. Складність у тому, щоб вміти правильно будувати вероятностно-статистические моделі прийняття рішень. У математичній статистиці для цього розроблені ймовірнісні моделі та методи перевірки гіпотез, зокрема гіпотез про те, що частка дефектних одиниць продукції дорівнює певному числу р 0 наприклад, р 0 = 0,23 (згадайте слова Струкова з роману А.Н.Толстого).

Завдання оцінювання.У низці управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого – завдання оцінки показників і параметрів розподілів ймовірностей.

Розглянемо приклад. Нехай на контроль надійшла партія з Nелектроламп. З цієї партії випадково відібрано вибірку обсягом nелектроламп. Виникає низка природних питань. Як за результатами випробувань елементів вибірки визначити середній термін служби електроламп, якою точністю можна оцінити цю характеристику? Як зміниться точність, якщо взяти вибірку більшого обсягу? При якому числі годинника Тможна гарантувати, що не менше 90% електроламп прослужать Тта більше годин?

Припустимо, що під час випробування вибірки обсягом nелектроламп дефектними виявилися Хелектроламп. Які межі можна вказати для числа Dдефектних електроламп у партії, для рівня дефектності D/ Nі т.п.?

Або при статистичному аналізі точності та стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якості, як середнє значення контрольованого параметра та ступінь його розкиду в аналізованому процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне очікування, а статистичної характеристики розкиду – дисперсію, середнє квадратичне відхилення чи коефіцієнт варіації. Виникають питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними, з якою точністю це вдається зробити?

Аналогічних прикладів можна навести дуже багато. Тут важливо було показати, як теорія ймовірностей та математична статистика можуть бути використані в інженерних та управлінських завданнях.

Сучасне уявлення про математичну статистику.Під математичною статистикою розуміють розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки та інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила та процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних у кожному завданні на підставі наявного статистичного матеріалу. При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками.

На кшталт розв'язуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання та перевірка гіпотез.

За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:

Одномірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;

багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);

Статистика випадкових процесів та часових рядів, де результат спостереження – функція;

Статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), впорядкуванням або отриманим результатом вимірювання за якісною ознакою.

Історично першою з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу та перевірки гіпотез про неї) та одновимірна статистика. Математичний апарат їм простіше, тому з їхньої прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.

Тільки методи обробки даних, тобто. Математична статистика є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Йдеться про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання тощо. Імовірнісну модель реального явища слід вважати побудованою, якщо аналізовані величини та зв'язки між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність імовірнісної моделі дійсності, тобто. її адекватність обґрунтовують, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.

Неймовірні методи обробки даних є пошуковими, їх можна використовувати лише при попередньому аналізі даних, оскільки вони не дають можливості оцінити точність та надійність висновків, отриманих на підставі обмеженого статистичного матеріалу.

Імовірнісні та статистичні методи застосовні усюди, де вдається побудувати та обґрунтувати ймовірнісну модель явища чи процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені з урахуванням вибіркових даних висновки переносяться всю сукупність (наприклад, з вибірки протягом усього партію продукції).

У конкретних галузях застосування використовуються як імовірнісно-статистичні методи широкого застосування, так і специфічні. Наприклад, розділ виробничого менеджменту, присвяченого статистичним методам управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналіз точності та стабільності технологічних процесів та статистична оцінка якості. До специфічних методів належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки та контролю надійності та ін.

Широко застосовуються такі прикладні імовірнісно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої їх ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, яку у випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, набираючих номери у своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто. тривалість розмов також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін зробили член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хінчін (1894-1959), академік АН УРСР Б.В.Гнеденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.

Коротко про історію математичної статистики.Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей досліджував та обґрунтував метод найменших квадратів, створений ним у 1795 р. та застосований для обробки астрономічних даних (з метою уточнення орбіти малої Церера). Його ім'ям часто називають один із найбільш популярних розподілів ймовірностей – нормальний, а в теорії випадкових процесів основний об'єкт вивчення – гауссівські процеси.

Наприкінці ХІХ ст. – на початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику зробили англійські дослідники, передусім К.Пірсон (1857-1936) та Р.А.Фішер (1890-1962). Зокрема Пірсон розробив критерій «хі-квадрат» перевірки статистичних гіпотез, а Фішер – дисперсійний аналіз, теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів.

У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) та англієць Е.Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік О.М. Колмогоров (1903-1987) та член-кореспондент АН СРСР Н.В.Смирнов (1900-1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румун А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.

Математична статистика бурхливо розвивається й у час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нові напрями досліджень:

Розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;

Розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного спрямування прикладної математичної статистики;

Розвиток статистичних методів, стійких до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;

Широке розгортання робіт із створення комп'ютерних пакетів програм, призначених щодо статистичного аналізу даних.

Імовірнісно-статистичні методи та оптимізація.Ідея оптимізації пронизує сучасну прикладну математичну статистику та інші статистичні методи. А саме, методи планування експериментів, статистичного приймального контролю, статистичного регулювання технологічних процесів та ін. прикладної математичної статистики

У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції і на вимоги стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методи на початковому етапі життєвого циклу продукції, тобто. на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекту, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, та необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє. Статистичні методи повинні застосовуватися на всіх етапах розв'язання задачі оптимізації – при шкалюванні змінних, розробці математичних моделей функціонування виробів та систем, проведенні технічних та економічних експериментів тощо.

У завданнях оптимізації, у тому числі оптимізації якості продукції та вимог стандартів, використовують усі галузі статистики. А саме, статистику випадкових величин, багатовимірний статистичний аналіз, статистику випадкових процесів та часових рядів, статистику об'єктів нечислової природи. Розроблено рекомендації щодо вибору статистичного методу для аналізу конкретних даних.

Як використовуються теорія ймовірностей та математична статистика? Ці дисципліни - основа імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень. Щоб скористатися їх математичним апаратом, необхідні завдання прийняття рішеньвисловити у термінах імовірнісно-статистичних моделей. Застосування конкретного імовірнісно-статистичного методу прийняття рішеньскладається з трьох етапів:

перехід від економічної, управлінської, технологічної дійсності до абстрактної математико-статистичної схемою, тобто. побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, зокрема за результатами статистичного контролю, тощо;
проведення розрахунків та отримання висновків суто математичними засобами в рамках імовірнісної моделі;
інтерпретація математико-статистичних висновків стосовно реальної ситуації та прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідність налагодження технологічного процесу тощо), зокрема, висновки (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретному вигляді законів розподілу контрольованих параметрівтехнологічного процесу та ін.).

Математична статистика використовує поняття, методи та результати теорії ймовірностей. Розглянемо основні питання побудови імовірнісних моделей прийняття рішеньв економічних, управлінських, технологічних та інших ситуаціях. Для активного та правильного використання нормативно-технічних та інструктивно-методичних документів за імовірнісно-статистичними методами прийняття рішеньпотрібні попередні знання. Так, необхідно знати, за яких умов слід застосовувати той чи інший документ, яку вихідну інформацію необхідно мати для вибору та застосування, які рішення повинні бути прийняті за результатами обробки даних і т.д.

Приклади застосування теорії ймовірностей та математичної статистики. Розглянемо кілька прикладів, коли вероятностно-статистические моделі є добрим інструментом на вирішення управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських завдань. Так, наприклад, у романі О.М. Толстого "Ходіння по муках" (т.1) говориться: "майстерня дає двадцять три відсотки шлюбу, цієї цифри ви і тримаєтеся, - сказав Струков Івану Іллічу".

Постає питання, як розуміти ці слова у розмові заводських менеджерів, оскільки одна одиниця продукції може бути дефектна на 23%. Вона може бути або придатною або дефектною. Напевно, Струков мав на увазі, що у партії великого обсягу міститься приблизно 23% дефектних одиниць продукції. Тоді виникає питання, а що означає "приблизно"? Нехай із 100 перевірених одиниць продукції 30 виявляться дефектними, чи з 1000-300, чи з 100000-30000 тощо, чи треба звинувачувати Струкова у брехні?

Або інший приклад. Монетка, яку використовують як жереб, має бути "симетричною", тобто. при її киданні в середньому в половині випадків повинен випадати герб, а в половині випадків - грати (решітка, цифра). Але що означає "у середньому"? Якщо провести багато серій по 10 кидань у кожній серії, то часто зустрічатимуться серії, в яких монета чотири рази випадає гербом. Для симетричної монети це відбуватиметься у 20,5% серій. А якщо на 100 000 кидань виявиться 40 000 гербів, то чи можна вважати монету симетричною? Процедура прийняття рішеньбудується на основі теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розглянутий приклад може бути недостатньо серйозним. Однак, це не так. Жеребкування широко використовується при організації промислових техніко-економічних експериментів, наприклад, при обробці результатів вимірювання показника якості (моменту тертя) підшипників залежно від різних технологічних факторів (впливу консерваційного середовища, методів підготовки підшипників перед вимірюванням, впливу навантаження підшипників у процесі вимірювання тощо). п.). Припустимо, необхідно порівняти якість підшипників залежно від результатів зберігання в різних консерваційних маслах, тобто. в оліях складу та . При плануванні такого експерименту виникає питання, які підшипники слід помістити в олію складу, а які - в олію складу, але так, щоб уникнути суб'єктивізму та забезпечити об'єктивність прийнятого рішення.

Відповідь це питання може бути отримано з допомогою жереба. Аналогічний приклад можна навести і з контролем якості продукції. Щоб вирішити, відповідає чи відповідає контрольована партія продукції встановленим вимогам, робиться вибірка . За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партію. І тут дуже важливо уникнути суб'єктивізму для формування вибірки, тобто. Необхідно, щоб кожна одиниця продукції контрольованої партії мала однакову можливість бути відібраною у вибірку. У виробничих умовах відбір одиниць продукції вибірку зазвичай здійснюють за допомогою жереба, а, по спеціальним таблицям випадкових чисел чи з допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.

Аналогічні проблеми забезпечення об'єктивності порівняння виникають у порівнянні різних схем організації виробництва, оплати праці, під час проведення тендерів та конкурсів, підбору кандидатів на вакантні посади тощо. Усюди потрібне жеребкування або подібні до неї процедури. Пояснимо на прикладі виявлення найсильнішої та другої за силою команд при організації турніру з олімпійської системи (який програв вибуває). Нехай завжди сильніша команда перемагає слабшу. Зрозуміло, що найсильніша команда однозначно стане чемпіоном. Друга за силою команда вийде у фінал тоді і лише тоді, коли до фіналу вона не матиме ігор з майбутнім чемпіоном. Якщо таку гру буде заплановано, то друга за силою команда у фінал не потрапить. Той, хто планує турнір, може або достроково "вибити" другу за силою команду з турніру, звівши її в першій зустрічі з лідером, або забезпечити їй друге місце, забезпечивши зустрічі з більш слабкими командами аж до фіналу. Щоб уникнути суб'єктивізму, проводять жеребкування. Для турніру з 8 команд ймовірність того, що у фіналі зустрінуться дві найсильніші команди, дорівнює 4/7. Відповідно до ймовірності 3/7 друга за силою команда залишить турнір достроково.

За будь-якого виміру одиниць продукції (за допомогою штангенциркуля, мікрометра, амперметра тощо) є похибки. Щоб з'ясувати, чи є систематичні похибки, необхідно зробити багаторазові виміри одиниці виробленої продукції, характеристики якої відомі (наприклад, стандартного зразка). При цьому слід пам'ятати, що, крім систематичної, присутня і випадкова похибка.

Тому постає питання, як за результатами вимірювань дізнатися, чи є систематична похибка. Якщо відзначати лише, чи є отримана при черговому вимірі похибка позитивною чи негативною, це завдання можна звести до попередньої. Справді, порівняємо вимір із киданням монети, позитивну похибку - з випаданням герба, негативну - грати (нульова похибка за достатньої кількості поділів шкали майже будь-коли зустрічається). Тоді перевірка відсутності систематичної похибки еквівалентна перевірці симетричності монети.

Метою цих міркувань є зведення завдання перевірки відсутності систематичної похибки завдання перевірки симетричності монети. Проведені міркування призводять до так званого "критерію знаків" у математичній статистиці.

При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила та плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладки технологічних процесів, вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва та втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі з урахуванням методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок із партій продукції. Складність полягає в тому, щоб вміти правильно будувати імовірнісно-статистичні моделі. прийняття рішень, на основі яких можна відповісти на поставлені вище питання. У математичній статистиці при цьому розроблені імовірнісні моделі і методи перевірки гіпотез, зокрема, гіпотез у тому, частка дефектних одиниць продукції дорівнює певному числу , наприклад, (згадайте слова Струкова з роману А.Н. Толстого).

Завдання оцінювання. У ряді управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого типу – завдання оцінки характеристик та параметрів розподілів ймовірностей.

Розглянемо приклад. Нехай на контроль надійшла партія із N електроламп. З цієї партії випадково відібрано вибірку обсягом n електроламп. Виникає низка природних питань. Як за результатами випробувань елементів вибірки визначити середній термін служби електроламп та з якою точністю можна оцінити цю характеристику? Як зміниться точність, якщо взяти вибірку більшого обсягу? При якому числі годинника можна гарантувати, що не менше 90% електроламп прослужать і більше годин?

Припустимо, що під час випробування вибірки обсягом електроламп дефектними виявилися електроламп. Тоді виникають такі питання. Які межі можна вказати для числа дефектних електроламп у партії, для рівня дефектності тощо?

Або при статистичному аналізі точності та стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якостіяк середнє значення контрольованого параметраі ступінь його розкиду в аналізованому процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне очікування, а як статистична характеристика розкиду - дисперсію, середнє квадратичне відхилення або коефіцієнт варіації. Звідси виникає питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними та з якою точністю це вдається зробити? Аналогічних прикладів можна навести дуже багато. Тут важливо було показати, як теорія ймовірностей та математична статистика можуть бути використані у виробничому менеджменті при прийнятті рішень у галузі статистичного управління якістю продукції.

Що таке "математична статистика"? Під математичною статистикою розуміють розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки та інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. кожній задачі на підставі наявного статистичного матеріалу "[[2.2], с. 326]. При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками.

За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:

одновимірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;
багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);
статистика випадкових процесів та тимчасових рядів, де результат спостереження – функція;
статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), упорядкуванням або отримано в результаті вимірювання за якістю.

Історично першими з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу та перевірки гіпотез про неї) та одновимірна статистика. Математичний апарат їм простіше, тому з їхньої прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.

Тільки методи обробки даних, тобто. Математична статистика є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Йдеться про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання тощо. Імовірнісну модель реального явища слід вважати побудованою, якщо аналізовані величини та зв'язки між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність імовірнісної моделі дійсності, тобто. її адекватність обгрунтовують, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.

Імовірнісні та статистичні методизастосовні усюди, де вдається побудувати та обґрунтувати ймовірнісну модель явища або процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені з урахуванням вибіркових даних висновки переносяться всю сукупність (наприклад, з вибірки протягом усього партію продукції).

У конкретних галузях застосування використовуються як імовірнісно- статистичні методиширокого застосування, і специфічні. Наприклад, розділ виробничого менеджменту, присвяченого статистичним методам управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналізточності та стабільності технологічних процесів та статистична оцінка якості. До специфічних належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки та контролю надійності та ін.

Широко застосовуються такі прикладні імовірнісно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої їх ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, яку у випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, набираючих номери у своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто. тривалість розмов також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін зробили член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хінчін (1894-1959), академік АН УРСР Б.В. Гнєденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.

Коротко про історію математичної статистики. Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей досліджував та обґрунтував метод найменших квадратів, створений ним у 1795 р. та застосований для обробки астрономічних даних (з метою уточнення орбіти малої планети Церера). Його ім'ям часто називають один із найбільш популярних розподілів ймовірностей - нормальний, а в теорії випадкових процесів основний об'єкт вивчення - гауссівські процеси.

Наприкінці ХІХ ст. – на початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику зробили англійські дослідники, передусім К. Пірсон (1857-1936) та Р.А. Фішер (1890–1962). Зокрема, Пірсон розробив критерій "хі-квадрат" перевірки статистичних гіпотез, а Фішер - дисперсійний аналіз, теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів

У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) та англієць Е. Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік О.М. Колмогоров (1903-1987) та член-кореспондент АН СРСР Н.В. Смирнов (1900–1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румун А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.

Математична статистика бурхливо розвивається й у час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нових напрямки досліджень [[2.16]]:

розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;
розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного спрямування прикладної математичної статистики;
розвиток статистичних методів, стійких по відношенню до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;
широке розгортання робіт із створення комп'ютерних пакетів програм, призначених щодо статистичного аналізу даних.

Імовірнісно-статистичні методи та оптимізація. Ідея оптимізації пронизує сучасну прикладну математичну статистику та інші статистичні методи. А саме - методи планування експериментів, статистичного приймального контролю, статистичного регулювання технологічних процесів та ін. прийняття рішень, наприклад, прикладна теорія оптимізації якості продукції та вимог стандартів, передбачають широке використання імовірнісно-статистичних методів, насамперед прикладної математичної статистики.

У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції та вимог стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методипочатковому етапі життєвого циклу продукції, тобто. на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекту, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, та необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє. Статистичні методиповинні застосовуватися на всіх етапах розв'язання задачі оптимізації – при шкалюванні змінних, розробці математичних моделей функціонування виробів та систем, проведенні технічних та економічних експериментів тощо.

У завданнях оптимізації, у тому числі оптимізації якості продукції та вимог стандартів, використовують усі галузі статистики. А саме – статистику випадкових величин, багатовимірний статистичний аналіз, статистику випадкових процесів та тимчасових рядів, статистику об'єктів нечислової природи Вибір статистичного методу для аналізу конкретних даних доцільно проводити відповідно до рекомендацій [

1. Математична статистика. Вступ

Математична статистика – це така дисципліна, яка застосовується у всіх галузях наукового знання.

Статистичні методи призначені розуміння "чисельної природи" дійсності (Nisbett, et al., 1987).

Визначення поняття

Математична статистика - це розділ математики, присвячений методам аналізу даних, переважно імовірнісної природи. Вона займається систематизацією, обробкою та використаннямстатистичних даних для теоретичних та практтичних висновків.

Статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками. Тут важливо зрозуміти, що статистика має справу саме з кількістю об'єктів, а не з їх описовими ознаками.

Мета статистичного аналізу – дослідження властивостей випадкової величини. Для цього доводиться кілька разів вимірювати значення випадкової величини, що вивчається. Отримана група значень сприймається як вибірказ гіпотетичної генеральної сукупності.

Проводиться статистична обробка вибірки, і після цього приймається рішення. Важливо зауважити, що внаслідок початкової умови невизначеності ухвалене рішення завжди має характер "нечіткого висловлювання". Іншими словами, у статистичній обробці доводиться мати справу з ймовірностями, а не з точними твердженнями.

Головне у статистичному методі - це підрахунок кількості об'єктів, що входять до різних груп. Об'єкти збираються в групу за певною загальною ознакою, а потім розглядається розподіл цих об'єктів у групі за кількісним виразом даної ознаки. У статистиці часто застосовується вибірковий метод аналізу, тобто. аналізується не вся група об'єктів, а невелика вибірка – кілька об'єктів, взятих із великої групи. Широко використовується теорія ймовірностей при статистичній оцінці спостережень та для формування висновків.

Основним предметом математичної статистики є обчислення статистик (Нехай простить нас читач за тавтологію), є критеріями для оцінки достовірності апріорних припущень, гіпотез або висновків по суті емпіричних даних.

Інше визначення - "Статистики - це приписи, за якими з вибірки розраховується деяке число - значення статистики для даної вибірки"[Закс, 1976]. Вибіркові середнє та дисперсія, відношення дисперсій двох вибірок або будь-які інші функції від вибірки можуть розглядатисяяк статистики.

Обчислення "статистик" - це уявлення "одним числом" складного стохастичного (імовірнісного) процесу.

Розподіл Стьюдента

Статистики також є випадковими змінними. Розподіл статистик (тест-розподілу) лежать в основі критеріїв, які побудовані на цій статистиці. Наприклад, В. Госсет, працюючи на броварні Гіннеса і публікуючись під псевдонімом "Стьюдент", в 1908 р. довів дуже корисні властивості розподілу відносини різниці між вибірковим середнім та середнім значенням генеральної сукупності () до стандартної помилки середнього значення генеральної сукупності, або t -статистики ( розподіл Стьюдента ):

. (5.7)

Розподіл Стьюдента формою за деяких умов наближається до нормальному.

Іншими двома важливими розподілами вибіркових статистик єc 2 -розподілі F -розподіл, що широко використовуються в ряді розділів статистики для перевірки статистичних гіпотез.

Отже, предметматематичної статистики складає формальна кількіснасторона об'єктів, що досліджуються, байдужа до специфічної природи самих досліджуваних об'єктів.

З цієї причини в прикладах, що наводяться тут, йдеться про групи даних, про числа, а не про конкретні вимірювані речі. І тому за зразками розрахунків, даних тут, ви можете розраховувати свої дані, отримані на різних об'єктах.

Головне - підібрати відповідний для ваших даних метод статистичної обробки.

Залежно від конкретних результатів спостережень математична статистика поділяється кілька розділів.

Розділи математичної статистики

Статистика чисел.

Багатовимірний статистичний аналіз.

Аналіз функцій (процесів) та часових рядів.

Статистика об'єктів нечислової природи.

У сучасній науці вважається, що будь-яка область досліджень не може бути справжньою наукою доти, доки в неї не проникне математика. У цьому сенсі математична статистика є повноважним представником математики у будь-якій іншій науці та забезпечує науковий підхід до досліджень. Можна сміливо сказати, що науковий підхід починається там, де у дослідженні з'являється математична статистика. Ось чому математична статистика така важлива для будь-якого сучасного дослідника.

Хочете бути справжнім сучасним дослідником – вивчайте та застосовуйте у своїй роботі математичну статистику!

Статистика з необхідністю з'являється там, де відбувається перехід від одиничного спостереження до множини. Якщо у вас є безліч спостережень, вимірів та даних – то без математичної статистики вам не обійтися.

Математичну статистику поділяють натеоретичну та прикладну.

Теоретична статистика доводить науковість та правильність самої статистики.

Теоретична математична статистика - наука, що вивчає методирозкриття закономірностей, властивих великим сукупностям однорідних об'єктів, виходячи з їх вибіркового обстеження.

Цим розділом статистики займаються математики, і вони люблять з допомогою своїх теоретичних математичних доказів переконувати нас у цьому, що статистика як така наукова і можна довіряти. Біда в тому, що ці докази здатні зрозуміти лише інші математики, а звичайним людям, яким потрібно користуватися математичною статистикою, ці докази все одно не доступні, та й зовсім не потрібні!

Висновок: Якщо ви не математик, то не витрачайте даремно своїх сил на розуміння теоретичних викладок з приводу математичної статистики. Вивчайте власне статистичні методи, а чи не їх математичні обгрунтування.

Прикладна статистика вчить користувачів працювати з будь-якими даними та отримувати узагальнені результати. Неважливо, які саме ці дані, важливо, яка кількість цих даних знаходиться у вашому розпорядженні. Крім того, прикладна статистика підкаже нам, наскільки можна вірити, що отримані результати відображають дійсний стан справ.

Для різних дисциплін прикладної статистики використовують різні набори конкретних методів. Тому розрізняють такі розділи прикладної статистики: біологічна, психологічна, економічна та інші. Вони відрізняються один від одного комплектацією прикладів та прийомів, а також улюбленими методами обчислень.

Можна навести наступний приклад різниці між застосуванням прикладної статистики для різних дисциплін. Так, статистичне вивчення режиму турбулентних водних потоків провадиться на основі теорії стаціонарних випадкових процесів. Однак застосування тієї ж теорії до аналізу економічних часових рядів може призвести до грубих помилок через те, що припущення того, що розподіл ймовірностей зберігається незмінним у цьому випадку, як правило, цілком неприйнятний. Отже, цих різних дисциплін знадобляться різні статистичні методи.

Отже, математичну статистику має застосовувати у своїх дослідженнях будь-який сучасний вчений. Навіть той учений, який працює у напрямках, які дуже далекі від математики. І він повинен уміти застосовувати прикладну статискіку до своїх даних, навіть не знаючи її.

Математична статистика одна із основних розділів такий науки, як математика, і є галузь, вивчаючу методи і правила обробки певних даних. Іншими словами, вона досліджує способи розкриття закономірностей, які властиві великим сукупностям однакових об'єктів, ґрунтуючись на їхньому вибірковому обстеженні.

Завдання цього розділу полягає у побудові методів оцінки ймовірності чи прийнятті певного рішення про характер подій, що розвиваються, спираючись на отримані результати. Для опису даних використовуються таблиці, діаграми та кореляційні поля. застосовуються рідко.

Математична статистика використовують у різних галузях науки. Наприклад, для економіки важливо обробляти відомості про однорідні сукупності явищ та об'єктів. Ними можуть бути вироби, що випускаються промисловістю, персонал, дані про прибуток і т. д. Залежно від математичної природи результатів спостережень, можна виділити статистику чисел, аналіз функцій та об'єктів нечислової природи, багатовимірний аналіз. Крім цього, розглядають загальні та приватні (пов'язані з відновленням залежностей, використанням класифікацій, вибірковими дослідженнями) завдання.

Автори деяких підручників вважають, що теорія математичної статистики є лише розділом теорії ймовірності, інші – що це самостійна наука, що має власні цілі, завдання та методи. Однак у будь-якому випадку її використання дуже широке.

Так, найяскравіше математична статистика застосовна у психології. Її використання дозволить фахівцеві правильно обґрунтувати знайти залежність між даними, узагальнити їх, уникнути багатьох логічних помилок та багато іншого. Слід зазначити, що виміряти той чи інший психологічний феномен чи властивість особистості без обчислювальних процедур часто просто неможливо. Це свідчить, що ази цієї науки необхідні. Іншими словами, її можна назвати джерелом та базою теорії ймовірностей.

p align="justify"> Метод дослідження, який спирається на розгляд статистичних даних, використовується і в інших областях. Однак відразу слід зазначити, що його риси щодо об'єктів, що мають різну природу походження, завжди своєрідні. Тому об'єднувати в одну науку фізичну чи немає сенсу. Загальні ж риси даного методу зводяться до підрахунку певної кількості об'єктів, що входять до тієї чи іншої групи, а також до вивчення розподілу кількісних ознак та застосування теорії ймовірностей для отримання тих чи інших висновків.

Елементи математичної статистики використовуються в таких галузях, як фізика, астрономія і т. д. Тут можуть розглядатися значення характеристик та параметрів, гіпотези про збіг будь-яких характеристик у двох вибірках, про симетрію розподілу та багато іншого.

Велику роль математична статистика грає у проведенні Їх метою найчастіше є побудова адекватних методів оцінювання та перевірка гіпотез. Нині велике значення у цій науці мають комп'ютерні технології. Вони дозволяють як значно спростити процес розрахунку, а й створити для розмноження вибірок чи щодо придатності отриманих результатів практично.

У загальному випадку методи математичної статистики допомагають зробити два висновки: або прийняти судження про характер або властивості досліджуваних даних та їх взаємозв'язків, або довести, що отриманих результатів недостатньо для того, щоб робити висновки.

Під математичною статистикою розуміють розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки та інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила та процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних у кожному завданні на підставі наявного статистичного матеріалу. При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками.

За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:
- одновимірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;
- багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);
- статистика випадкових процесів та часових рядів, де результат спостереження – функція;
- статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), упорядкуванням або отримано в результаті вимірювання за якістю.