Математичні олімпіади та олімпіадні завдання. пряма лінія a

Крапка — це абстрактний об'єкт, який має вимірювальних характеристик: ні висоти, ні довжини, ні радіуса. У рамках завдання важливе лише його місцезнаходження

Крапка позначається цифрою або великою (великою) латинською літерою. Декілька точок — різними цифрами або різними літерами, щоб їх можна було розрізняти

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можна намалювати на аркуші паперу три точки "А" і запропонувати дитині провести лінію через дві точки "А". Але як зрозуміти через які? A A A

Лінія - це безліч точок. У неї вимірюють лише довжину. Ширини та товщини вона не має

Позначається малими (маленькими) латинськими літерами

лінія a, лінія b, лінія c

a b c

Лінія може бути

замкнутої, якщо її початок і кінець знаходяться в одній точці,
розімкнутою, якщо її початок і кінець не з'єднані

замкнуті лінії

розімкнені лінії

Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб і повернувся назад у квартиру. Яка лінія вийшла? Правильно замкнута. Ти повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб, зайшов у під'їзд і розмовляв із сусідом. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку.

самоперетинається
без самоперетинів

самоперетинаються лінії

лінії без самоперетинів

прямий
ламаною
кривий

прямі лінії

ламані лінії

криві лінії

Пряма лінія - це лінія, яка не викривляється, не має ні початку, ні кінця, її можна нескінченно продовжувати в обидві сторони

Навіть коли видно невелику ділянку пряму, передбачається, що вона нескінченно продовжується в обидві сторони

Позначається малою (маленькою) латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами - точками, що лежать на прямій

пряма лінія a

пряма лінія AB

B A

Прямі можуть бути

такими, що перетинаються, якщо мають загальну точку. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
- перпендикулярними, якщо перетинаються під прямим кутом (90 °).
паралельними, якщо не перетинаються, немає загальної точки.

паралельні лінії

лінії, що перетинаються

перпендикулярні лінії

Промінь - це частина прямої, яка має початок, але не має кінця, її можна нескінченно продовжувати тільки в один бік

У променя світла на малюнку початковою точкою є сонце

сонечко

Крапка поділяє пряму на дві частини - два промені A A

Промінь позначається малою латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами, де перша - це точка, з якої починається промінь, а друга - точка, що лежить на промені.

промінь a

промінь AB

B A

Промені збігаються, якщо

розташовані на одній і тій же прямій,
починаються в одній точці,
спрямовані в один бік

промені AB і AC збігаються

промені CB та CA збігаються

C B A

Відрізок - це частина прямої, яка обмежена двома точками, тобто вона має початок і кінець, а значить можна виміряти її довжину. Довжина відрізка - це відстань між його початковою та кінцевою точками

Через одну точку можна провести будь-яку кількість ліній, у тому числі прямих

Через дві точки — необмежену кількість кривих, але лише одну пряму

криві лінії, що проходять через дві точки

B A

пряма лінія AB

B A

Від прямої «відрізали» шматочок і залишився відрізок. З прикладу вище видно, що його довжина – найкоротша відстань між двома точками. ✂ B A ✂

Відрізок позначається двома великими (великими) латинськими літерами, де перша - це точка, з якої починається відрізок, а друга - точка, якою закінчується відрізок

відрізок AB

B A

Завдання: де пряма, промінь, відрізок, крива?

Ломанна лінія - це лінія, що складається з послідовно з'єднаних відрізків не під кутом 180 °

Довгий відрізок «поломали» на кілька коротких

Ланки ламаної (схожі на ланки ланцюга) - це відрізки, з яких складається ламана. Сумежні ланки - це ланки, у яких кінець однієї ланки є початком іншої. Сумежні ланки не повинні лежати на одній прямій.

Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана.

Позначається ламана перерахуванням її вершин.

ламана лінія ABCDE

вершина ломанної A, вершина ломанної B, вершина ломанної C, вершина ломанної D, вершина ломанної E

ланка ломанної AB, ланка ломанної BC, ланка ломанної CD, ланка ломанної DE

ланка AB та ланка BC є суміжними

ланка BC і ланка CD є суміжними

ланка CD та ланка DE є суміжними

A B C D E 64 62 127 52

Довжина ламаної - це сума довжин її ланок: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Завдання: яка ламана довша, а у якої більше вершин? У першої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 13см. У другій лінії всі ланки однакової довжини, саме по 49см. У третьої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 41см.

Багатокутник - це замкнута ламана лінія

Сторони багатокутника (допоможуть запам'ятати вислови: "піти на всі чотири сторони", "бігти у бік будинку", "з якого боку столу сядеш?") - це ланок ланки. Суміжні сторони багатокутника – це суміжні ланки ламаної.

Вершини багатокутника – це вершини ламаної. Сусідні вершини - це точки кінців однієї сторони багатокутника.

Позначається багатокутник перерахуванням усіх його вершин.

замкнута ламана лінія, що не має самоперетину, ABCDEF

багатокутник ABCDEF

вершина багатокутника A, вершина багатокутника B, вершина багатокутника C, вершина багатокутника D, вершина багатокутника E, вершина багатокутника F

вершина A та вершина B є сусідніми

вершина B та вершина C є сусідніми

вершина C та вершина D є сусідніми

вершина D та вершина E є сусідніми

вершина E та вершина F є сусідніми

вершина F та вершина A є сусідніми

сторона багатокутника AB, сторона багатокутника BC, сторона багатокутника CD, сторона багатокутника DE, сторона багатокутника EF

сторона AB та сторона BC є суміжними

сторона BC та сторона CD є суміжними

сторона CD та сторона DE є суміжними

сторона DE та сторона EF є суміжними

сторона EF та сторона FA є суміжними

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр багатокутника - це довжина ламаної: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма — чотирикутником, із п'ятьма — п'ятикутником тощо.

Єдуш О.Ю. Геометрія: 7 кл.: Підказки щодня.– К.: ВЛАДОС, 2001. – 176 c.
ISBN 5-691-00690-8
завантажити(пряме посилання) : geometr7kl2001.djvu Попередня 1 .. 3 > .. >> Наступна
2) Прикладами геометричних постатей на площині є точка, пряма, промінь, відрізок, багатокутник.
3) Основними геометричними фігурами площини є квадрат та коло.
Математична енциклопедія
Віх Fes
§ 1. Пряма та відрізок
9
4) Основними геометричними фігурами площини є точка та пряма.
5) Крапка позначається на площині однією великою літерою латинського алфавіту.
6) Точка позначається на площині однією літерою латинського алфавіту.
7) Крапка не позначається на площині.
8) Пряма позначається на площині двома маленькими літерами латинського алфавіту.
9) Пряма позначається на площині двома великими літерами латинського алфавіту.
10) Пряма позначається на площині однією літерою латинського алфавіту.
11) Якщо дві прямі на площині перетинаються, то точка перетину належить обом прямим.
12) Дві прямі на площині можуть перетинатися чи не перетинатися.
13) Якщо дві прямі на площині не перетинаються, вони паралельні.
14) Якщо дві прямі на площині н$ перетинаються, то вони не мають спільних точок.
2. Закінчи пропозиції, викресли зайву інформацію.
1. Основними поняттями планіметрії є...
2. Прикладами геометричних фігур є...
3. Крапка на площині позначається...
4. Пряма на площині позначається...
5. Якщо пряма а і точка С розташовані так, як на кресленні, то...
а) точка С (належить, не належить) прямий а. Коротко це записується так:
б) пряма а (проходить, не проходить) через точку С.
6. Якщо пряма точка В розташовані так, як на кресленні, то...
10

а) точка В (належить, не належить) прямий т. Коротко це записується так:
б) пряма т (проходить, не проходить) через точку.
7. Дві прямі на площині можуть бути розташовані так:
8. Якщо прямі АС і МК перетинаються в точці, то точка В...
9. Якщо прямі АВ та МИ паралельні, то...
10. Відрізком називається частина прямої...
11. Відрізки, зображені на кресленні, можна позначити...
12. Точки А, К, ?> (належать, не належать) відрізку АБ.
13. Точки А й називаються... відрізка АВ.
14. Точка До розташована.. .(відносно точок А і П). Точка А розташована... (стосовно точок К і?).
15. Точки А та В розташовані... (по відношенню до точки К).
16. Крапки До і. ?> розташовані... (стосовно точки А).
3. Відзнач знак «+» правильні твердження і знаком «-» - помилкові.
1) Відрізком називається частина прямої.
2) Відрізком називається частина прямої, обмежена точками.
3) Відрізком називається частина прямої, що складається з точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками.
4) Відрізком називається частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками.
5) Відрізок має лише один кінець.
6) Відрізок має лише два кінці.
7) Відрізок може мати скільки завгодно кінців.
8) Відрізок, зображений на кресленні, позначається АВ.
А
Їх
А
9) Кінцями відрізка називаються будь-які дві його точки.
10) Кінцями відрізка називаються дві точки цього відрізка, між якими лежать усі інші точки відрізка.
§ 1. Пряма та відрізок
11) З трьох будь-яких точок на прямій дві завжди лежать по одну сторону від третьої.
12) З трьох будь-яких точок на прямій одна завжди лежить між двома іншими.
4. Вибери правильні чи дай свій варіант відповіді.
1. Дві прямі на площині можуть
а) перетинатися;
б) не перетинатися;
в) і те, й інше одночасно.
2. Якщо пряма проходить через точку, то точка
а) належить прямий;
б) не належить прямої;
в) свій варіант відповіді.
3. Якщо пряма не проходить через точку, то точка
а) належить/сит прямий;
б) не належить прямої;
в) свій варіант відповіді.
4. Якщо дві прямі сит перетинаються, то точка їх перетину
а) належить прямий;
б) належить прямий т;
в) належить і прямий і прямий т.
5. Відрізком називається
а) частина прямої;
б) частина прямої, що складається з точок цієї прямої, що лежать між його кінцями;
в) частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між його кінцями.
6. Відрізок може мати
а) лише один кінець;
б) два кінці;
в) безліч кінців.
7. Три різні точки на прямій визначають
а) 2 відрізки;
б) 3 відрізки;
в) 4 відрізки.
12
I. Початкові геометричні відомості
6. Дана пряма т. Познач дві точки А і В так, щоб А й /і, В й /і, а відрізок ^Д
а) перетинав пряму т; б) не перетинав пряму т.
7. Чи правильне твердження: «Три різні прямі що неспроможні мати більше однієї загальної точки»? Обґрунтуй свою відповідь.
8. Скільки різних прямих можна здійснити через дві точки? Виконай креслення.
9. Дано три точки. Скільки прямих можуть визначати ці точки? Виконай креслення. Скільки різних відрізків задають ці точки?
Завдання для допитливих
Дано чотири точки. Скільки прямих можуть визначати ці точки? Скільки різних відрізків задають ці точки? Шукай підказку.
В. Г/сів, А. Мордкович
10. Чи можуть 7 прямих перетинатися у 8 точках? Побудуй ці прямі. Шукай підказку.
В. Гусєв, А. Мордкович
11. Чи можна на площині розташувати 6,7,8 відрізків так, щоб кожен із них перетинався рівно трьома іншими? Виконай побудови. Шукай підказку.

Завдання 5:

У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати проводами так, щоб кожен телефон був з'єднаний з п'ятьма іншими? Рішення:

Припустимо, що це можливо. Розглянемо тоді граф, вершини якого відповідають телефонам, а ребра - дротам, що з'єднують їх. У цьому графі 15 вершин, ступінь кожної з яких дорівнює п'яти. Підрахуємо кількість ребер у цьому графі. Для цього спочатку підсумуємо ступеня всіх його вершин. Зрозуміло, що при такому підрахунку кожне ребро враховано двічі (адже воно з'єднує дві вершини!). Тому число ребер графа має дорівнювати 15 5/2. Але це число неціле! Отже, такого графа немає, отже, і з'єднати телефони необхідним чином неможливо.

Вирішуючи це завдання, ми з'ясували, як підрахувати число ребер графа, знаючи ступеня всіх його вершин. Для цього потрібно підсумувати ступені вершин та отриманий результат поділити на два.

Завдання 6:

У державі 100 міст, і з кожного з них виходить 4 дороги. Скільки всього доріг у державі? Рішення:

Загальна кількість доріг дорівнює 100 4/2 = 200.

Завдання 7:

У класі 30 осіб. Чи може бути так, що 9 з них мають по 3 друга (у цьому класі), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзів? Рішення:

Якби це було можливо, то можна було б намалювати граф із 30 вершинами, 9 з яких мали б ступінь 3, 11 – ступінь 4, 10 – ступінь 5. Однак такий граф має 19 непарних вершин, що суперечить теоремі.

Завдання 8:

У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати проводами так, щоб було 4 телефони, кожен з яких з'єднаний з трьома іншими, 8 телефонів, кожен з яких з'єднаний з шістьма, та 3 телефони, кожен з яких з'єднаний з п'ятьма іншими? Рішення:

Не можна. Застосуйте теорему про кількість непарних вершин.

Завдання 9:

У короля 19 баронів-васалів. Чи може виявитися так, що кожен васальний барон має 1, 5 або 9 сусідніх баронств? Рішення:

Ні не може. Інакше вийшов би граф сусідства баронств із непарною кількістю непарних вершин.

Завдання 10:

Чи може в державі, де з кожного міста виходить 3 дороги, бути рівно 100 доріг? Рішення:

Якщо державі k міст, то доріг - 3k/2. Це число не може бути рівним 100.

Завдання 11:

Джон, приїхавши з Діснейленду, розповідав, що там на зачарованому озері є сім островів, з кожного з яких веде 1, 3 або 5 мостів. Чи правда, що хоча б один із цих мостів обов'язково виходить на берег озера? Рішення:

Так, мабуть, інакше порушується теорема про кількість непарних вершин.

Завдання 12:

Доведіть, що кількість людей, які будь-коли жили на Землі і зробили непарну кількість рукостискань, парна. Рішення:

Це точно теорема про непарні вершини.

Завдання 13:

Чи можна намалювати на площині 9 відрізків так, щоб кожен перетинався рівно з трьома іншими? Рішення:

Ні, не можна. Застосуйте теорему до графа, вершини якого дані відрізки, а ребро з'єднує дві вершини тоді, коли два відповідних відрізка перетинаються.

Нагадаємо, що граф) - це набір точок, деякі з яких з'єднані лініями. Крапки називаються вершинамиграфа, лінії - ребрами.

Отримайте праву ліву картинку, проводячи лінії між точками (по одній). Біля кожної точки підписуйте скільки з неї виходить ліній. Як змінюються числа після кожного малювання лінії? Чи можна 15 телефонів з'єднати проводами так, щоб кожен був з'єднаний з 5 іншими?

Рішення.Будемо називати дитину парним,якщо у нього парна кількість знайомих, і непарнимв іншому випадку. Зауважимо, що кількість непарних дітей парна. Побачимо, від кого Гоша міг отримати листи. Або від парних знайомих, чи тож від непарних незнайомих. Розберемо два випадки.
1) Гоша - парний. Тоді він отримає парну кількість листів від знайомих і ще парну кількість від незнайомих.
2) Гоша - непарний. Тоді він отримає непарну кількість листів від незнайомих і ще непарну кількість листів від знайомих.
В обох випадках отримали, що Гоша отримає парну кількість листів. Тобто. ще хоча б одне.