Математичне очікування дискретної випадкової величини визначається формулою. Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками

Математичне очікування - це визначення

Мат очікування - цеодне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностейдовільної величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.

Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - це

Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).

Математичне очікування (Population mean) – це

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками довільної величини.До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Математичне очікування, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань достатньо знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа очок, що вибиваються, у першого стрілка більше, ніж у другого, то перший стрілець в середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще за другий. Хоча математичне очікування дає про випадкову величину значно менше відомостей, ніж закон її розподілу, але для вирішення завдань, подібних до наведеної та багатьох інших, знання математичного очікування виявляється достатнім.

§ 2. Математичне очікування дискретної випадкової величини

Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називають суму творів її можливих значень з їхньої ймовірності.

Нехай випадкова величина X може приймати лише значення х 1 х 2 , ..., х п , ймовірності яких відповідно дорівнюють р 1 , р 2 , . . ., р п . Тоді математичне очікування М(X) випадкової величини X визначається рівністю

М(X) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + x n p n .

Якщо дискретна випадкова величина X приймає лічильна безліч можливих значень, то

М(Х)=

причому математичне очікування існує, якщо ряд правої частини рівності сходиться абсолютно.

Зауваження. З визначення слідує, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною. Рекомендуємо запам'ятати це твердження, тому що далі воно використовується багаторазово. Надалі буде показано, що математичне очікування безперервної випадкової величини є постійна величина.

приклад 1.Знайти математичне очікування випадкової величини X, знаючи закон її розподілу:

Рішення. Шукане математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень випадкової величини з їхньої ймовірності:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

приклад 2.Знайти математичне очікування кількості події Ав одному випробуванні, якщо ймовірність події Адорівнює нар.

Рішення. Випадкова величина X - Число появи події Ав одному випробуванні може приймати тільки два значення: х 1 = 1 (Подія Анастало) з ймовірністю рі х 2 = 0 (Подія Ане настало) з ймовірністю q= 1 -нар.Шукане математичне очікування

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Отже, математичне очікування числа події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.Цей результат буде використано нижче.

§ 3. Імовірнісний сенс математичного очікування

Нехай зроблено пвипробувань, у яких випадкова величина X прийняла т 1 раз значення х 1 , т 2 раз значення х 2 ,...,m k раз значення x k , причому т 1 + т 2 + …+т до = п.Тоді сума всіх значень, прийнятих X, дорівнює

х 1 т 1 + х 2 т 2 + ... + х до т до .

Знайдемо середнє арифметичне всіх значень, прийнятих, випадковою величиною, навіщо розділимо знайдену суму загальне число випробувань:

= (х 1 т 1 + х 2 т 2 + ... + х до т до)/п,

= х 1 (m 1 / n) + х 2 (m 2 / n) + ... + х до (т до /п). (*)

Помітивши, що ставлення m 1 / n- відносна частота W 1 значення х 1 , m 2 / n - відносна частота W 2 значення х 2 і т. д., запишемо співвідношення (*) так:

=х 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + х до W k . (**)

Припустимо, що кількість випробувань досить велика. Тоді відносна частота приблизно дорівнює ймовірності появи події (це буде доведено в гл. IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Замінивши у співвідношенні (**) відносні частоти відповідними ймовірностями, отримаємо

x 1 p 1 + х 2 р 2 + … + х до р до .

Права частина цієї наближеної рівності є М(X). Отже,

М(X).

Імовірнісний зміст отриманого результату такий: математичне очікування приблизно дорівнює(Тим точніше, чим більше число випробувань) середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.

Примітка 1. Легко збагнути, що математичне очікування більше за найменше і менше від найбільшого можливих значень. Іншими словами, на числовій осі можливі значення розташовані ліворуч і праворуч від математичного очікування. У цьому сенсі математичне очікування характеризує розташування розподілу і тому його часто називають центром розподілу.

Цей термін запозичений із механіки: якщо маси р 1 , р 2 , ..., р прозташовані в точках з абсцисами x 1 , х 2 , ..., х n, причому
то абсциса центру тяжкості

x c =
.

Враховуючи що
= M (X) і
отримаємо М(Х)= х з .

Отже, математичне очікування є абсцисом центру ваги системи матеріальних точок, абсциси яких дорівнюють можливим значенням випадкової величини, а маси - їх ймовірностям.

Зауваження 2. Походження терміна «математичне очікування» пов'язане з початковим періодом виникнення теорії ймовірностей (XVI – XVII ст.), коли сфера її застосування обмежувалася азартними іграми. Гравця цікавило середнє значення очікуваного виграшу, або, іншими словами, математичне очікування на виграш.

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - лише трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу