Математичне очікування на суму. Функція розподілу дискретної випадкової величини

Рішення:

6.1.2 Властивості математичного очікування

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.

3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Ця властивість є справедливою для довільного числа випадкових величин.

4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.

Ця властивість також справедлива довільного числа випадкових величин.

Приклад: M(X) = 5, M(Y)= 2. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, застосувавши властивості математичного очікування, якщо відомо, що Z = 2X + 3Y.

Рішення: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань

2) постійний множник можна винести за знак математичного очікування

Нехай проводиться n незалежних випробувань, ймовірність появи події А в яких дорівнює р. Тоді має місце така теорема:

Теорема. Математичне очікування М(Х) числа появи події А n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні.

6.1.3 Дисперсія дискретної випадкової величини

Математичне очікування неспроможна повністю характеризувати випадковий процес. Крім математичного очікування треба запровадити величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.

Це відхилення дорівнює різниці між випадковою величиною та її математичним очікуванням. При цьому математичне очікування відхилення дорівнює нулю. Це тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, й у їх взаємного погашення виходить нуль.

Дисперсією (розсіюванням)Дискретна випадкова величина називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Насправді такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень.

Тому застосовується інший спосіб.

Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування.

Доведення. З огляду на те, що математичне очікування М(Х) і квадрат математичного очікування М 2 (Х) – величини постійні, можна записати:

приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини заданої законом розподілу.

Рішення: .

6.1.4 Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю. .

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. .

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в кожному випробуванні.

Приклад: Знайти дисперсію ДСВ Х – числа події А в 2-х незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події в цих випробуваннях однакові і відомо, що M (X) = 1,2.

Застосуємо теорему п. 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Знайдемо p:

1,2 = 2∙p

p = 1,2/2

q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4

Знайдемо дисперсію за формулою:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії.

(25)

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.

6.1.6 Мода та медіана дискретної випадкової величини

Модою M o ДСВназивається найбільш ймовірне значення випадкової величини (тобто значення, яке має найбільшу ймовірність)

Медіаною M e ДСВназивається значення випадкової величини, яке ділить ряд розподілу навпіл. Якщо число значень випадкової величини парне, медіана перебуває як середнє арифметичне двох середніх значень.

Приклад: Знайти моду та медіану ДСВ Х:

M e = = 5,5

Хід роботи

1. Ознайомитися з теоретичною частиною цієї роботи (лекції, підручник).

2. Виконати завдання за своїм варіантом.

3. Скласти звіт роботи.

4. Захистити роботу.

2. Мета роботи.

3. Хід роботи.

4. Вирішення свого варіанту.

6.4 Варіанти завдань для самостійної роботи

Варіант №1

1. Знайти математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду та медіану ДСВ X, задану законом розподілу.

2. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X і Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Знайти дисперсію ДСВ Х – числа події А в двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи подій у цих випробуваннях однакові і відомо, що М (Х) = 1.

4. Дано перелік можливих значень дискретної випадкової величини Х: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

Варіант №2

2. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X та Y: M(Х)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Знайти дисперсію ДСВ Х – числа події А в трьох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи подій у цих випробуваннях однакові і відомо, що М (Х) = 0,9.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, і навіть відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: , . Знайти ймовірності , , , Що відповідають можливим значенням , , і скласти закон розподілу ДСВ.

Варіант №3

1. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення ДСВ X, заданої законом розподілу.

2. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X і Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Знайти дисперсію ДСВ Х – числа події А в чотирьох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи подій у цих випробуваннях однакові і відомо, що М (х) = 1,2.

4. Дано перелік можливих значень дискретної випадкової величини Х: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4= 5, і навіть відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: , . Знайти ймовірності , , , Що відповідають можливим значенням , , і скласти закон розподілу ДСВ.

Варіант №4

1. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення ДСВ X, заданої законом розподілу.

Кожна окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість уявити основні особливості випадкової величини в короткій формі.

До таких величин відносять насамперед математичне очікуванняі дисперсія .

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .

Найпростішим способом математичне очікування випадкової величини Х(w), знаходять як інтегралЛебегастосовно ймовірнісної міри Р вихідному імовірнісному просторі

Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебегавід хщодо розподілу ймовірностей Р Хвеличини X:

де - безліч усіх можливих значень X.

Математичне очікування функцій від випадкової величини Xзнаходиться через розподіл Р Х. Наприклад, якщо X- випадкова величина зі значеннями і f(x)- однозначна борелівськафункція Х , то:

Якщо F(x)- функція розподілу X, то математичне очікування представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):

при цьому інтегрованість Xв сенсі ( * ) відповідає кінцівки інтегралу

У конкретних випадках, якщо Xмає дискретний розподіл із ймовірними значеннями х k, k = 1, 2, . і ймовірностями , то

якщо Xмає абсолютно безперервний розподіл із щільністю ймовірності р(х), то

при цьому існування математичного очікування рівносильне абсолютній збіжності відповідного ряду або інтеграла.

Властивості математичного очікування випадкової величини.

• Математичне очікування постійної величини дорівнює цій величині:

C- Постійна;

• M=C.M[X]

• Математичне очікування суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

• Математичне очікування твору незалежних випадково взятих величин = твору їх математичних очікувань:

M=M[X]+M[Y]

якщо Xі Yнезалежні.

якщо сходиться ряд:

Алгоритм обчислення математичного очікування.

Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значення прирівняти відмінну від нуля ймовірність.

1. По черзі перемножуємо пари: x iна p i.

2. Складаємо твір кожної пари x i p i.

Наприклад, для n = 4 :

Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.

Приклад:Знайти математичне очікування за формулою.

– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.

Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:

Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.

І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:

- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).

Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту:)

Тим не менш, ваші гіпотези?

2) Безперервна випадкова величина – приймає Усечислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Примітка : у навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ та НСВ

Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею:

Досить часто зустрічається термін ряд розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».

А зараз дуже важливий момент: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:

або, якщо записати згорнуто:

Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:

Без коментарів.

Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:

Приклад 1

Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:

…напевно, ви давно мріяли про такі завдання:) Відкрию секрет – я також. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.

Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Викриваємо «партизана»:

- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.

Контроль: , у чому потрібно переконатися.

Відповідь:

Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:

Приклад 2

У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.

Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.

Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.

З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:

Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!

Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу:

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 3

Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.

…я знав, що ви за ним скучили:) Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями відповідно. Тоді математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:

або в згорнутому вигляді:

Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:

Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:

Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:

Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.

Не вір враженням – вір цифрам!

Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри:) Ну, може, тільки заради розваги.

З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.

Творче завдання для самостійного дослідження:

Приклад 4

Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?

Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино

Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише

Математичне очікування - це визначення

Мат очікування - цеодне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностейдовільної величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.

Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - це

Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).

Математичне очікування (Population mean) – це

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Математичним очікуванням випадкової величини X називається середнє значення.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), де C= const

3. M(X±Y) = M(X)±M(Y)

4. Якщо випадкові величини Xі Yнезалежні, то M(XY) = M(X)·M(Y)

Дисперсія

Дисперсією випадкової величини X називається

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Дисперсія є мірою відхилення значень випадкової величини від свого середнього значення.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(СX) = C 2 D(X), де C= const

4. Для незалежних випадкових величин

D(X±Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(x, y)

Квадратний корінь із дисперсії випадкової величини X називається середнім квадратичним відхиленням .

@ Завдання 3: Нехай випадкова величина X приймає всього два значення (0 або 1) з ймовірностями q, p, де p + q = 1. Знайти математичне очікування та дисперсію.

Рішення:

M(X) = 1p + 0q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Завдання 4: Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Xрівні 8. Знайти математичне очікування та дисперсія випадкових величин: а) X – 4; б) 3X – 4.

Рішення: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Завдання 5: Сукупність сімей має наступний розподіл за кількістю дітей:

Визначити x 1, x 2і p 2якщо відомо, що M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Рішення: ймовірність p 2 дорівнює p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15. Невідомі x перебувають з рівнянь: M(X) = x 1 · 0,1 + x 2 · 0,15 + 2 · 0,4 + 3 · 0,35 = 2; D(X) = · 0,1 + · 0,15 + 4 · 0,4 + 9 · 0,35 - 4 = 0,9. x1=0; x2=1.

Генеральна сукупність та вибірка. Оцінки параметрів

Вибіркове спостереження

Статистичне спостереження можна організувати суцільне і суцільне. Суцільне спостереження передбачає обстеження всіх одиниць сукупності, що вивчається (генеральної сукупності). Генеральна сукупність це безліч фізичних чи юридичних осіб, яку дослідник вивчає відповідно до свого завдання. Це часто економічно невигідно, інколи ж і неможливо. У зв'язку з цим вивчається лише частина генеральної сукупності – вибіркова сукупність .

Результати, отримані на основі вибіркової сукупності, можна поширити на генеральну сукупність, якщо дотримуватися таких принципів:

1. Вибіркова сукупність має визначатися випадковим чином.

2. Число одиниць вибіркової сукупності має бути достатнім.

3. Повинна забезпечуватись репрезентативність ( представництво) вибірки. Репрезентативна вибірка є меншою за розміром, але точну модель тієї генеральної сукупності, яку вона повинна відображати.

Типи вибірок

У практиці застосовуються такі типи вибірок:

а) власне-випадкова; б) механічна; в) типова; г) серійна; д) комбінована.

Власно-випадкова вибірка

При власне-випадковій вибірці відбір одиниць вибіркової сукупності проводиться випадковим чином, наприклад за допомогою жеребкування або генератора випадкових чисел.

Вибірки бувають повторні та безповторні. При повторній вибірці одиниця, що потрапила у вибірку, повертається та зберігає рівну можливість знову потрапити у вибірку. При безповторній вибірці одиниця сукупності, що потрапила у вибірку, надалі у вибірці не бере участі.

Помилки властиві вибірковому спостереженню, що виникають через те, що вибіркова сукупність в повному обсязі відтворює генеральну сукупність, називаються стандартними помилками . Вони є середнім квадратичним розбіжністю між значеннями показників, отриманих за вибіркою, і відповідними значеннями показників генеральної сукупності.

Розрахункові формули стандартної помилки при випадковому повторному відборі наступна: , а при випадковому безповторному відборі наступна: , де S 2 - дисперсія вибіркової сукупності, n/N –частка вибірки, n, N- кількості одиниць у вибірковій та генеральній сукупності. При n = Nстандартна помилка m=0.

Механічна вибірка

При механічної вибірки генеральна сукупність розбивається на рівні інтервали і з кожного інтервалу випадково відбирається по одній одиниці.

Наприклад, при 2%-ї частки вибірки зі списку генеральної сукупності відбирається кожна 50-та одиниця.

Стандартна помилка механічної вибірки окреслюється помилка власне-випадкової безповторної вибірки.

Типова вибірка

При типовій вибірці генеральна сукупність розбивається на однорідні типові групи, потім із кожної групи випадково проводиться відбір одиниць.

Типовою вибіркою користуються у разі неоднорідної генеральної сукупності. Типова вибірка дає точніші результати, тому що забезпечується репрезентативність.

Наприклад, вчителі, як генеральна сукупність, розбиваються на групи за такими ознаками: стать, стаж, кваліфікація, освіта, міські та сільські школи тощо.

Стандартні помилки типової вибірки визначаються як помилки власне-випадкової вибірки, з тією різницею, що S 2замінюється середньою величиною від внутрішньогрупових дисперсій.

Серійна вибірка

При серійної вибірки генеральна сукупність розбивається деякі групи (серії), потім випадковим чином обрані групи піддаються суцільному спостереженню.

Стандартні помилки серійної вибірки визначаються як помилки власне-випадкової вибірки, з тією різницею, що S 2замінюється середньою величиною міжгрупових дисперсій.

Комбінована вибірка

Комбінована вибіркає комбінацією двох чи більше типів вибірок.

Точкова оцінка

Кінцевою метою вибіркового спостереження є визначення показників генеральної сукупності. Оскільки цього неможливо зробити безпосередньо, то генеральну сукупність поширюють характеристики вибіркової сукупності.

Принципова можливість визначення середньої арифметичної генеральної сукупності за даними середньої вибірки доводиться теорема Чебишева. При необмеженому збільшенні nймовірність того, що відмінність вибіркової середньої від генеральної середньої буде скільки завгодно, прагне 1.

Це означає, що характеристика генеральної сукупності з точністю . Така оцінка називається точковий .

Інтервальна оцінка

Базисом інтервальної оцінки є центральна гранична теорема.

Інтервальна оцінкадозволяє відповісти на запитання: всередині якого інтервалу і з якою ймовірністю знаходиться невідоме значення параметра генеральної сукупності?

Зазвичай говорять про довірчу ймовірність p = 1 – a, з якою перебуватиме в інтервалі – D< < + D, где D = t кр m > 0 гранична помилка вибірки, a - рівень значущості (ймовірність того, що нерівність буде невірною), t кр- критичне значення, що залежить від значень nта a. При малій вибірці n< 30 t крзадається за допомогою критичного значення t-розподілу Ст'юдента для двостороннього крітерія з n– 1 ступенями свободи з рівнем значущості a ( t кр(n – 1, a) знаходиться з таблиці "Критичні значення t-розподілу Ст'юдента", додаток 2). За n > 30, t кр- це квантиль нормального закону розподілу ( t крперебуває з таблиці значень функції Лапласа F(t) = (1 – a)/2 як аргумент). При p = 0,954 критичне значення t кр= 2 при p = 0,997 критичне значення t кр= 3. Це означає, що гранична помилка зазвичай більша за стандартну помилку в 2-3 рази.

Таким чином, суть методу вибірки полягає в тому, що на підставі статистичних даних деякої малої частини генеральної сукупності вдається знайти інтервал, у якому з вірогідністю pзнаходиться потрібна характеристика генеральної сукупності (середня чисельність робочих, середній бал, середня врожайність, середнє квадратичне відхилення і т.д.).

@ Завдання 1.Для визначення швидкості розрахунків із кредиторами підприємств корпорації в комерційному банку було проведено випадкову вибірку 100 платіжних документів, за якими середній термін перерахування та отримання грошей дорівнював 22 дням ( = 22) зі стандартним відхиленням 6 днів (S = 6). Імовірно p= 0,954 визначити граничну помилку вибіркової середньої та довірчий інтервал середньої тривалості розрахунків підприємств даної корпорації.

Рішення: Гранична помилка вибіркової середньої згідно(1)дорівнює D = 2· 0,6 = 1,2, а довірчий інтервал визначається (22 – 1,2; 22 + 1,2), тобто. (20,8; 23,2).

§6.5 Кореляція та регресія