Математик подав рішення гіпотези Рімана. Чому наукова спільнота його критикує

Рішення на 15 рядків представив відомий вчений із Великобританії сер Майкл Френсіс Атья ( Michael Francis Atiyah), лауреат престижних математичних премій В основному він працює в галузі математичної фізики. Scienceповідомляє, що про своє відкриття Атья розповів на конференції Heidelberg Laureate Forumу Гейдельберзькому університеті в понеділок.

Гіпотезу Рімана сформулював, як можна здогадатися, Бернхард Ріман у 1859 році. Математик запровадив поняття дзета-функції – функції для комплексного змінного – та описав за її допомогою розподіл простих чисел. Спочатку проблема з простими числами полягала в тому, що вони просто розподілені по ряду натуральних чисел без видимої закономірності. Ріман запропонував свою функцію розподілу простих чисел, що не перевершують x, але пояснити, чому виникає залежність, не зміг. Над вирішенням цієї проблеми вчені б'ються майже 150 років.

Гіпотеза Рімана входить до списку семи завдань тисячоліття (Millennium Prize Problems), за вирішення кожної з яких належить винагорода в мільйон доларів. З цих завдань вирішено лише одне - гіпотеза Пуанкаре. Її рішення запропонував російський математик Григорій Перельман ще 2002 року у серії своїх робіт. 2010-го вченому присудили премію, але від неї відмовився.

Георг Фрідріх Бернхард Ріман - німецький математик та фізик / ©Wikipedia

Майкл Атья стверджує, що пояснив виявлену Ріман закономірність. У своєму доказі математик спирається на фундаментальну постійну фізичну - постійну тонкої структури, яка описує силу і природу електромагнітних взаємодій між зарядженими частинками. Описуючи цю постійну з використанням маловідомої функції Тодда, Атья знайшов рішення гіпотези Рімана від противного.

Наукове співтовариство не поспішає приймати запропонований доказ. Так, наприклад, економіст з Норвезького університету з природничих та технічних наук Йорген Вісдал ( Jørgen Veisdal), Раніше вивчав гіпотезу Рімана, заявив, що рішення Атьї «надто туманне і невизначене». Вченому необхідно ретельніше вивчити письмовий доказ, щоб дійти висновків. Колеги Атьї, з якими зв'язався Science, також зазначили, що не вважають представлене рішення успішним, оскільки воно ґрунтується на хитких асоціаціях. Фізик-математик з Каліфорнійського університету в Ріверсайді Джон Баес ( John Baez) і взагалі заявив, що доказ Атьї «просто накладає одну велику вимогу на іншу без будь-яких доказів на користь цього чи реальних обґрунтувань».

Сам Майкл Атья вважає, що його робота закладає основу для доказу не лише гіпотези Рімана, а й інших невирішених проблем у математиці. Щодо критики він каже: «Люди будуть скаржитися та бурчати, але це тому, що вони не згодні з ідеєю про те, що старий міг вигадати зовсім новий метод».

Цікаво, що в минулому вчений уже робив схожі гучні заяви та стикався з критикою. У 2017 році Атья розповів лондонському виданню The Timesпро те, що скоротив 255-сторінкову теорему Фейта - Томпсона, або теорему про непарний порядок, доведену 1963 року, до 12 сторінок. Математик надсилав свій доказ 15 експертам, проте вони так і не дали позитивних оцінок роботі, і в результаті вона не була опублікована в жодному науковому журналі. Ще рік тому Атья заявив про вирішення однієї відомої проблеми диференціальної геометрії. Препринт статті із цим рішенням вчений опублікував на ArXiv.org. Незабаром колеги вказали на низку неточностей у роботі, і у повнотекстовому варіанті стаття так і не вийшла.

Ці помилки зараз багато в чому підтримують скептицизм наукової спільноти щодо доказу гіпотези Рімана. Атьє залишається чекати на оцінку Інституту Клея, який видає нагороди за рішення «завдань тисячоліття». Поки що ознайомитися з доказом математика можна за посиланням на Google Drive, яке він сам розмістив у відкритому доступі.

8 серпня 1900 року на 2-му Міжнародному конгресі математиків у Парижі один із найбільших математиків сучасності Давид Гільберт сформулював двадцять три завдання, які багато в чому визначили розвиток математики XX століття. У 2000 році фахівці з Clay Mathematics Institute вирішили, що грішно входити в нове тисячоліття, не намітивши нову програму розвитку, - тим більше що від двадцяти трьох проблем Гільберта залишилися лише дві. а з приводу ще однієї – знаменитої континуум-гіпотези – консенсусу поки не досягнуто ()].

В результаті з'явився знаменитий список із семи завдань, за повне рішення будь-яке з яких обіцяно мільйон доларів із спеціально заснованого фонду. Щоб отримати гроші, потрібно опублікувати рішення та почекати два роки; якщо протягом двох років ніхто його не спростує (будьте впевнені – спробують), ви отримаєте мільйон омріяних зелених папірців.
Я спробую викласти суть одного з цих завдань, а також постараюся (в міру своїх скромних сил) пояснити її складність та важливість. Наполегливо рекомендую зайти на офіційний сайт конкурсу www.claymath.org/millennium; опубліковані там описи проблем сповнені та цікаві, і саме вони стали головним джерелом при написанні статті.

Гіпотеза Рімана

Якось один із моїх наукових керівників, видатний петербурзький алгебраїст Микола Олександрович Вавілов, почав заняття свого спецкурсу з формули

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = –1/12.

Ні, заняття не було присвячене гіпотезі Рімана, і я дізнався про неї зовсім не від Миколи Олександровича. Але формула, тим не менш, має до гіпотези пряме відношення. І що дивно - це здається абсурдним рівність дійсно вірно. Точніше сказати, не зовсім воно, але він деталей теж незабаром буде задоволений.

В 1859 Бернард Ріман (Bernhard Riemann) опублікував статтю (або, як тоді висловлювалися, мемуар), якій було судилося дуже довге життя. У ньому він виклав зовсім новий метод асимптотичної оцінки розподілу простих чисел. В основі методу лежала функція, зв'язок якої з простими числами виявив ще Леонард Ейлер, але яка все ж таки отримала ім'я математика, що продовжив її на всю комплексну площину: так звана дзета-функція Рімана. Визначається вона дуже просто:

ς (s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + 1/3 s + ….

Будь-який студент, який прослухав курс математичного аналізу, відразу скаже, що цей ряд сходиться для будь-якого речового s > 1. Більше того, він сходиться і для комплексних чисел, речова частина яких більше одиниці. Ще більше, функція ς (s) - аналітична у цій напівплощині.

Розглядати формулу для негативних s здається поганим жартом: ну який сенс складати, наприклад, усі позитивні цілі числа чи тим більше їх квадрати чи куби? Однак комплексний аналіз - уперта наука, і властивості дзета-функції такі, що її можна продовжити на всю площину. Це було однією з ідей Рімана, викладених у мемуарі 1859 року. Отримана функція має лише одну особливу точку (полюс): s = 1, а, наприклад, у негативних речових точках функція цілком визначена. Саме значення аналітично продовженої дзета-функції у точці –1 і виражає формула, з якої почав цей розділ.

(Спеціально для патріотів та небайдужих до історії науки людей зазначу у дужках, що, хоча мемуар Бернарда Рімана вніс у теорію чисел багато свіжих ідей, він не був першим дослідженням, у якому розподіл простих чисел вивчався аналітичними методами. Вперше це зробив наш співвітчизник Пафнутий Чебишев, 24 травня 1848 року прочитав у петербурзької Академії наук доповідь, у якому виклав асимптотичні оцінки кількості простих чисел, що стали класичними.)

Але повернемося до Рімана. Йому вдалося показати, що розподіл простих чисел – а це центральна проблема теорії чисел – залежить від того, де дзета-функція перетворюється на нуль. Вона має звані тривіальні нулі - у парних негативних числах (–2, –4, –6, …). Завдання полягає в тому, щоб описати решту нулі дзета-функції.

Цей горішок ось уже півтори сотні років не можуть розгризти найталановитіші математики планети.

Щоправда, мало хто сумнівається у тому, що гіпотеза Рімана вірна. По-перше, чисельні експерименти більш ніж переконливі; про останній з них розповідає стаття Хав'єра Гурдона (Xavier Gourdon), назва якої говорить сама за себе: «Перші 10 13 нулів дзета-функції Рімана та обчислення нулів на дуже великій висоті» (друга частина назви означає, що запропоновано метод обчислення не лише перших нулів, але й деяких, хай і не всіх, більш далеких, аж до нулів із номером близько 10 24). Ця робота поки вінчає більш ніж сторічну історію спроб перевірки гіпотези Рімана для деякої кількості перших нулів. Зрозуміло, контрприкладів до гіпотези Рімана не знайдено. Крім того, суворо встановлено, що більше 40% нулів дзета функції гіпотезі задовольняють.

Другий аргумент нагадує один із доказів існування Бога, спростованих ще Іммануїлом Кантом. Якщо Ріман все ж таки помилився, то невірною стане дуже багато красивої та правдоподібної математики, побудованої у припущенні, що гіпотеза Рімана правильна. Так, цей аргумент не має наукової ваги, але все ж таки... математика - це наука, де краса відіграє ключову роль. Гарний, але невірний доказ часто-густо виявляється кориснішим, ніж вірний, але негарний. Так, наприклад, із невдалих спроб довести велику теорему Ферма виріс не один напрямок сучасної алгебри. І ще одне естетичне зауваження: теорема, аналогічна гіпотезі Рімана, була доведена в геометрії алгебри. Теорема Деліня (Deligne), що вийшла, по праву вважається одним з найскладніших, красивих і важливих результатів математики XX століття.
Отже, гіпотеза Рімана, мабуть, вірна - але з доведена. Хто знає, можливо, зараз цей журнал читає людина, якій судилося увійти до історії математики, довівши гіпотезу Рімана. У будь-якому випадку, як і з усіма іншими великими завданнями, відразу попереджаю: не намагайтеся повторити ці трюки вдома. Іншими словами, не намагайтеся вирішувати великі проблеми, не зрозумівши теорію, яка їх оточує. Заощадіть нерви і собі, і оточуючим.

На десерт - ще трохи цікавого про дзета-функцію. Виявляється, вона має і практичні застосування, і навіть фізичний зміст. Більше того, і гіпотеза Рімана (точніше кажучи, її узагальнення, яке вважається настільки ж складним, як і вона сама) має прямі практичні наслідки. Наприклад, однією з важливих обчислювальних задач є перевірка чисел на простоту (дано число, треба сказати, просте чи ні). Найтеоретичніший на даний момент алгоритм вирішення цього завдання - тест Міллера-Рабіна (Miller-Rabin test) - працює за час O(log 4 n), де n - це число (відповідно log n - довжина входу алгоритму). Однак доказ того, що він працює так швидко, спирається на гіпотезу Рімана.

Втім, тест на простоту - не надто складна проблема з точки зору теорії складності (у 2002 році був розроблений алгоритм, що не залежить від гіпотези Рімана, який повільніший за тест Міллера-Рабіна, але теж поліноміальний). Розкладати числа на прості співмножники набагато цікавіше (і прямі криптографічні програми очевидні - стійкість схеми RSA залежить від того, чи можна швидко розкласти число на прості), і тут гіпотеза Рімана теж є необхідною умовою для доказу оцінок часу роботи деяких швидких алгоритмів.

Звернемося до фізики. У 1948 році голландський вчений Хендрік Казімір (Hendrik Casimir) передбачив ефект, що носить тепер його ім'я [Ефект Казимира довгий час залишався лише витонченою теоретичною ідеєю; проте в 1997 році Стів Ламоро (Steve K. Lamoreaux), Умар Мохідін (Umar Mohideen) і Анушрі Руа (Anushri Roy) змогли провести підтверджуючі попередні теорію експерименти]. Виявляється, якщо зблизити дві незаряджені металеві пластини на відстань у кілька атомних діаметрів, вони притягнуться один до одного за рахунок флуктуацій розташованого між ними вакууму - пар частинок і античастинок, що постійно народжуються. Цей ефект чимось нагадує тяжіння суден в океані, що підпливли надто близько один до одного (ще більше він нагадує теорію Стівена Хокінга про те, що чорні дірки все ж випромінюють енергію, - втім, тут важко сказати, хто кого нагадує). Розрахунки фізичної моделі цього процесу показують, що сила, з якою притягуються пластини, повинна бути пропорційна сумі частот стоячих хвиль, що виникають між пластинами. Ви вже здогадалися – ця сума зводиться до суми 1+2+3+4+. І більше - правильним значенням цієї суми для розрахунків ефекту Казимира є саме -1/12.

Але це ще не все. Деякі дослідники вважають, що дзета-функція відіграє важливу роль у музиці! Можливо[Я пишу "можливо", тому що єдине джерело, яке мені вдалося розшукати, це листування в usenet-конференції sci.math. Якщо ви (читачі) зможете знайти авторитетніші джерела, мені буде дуже цікаво про це почути], максимуми дзета-функції відповідають значенням частот, які можуть служити гарною основою для побудови музичної шкали (такої, як наш нотний стан). Що ж, Герман Гессе у своїй «Грі в бісер» не дарма оголосив Гра комбінацією математики та музики: між ними і справді багато спільного…

Професор Оксфордського, Кембриджського та Единбурзького університетів, а також лауреат майже десятка престижних премій у галузі математики Майкл Френсіс Атья представив доказ гіпотези Рімана, однієї з семи «проблем тисячоліття», яка описує, як розташовані на числовій прямій прості числа.

Доказ Атті невеликий, разом із запровадженням та списком літератури він займає п'ять сторінок. Вчений стверджує, що знайшов рішення гіпотези, аналізуючи проблеми, пов'язані з постійною тонкою структурою, а як інструмент використовував функцію Тодда. Якщо наукове співтовариство визнає доказ коректним, то за нього британець отримає $1 млн від Інституту математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс).

На приз також претендують інші вчені. У 2015 році про вирішення гіпотези Рімана заявляв професор математики Опіємі Енох (Opeyemi Enoch)з Нігерії, а у 2016 році свій доказ гіпотези представив російський математик Ігор Турканов. За словами представників Інституту математики, для того, щоб досягнення було зафіксовано, його необхідно опублікувати в авторитетному міжнародному журналі з подальшим підтвердженням доказу науковою спільнотою.

У чому суть гіпотези?

Гіпотезу ще 1859 року сформулював німецька математик Бернхард Ріман. Він визначив формулу так звану дзета-функцію для кількості простих чисел до заданої межі. Вчений з'ясував, що немає ніякої закономірності, яка описувала б, як часто в числовому ряду з'являються прості числа, при цьому він виявив, що кількість простих чисел, що не перевищують x, виражається через розподіл про «нетривіальних нулів» дзета-функции.

Ріман був упевнений у правильності виведеної формули, проте він не міг встановити, від якого простого твердження повністю залежить цей розподіл. В результаті він висунув гіпотезу, яка полягає в тому, що всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, що дорівнює ½, і лежать на вертикальній лінії Re=0,5 комплексної площини.

Доказ чи спростування гіпотези Рімана дуже важливий для теорії розподілу простих чисел, каже аспірант факультету математики Вищої школи економіки Олександр Калминін. «Гіпотеза Рімана — це твердження, яке еквівалентне певній формулі для кількості простих чисел, що не перевищують дане число x. Гіпотеза, наприклад, дозволяє досить швидко і з великою точністю порахувати кількість простих чисел, що не перевершують, наприклад, 10 млрд. Це не єдина цінність гіпотези, тому що в неї є ще цілий ряд узагальнень, що досить далеко йдуть, які відомі як узагальнена гіпотеза Рімана , розширена гіпотеза Рімана та велика гіпотеза Рімана. Вони мають ще більше значення для різних розділів математики, але насамперед важливість гіпотези визначається теорією простих чисел», – каже Калминін.

За словами експерта, за допомогою гіпотези можна вирішувати ряд класичних завдань теорії чисел: задачі Гауса про квадратичні поля (проблема десятого дискримінанта), завдання Ейлера про зручні числа, гіпотезу Виноградова про квадратичні невирахування і т. д. У сучасній математиці цією гіпотезою користуються для доказу тверджень про прості числа. «Ми відразу припускаємо, що вірна якась сильна гіпотеза на кшталт гіпотези Рімана, і дивимося, що виходить. Коли в нас це виходить, ми запитуємо себе: чи можемо ми це довести без припущення гіпотези? І хоча таке твердження поки за межами того, чого ми можемо досягти, воно працює як маяк. Через те, що є така гіпотеза, ми можемо дивитися, куди нам рухатися», — каже Калминін.

Доказ гіпотези може вплинути на вдосконалення інформаційних технологій, оскільки процеси шифрування і кодування сьогодні залежать від ефективності різних алгоритмів. «Якщо ми візьмемо два простих великих числа по сорок знаків і перемножимо, то в нас вийде велике вісімдесятизначне число. Якщо поставити завдання розкласти це число на множники, то це буде дуже складне обчислювальне завдання, на основі якого побудовано багато питань інформаційної безпеки. Усі вони полягають у створенні різних алгоритмів, які зав'язані на подібних складностях», — каже Калминін.

Уривок із книги «Найвидатніші математичні завдання» заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта про найважливіші невирішені математичні завдання та їх місце в загальному контексті математики та природничих наук.

Теорема про розподіл простих чисел була відповіддю на евклідову теорему про те, що прості числа йдуть у нескінченність і можуть бути як завгодно великими. Інша фундаментальна евклідова теорема говорить про єдиність розкладання на прості множники: кожне позитивне ціле число є добутком простих чисел, причому лише одного їх набору. У 1737 Ейлер зрозумів, що першу теорему можна переформулювати у вигляді разючої формули з дійсного аналізу, і тоді друге твердження стає простим наслідком цієї формули. Спочатку я представлю формулу, а потім спробую розібратися в ній. Ось вона:

Це незвичайна формула. У лівій частині ми перемножуємо безліч виразів, які залежать тільки від простих чисел. У правій – складаємо нескінченну кількість виразів, які залежать від усіх позитивних цілих чисел. Ця формула висловлює, мовою аналізу, деяке відношення між цілими і простими числами. Головне ставлення такого роду – це єдиність розкладання на прості множники, саме вона виправдовує існування формули.

Ось тепер сцена була готова до появи Рімана. Він також зрозумів, що дзета-функція - це ключ до теореми про розподіл простих чисел, але для реалізації цього підходу йому довелося запропонувати сміливе розширення: визначити дзета-функцію не лише дійсної, а й комплексної змінної. А почати можна з Ейлера. Він сходиться для будь-яких дійсних більше одиниці, і якщо використовувати для комплексного точно таку ж формулу, то ряд буде сходитися при будь-яких , у яких дійсна частина більше . Однак Ріман виявив, що можна зробити і краще. Застосувавши процедуру про аналітичного продовження, він розширив визначення попри всі комплексні числа, крім . Це значення s виключено тому, що за значення дзета-функції стає нескінченним.

У 1859 році Ріман зібрав усі свої думки про дзета-функцію в одну статтю, заголовок якої можна перекласти як «Про кількість простих чисел, що не перевищують заданої величини». У ній він навів повну та точну формулу. Я опишу простішу формулу, еквівалентну рімановій, щоб показати, як з'являються нулі дзета-функції. Ідея полягає в тому, щоб підрахувати, скільки простих чисел, або ступенів простих чисел, укладається до будь-якої заданої межі. Однак замість того, щоб порахувати кожне число по одному разу, як функція робить з простими числами, ми надаємо більшим простим числам додаткову вагу. Більш того, будь-який ступінь простого числа враховується відповідно до логарифму цього простого числа. Так, межі ми маємо такі ступеня простих чисел:

Тому зважений підрахунок дає

Що становить приблизно.

Скориставшись методами аналізу, інформацію про цей більш хитромудрий спосіб підрахунку простих чисел можна перетворити на інформацію про звичайний спосіб. Однак цей метод призводить до більш простих формул, і присутність логарифму – не надто дорога ціна за це. У цих термінах точна формула Рімана говорить про те, що зважений підрахунок до межі еквівалентний

На випадок, якщо формула вас трохи лякає, я вкажу головне: хитрий спосіб підрахунку простих чисел до заданої межі , який за допомогою деяких аналітичних фокусів можна перетворити на звичайний спосіб, точно еквівалентний сумі по всіх нетривіальних нулях дзета-функції простого вираження плюс Проста функція від . Якщо ви фахівець з комплексного аналізу, ви відразу побачите, що доказ теореми про розподіл простих чисел еквівалентний доказу того, що зважений підрахунок до краю асимптотично сходить до . Скориставшись комплексним аналізом, отримаємо: це твердження вірне, якщо у всіх нетривіальних нулів дзета-функції дійсна частина лежить між і . Чебишев не зміг цього довести, але підійшов досить близько, щоб отримати корисну інформацію.

Чому нулі дзета-функції такі важливі? Одна з базових теорем комплексного аналізу стверджує, що за деяких формальних умов функція комплексної змінної повністю визначається значеннями змінної, за яких функція дорівнює нулю чи нескінченності, плюс деяка додаткова інформація про поведінку функції у цих точках. Ці особливі точки відомі як нулі та полюси функції. У дійсному аналізі ця теорема не працює - і це одна з причин, з яких комплексний аналіз завоював таку популярність, незважаючи на необхідність отримувати квадратний корінь. Діта-функція має один полюс (при ), так що всі її характеристики визначаються нулями (якщо, звичайно, не забувати про існування цього єдиного полюса).

Для зручності Ріман працював в основному із залежною кси-функцією, яка тісно пов'язана з дзета-функцією і виходить із методу аналітичного продовження. Він помітив:

«Можливо, всі [нулі кси-функції] дійсні. Хотілося б, звичайно, мати суворий доказ цього факту, але після кількох безплідних спроб я відклав пошук такого доказу, оскільки цього не потрібно безпосередніх цілей мого дослідження».

Зауваження Рімана звучить досить недбало, ніби висловлено між справою і ця гіпотеза не має особливого значення. І це справді так, якщо говорити лише про програму Рімана за доказом теореми про розподіл простих чисел. Але в багатьох інших питаннях вірно протилежне. Багато хто вважає гіпотезу Рімана найважливішим з тих, що залишаються на сьогоднішній день відкритими математичних питань.

Щоб зрозуміти, чому це так, ми повинні піти за міркуваннями Рімана трохи далі. На той час учений був націлений на теорему про розподіл простих чисел. Його точна формула пропонувала правильний шлях до цього досягнення: треба було розібратися в нулях дзета-функції або еквівалентній їй кси-функції. Повна ріманова гіпотеза для цього не потрібна, достатньо довести, що у всіх нетривіальних нулів дзета-функції дійсна частина лежить в проміжку від до , тобто, що самі комплексні корені лежать на відстані не більше від ріманової критичної лінії - в так званій критичній смузі . Ця властивість нулів має на увазі, що сума за всіма нулями дзета-функції, що фігурує в наведеній вище точній формулі, є кінцевою константою. Асимптотично для великих вона взагалі може загубитися. Єдиний член формули, який збереже своє значення за дуже великих, це сам. Всі інші складні доданки асимптотично пропадають у порівнянні з . Отже, виважена сума асимптотично прагне, і це доводить теорему про розподіл простих чисел. Отже, за іронією долі, роль нулів дзета-функції полягає в тому, щоб довести, що вони не роблять суттєвого внеску в точну формулу.

Ріман так і не довів свою програму до логічного кінця. Більше того, він ніколи більше нічого не писав із цього питання.

Але два інших математика, прийнявши в нього естафету, показали, що здогад Рімана вірна. В 1896 Жак Адамар і Шарль-Жан де ла Валле Пуссен незалежно один від одного вивели теорему про розподіл простих чисел, довівши, що всі нетривіальні нулі дзета-функції лежать в межах критичної смуги. Докази в обох вийшли дуже складними і технічними, проте своє завдання вони виконали. Виникла нова потужна галузь математики – аналітична теорія чисел. Застосування їй знайшлося в різних куточках теорії чисел: з її допомогою вирішували давні завдання і виявляли нові закономірності. Інші математики пізніше знайшли кілька простіших доказів теореми про кількість простих, а Атле Сельберг і Пал Ердеш відкрили навіть дуже складний доказ, який зовсім не вимагав застосування комплексного аналізу. Але на той час з допомогою ідеї Рімана було доведено безліч важливих теорем, включаючи апроксимації багатьох функцій теорії чисел. Тож цей новий доказ хоч і додав до цієї історії краплі іронії, але ні на що, по суті, не вплинув. У 1980 році Дональд Ньюман знайшов набагато простіший доказ, для якого досить виявилося лише однією з базових теорем комплексного аналізу - теореми Коші.

Хоча Ріман оголосив свою гіпотезу непотрібною для досягнення найближчих цілей, виявилося, що вона життєво необхідна для вирішення багатьох інших питань теорії чисел. Перш ніж обговорювати гіпотезу Рімана, нам варто поглянути на деякі теореми, які - якби гіпотеза була доведена - з неї випливають.

Один із найважливіших наслідків - це величина похибки в теоремі про розподіл простих чисел. Теорема, як пам'ятаєте, стверджує, що з великого ставлення до наближається до , причому що далі, то сильніше. Іншими словами, різниця між двома функціями знижується до нуля щодо величини x. Проте реальна різниця у своїй може зростати (і зростає). Просто вона робить це повільніше, ніж росте сам. p align="justify"> Комп'ютерні розрахунки дозволяють припустити, що величина похибки приблизно пропорційна . Якщо гіпотеза Рімана вірна, це твердження можна довести. У 1901 році Хельге фон Кох довів, що гіпотеза Рімана логічно еквівалентна оцінці

З гіпотези Рімана можна отримати багато інших оцінок для функцій теорії чисел. Наприклад, з неї прямо випливає, що сума дільників менша

Крім того, гіпотеза Рімана говорить нам, наскільки великою може бути відстань між послідовними простими числами. Типовий розмір проміжку між ними можна вивести на підставі теореми про розподіл простих чисел: в середньому проміжок між простим числом і наступним простим числом можна порівняти з . Деякі проміжки можуть бути меншими, деякі більшими, але математикам жилося б легше, якби можна було сказати напевно, наскільки великі можуть бути найбільші з них. Харальд Крамер довів у 1936 р., що й гіпотеза Рімана вірна, то проміжок при простому числі неспроможна перевищувати величини , домноженої якусь константу.

Але справжнє значення гіпотези Рімана набагато глибше. Існують далекосяжні узагальнення та сильну підозру, що той, хто зуміє довести гіпотезу Рімана, зможе, ймовірно, довести і пов'язану з нею узагальнену гіпотезу Рімана. А це, своєю чергою, дасть математикам владу над великими областями теорії чисел.

Узагальнена гіпотеза Рімана виростає з докладнішого опису простих чисел. Всі прості числа, крім двійки, непарні, і в розділі 2 ми бачили, що всі непарні прості можна розділити на два типи: ті, що на більше числа, кратного , і ті, що на більші числа, кратного . Кажуть, що це числа виду або , де - Число, на яке ви множите , щоб отримати дане просте число. Наведемо короткий список перших кількох простих чисел того й іншого типу, разом із відповідними числами, кратними:

Скільки існує простих чисел того та іншого типу? Як вони розподілені серед усіх простих чисел чи серед усіх цілих чисел? Евклідово доказ того факту, що простих чисел існує нескінченно багато, можна без зусиль модифікувати, довівши при цьому, що існує нескінченно багато простих чисел виду.

Довести, що простих чисел виду теж нескінченно багато, набагато складніше - це можна зробити, але лише за допомогою деяких досить складних теорем. Різниця у підходах зумовлена ​​тим, що будь-яка кількість виду має дільник того ж виду, а щодо чисел виду це не завжди правильно.

У цих двох видів немає нічого чудового чи священного. Всі прості числа, крім , мають вигляд або , і ми можемо поставити щодо них аналогічні питання. Якщо на те пішло, всі прості числа, крім , мають вигляд , , , . Ми залишаємо осторонь числа виду, оскільки вони кратні і, відповідно, всі, крім, не є простими.

До речі, на будь-яке з подібних питань неважко висунути розумне припущення - прості числа в арифметичній послідовності. Випадок досить типовий. Експеримент швидко показує, що числа наведених вище чотирьох видів мають приблизно рівні шанси виявитися простими. Ось схожа таблиця:

Для деяких видів довести, що простих чисел такого виду існує дуже багато, зовсім нескладно. Для інших видів потрібні більш витончені міркування. Але до середини XIX століття нікому не вдавалося довести, що існує безліч простих чисел кожного можливого виду, не кажучи вже про те, щоб довести їх більш-менш рівномірний розподіл. Лагранж у 1785 році в роботі, присвяченій закону квадратичної взаємності - глибокій якості квадратів простих модулів, - приймав цей факт без доказів. Результати дали очевидно корисні наслідки, і настав час комусь це довести. У 1837 році Діріхле з'ясував, як застосувати ідеї Ейлера, пов'язані з теоремою про розподіл простих чисел, для підтвердження обох цих тверджень. Насамперед слід було визначити аналоги дзета-функції цих типів простих чисел. Те, що вийшло, називається функціями Діріхле. Наприклад, у разі виникає така функція:

Де коефіцієнти рівні чисел виду , чисел виду і 0 інших. Грецьку букву називають характером Діріхле, і це нагадує нам про те, які саме знаки слід використовувати.

Для риманової дзета-функції важливий як ряд, а й його аналітичне продовження, що надає функції значення переважають у всіх комплексних точках.

Те саме стосується і -функції, і Діріхле визначив відповідне аналітичне продовження. Пристосувавши нагоди ідеї, які використовувалися для доказу теореми про розподіл простих чисел, він зумів довести аналогічну теорему про прості числа особливих видів. Наприклад, число простих чисел виду , менших чи рівних , асимптотично наближається до ; те саме відноситься і до решти трьох випадків , , . Це означає, що простих чисел кожного виду дуже багато.

Ріманова дзета-функція - це особливий випадок -функції Діріхле для простих чисел виду, тобто для всіх простих чисел. Узагальнена гіпотеза Рімана є очевидним узагальненням оригінальної гіпотези: нулі будь-якої функції Діріхле або мають дійсну частину, рівну , або є тривіальними нулями, дійсна частина яких негативна або більше одиниці.

Якщо узагальнена гіпотеза Рімана вірна, то вірна і проста його гіпотеза. Багато наслідків узагальненої гіпотези Рімана аналогічні наслідкам звичайної. Наприклад, подібні межі помилки можна довести для аналогічних версій теореми про розподіл простих чисел у застосуванні до простих чисел будь-якого конкретного виду. Однак узагальнена гіпотеза Рімана має на увазі багато такого, що зовсім відрізняється від усього, що ми можемо вивести зі звичайної гіпотези Рімана. Так, в 1917 році Годфрі Харді і Джон Літтлвуд довели, що з узагальненої гіпотези Рімана слідує гіпотеза Чебишева, в тому сенсі, що (буквально) прості числа виду зустрічаються частіше, ніж числа виду. Згідно з теоремою Діріхле, обидва види рівноймовірні в кінцевому підсумку, але це не заважає простим числам виду вигравати у чисел, звичайно, у правильній грі.

Є безліч непрямих свідчень те, що гіпотеза Рімана - як оригінальна, і узагальнена - справедлива. Багато хорошого випливало б із істинності цих гіпотез. Жодне з цих наслідків за весь час не вдалося спростувати, а зробити це - те саме, що спростувати гіпотезу Рімана. Але ні доказів, ні спростування поки що немає. Широко поширена думка, що доказ оригінальної гіпотези Рімана відкрило б дорогу і до доказу узагальненого її варіанта. Але насправді, можливо, краще було б атакувати відразу узагальнену гіпотезу Рімана у всій її грізній красі - скористатися всім арсеналом доступних на сьогоднішній день методів, довести, а потім вивести оригінальну гіпотезу Рімана як її окремий випадок.

Сьогодні у дослідників з'явився новий стимул до боротьби за доказ гіпотези Рімана: великий приз.

У математиці немає Нобелівської премії. Найпрестижнішою нагородою в цій галузі є премія Філдса за видатні відкриття, разом з якою вручається медаль. Ця премія названа на честь канадського математика Джона Філдса, який і заповів на неї кошти. Раз на чотири роки на Міжнародному конгресі математиків двом, трьом чи чотирьом молодим вченим не старше 40 років вручають золоту медаль та грошову премію (нині це $15 000).

Багато представників математичної науки вважають правильним, що в їхній галузі не присуджується Нобелівська премія. Нині вона становить трохи більше мільйона доларів, а така сума легко може спотворити цілі дослідників та породити суперечки про пріоритети. Однак відсутність великої математичної премії також може спотворити уявлення суспільства про значущість та корисність цієї науки. Можна подумати, що відкриття, за які ніхто не хоче платити, не такі вже й важливі. Можливо, тому нещодавно з'явилися дві дуже престижні нові математичні премії. Одна з них – Абелевська – присуджується щорічно Норвезькою академією науки та словесності та названа на честь великого норвезького математика Нільса Хенріка Абеля. Друга нагорода - це премії за вирішення семи проблем тисячоліття, оголошені Математичним інститутом Клея. Цей інститут заснували 1998 року в Кембриджі (штат Массачусетс) американський бізнесмен Лендон Клей та його дружина Лавінія. Лендон Клей активно займається пайовими інвестиційними фондами і при цьому любить та поважає математику. Його організація проводить зустрічі, виділяє гранти на дослідження, організовує публічні лекції та присуджує щорічну премію за математичні дослідження.

У 2000 році сер Майкл Атья і Джон Тейт, провідні математики Великобританії та США, оголосили, що Математичний інститут Клея заснував нову премію, яка повинна стимулювати роботу над сімома найважливішими невирішеними завданнями математики. Ці завдання будуть відомі як «проблеми тисячоліття», а належним чином опубліковане та відрефероване рішення будь-якої з них буде винагороджено грошовою сумою в $1 млн. Усі разом ці завдання покликані привернути увагу до деяких центральних для математики питань, які досі не мають відповідей. Питання ці були ретельно відібрані найкращими математиками світу. Великий приз має ясно показати суспільству: математика має величезну цінність. Кожен, хто має відношення до науки, чудово знає, що інтелектуальна цінність цілком може бути вищою за будь-які гроші, але все ж таки гроші допомагають зосередитися. Найвідомішою та давньою із завдань тисячоліття є гіпотеза Рімана. Це єдине питання, яке увійшло одночасно і до списку Гільберта (1900), і до списку завдань тисячоліття. Інші шість проблем тисячоліття обговорюються далі у розділах 10–15. Проте математики не особливо женуться за призами, і робота над гіпотезою Рімана тривала б і без обіцяної премії. Все, що для цього потрібно – нова перспективна ідея.

Варто також пам'ятати, що гіпотези, навіть освячені часом, іноді виявляються помилковими. Сьогодні більшість математиків, зважаючи на все, вважає, що колись гіпотеза Рімана буде доведена. Деякі, однак, думають, що вона, можливо, все-таки неправильна, і десь у нетрях дуже великих чисел може ховатися нуль дзета-функції, що не лежить на критичній лінії. Якщо такий «контрприклад» існує, то він, швидше за все, виявиться дуже великим.

Однак на передньому краї математики просто думка стоїть небагато. Інтуїція дуже допомагає вченим, але відомо чимало випадків, коли це чудове почуття помилялося. Життєвий здоровий глузд може брехати, залишаючись при цьому і загальновизнаним, і здоровим. Літтлвуд, один із найкращих знавців комплексного аналізу, висловився цілком однозначно: у 1962 році він сказав, що впевнений у помилковості гіпотези Рімана, і додав, що немає жодних мислимих причин, через які вона була б вірна. Хто правий? Поживемо побачимо.

Ієн Стюарт
Emeritus Professor of Mathematics на University of Warwick, England

Математичні фізики заявили про поступ у роботі над 150-річною теоремою, за доказ якої Математичний інститут Клея пропонує нагороду в мільйон доларів. Вчені представили оператор, який задовольняє гіпотезі Гільберта-Пойя, що свідчить, що існує диференціальний оператор, чиї власні значення точно відповідають нетривіальним нулям дзета-функції Рімана. Стаття опублікована у журналі Physical Review Letters.

Гіпотеза Рімана - одне із «завдань тисячоліття», за доказ яких американський Математичний інститут Клея видає премії в мільйон доларів. Гіпотеза Пуанкаре (теорема Пуанкаре-Перельмана), яку довів наш співвітчизник, входила саме до цього списку. Гіпотеза Рімана, сформульована в 1859 році, свідчить, що всі нетривіальні нулі дзета-функції Рімана (тобто значення комплекснозначного аргументу, що обертають функцію в нуль) лежать на прямій ½ + it, тобто їхня речовинна частина дорівнює ½. Сама дзета-функція виникає у багатьох розділах математики, наприклад, теоретично чисел вона пов'язані з кількістю простих чисел, менших заданого.

Теорія функцій передбачає, що безліч нетривіальних нулів дзета-функції має бути схожим на безліч власних значень («рішень» для матричних рівнянь) деякої іншої функції класу диференціальних операторів, які часто використовуються у фізиці. Ідея існування конкретного оператора з такими властивостями отримала назву гіпотези Гільберта-Пойя, хоча ні той, ні інший не публікували робіт на цю тему. «Оскільки публікацій "авторів" на цю тему немає, то формулювання гіпотези змінюється в залежності від інтерпретації, - пояснює один із авторів статті Дорже Броді з лондонського Університету Брунеля. - Однак два пункти мають бути виконані: а) необхідно знайти оператор, чиї власні значення відповідають нетривіальним нулям дзета-функції, та б) визначити, що власні значення є дійсними числами. Основною метою нашої роботи був пункт а). Для доказу частини б) потрібна подальша робота».

Ще однією важливою гіпотезою в цій галузі є ідея Беррі та Кітинга, що у разі існування шуканого оператора, він теоретично відповідатиме певній квантовій системі з певними властивостями. «Ми визначили умови квантування гамільтоніана Беррі-Кітінга, таким чином доводячи гіпотезу їхнього імені, - додає Броді. - можливо, це розчарує, але отриманий гамільтоніан, здається, не відповідає жодній фізичній системі очевидним чином; принаймні ми не знайшли такої відповідності».

Найбільшу складність є доказом дійсності власних значень. Автори оптимістично налаштовані з цього приводу, у статті присутній аргумент, що підкріплює, заснований на PT-симетрії. Ця ідея з фізики частинок означає, що при заміні всіх напрямків чотиривимірного простору-часу на зворотні, система виглядатиме так само. Природа в загальному випадку не PT-симетрична, однак, отриманий оператор має цю властивість. Як показано в статті, якщо довести порушення цієї симетрії для уявної частини оператора, всі власні значення будуть речовими, таким чином завершуючи доказ гіпотези Рімана.