Матриця квадратичної форми може призвести до канонічного вигляду. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

220400 Алгебра та геометрія Толстиков А.В.

Лекції 16. Білінійні та квадратичні форми.

План

1. Білінійна форма та її властивості.

2. Квадратична форма. Матриця квадратичних форм. Перетворення координат.

3. Приведення квадратичної форми до канонічного виду. Метод Лагранжа.

4. Закон інерції квадратичних форм.

5. Приведення квадратичної форми до канонічного виду методом власних значень.

6. Критерій Сильверста позитивної визначеності квадратичної форми.

1. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М: Наука, 1984.

2. Бугр Я.С., Микільський С.М. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. 1997.

3. Воєводін В.В. Лінійна алгебра. М.: Наука 1980.

4. Збірник завдань для втузів. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу. За ред. Єфімова А.В., Демидовича Б.П.. М: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицька Н.Ч., Шишкін А.А. Лінійна алгебра у питаннях та завданнях. М.: Фізматліт, 2001.

, , , ,

1. Білінійна форма та її властивості.Нехай V - n-мірний векторний простір над полем P.

Визначення 1.Білінійною формою, визначеної на V,називається таке відображення g: V 2 ® P, яке кожній упорядкованій парі ( x , y ) векторів x , y з ставить у Vвідповідність число з поля P, що позначається g(x , y ), і лінійне за кожною зі змінних x , y , тобто. що володіє властивостями:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a Î P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a Î P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Приклад 1. Будь-який скалярний твір, визначений на векторному просторі Vє білінійною формою.

2 . Функція h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 , де x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)Î R 2 , білінійна форма на R 2 .

Визначення 2.Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Матрицею білінійної формиg(x , y ) щодо базисуvназивається матриця B=(b ij)n ´ n, елементи якої обчислюються за формулою b ij = g(v i, v j):

Приклад 3. Матриця білінійної форми h(x , y ) (див. приклад 2) щодо базису e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) дорівнює .

Теорема 1. НехайX, Y- координатні стовпці відповідно векторівx , yу базисіv, B – матриця білінійної формиg(x , y ) щодо базисуv. Тоді білінійну форму можна записати у вигляді

g(x , y )=X t BY. (1)

Доведення.За властивостями білінійної форми отримуємо

Приклад 3. Білій формі h(x , y ) (див. приклад 2) можна записати у вигляді h(x , y )=.

Теорема 2. Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - два базиси векторного просторуV, T-матриця переходу від базисуv до базисуu. Нехай B= (b ij)n ´ n і З=(з ij)n ´ n - матриці білінійної формиg(x , y ) відповідно щодо базисівv іu. Тоді

З=Tt BT.(2)

Доведення.За визначенням матриці переходу та матриці білінійної форми знаходимо:

Визначення 2.Білінійна форма g(x , y ) називається симетричною, якщо g(x , y ) = g(y , x ) для будь-яких x , y Î V.

Теорема 3. Білінійна формаg(x , y )- симетричною тоді й тільки тоді, коли матриця білінійної форми щодо будь-якого базису симетрична.

Доведення.Нехай v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - базис векторного простору V, B= (b ij)n ´ n- матриці білінійної форми g(x , y ) щодо базису v.Нехай білінійна форма g(x , y ) - симетрична. Тоді за визначенням 2 для будь-яких i, j = 1, 2,…, nмаємо b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Тоді матриця B- Симетрична.

Назад, нехай матриця B- Симетрична. Тоді B t= Bі для будь-яких векторів x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, згідно з формулою (1), отримуємо (враховуємо, що число - матриця порядку 1, і при транспонуванні не змінюється)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Квадратична форма. Матриця квадратичних форм. Перетворення координат.

Визначення 1.Квадратичною формоювизначеною на V,називається відображення f: V ® P, яке для будь-якого векторів x з Vвизначається рівністю f(x ) = g(x , x ), де g(x , y ) - симетрична білінійна форма, визначена на V .

Властивість 1.За заданою квадратичною формоюf(x )білінійна форма знаходиться однозначно за формулою

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Доведення.Для будь-яких векторів x , y Î Vотримуємо за властивостями білінійної форми

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

Звідси випливає формула (1).

Визначення 2.Матрицею квадратичної формиf(x ) щодо базисуv = (v 1 , v 2 ,…, v n) називається матриця відповідної симетричної білінійної форми g(x , y ) щодо базису v.

Теорема 1. НехайX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- координатний стовпець вектораx у базисіv, B – матриця квадратичної формиf(x ) щодо базисуv. Тоді квадратичну формуf(x )

Визначення 10.4.Канонічним виглядомКвадратичної форми (10.1) називається наступний вид: . (10.4)

Покажемо, що у базисі зі своїх векторів квадратична форма (10.1) набуде канонічного вигляду. Нехай

- нормовані власні вектори, що відповідають власним числам λ 1 ,λ 2 ,λ 3матриці (10.3) в ортонормованому базисі. Тоді матрицею переходу від старого базису до нового буде матриця

. У новому базисі матриця Анабуде діагонального вигляду (9.7) (за якістю власних векторів). Таким чином, перетворивши координати за формулами:

отримаємо в новому базисі канонічний вид квадратичної форми з коефіцієнтами, рівними власним числам λ 1 , λ 2 , λ 3:

Зауваження 1. З геометричної точки зору розглянуте перетворення координат є поворотом координатної системи, що поєднує старі осі координат з новими.

Зауваження 2. Якщо якісь власні числа матриці (10.3) збігаються, до відповідних їм ортонормованих власних векторів можна додати одиничний вектор, ортогональний кожному з них, і побудувати таким чином базис, в якому квадратична форма набуде канонічного вигляду.

Наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Її матриця має вигляд У прикладі, розглянутому в лекції 9, знайдено власні числа та ортонормовані власні вектори цієї матриці:

Складемо матрицю переходу до базису цих векторів:

(Порядок векторів змінено, щоб вони утворили праву трійку). Перетворимо координати за формулами:

Отже, квадратична форма наведена до канонічного виду з коефіцієнтами, рівними власним числам матриці квадратичної форми.

лекція 11.

Криві другого порядку. Еліпс, гіпербола та парабола, їх властивості та канонічні рівняння. Приведення рівняння другого ладу до канонічного вигляду.

Визначення 11.1.Кривими другого порядкуна площині називаються лінії перетину кругового конуса з площинами, що не проходять через вершину.

Якщо така площина перетинає всі утворюють одну порожнину конуса, то в перерізі виходить еліпс, при перетині утворюють обох порожнин – гіпербола, а якщо січна площина паралельна до будь-якої твірної, то перетином конуса є парабола.

Зауваження. Усі криві другого порядку задаються рівняннями другого ступеня двох змінних.

Еліпс.

Визначення 11.2.Еліпсомназивається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 та F фокусами, Є величина постійна.

Зауваження. При збігу точок F 1 та F 2 еліпс перетворюється на коло.

Виведемо рівняння еліпса, вибравши декартову систему

у М(х,у)координат так, щоб вісь Охзбіглася з прямою F 1 F 2 , початок

r 1 r 2 координат – із серединою відрізка F 1 F 2 . Нехай довжина цього

відрізка дорівнює 2 зтоді в обраній системі координат

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c 0). Нехай крапка М(х, у) лежить на еліпсі, і

сума відстаней від неї до F 1 та F 2 дорівнює 2 а.

Тоді r 1 + r 2 = 2a, але ,

тому Ввівши позначення b² = a²- c² і провівши нескладні алгебраїчні перетворення, отримаємо канонічне рівняння еліпса: (11.1)

Визначення 11.3.Ексцентриситетомеліпса називається величина е=з/а (11.2)

Визначення 11.4.Директрисою D iеліпса, що відповідає фокусу F i F iщодо осі Оуперпендикулярно до осі Охна відстані а/євід початку координат.

Зауваження. За іншого вибору системи координат еліпс може задаватися не канонічним рівнянням (11.1), а рівнянням другого ступеня іншого виду.

Властивості еліпса:

1) Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії (головні осі еліпса) та центр симетрії (центр еліпса). Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його головними осями є осі координат, а центром – початок координат. Оскільки довжини відрізків, утворених перетином еліпса з головними осями, дорівнюють 2 аі 2 b (2a>2b), то головна вісь, що проходить через фокуси, називається великою віссю еліпса, а друга головна вісь – малою віссю.

2) Весь еліпс міститься всередині прямокутника

3) Ексцентриситет еліпса e< 1.

Справді,

4) Директриси еліпса розташовані поза еліпсом (оскільки відстань від центру еліпса до директриси дорівнює а/є, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь еліпс лежить у прямокутнику )

5) Відношення відстані r iвід точки еліпса до фокусу F iна відстань d iвід цієї точки до директриси, що відповідає фокусу, дорівнює ексцентриситету еліпса.

Доведення.

Відстань від точки М(х, у)до фокусів еліпса можна так:

Складемо рівняння директрис:

(D 1), (D 2). Тоді Звідси r i / d i = e, що і потрібно було довести.

Гіперболу.

Визначення 11.5.Гіперболоюназивається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок F 1 та F 2 цієї площини, званих фокусами, Є величина постійна.

Виведемо канонічне рівняння гіперболи за аналогією з висновком рівняння еліпса, користуючись тими самими позначеннями.

|r 1 - r 2 | = 2a, звідки Якщо позначити b² = c² - a², звідси можна отримати

- канонічне рівняння гіперболи. (11.3)

Визначення 11.6.Ексцентриситетомгіперболи називається величина е = с/а.

Визначення 11.7.Директрисою D iгіперболи, що відповідає фокусу F i, називається пряма, розташована в одній напівплощині з F iщодо осі Оуперпендикулярно до осі Охна відстані а/євід початку координат.

Властивості гіперболи:

1) Гіпербол має дві осі симетрії (головні осі гіперболи) і центр симетрії (центр гіперболи). При цьому одна з цих осей перетинається з гіперболою у двох точках, які називають вершинами гіперболи. Вона називається справжньою віссю гіперболи (вісь Охдля канонічного вибору координатної системи. Інша вісь не має спільних точок з гіперболою і називається її уявною віссю (у канонічних координатах – вісь Оу). По обидва боки від неї розташовані права та ліва гілки гіперболи. Фокуси гіперболи розташовуються на її дійсній осі.

2) Гілки гіперболи мають дві асимптоти, що визначаються рівняннями

3) Поряд з гіперболою (11.3) можна розглянути так звану сполучену гіперболу, що визначається канонічним рівнянням

для якої змінюються місцями дійсна і уявна вісь із збереженням тих самих асимптот.

4) Ексцентриситет гіперболи e> 1.

5) Відношення відстані r iвід точки гіперболи до фокусу F iна відстань d iвід цієї точки до директриси, що відповідає фокусу, дорівнює ексцентриситету гіперболи.

Доказ можна провести так само, як і для еліпса.

Парабола.

Визначення 11.8.Параболоюназивається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки Fцій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої. Крапка Fназивається фокусомпараболи, а пряма – її директрисою.

Для виведення рівняння параболи виберемо декартову

систему координат так, щоб її початком була середина

D M(x,y) перпендикуляра FD, опущеного з фокусу на директри-

r су, а координатні осі розташовувалися паралельно і

перпендикулярно до директриси. Нехай довжина відрізка FD

D O F x дорівнює р. Тоді з рівності r = dвипливає, що

оскільки

Алгебраїчними перетвореннями це рівняння можна привести до вигляду: y² = 2 px, (11.4)

званому канонічним рівнянням параболи. Величина рназивається параметромпараболи.

Властивості параболи:

1) Парабола має вісь симетрії (вісь параболи). Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, її віссю є вісь Ох,а вершиною – початок координат.

2) Вся парабола розташована у правій напівплощині площині Оху.

Зауваження. Використовуючи властивості директоріс еліпса та гіперболи та визначення параболи, можна довести таке твердження:

Безліч точок площини, для яких відношення евідстані до деякої фіксованої точки до відстані до деякої прямої є величина постійна, є еліпс (при e<1), гиперболу (при e>1) або параболу (при е=1).

Подібна інформація.

Дана квадратична форма (2) A(x, x) = , де x = (x 1 , x 2 , …, x n). Розглянемо квадратичну форму у просторі R 3 , тобто x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(використовували умову симетричності форми, а саме а 12 = а 21 , а 13 = а 31 , а 23 = а 32). Випишемо матрицю квадратичної форми Aу базисі ( e}, A(e) =
. При зміні базису матриця квадратичної форми змінюється за формулою A(f) = C t A(e)C, де C- матриця переходу від базису ( e) до базису ( f), а C t– транспонована матриця C.

Визначення11.12. Вид квадратичної форми з діагональною матрицею називається канонічним.

Отже, нехай A(f) =
тоді A"(x, x) =
+
+
, де x" 1 , x" 2 , x 3 – координати вектора xу новому базисі ( f}.

Визначення11.13. Нехай у n Vобраний такий базис f = {f 1 , f 2 , …, f n), у якому квадратична форма має вигляд

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

де y 1 , y 2 , …, y n– координати вектора xу базисі ( f). Вираз (3) називається канонічним виглядомквадратичні форми. Коефіцієнти  1 , λ 2 , …, λ nназиваються канонічними; базис, у якому квадратична форма має канонічний вигляд, називається канонічним базисом.

Зауваження. Якщо квадратична форма A(x, x) наведено до канонічного вигляду, то, взагалі кажучи, не всі коефіцієнти  iвідмінні від нуля. Ранг квадратичної форми дорівнює рангу її матриці у будь-якому базисі.

Нехай ранг квадратичної форми A(x, x) дорівнює r, де r ≤ n. Матриця квадратичної форми у канонічному вигляді має діагональний вигляд. A(f) =
оскільки її ранг дорівнює r, то серед коефіцієнтів  iповинно бути r, Не рівних нулю. Звідси випливає, що кількість відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів дорівнює рангу квадратичної форми.

Зауваження. Лінійним перетворенням координат називається перехід від змінних x 1 , x 2 , …, x nдо змінних y 1 , y 2 , …, y n, коли старі змінні виражаються через нові змінні з деякими числовими коефіцієнтами.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Оскільки кожному перетворення базису відповідає невироджене лінійне перетворення координат, питання приведення квадратичної форми до канонічного виду можна вирішувати шляхом вибору відповідного невиродженого перетворення координат.

Теорема 11.2 (Основна теорема про квадратичні форми).Будь-яка квадратична форма A(x, x), задана в n-мірного векторного простору V, за допомогою невиродженого лінійного перетворення координат може бути приведена до канонічного вигляду.

Доведення. (Метод Лагранжа) Ідея цього методу полягає у послідовному доповненні квадратного тричлена за кожною змінною до повного квадрата. Вважатимемо, що A(x, x) ≠ 0 та в базисі e = {e 1 , e 2 , …, e n) має вигляд (2):

A(x, x) =
.

Якщо A(x, x) = 0, то ( a ij) = 0, тобто форма вже канонічна. Формулу A(x, x) можна перетворити так, щоб коефіцієнт a 11 ≠ 0. Якщо a 11 = 0, то коефіцієнт при квадраті іншої змінної відмінний від нуля, тоді за допомогою перенумерації змінних можна досягти, щоб a 11 ≠ 0. Перенумерація змінних є невиродженим лінійним перетворенням. Якщо всі коефіцієнти при квадратах змінних дорівнюють нулю, то необхідні перетворення виходять в такий спосіб. Нехай, наприклад, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, тому хоча б один коефіцієнт a ij≠ 0). Розглянемо перетворення

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, при i = 3, 4, …, n.

Це невироджене перетворення, оскільки визначник його матриці відмінний від нуля
= = 2 ≠ 0.

Тоді 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, тобто у формі A(x, x) з'являться квадрати відразу двох змінних.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Перетворимо виділену суму до виду:

A(x, x) = a 11
, (5)

при цьому коефіцієнти a ijзмінюються на . Розглянемо невироджене перетворення

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Тоді отримаємо

A(x, x) =
. (6).

Якщо квадратична форма
= 0, то питання про приведення A(x, x) до канонічного виду вирішено.

Якщо ця форма не дорівнює нулю, то повторюємо міркування, розглядаючи перетворення координат y 2 , …, y nі не змінюючи при цьому координату y 1 . Очевидно, що ці перетворення будуть невиродженими. За кінцеве число кроків квадратична форма A(x, x) буде наведено до канонічного виду (3).

Зауваження 1. Потрібне перетворення вихідних координат x 1 , x 2 , …, x nможна отримати шляхом перемноження знайдених у процесі міркувань невироджених перетворень: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], тоді [ x] = AB[z] = ABC[t], тобто [ x] = M[t], де M = ABC.

Зауваження 2. Нехай A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, де  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, причому  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Розглянемо невироджене перетворення

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. В результаті A(x, x) набуде вигляду: A(x, x) = + + … + – – … – , який називається нормальним видом квадратичної форми.

приклад11.1. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Рішення. Оскільки a 11 = 0, використовуємо перетворення

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Це перетворення має матрицю A =
, тобто [ x] = A[y] отримаємо A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Оскільки коефіцієнт при не дорівнює нулю, можна виділити квадрат одного невідомого, хай це буде y 1 . Виділимо всі члени, які містять y 1 .

A(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Виконаємо перетворення, матриця якого дорівнює B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Отримаємо A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Виділимо члени, які містять z 2 . Маємо A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.