Метод крамера опис методу. Лінійні рівняння

Метод Крамер.

Метод Крамера застосовується для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри ( СЛАУ).

Формули з прикладу системи із двох рівнянь із двома змінними.
Дано:Вирішити методом Крамера систему

Щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи Обчислення визначників. :

Застосуємо формули Крамера та знайдемо значення змінних:
і .
Приклад 1:
Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:


Замінимо в цьому визначнику перший стовпець стовпцем коефіцієнтів з правої частини системи та знайдемо його значення:

Зробимо аналогічну дію, замінивши в першому визначнику другий стовпець:

Застосуємо формули Крамераі знайдемо значення змінних:
та .
Відповідь:
Примітка:Цим методом можна вирішувати системи та більшої розмірності.

Примітка:Якщо виходить, що , а ділити на нуль не можна, то кажуть, що система не має єдиного рішення. У цьому випадку система має чи нескінченно багато рішень або не має рішень взагалі.

Приклад 2(Безкінечна кількість рішень):

Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Рішення систем шляхом підстановки.

Перше з рівнянь системи - рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних (бо 4 завжди одно 4). Отже, залишається лише одне рівняння. Це рівняння зв'язку між змінними.
Отримали рішенням системи є будь-які пари значень змінних, пов'язаних між собою рівністю .
Загальне рішення запишеться так:
Приватні рішення можна визначати вибираючи довільне значення і обчислюючи х за цією рівності зв'язку.

і т.д.
Таких рішень дуже багато.
Відповідь:загальне рішення
Приватні рішення:

Приклад 3(Рішень немає, система несумісна):

Розв'язати систему рівнянь:

Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Застосовувати формули Крамера не можна. Вирішимо цю систему методом підстановки

Друге рівняння системи - рівність, неправильне ні при яких значеннях змінних (звичайно ж, оскільки -15 не дорівнює 2). Якщо одне з рівнянь системи не вірно ні за яких змінних змін, то і вся системи не має рішень.
Відповідь:рішень немає

Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, скільки незалежних змінних, тобто. має вигляд

Такі системи лінійних рівнянь називають квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів при незалежних змінних системах (1.5), називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою літерою D. Таким чином,

. (1.6)

Якщо у головному визначнику довільний ( j-ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще nдопоміжних визначників:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Правило КрамераРозв'язання квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і єдине рішення, яке можна знайти за формулами:

(1.8)

приклад 1.5.Методом Крамера вирішити систему рівнянь

.

Обчислимо головний визначник системи:

Оскільки D¹0, то система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):

Таким чином,

Дії над матрицями

1. Множення матриці на число.Операція множення матриці на число визначається в такий спосіб.

2. Щоб помножити матрицю на число, потрібно всі її елементи помножити цього числа. Тобто

. (1.9)

приклад 1.6. .

Додавання матриць.

Ця операція вводиться лише матриць однієї й тієї ж порядку.

Для того, щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншої матриці:

(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності та комутативності.

приклад 1.7. .

Розмноження матриць.

Якщо кількість стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці Удля таких матриць вводиться операція множення:

2

Таким чином, при множенні матриці Арозмірності m´ nна матрицю Урозмірності n´ kми отримуємо матрицю Зрозмірності m´ k. При цьому елементи матриці Зобчислюються за такими формулами:

Завдання 1.8.Знайти, якщо це можливо, добуток матриць ABі BA:

Рішення. 1) Для того, щоб знайти твір ABнеобхідно рядки матриці Aпомножити на стовпці матриці B:

2) Твір BAне існує, тому що кількість стовпців матриці Bне збігається з кількістю рядків матриці A.

Зворотна матриця. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом

Матриця A - 1 називається зворотною до квадратної матриці А, якщо виконано рівність:

де через Iпозначається одинична матриця того ж порядку, що і матриця А:

.

Для того, щоб квадратна матриця мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля. Зворотну матрицю знаходять за такою формулою:

, (1.13)

де A ij- Додатки алгебри до елементів a ijматриці А(зауважимо, що додатки алгебри до рядків матриці Арозташовуються у зворотній матриці у вигляді відповідних стовпців).

приклад 1.9.Знайти зворотну матрицю A - 1 до матриці

.

Зворотну матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n= 3 має вигляд:

.

Знайдемо det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Оскільки визначник вихідної матриці відмінний від нуля, зворотна матриця існує.

1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij:

Для зручності знаходження зворотної матриці, додатки алгебри до рядків вихідної матриці ми розташували у відповідні стовпці.

З отриманих додатків алгебри складемо нову матрицю і розділимо її на визначник det A. Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:

Квадратні системи лінійних рівнянь із відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою зворотної матриці. Для цього систему (1.5) записують у матричному вигляді:

де

Помножуючи обидві частини рівності (1.14) зліва на A - 1, ми отримаємо рішення системи:

, звідки

Таким чином, для того, щоб знайти рішення квадратної системи, потрібно знайти зворотну матрицю до основної матриці системи і помножити її праворуч на матрицю-стовпець вільних членів.

Завдання 1.10.Розв'язати систему лінійних рівнянь

за допомогою зворотної матриці.

Рішення.Запишемо систему в матричному вигляді: ,

де - основна матриця системи, - стовпець невідомих та - стовпець вільних членів. Оскільки головний визначник системи , то основна матриця системи Амає зворотну матрицю А-1. Для знаходження зворотної матриці А-1 , обчислимо додатки алгебри до всіх елементів матриці А:

З отриманих чисел складемо матрицю (причому додатки алгебри до рядків матриці Азапишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:

Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):

Таким чином,

Рішення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків

Нехай дана довільна (не обов'язково квадратна) система лінійних рівнянь:

(1.16)

Потрібно визначити рішення системи, тобто. такий набір змінних , який задовольняє всі рівні системи (1.16). У випадку система (1.16) може мати лише одне рішення, а й безліч рішень. Вона може взагалі взагалі не мати рішень.

При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий зі шкільного курсу метод виключення невідомих, який називається методом звичайних жорданових винятків. Суть даного методу полягає в тому, що в одному із рівнянь системи (1.16) одна із змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється до інших рівнянь системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого висловлювалася змінна, запам'ятовується.

Цей процес повторюється до того часу, поки у системі залишиться одне останнє рівняння. У процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися на вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння із системи виключаються, тому що вони виконуються за будь-яких значень змінних і, отже, не впливають на рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яка не може виконуватися за жодних значень змінних (наприклад ), то робимо висновок, що система не має рішення.

Якщо в ході вирішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з змінних, що залишилися в ньому. Якщо останньому рівнянні залишилася лише одна змінна, вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще інші змінні, то вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий «зворотний хід». Знайдену змінну підставляють останнє запам'ятоване рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють передостаннє запам'ятоване рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запам'ятаного рівняння.

В результаті ми отримуємо рішення системи. Це рішення буде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші залежатимуть від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожному набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, що дозволяють знайти рішення системи в залежності від того чи іншого набору параметрів, називаються загальним рішенням системи.

приклад 1.11.

x

Після запам'ятовування першого рівняння і приведення подібних членів у другому та третьому рівнянні ми приходимо до системи:

Висловимо yз другого рівняння і підставимо його до першого рівняння:

Запам'ятаємо друге рівняння, а з першого знайдемо z:

Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо yі z. Для цього спочатку підставимо останнє запам'ятоване рівняння, звідки знайдемо y:

.

Потім підставимо і перше запам'ятоване рівняння звідки знайдемо x:

Завдання 1.12.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.17)

Рішення.Виразимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння

У цій системі перше і друге рівняння суперечать одне одному. Дійсно, висловлюючи y , Отримаємо, що 14 = 17. Дана рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x, y, і z. Отже, система (1.17) несумісна, тобто. немає рішення.

Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.

Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) лише одним вільним членом.

Завдання 1.13.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.18)

Рішення.Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени у другому та третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:

Висловлюючи yз першого рівняння та підставляючи його на друге рівняння , ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке впливає рішення системи, і, отже, його з системи виключити.

В останній запам'ятованій рівності змінну zвважатимемо параметром. Вважаємо. Тоді

Підставимо yі zу першу запам'ятану рівність і знайдемо x:

.

Таким чином, система (1.18) має безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t:

(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) тощо. буд. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).

У тому випадку, коли вихідна система (1.16) має досить велику кількість рівнянь та невідомих, вказаний метод звичайних жерданових винятків є громіздким. Однак, це не так. Достатньо вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці у загальному вигляді та оформити розв'язання задачі у вигляді спеціальних жерданових таблиць.

Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):

, (1.20)
де x j- незалежні (шукані) змінні, a ij- Постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m) можуть бути як змінними (залежними), і константами. Потрібно знайти рішень цієї системи шляхом виключення невідомих.

Розглянемо таку операцію, звану надалі «одним кроком звичайних жорданових винятків». З довільного ( r-го) рівності висловимо довільну змінну ( x s) і підставимо у всі інші рівності. Зрозуміло, це можливо лише в тому випадку, коли a rs¹ 0. Коефіцієнт a rsназивається роздільним (іноді напрямним або головним) елементом.

Ми отримаємо таку систему:

. (1.21)

З s-ї рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s(після того, як буде знайдено решту змінних). S-я рядок запам'ятовується і надалі із системи виключається. Система, що залишилася, міститиме на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.

Обчислимо коефіцієнти одержаної системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r-го рівняння, яке після вираження змінної x sчерез інші змінні виглядатиме так:

Таким чином, нові коефіцієнти r-го рівняння обчислюються за такими формулами:

(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij(i¹ r) Довільного рівняння. Для цього підставимо виражену (1.22) змінну x sв i-е рівняння системи (1.20):

Після приведення подібних членів отримаємо:

(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (крім r-го рівняння):

(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків оформляється як таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «жерданових».

Так, завданню (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.1

Жорданова таблиця 1.1 містить лівий заголовний стовпець, який записують праві частини системи (1.20) і верхній заголовний рядок, в який записують незалежні змінні.

Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю Ана матрицю , що складається з елементів верхнього великого рядка, то вийде матриця , що складається з елементів лівого великого стовпця. Тобто, сутнісно, ​​жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь: . Системі (1.21) у своїй відповідає наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.2

Роздільний елемент a rs ми виділятимемо жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку жерданових винятків дозвільний елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить роздільний елемент, називають рядком. Стовпець, що містить роздільний елемент, називають роздільним стовпцем. При переході від цієї таблиці до наступної таблиці одна змінна ( x s) з вірніше заголовного рядка таблиці переміщається в лівий заголовний стовпець і, навпаки, один із вільних членів системи ( y r) з лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхній заголовний рядок.

Опишемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів під час переходу від жерданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що з формул (1.23) і (1.25).

1. Роздільний елемент замінюється зворотним числом:

2. Інші елементи роздільної здатності поділяються на роздільну здатність і змінюють знак на протилежний:

3. Інші елементи роздільного стовпця поділяються на роздільну здатність:

4. Елементи, які не потрапили в роздільну здатність і роздільний стовпець, перераховуються за формулами:

Остання формула легко запам'ятовується, якщо помітити, що елементи, що становлять дріб , знаходяться на перетині i-ой і r-ий рядків та j-го та s-го стовпців (дозвільного рядка, що дозволяє стовпця і того рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться елемент, що перераховується). Точніше, при запам'ятовуванні формули можна використовувати наступну діаграму:

Здійснюючи перший крок жорданових винятків, в якості роздільної здатності можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований у стовпцях x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не дорівнюють нулю). Не слід лише вибирати роздільну здатність елемент в останньому стовпці, т.к. потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5 . Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінній x 3 у третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяючий елемент показаний жирним шрифтом). Під час переходу до таблиці 1.4 змінна x 3 з верхнього заголовного рядка змінюється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.

Рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам'ятавши, виключити з таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхньому заголовному рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому доданки кожного рівняння 0· b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти не обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам'ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленим рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 як роздільний елемент b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам'ятовуємо перший рядок та виключаємо його з таблиці разом із четвертим стовпцем (з нулем нагорі).

Таблиця 1.5 Таблиця 1.6

З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Послідовно підставляючи вже знайдені змінні до запам'ятаних рядків, знаходимо інші змінні:

Таким чином, система має безліч рішень. Змінною x 5 можна надавати довільні значення. Ця змінна виступає у ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи та знайшли її спільне рішення:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Надаючи параметру tРізні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (-3; - 1; - 2; 4; 0).

Методи Крамераі Гауса– одні з найпопулярніших методів вирішення СЛАУ. До того ж, часом доцільно використовувати саме конкретні методи. Сесія близька, і зараз час повторити або освоїти їх з нуля. Сьогодні розуміємо на рішення методом Крамера. Адже рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера – дуже корисна навичка.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Система лінійних рівнянь алгебри – система рівнянь виду:

Набір значень x , при якому рівняння системи звертаються до тотожності, називається рішенням системи, a і b - Речові коефіцієнти. Просту систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими, можна вирішити в умі або висловивши одну змінну через іншу. Але змінних (іксів) у СЛАУ може бути набагато більше двох, і тут простими шкільними маніпуляціями не обійтися. Що ж робити? Наприклад, вирішувати СЛАУ методом Крамера!

Отже, нехай система складається з n рівнянь з n невідомими.

Таку систему можна переписати у матричному вигляді

Тут A - основна матриця системи, X і B відповідно, матриці-стовпці невідомих змінних та вільних членів.

Рішення СЛАУ методом Крамера

Якщо визначник головної матриці не дорівнює нулю (матриця невироджена), систему можна вирішувати методом Крамера.

Згідно з методом Крамера, рішення знаходиться за формулами:

Тут дельта - Визначник головної матриці, а дельта x n-не - визначник, отриманий з визначника головної матриці шляхом заміною n-ного стовпця на стовпець вільних членів.

У цьому полягає вся суть методу Крамера. Підставляючи знайдені за наведеними вище формулами значення x у шукану систему, переконуємось у правильності (або навпаки) нашого рішення. Щоб Ви швидше вловили суть, наведемо нижче приклад докладного рішення СЛАУ методом Крамера:

Навіть якщо у Вас не вийде з першого разу, не засмучуйтесь! Небагато практики, і Ви почнете клацати СЛАУ як горішки. Більше того, зараз зовсім необов'язково корпіти над зошитом, вирішуючи громіздкі викладки та списуючи стрижень. Можна легко вирішити СЛАУ методом Крамера в режимі онлайн лише підставивши в готову форму коефіцієнти. Випробувати онлайн калькулятор рішення методом Крамера можна, наприклад, на цьому сайті.

А якщо система виявилася наполегливою і не здається, Ви завжди можете звернутися за допомогою до наших авторів, наприклад, щоб . Будь в системі хоч 100 невідомих, ми обов'язково вирішимо її правильно і точно вчасно!

Метод Крамера або так зване правило Крамера – це спосіб пошуку невідомих величин із систем рівнянь. Його можна використовувати тільки якщо число значень еквівалентно кількості алгебраїчних рівнянь в системі, тобто утворена з системи основна матриця повинна бути квадратною і не містити нульових рядків, а також якщо її детермінант не повинен бути нульовим.

Теорема 1

Теорема КрамераЯкщо головний визначник $ D $ основний матриці, складеної основі коефіцієнтів рівнянь, не дорівнює нулю, то система рівнянь спільна, причому рішення в неї існує єдине. Вирішення такої системи обчислюється через так звані формули Крамера для вирішення систем лінійних рівнянь: $x_i = \frac(D_i)(D)$

У чому полягає метод Крамера

Суть методу Крамера наступного:

1. Щоб знайти рішення системи методом Крамера, насамперед обчислюємо головний визначник матриці $D$. Коли обчислений детермінант основний матриці при підрахунку методом Крамера дорівнював нулю, то система не має жодного рішення або має нескінченну кількість рішень. У цьому випадку для знаходження загальної або будь-якої базової відповіді для системи рекомендується застосувати метод Гаусса.
2. Потім потрібно замінити крайній стовпець головної матриці на стовпець вільних членів та вирахувати визначник $D_1$.
3. Повторити те саме для всіх стовпців, отримавши визначники від $D_1$ до $D_n$, де $n$ - номер крайнього праворуч стовпця.
4. Після того, як знайдено всі детермінанти $D_1$...$D_n$, можна вирахувати невідомі змінні за формулою $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Прийоми для обчислення визначника матриці

Для обчислення визначника матриці з розмірністю більше ніж 2 на 2 можна використовувати кілька способів:

• Правило трикутників, або правило Саррюса, що нагадує це правило. Суть методу трикутників у цьому, що з обчисленні визначника добутку всіх чисел, з'єднаних малюнку червоною лінією праворуч, записуються зі знаком плюс, проте цифри, з'єднані аналогічним чином малюнку ліворуч – зі знаком мінус. B те й інше правило підходить для матриць розміром 3 х 3. У разі правила Саррюса спочатку переписується сама матриця, а поруч із нею поруч переписуються ще раз її перший і другий стовпець. Через матрицю та ці додаткові стовпці проводяться діагоналі, члени матриці, що лежать на головній діагоналі або на паралельній їй записуються зі знаком плюс, а елементи, що лежать на побічній діагоналі або паралельно їй зі знаком мінус.

Рисунок 1. Правило трикутників для обчислення визначника методу Крамера

• За допомогою методу, відомого як метод Гауса, також іноді цей метод називають зниженням порядку визначника. В цьому випадку матриця перетворюється і приводиться до трикутного вигляду, а потім перемножуються всі числа, що стоять на головній діагоналі. Слід пам'ятати, що при такому пошуку визначника не можна домножувати чи ділити рядки чи стовпці на числа без винесення їх як множника чи дільника. У разі пошуку визначника можливо тільки віднімати і складати рядки і стовпи між собою, попередньо помноживши рядок, що віднімається, на ненульовий множник. Також при кожній перестановці рядків або стовпців матриці місцями слід пам'ятати необхідність зміни кінцевого знака у матриці.
• При вирішенні методом Крамера СЛАУ з 4 невідомими, найкраще застосовуватиме саме метод Гауса для пошуку та знаходження визначників або визначатиме детермінант через пошук мінорів.

Вирішення систем рівнянь методом Крамера

Застосуємо метод Крамера для системи з 2 рівнянь та двома шуканими величинами:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Відобразимо її у розширеній формі для зручності:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Знайдемо визначник основної матриці, який також називається головним визначником системи:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Якщо головний визначник не дорівнює нулю, то для вирішення слау методом Крамера необхідно вирахувати ще кілька визначників від двох матриць із заміненими стовпцями основної матриці на рядок вільних членів:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Тепер знайдемо невідомі $x_1$ і $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Приклад 1

Метод Крамера для вирішення СЛАУ з основною матрицею 3 порядку (3 x 3) та трьома шуканими.

Розв'яжіть систему рівнянь:

$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Порахуємо головний детермінант матриці, користуючись вищевикладеним під пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

А тепер три інші детермінанти:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 $

Знайдемо шукані величини:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = frac(D_1) (D) = frac(-60) (-64) = frac (15) (16)$

Метод Крамера застосовується для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), в яких число невідомих змінних дорівнює числу рівнянь і визначник основної матриці відмінний від нуля. У цій статті ми розберемо, як за методом Крамера знаходяться невідомі змінні та отримаємо формули. Після цього перейдемо до прикладів і докладно опишемо рішення систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Навігація на сторінці.

Метод Крамера – висновок формул.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь виду

Де x 1 x 2 … x n – невідомі змінні, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- Чисельні коефіцієнти, b 1 , b 2 ..., b n - вільні члени. Рішенням СЛАУ називається такий набір значень x 1 , x 2 , …, x n за яких усі рівняння системи перетворюються на тотожності.

У матричному вигляді ця система може бути записана як A ⋅ X = B де - основна матриця системи, її елементами є коефіцієнти за невідомих змінних, - матриця – стовпець вільних членів, а - матриця – стовпець невідомих змінних. Після знаходження невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n , матриця стає розв'язанням системи рівнянь і рівність A ⋅ X = B перетворюється на тотожність.

Вважатимемо, що матриця А – невироджена, тобто, її визначник відмінний від нуля. У цьому випадку система лінійних рівнянь алгебри має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера. (Методи розв'язання систем при розібрані в розділі розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри).

Метод Крамера ґрунтується на двох властивостях визначника матриці:

Отже, приступимо до знаходження невідомої змінної x1. Для цього помножимо обидві частини першого рівняння системи на А 1 1 , обидві частини другого рівняння - на А 2 1 і так далі, обидві частини n-го рівняння - на А n 1 (тобто, рівняння системи множимо на відповідні алгебраїчні доповнення першого стовпця матриці А):

Складемо всі ліві частини рівняння системи, згрупувавши доданки при невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n і прирівняємо цю суму до суми всіх правих частин рівнянь:

Якщо звернутися до озвучених раніше властивостей визначника, маємо

і попередня рівність набуде вигляду

звідки

Аналогічно знаходимо х 2 . Для цього множимо обидві частини рівнянь системи на додатки алгебри другого стовпця матриці А :

Складаємо всі рівняння системи, групуємо доданки за невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n і застосовуємо властивості визначника:

Звідки
.

Аналогічно знаходяться невідомі змінні, що залишилися.

Якщо позначити

То отримуємо формули для знаходження невідомих змінних за методом Крамера .

Зауваження.

Якщо система лінійних рівнянь алгебри однорідна, тобто , вона має лише очевидне рішення (при ). Дійсно, за нульових вільних членів усі визначники дорівнюватимуть нулю, оскільки будуть містити стовпець нульових елементів. Отже, формули дадуть.

Алгоритм розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Запишемо алгоритм вирішення систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Знайдіть рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд. Обчислимо її визначник за формулою :

Оскільки визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то СЛАУ має єдине рішення, і може бути знайдено методом Крамера. Запишемо визначники та . Замінюємо перший стовпець основної матриці системи на стовпець вільних членів і отримуємо визначник . Аналогічно замінюємо другий стовпець основної матриці на стовпець вільних членів і отримуємо .

Обчислюємо ці визначники:

Знаходимо невідомі змінні x 1 та x 2 за формулами :

Виконаємо перевірку. Підставимо отримані значення x 1 і x 2 у вихідну систему рівнянь:

Обидва рівняння системи перетворюються на тотожності, отже, рішення знайдено правильно.

Відповідь:

.

Деякі елементи основної матриці СЛАУ можуть дорівнювати нулю. В цьому випадку в рівняннях системи не будуть відповідні невідомі змінні. Розберемо приклад.

приклад.

Знайдіть розв'язок системи лінійних рівнянь методом Крамера .

Рішення.

Перепишемо систему у вигляді щоб стало видно основну матрицю системи . Знайдемо її визначник за формулою

Маємо

Визначник основної матриці відмінний від нуля, отже система лінійних рівнянь має єдине рішення. Знайдемо його методом Крамера. Обчислимо визначники :

Таким чином,

Відповідь:

Позначення невідомих змінних рівняннях системи можуть відрізнятися від x 1 , x 2 , …, x n . Це не впливає на процес розв'язання. А ось порядок проходження невідомих змінних у рівняннях системи дуже важливий при складанні основної матриці та необхідних визначників методу Крамера. Пояснимо цей момент на прикладі.

приклад.

Використовуючи метод Крамера, знайдіть рішення системи трьох лінійних рівнянь алгебри з трьома невідомими .

Рішення.

У цьому прикладі невідомі змінні мають інше позначення (x, y і z замість x 1, x 2 і x 3). Це не впливає на перебіг рішення, але будьте уважні з позначеннями змінних. Як основна матриця системи НЕ МОЖНА брати . Необхідно спочатку упорядкувати невідомі змінні у всіх рівняннях системи. Для цього перепишемо систему рівнянь як . Тепер основну матрицю системи добре видно . Обчислимо її визначник:

Визначник основної матриці відмінний від нуля, отже система рівнянь має єдине рішення. Знайдемо його методом Крамера. Запишемо визначники (Зверніть увагу на позначення) і обчислимо їх:

Залишилось знайти невідомі змінні за формулами :

Виконаємо перевірку. Для цього помножимо основну матрицю на отримане рішення (за потреби дивіться розділ ):

В результаті отримали стовпець вільних членів вихідної системи рівнянь, тому рішення знайдено правильно.

Відповідь:

x = 0, y = -2, z = 3.

приклад.

Розв'яжіть методом Крамера систему лінійних рівнянь , де a та b – деякі дійсні числа.

Рішення.

Відповідь:

приклад.

Знайдіть розв'язок системи рівнянь методом Крамера - деяке дійсне число.

Рішення.

Обчислимо визначник основний матриці системы: . вирази є інтервал, тому за будь-яких дійсних значеннях. Отже, система рівнянь має єдине рішення, яке можна знайти методом Крамера. Обчислюємо і: