Метод невизначених коефіцієнтів. Розкладання дробу на найпростіші

На цьому уроці будуть розглянуті різні способи розкладання знаменника на множники при додаванні та відніманні алгебраїчних дробів. Фактично ми згадаємо ті методи, які вже були вивчені раніше. Це винесення загального множника за дужки, і угруповання доданків, і застосування формул скороченого множення, а також виділення повного квадрата. Всі ці методи застосовуються при складанні та відніманні алгебраїчних дробів з різними знаменниками. У рамках уроку ми згадаємо всі вищезгадані правила, і навіть розберемо приклади застосування цих правил.

Нагадаємо, що алгебраїчним дробом називається вираз , де - багаточлени. А багаточлени можна і потрібно вміти розкладати на множники. Припустимо, нам необхідно скласти або відняти два алгебраїчні дроби: .

Яким є алгоритм наших дій?

1. Скоротити або спростити кожен із дробів.

2. Знайти найменший спільний знаменник двох дробів.

Ці дії вимагають розкладання на множники багаточленів.

Розглянемо кілька прикладів скорочення (спрощення) дробів.

приклад 1.Спростити: .

Рішення:

Перше, що необхідно спробувати зробити при скороченні - винести загальний множник за дужки.

У нашому випадку і в чисельнику, і в знаменнику є множники, які можна винести за дужки.

Потім скоротимо загальні множники чисельника та знаменника. Отримаємо:

У цьому врахуємо, що знаменник дробу неспроможна дорівнювати . Тобто: .

Відповідь:.

приклад 2.Спростити: .

Рішення:

За схемою рішення попереднього прикладу спробуємо винести за дужки загальний множник. У чисельнику це зробити не можна, а в знаменнику можна винести за дужку.

Якщо не виходить загальний множник, потрібно спробувати скористатися формулами скороченого множення. Справді, у чисельнику стоїть повний квадрат різниці. Отримуємо:

Ми бачимо схожі дужки в чисельнику та знаменнику.

Однак вони відзначаються знаком.

І тому скористаємося рівністю: . Звідси отримуємо: . Отримуємо:

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому необхідно спростити різницю двох дробів.

приклад 3.Спростити: .

Рішення:

Оскільки в знаменнику першого дробу стоїть різниця кубів, скористаємося формулою скороченої множення. Отримуємо:

Відповідь:.

Давайте згадаємо: що таке многочлен? - це сума одночленів. А одночлен – це добуток ступенів змінних та чисел.

Тепер перерахуємо та розберемо приклади розкладання багаточленів на множники.

Спосіб 1. Винесення загального множника за дужки.

приклад 4.Розкласти на множники: .

Приклад 5.Розкласти на множники: .

В останньому прикладі загальний множник – двочлен.

Спосіб 2. Угруповання.

Приклад 6.Розкласти на множники: .

Рішення:

Винести загальний множник за дужки у цьому прикладі не вдається. У цьому випадку необхідно спробувати згрупувати доданки, в яких є спільні множники.

У цьому прикладі зручно згрупувати одночлени, що містять і . Отримуємо: . Ми, що висловлювання у дужках практично однакові з точністю до знака. Отримуємо: .

Відповідь:.

Спосіб 3. Формули скороченого множення.

Перелічимо основні формули скороченого множення:

1. - Різниця квадратів;

2. - Квадрат суми (різниці);

3. - різницю кубів (вираз у другій дужці називається неповним квадратом суми);

Сума кубів (вираз у другій дужці називається неповним квадратом різниці).

Треба не тільки запам'ятати ці формули, а й уміти знаходити та застосовувати їх у реальних завданнях.

Приклад 7.Розкласти на множники: .

Приклад 8.Розкласти на множники: .

Рішення:

Тут напрошується формула квадрата різниці. Проте постає питання: як застосувати цю формулу. Найпростіше виділити квадрати, а потім уже знайти подвоєний твір. У цьому прикладі: . Тобто в ролі . Отримуємо: .

Відповідь:.

Не слід забувати, що у чистому вигляді дані методи застосовуються рідко. Найчастіше використовуються комбіновані методи.

Спосіб 4. Виділення повного квадрата.

Розглянемо застосування цього методу на конкретному прикладі.

Приклад 9.Розкласти на множники: .

Рішення:

Виділення повного квадрата зазвичай відбувається за першими двома доданками. Справді, квадрат першого – у нас уже є. Отже, другий доданок повинен бути подвоєний твір першого виразу на другий. Тобто: . Значить, якщо ролі з формули квадрата різниці виступає , то ролі має виступати . Для застосування цієї формули нам не вистачає. Якщо чогось не вистачає, то можна додати цей вислів і відняти, щоб не змінювати значення виразу. Отримуємо.

Для закріплення матеріалу буде розглянуто кілька прикладів та розглянуто теорію з розкладання дробів на найпростіші. Докладно розглянемо метод невизначених коефіцієнтів та метод приватних значень, вивчимо різноманітні комбінації.

Прості дроби мають назву елементарних дробів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Дроби розрізняють:

A x - a;
A (x - a) n;
M x + N x 2 + p x + q;
M x + N (x 2 + p x + q) n.

A, M, N, a, p, q з яких є числами, а дискримінант дробів 3 і 4 менший за нуль, тобто коренів не має вираз.

При спрощенні виразу швидше виконуються обчислювальні функції. Подання дробово-раціонального дробу як суми найпростіших дробів аналогічне. Для цього застосовують ряди Лорана для того, щоб розкласти в статечні ряди або для пошуку інтегралів.

Наприклад, якщо необхідно брати інтеграл від дробової раціональної функції виду ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . Після цього необхідно зробити розкладання підінтегральної функції на найпростіші дроби. Усе це до формування найпростіших інтегралів. Отримуємо, що

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C

Приклад 1

Зробити розкладання дробу виду - 2 x + 3 x 3 + x.

Рішення

Коли ступінь чисельника багаточлена менший від ступеня багаточлена в знаменнику, має місце розкладання на найпростіші дроби. Інакше застосовується поділ виділення цілої частини, після чого виробляють розкладання дробно-раціональної функції.

Застосуємо поділ кутом. Отримуємо, що

Звідси випливає, що дріб набуде вигляду

2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Значить, таке розкладання призведе до того, що результат дорівнюватиме - 2 x + 3 x 3 + x .

Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів

Для того, щоб правильно розкласти, необхідно дотримуватися кількох пунктів:

Зробити розкладання на множники. можна застосовувати винесення за дужки, формули скороченого множення, добір кореня. Наявний приклад x 3 + x = x x 2 + 1 для спрощення виносять за дужки.
Розкладання дробу на найпростіші дроби із невизначеними коефіцієнтами.

Розглянемо на кількох прикладах:

Приклад 2

Коли знаменнику є вираз виду (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) , кількість множників немає значення, дріб можна у вигляді дробу першого типу A x - a + B x - b + C x - c + D x - d, де a, b, c і d є числами, A, B, C і D - невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 3

Коли знаменник має вираз (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 кількість множників також не має значення, причому сам дріб необхідно привести до другого або першого типу виду:

A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c

де наявні a, b, c є числами, а A1, A2, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3 - невизначеними коефіцієнтами. Який ступінь багаточлена, така кількість доданків маємо.

Приклад 4

Коли знаменник має вигляд типу x 2 + p x + q x 2 + r x + s тоді кількість квадратичних функцій значення не має, а дріб набуває вигляду третього типу P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s де наявні p , q , r і s є числами, а P , Q , R і S - певними коефіцієнтами.

Приклад 5

Коли знаменник має вигляд x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 кількість множників значення не має також, як і їх ступеня, дріб подається у вигляді третього і четверного типів виду

P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

де наявні p , q , r і s є числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 - невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 6

Коли є знаменник виду (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 тоді дроб слід представити у вигляді четвертого типу

A x - a + B 3 x - b 3 + В 2 x - b 2 + В 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

Розглянемо з прикладу дробу. Коли дріб розкладається у суму третім типом виду 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 де A , B і C є невизначеними коефіцієнтами .

Приведення отриманої суми найпростіших дробів за наявності невизначеного коефіцієнта до спільного знаменника, застосовуємо метод групування при однакових ступенях х і отримуємо, що

2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)

Коли х відмінний від 0 тоді рішення зводиться до прирівнювання двох многочленів. Отримуємо 2 x – 3 = x 2 (A + B) + x C + A . Багаточлени вважаються рівними тоді, коли збігаються коефіцієнти за однакових ступенів.

Прирівнювання коефіцієнтів з однаковими ступенями х. Отримаємо, що система лінійних рівнянь за наявності певних коефіцієнтів:
A + B = 0 C = 2 A = - 3
Рішення отриманої системи за допомогою будь-якого способу знаходження невизначених коефіцієнтів: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
Проводимо запис відповіді:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1

Необхідно постійно виконувати перевірки. Це сприяє тому, що приведення до спільного знаменника набуде вигляду

2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x

Методом невизначених коефіцієнтів вважають метод розкладання дробу інші прості.

Використання методу приватних значень сприяє представленню лінійних множників таким чином:

x - a x - b x - c x - d.

Приклад 7

Зробити розкладання дробу 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x.

Рішення

За умовою маємо, що ступінь багаточлена чисельника менший від ступеня багаточлена знаменника, тоді розподіл виконувати не потрібно. Потрібно перейти до розкладання на множники. Для початку необхідно виконати винесення х за дужки. Отримаємо, що

x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)

Квадратний тричлен x 2 - 5 x + 6 має коріння, яке знаходимо не за дискримінантом, а за теоремою Вієта. Отримаємо:

x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2

Запис тричлена може бути у вигляді x 2 – 5 x + 6 = (x – 3) (x – 2) .

Тоді зміниться знаменник: x 2 – 5 x 2 + 6 x = x (x 2 – 5 x + 6) = x (x – 3) (x – 2)

Маючи такий знаменник, дріб розкладаємо на найпростіші дроби з невизначеними коефіцієнтами. Вираз набуде вигляду:

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2

Отриманий результат необхідно призводити до спільного знаменника. Тоді отримуємо:

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x – 3) (x – 2) + B x (x – 2) + C x (x – 3) x (x – 3) (x – 2)

Після спрощення прийдемо до нерівності виду

2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)

Тепер переходимо до знаходження невизначених коефіцієнтів. Потрібно підставляти отримані значення рівності у тому, щоб знаменник звернувся в нуль, тобто значення x = 0 , x = 2 і x = 3 .

Якщо х = 0 отримаємо:

2 · 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B · 0 · (0 - 2) + C · 0 · (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6

Якщо x = 2 тоді

2 · 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B · 2 · (2 - 2) + C · 2 · (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2

Якщо x = 3 тоді

2 · 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B · 3 · (3 - 2) + C · 3 · (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3

Відповідь: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x - 3 + 1 2 · 1 x - 2

Метод коефіцієнтів та метод приватних значень відрізняються лише способом знаходження невідомих. Ці методи можуть бути поєднані для швидкого спрощення виразу.

Приклад 8

Зробити розкладання виразу x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 на найпростіші дроби.

Рішення

За умовою маємо, що ступінь чисельника багаточлена менший за знаменник, отже забудова набуде вигляду

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3

Проводимо приведення до спільного знаменника. Маємо, що

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3

Прирівняємо чисельники та отримаємо, що

x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

З вище написаного відомо, що нулі знаменника – це x = 1 , x = - 1 і x = 3 . Тоді застосуємо метод приватних рішень. Для цього підставимо значення х. отримаємо, якщо х=1:

5 = - 16 A ⇒ A = 5 16

Якщо х = - 1

15 = 128 B ⇒ B = - 15 128

157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8

Звідси випливає, що необхідно знайти значення C 1 і C 3 .

Тому підставимо отриманий значення в чисельник, тоді

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

Розкриємо дужки для того, щоб навести подібні доданки з однаковими ступенями. Прийдемо до виразу виду

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128

Необхідно прирівняти відповідні коефіцієнти з однаковими ступенями, тоді зможемо знайти значення C 1 і C 3 . Тепер необхідно вирішити систему:

25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11

Перше рівняння дає можливість знайти C 1 = 103 128, а друге C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .

Підсумок рішення - це розкладання дробу на найпростіші види:

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3

Примітка

При безпосередньому застосуванні методу невизначених коефіцієнтів необхідно вирішувати всі п'ять лінійних рівнянь, об'єднаних у систему. Такий спосіб спрощує пошук значення змінних і подальше рішення в сукупності. Іноді застосовують кілька методів. Це необхідно для швидкого спрощення всього вираження та пошуку результату.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Що таке розкладання на множники?Це спосіб перетворення незручного та складного прикладу на простий і симпатичний.) Оч-ч-чень потужний прийом! Зустрічається щокроку й у елементарної математики, й у вищої.

Подібні перетворення математичною мовою називаються тотожними перетвореннями виразів. Хто не в темі – прогуляйтеся за посиланням. Там зовсім небагато, просто і корисно. Сенс будь-якого тотожного перетворення - це запис висловлювання в іншому виглядііз збереженням його суті.

Сенс розкладання на множникигранично простий і зрозумілий. Прямо із самої назви. Чи можна забути (або не знати), що таке множник, але те, що це слово походить від слова "помножити", зрозуміти можна?) Розкласти на множники означає: уявити вираз у вигляді множення чогось на щось. Нехай вибачать мені математика та російська мова...) І все.

Наприклад, треба розкласти число 12. Можна сміливо записати:

Ось ми і представили число 12 у вигляді множення 3 на 4. Прошу зауважити, що циферки праворуч (3 та 4) зовсім інші, ніж ліворуч (1 та 2). Але ми чудово розуміємо, що 12 та 3·4 одне і теж.Суть числа 12 від перетворення не змінилася.

А чи можна розкласти 12 по-іншому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Варіантів розкладання – нескінченна кількість.

Розкладання чисел на множники – штука корисна. Дуже допомагає, наприклад, при діях з корінням. Але розкладання на множники виразів алгебри річ не те, що корисна, вона - необхідна!Чисто для прикладу:

Спростити:

Хто не вмієте розкладати вираз на множники, відпочиває осторонь. Хто вміє – спрощує та отримує:

Ефект приголомшливий, правда?) До речі, рішення досить просте. Нижче самі побачите. Або, наприклад, таке завдання:

Вирішити рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Вирішується в умі, між іншим. За допомогою розкладання на множники. Нижче ми вирішимо цей приклад. Відповідь: x1=0; x 2 = 1.

Або, те саме, але для старших):

Вирішити рівняння:

На цих прикладах я показав основне призначеннярозкладання на множники: спрощення дробових виразів та розв'язання деяких типів рівнянь. Рекомендую запам'ятати практичне правило:

Якщо перед нами страшний дрібний вираз, можна спробувати розкласти на множники чисельник і знаменник. Дуже часто дріб скорочується та спрощується.

Якщо перед нами рівняння, де праворуч – нуль, а ліворуч – не зрозумій що, можна спробувати розкласти ліву частину на множники. Іноді допомагає).

Основні методи розкладання на множники.

Ось вони, найпопулярніші способи:

4. Розкладання квадратного тричлена.

Ці методи треба запам'ятати. Саме у такому порядку. Складні приклади перевіряються на всі можливі способи розкладання.І краще вже перевіряти по порядку, щоб не заплутатися... Ось по порядку і почнемо.)

1. Винесення загального множника за дужки.

Простий та надійний спосіб. Від нього погано не буває! Буває або добре, або ніяк.) Тому він і стоїть першим. Розбираємось.

Усі знають (я вірю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Або, у більш загальному вигляді:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+.

Всі рівність працюють як зліва направо, так і навпаки, праворуч наліво. Можна записати:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ось і вся суть винесення загального множника за дужки.

У лівій частині а - загальний множникдля всіх доданків. Множиться на все, що є). Справа це саме азнаходиться вже за дужками.

Практичне застосування способу розглянемо на прикладах. Спочатку варіант простий, навіть примітивний.) Але на цьому варіанті я відзначу (зеленим кольором) дуже важливі моменти для будь-якого розкладання на множники.

Розкласти на множники:

ах+9х

Який загальниймножник сидить в обох доданків? Ікс, зрозуміло! Його й виноситимемо за дужки. Робимо так. Відразу пишемо ікс за дужками:

ах+9х=х(

А у дужках пишемо результат поділу кожного доданкуна цей самий ікс. По порядку:

От і все. Звичайно, так докладно розписувати не потрібно, Це в умі робиться. Але розуміти, що до чого бажано). Фіксуємо у пам'яті:

Пишемо загальний множник за дужками. У дужках записуємо результати поділу всіх доданків на цей загальний множник. По порядку.

Ось ми і розклали вираз ах+9хна множники. Перетворили його на множення ікса на (А+9).Зауважу, що у вихідному виразі теж було множення, навіть два: ах і 9х.Але воно не було розкладено на множники!Тому що, крім множення, у цьому виразі було ще й додавання, знак "+"! А у виразі х(а+9) крім множення нічого немає!

Як так!? - чую обурений голос народу - А в дужках!?)

Так, усередині дужок є додавання. Але фішка в тому, що поки дужки не розкриті, ми розглядаємо їх як одну літеру.І всі дії з дужками робимо цілком, як із однією літерою.У цьому сенсі у виразі х(а+9)окрім множення нічого немає. У цьому суть розкладання на множники.

До речі, чи можна перевірити, чи все правильно ми зробили? Просто! Достатньо назад помножити те, що винесли (ікс) на дужки та подивитися – чи вийшло вихідневираз? Якщо вийшло, все тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Вийшло.)

У цьому примітивному прикладі проблем немає. Але якщо доданків кілька, та ще з різними знаками... Коротше, кожен третій учень косить). Тому:

При необхідності перевіряємо розкладання на множники зворотним множенням.

Розкласти на множники:

3ах+9х

Шукаємо спільний множник. Ну, з ікс все ясно, його можна винести. А чи є ще загальниймножник? Так! Це трійка. Можна ж записати вираз ось так:

3ах+3·3х

Тут відразу видно, що спільний множником буде 3х. Ось його й виносимо:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Розклали.

А що буде, якщо винести тільки х?Та нічого особливого:

3ах+9х=х(3а+9)

Це також буде розкладання на множники. Але в цьому цікавому процесі прийнято розкладати все до упору, поки є можливість. Тут у дужках є можливість винести трійку. Вийде:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

Те саме, тільки з однією зайвою дією.) Запам'ятовуємо:

При винесенні загального множника за дужки, намагаємося винести максимальнийзагальний множник.

Продовжуємо розвагу?)

Розкласти на множники вираз:

3ах+9х-8а-24

Що виноситимемо? Трійку, ікс? Не-е-е... Не можна. Нагадую, виносити можна лише загальниймножник, який є у всіхскладові вирази. На те він і загальний.Тут такого множника немає... Що, можна не розкладати! Ну так, зраділи, як же... Знайомтесь:

2. Угруповання.

Власне, угруповання важко назвати самостійним способом розкладання на множники. Це, скоріше, спосіб викрутитися в складному прикладі. Треба згрупувати доданки так, щоб все вийшло. Це лише з прикладу показати можна. Отже, перед нами вираз:

3ах+9х-8а-24

Видно, що якісь загальні літери та числа є. Але... Спільногомножника, щоб був у всіх доданків – ні. Не падаємо духом і розбиваємо вираз на шматочки.Групуємо. Так щоб у кожному шматочку був загальний множник, було чого винести. Як розбиваємо? Та просто ставимо дужки.

Нагадаю, що дужки можна ставити будь-де і як завгодно. Аби суть прикладу не змінювалася.Наприклад, можна так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24))

Прошу звернути увагу на другі дужки! Перед ними стоїть знак мінус, а 8аі 24 стали позитивними! Якщо, для перевірки, назад розкрити дужки, знаки зміняться, і ми отримаємо вихідневираз. Тобто. суть висловлювання від дужок не змінилася.

Але якщо ви просто встромили дужки, не враховуючи зміну знака, наприклад, ось так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х) -(8а-24 )

це буде помилкою. Праворуч – вже іншевираз. Розкрийте дужки та все стане видно. Далі можна не вирішувати, так...)

Але повертаємось до розкладання на множники. Дивимося на перші дужки (3ах+9х)і розуміємо, чи можна чого винести? Ну, цей приклад ми вище вирішували, чи можна винести 3х:

(3ах + 9х) = 3х (а + 3)

Вивчаємо другі дужки, там можна винести вісімку:

(8а+24)=8(а+3)

Весь наш вираз вийде:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Розклали на множники? Ні. В результаті розкладання має вийти тільки множення,а у нас знак мінус усе псує. Але... В обох доданків є спільний множник! Це (а+3). Я не дарма говорив, що дужки цілком - це, начебто, одна літера. Значить, ці дужки можна винести за дужки. Так, саме так і звучить.

Робимо, як було розказано вище. Пишемо спільний множник (а+3), у других дужках записуємо результати поділу доданків на (а+3):

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всі! Праворуч крім множення нічого немає! Значить, розкладання на множники завершено успішно!) Ось воно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторимо коротко суть угруповання.

Якщо у виразі немає спільногомножника для всіхдоданків, розбиваємо вираз дужками так, щоб усередині дужок загальний множник був.Виносимо його та дивимося, що вийшло. Якщо пощастило, і в дужках залишилися однакові вирази, виносимо ці дужки за дужки.

Додам, що угруповання – процес творчий). Не завжди з першого разу виходить. Нічого страшного. Іноді доводиться міняти доданки місцями, розглядати різні варіанти угруповання, доки знайдеться вдалий. Головне тут – не падати духом!)

приклади.

Зараз, збагатившись знаннями, можна й хитрі приклади вирішити.) Була на початку уроку трійка таких...

Спростити:

По суті цей приклад ми вже вирішили. Непомітно для себе.) Нагадую: якщо нам дано страшний дріб, пробуємо розкласти чисельник та знаменник на множники. Інших варіантів спрощення просто ні.

Ну, знаменник тут не розкладається, а чисельник... Чисельник ми вже розклали по ходу уроку! Ось так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишемо результат розкладання в чисельник дробу:

За правилом скорочення дробів (основна властивість дробу), ми можемо розділити (одночасно!) чисельник і знаменник на те саме число, або вираз. Дроби від цього не змінюється.Ось і ділимо чисельник і знаменник на вираз (3х-8). І там і там отримаємо одинаки. Остаточний результат спрощення:

Особливо підкреслю: скорочення дробу можливе тоді і лише тоді, коли в чисельнику та знаменнику крім множення виразів нічого немає.Саме тому перетворення суми (різниці) на множеннятак важливо задля спрощення. Звичайно, якщо вирази різні,то й не скоротиться нічого. Буве. Але розкладання на множники дає шанс.Цього шансу без розкладання просто немає.

Приклад із рівнянням:

Вирішити рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Виносимо спільний множник х 4за дужки. Отримуємо:

х 4 (x-1) = 0

Розуміємо, що добуток множників дорівнює нулю тоді і лише тоді,коли якийсь із них дорівнює нулю. Якщо сумніваєтеся, знайдіть мені пару ненульових чисел, які при множенні нуль дадуть.) Ось і пишемо, спочатку перший множник:

За такої рівності другий множник нас не хвилює. Будь-який може бути, все одно в результаті нуль вийде. А яке число четвертою мірою нуль дасть? Тільки нуль! І ніяке інше ... Отже:

Із першим множником розібралися, один корінь знайшли. Розбираємось з другим множником. Тепер нас не хвилює вже перший множник.):

Ось і знайшли рішення: x1=0; x 2 = 1. Будь-яке з цього коріння підходить до нашого рівняння.

Дуже важливе зауваження. Зверніть увагу, ми вирішували рівняння по шматочках!Кожен множник прирівнювали до нуля, не звертаючи уваги інші множники.До речі, якщо в подібному рівнянні буде не два множники, як у нас, а три, п'ять, скільки завгодно – вирішуватимемо так само.По шматочках. Наприклад:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Той, хто розкриє дужки, перемножить все, той назавжди зависне на цьому рівнянні. І почне (в умі!) прирівнювати до нуля всі дужки по порядку. І отримає (за 10 секунд!) вірне рішення: x1=1; x 2 = -5; x3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Таке елегантне рішення можливе, якщо ліва частина рівняння розкладено на множники.Натяк зрозумілий?)

Ну і, останній приклад, для старших):

Вирішити рівняння:

Чимось він схожий на попередній, не знаходите?) Звичайно. Саме час пригадати, що в алгебрі сьомого класу під літерами можуть ховатися і синуси, і логарифми, і все, що завгодно! Розкладання на множники працює у всій математиці.

Виносимо спільний множник lg 4xза дужки. Отримуємо:

lg 4 x=0

Це один корінь. Розбираємось з другим множником.

Ось і остаточна відповідь: x1=1; x 2 = 10.

Сподіваюся, ви усвідомили всю міць розкладання на множники у спрощенні дробів та розв'язанні рівнянь.)

У цьому уроці ми познайомилися з винесенням спільного множника та угрупуванням. Залишається розібратися з формулами скороченого множення та квадратним тричленом.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Яким є алгоритм наших дій?

1. Скоротити або спростити кожен із дробів.

2. Знайти найменший спільний знаменник двох дробів.

Ці дії вимагають розкладання на множники багаточленів.

Розглянемо кілька прикладів скорочення (спрощення) дробів.

приклад 1.Спростити: .

Рішення:

Перше, що необхідно спробувати зробити при скороченні - винести загальний множник за дужки.

У нашому випадку і в чисельнику, і в знаменнику є множники, які можна винести за дужки.

Потім скоротимо загальні множники чисельника та знаменника. Отримаємо:

У цьому врахуємо, що знаменник дробу неспроможна дорівнювати . Тобто: .

Відповідь:.

приклад 2.Спростити: .

Рішення:

Ми бачимо схожі дужки в чисельнику та знаменнику.

Однак вони відзначаються знаком.

І тому скористаємося рівністю: . Звідси отримуємо: . Отримуємо:

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому необхідно спростити різницю двох дробів.

приклад 3.Спростити: .

Рішення:

Відповідь:.

Давайте згадаємо: що таке многочлен? - це сума одночленів. А одночлен – це добуток ступенів змінних та чисел.

Тепер перерахуємо та розберемо приклади розкладання багаточленів на множники.

Спосіб 1. Винесення загального множника за дужки.

приклад 4.Розкласти на множники: .

Приклад 5.Розкласти на множники: .

В останньому прикладі загальний множник – двочлен.

Спосіб 2. Угруповання.

Приклад 6.Розкласти на множники: .

Рішення:

Відповідь:.

Спосіб 3. Формули скороченого множення.

Перелічимо основні формули скороченого множення:

1. - Різниця квадратів;

2. - Квадрат суми (різниці);

3. - різницю кубів (вираз у другій дужці називається неповним квадратом суми);

Сума кубів (вираз у другій дужці називається неповним квадратом різниці).

Треба не тільки запам'ятати ці формули, а й уміти знаходити та застосовувати їх у реальних завданнях.

Приклад 7.Розкласти на множники: .

Приклад 8.Розкласти на множники: .

Рішення:

Відповідь:.

Спосіб 4. Виділення повного квадрата.

Розглянемо застосування цього методу на конкретному прикладі.

Приклад 9.Розкласти на множники: .

Рішення:

Почнемо з певних визначень. Багаточленом n-го ступеня (або n-го порядку) будемо називати вираз виду $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Наприклад, вираз $4x^(14)+87x^2+4x-11$ є багаточлен, ступінь якого дорівнює $14$. Його можна позначити так: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцієюабо раціональним дробом. Якщо точніше, це раціональна функція однієї змінної (тобто. змінної $x$).

Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.

Приклад №1

Вказати, які з наведених нижче дробів є раціональними. Якщо дріб є раціональним, то з'ясувати, правильний він чи ні.

$\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
$\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
$\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
$\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) Цей дріб не є раціональним, оскільки містить $\sin x$. Раціональний дріб цього не допускає.

2) Ми маємо відношення двох багаточленів: $5x^2+3x-8$ і $11x^9+25x^2-4$. Отже, згідно з визначенням, вираз $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ є раціональний дріб. Оскільки ступінь багаточлена в чисельнику дорівнює $2$, а ступінь багаточлена в знаменнику дорівнює $9$, то цей дріб є правильним (бо $2< 9$).

3) І в чисельнику, і в знаменнику даного дробу розташовані багаточлени (розкладені на множники). Нам зовсім неважливо, в якій формі представлені багаточлени чисельника та знаменника: розкладено вони на множники чи ні. Оскільки ми маємо відношення двох багаточленів, то згідно з визначенням вираз $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x) ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ є раціональний дріб.

Щоб відповісти на питання про те, чи є цей дріб правильним, слід визначити ступені багаточленів у чисельнику та знаменнику. Почнемо з чисельника, тобто. з виразу $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для визначення ступеня цього многочлена можна, звісно, розкрити дужки. Однак розумно вчинити набагато простіше, бо нас цікавить лише найбільший ступінь змінної $x$. Виберемо з кожної дужки змінну $x$ найбільшою мірою. З дужки $(2x^3+8x+4)$ візьмемо $x^3$, зі дужки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ візьмемо $(x^4)^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, та якщо з дужки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ виберемо $x^7$. Тоді після розкриття дужок найбільший ступінь змінної $x$ буде таким:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

Ступінь багаточлена, розташованого в чисельнику, дорівнює $46$. Тепер звернемося до знаменника, тобто. до виразу $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Ступінь цього многочлена визначається як і, як й для чисельника, тобто.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

У знаменнику розташований багаточлен 41-го ступеня. Так як ступінь многочлена в чисельнику (тобто 46) не менше ступеня багаточлена в знаменнику (тобто 41), то раціональний дріб $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x- 1))$ є неправильною.

4) У чисельнику дробу $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ коштує число $3$, тобто. багаточлен нульового ступеня. Формально чисельник можна записати так: $3x^0=3\cdot1=3$. У знаменнику маємо багаточлен, ступінь якого дорівнює $6 cdot 4 = 24 $. Відношення двох багаточленів є раціональним дробом. Оскільки $0< 24$, то данная дробь является правильной.

Відповідь: 1) дріб не є раціональним; 2) раціональний дріб (правильний); 3) раціональний дріб (неправильний); 4) раціональний дріб (правильний).

Тепер перейдемо до поняття елементарних дробів (їх ще називають найпростішими раціональними дробами). Існують чотири типи елементарних раціональних дробів:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати

Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.

Завдання полягає в наступному: задану правильнураціональний дріб подати у вигляді суми елементарних раціональних дробів. Вирішенню цієї задачі і присвячено матеріал, викладений на цій сторінці. Для початку потрібно переконатися, що виконано таку умову: багаточлен у знаменнику правильного раціонального дробу розкладений на множники таким чином, що розкладання містить лише дужки виду $(x-a)^n$ або $(x^2+px+q)^n$ ($ p ^ 2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

Кожній дужці виду $(x-a)$, розташованій у знаменнику, відповідає дріб $\frac(A)(x-a)$.
Кожній дужці виду $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), розташованої в знаменнику, відповідає сума з $n$ дробів: $\frac(A_1)(x-a)+\frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
Кожній дужці виду $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
Кожній дужці виду $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Якщо ж дріб неправильна, перед застосуванням вищевикладеної схеми слід розбити її у сумі цілої частини (багаточлен) і правильної раціональної дробу. Як це робиться, розберемо далі (див. приклад №2 пункт 3). Пару слів щодо літерних позначень у чисельниках (тобто $A$, $A_1$, $C_2$ тощо). Літери можна використовувати будь-які – на свій смак. Важливо лише, щоб ці літери були різнимиу всіх елементарних дробах. Щоб знайти значення цих параметрів застосовують метод невизначених коефіцієнтів або метод встановлення приватних значень (див. приклади №3, №4 і №5).

Приклад №2

Розкласти задані раціональні дроби на елементарні (без знаходження параметрів):

$\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
$\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
$\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) Маємо раціональний дріб. У чисельнику цього дробу розташований многочлен 4-го ступеня, а знаменнику многочлен, ступінь якого дорівнює $17$ (як визначити цей ступінь детально пояснено у пункті №3 прикладу №1). Оскільки ступінь багаточлена в чисельнику менший від ступеня багаточлена в знаменнику, то цей дріб є правильним. Звернемося до найменувача цього дробу. Почнемо з дужок $(x-5)$ і $(x+2)^4$, які повністю підпадають під вигляд $(x-a)^n$. Крім того, є ще й дужки $(x^2+3x+10)$ та $(x^2+11)^5$. Вираз $(x^2+3x+10)$ має вигляд $(x^2+px+q)^n$, де $p=3$; $q=10$, $n=1$. Оскільки $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

Отриманий результат можна записати так:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

Тоді дріб $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ представима в іншій формі:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\==frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

Дроб $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ є правильним раціональним дробом, бо ступінь многочлена в чисельнику (тобто 2) менше ступеня многочлена в знаменнику ( тобто 3). Тепер звернемося до знаменника даного дробу. У знаменнику розташований багаточлен, який потрібно розкласти на множники. Іноді для розкладання на множники корисна схема Горнера, але в нашому випадку простіше обійтися стандартним "шкільним" методом угруповання доданків:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

Застосовуючи ті ж методи, що й у попередніх пунктах, отримаємо:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

Отже, маємо:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

Продовження цієї теми буде розглянуто у другій частині.