Метод пропорції приймемо число. Розв'язання задач за допомогою пропорції

§ 125. Поняття про пропорцію.

Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:

Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.

Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.

Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.

§ 126. Основна властивість пропорції.

Розглянемо пропорцію:

Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Добуток крайніх 6 4 = 24, добуток середніх 3 8 = 24.

Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.

Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.

Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.

У загальному вигляді основна властивість пропорції записується так: ad = bc .

Перевіримо його на кількох пропорціях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.

Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:

ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:

Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:

Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:

а) 16 = 23;

б) 215 = б 5.

§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.

Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:

х : 4 = 15: 3.

У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:

x 3 = 4 15.

Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:

х 3 = 60.

Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:

х = 60: 3, або х = 20.

Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:

Пропорція вірна.

Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх і другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:

70: 10 = 21: х .

Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.

Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:

70 х = 210.

Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.

Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:

30: х = 27: 9.

Напишемо основну властивість пропорції:

30 9 = х 27.

Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:

х 27 = 270.

Знайдемо невідомий співмножник:

х = 270: 27, або х = 10.

Перевіримо підстановкою:

30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.

Візьмемо ще одну пропорцію:

12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:

12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:

6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:

х = 96: 6, або х = 16.

Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.

Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два останні правила загалом можна записати так:

1) Якщо пропорція має вигляд:

х: а = b: с , то

2) Якщо пропорція має вигляд:

а: х = b: с , то

§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.

У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числа чи дробові члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:

1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.

П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.

Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:

120:30 = 60: 15.

Пропорція не порушилась.

Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:

Здобули знову правильну пропорцію.

2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.

приклад. 16:8 = 40:20.

Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:

Отримали правильну пропорцію.

Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:

Пропорція не порушилась.

Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.

Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:

3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:

Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:

Пропорція вірна.

Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.

1) Нехай є пропорція:

200: 25 = 56: x .

У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини розділити одне й те число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:

8:1 = 56: x .

Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:

2) Візьмемо пропорцію:

2: 1 / 2 = 20: 5.

У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів

(2 2): (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.

Збільшимо другий крайній член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.

Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.

Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Наведемо дроби до спільного знаменника:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:

Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.

Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Помножимо всі члени пропорції на 48:

24: 1 = 960: 40.

При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставимо тепер середні члени:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:

20: 12 = 5: 3. (4)

Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:

12: 20 = 3: 5. (5)

У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.

Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:

а: b = с: d; c: d = a: b;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:

ad = bc.

Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.

Сьогодні ми продовжуємо серію відеоуроків, присвячених завданням на відсотки з ЄДІ з математики. Зокрема, розберемо два цілком реальні завдання з ЄДІ і ще раз переконаємося, наскільки важливо уважно читати умову завдання та правильно його інтерпретувати.

Отже, перше завдання:

Завдання. Лише 95% та 37 500 випускників міста правильно вирішили завдання B1. Скільки людей правильно вирішили задачу B1?

На перший погляд, здається, що це якесь завдання для кепів. На кшталт:

Завдання. На дереві сиділо 7 пташок. 3 з них полетіло. Скільки пташок полетіло?

Проте, давай таки порахуємо. Вирішуватимемо методом пропорцій. Отже, ми маємо 37 500 учнів — це 100%. А також є кілька учнів, яке становить 95% тих самих щасливчиків, які правильно вирішили завдання B1. Записуємо це:

37 500 — 100%
X - 95%

Потрібно скласти пропорцію і знайти x. Отримуємо:

Перед нами класична пропорція, але перш ніж скористатися основною властивістю та перемножити її хрест-навхрест, пропоную розділити обидві частини рівняння на 100. Іншими словами, закреслимо в чисельнику кожного дробу по два нулі. Перепишемо отримане рівняння:

За основною якістю пропорції, добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. Іншими словами:

x = 375 · 95

Це досить великі числа, тому доведеться множити їх стовпчиком. Нагадую, що користуватися калькулятором на ЄДІ з математики категорично заборонено. Отримаємо:

x = 35625

Разом відповідь: 35625. Саме стільки людей з вихідних 37500 вирішили завдання B1 правильно. Як бачите, ці числа досить близькі, що цілком логічно, тому що 95% теж дуже близькі до 100%. Загалом, перше завдання вирішено. Переходимо до другої.

Завдання на відсотки №2

Завдання. Лише 80% із 45 000 випускників міста правильно вирішили завдання B9. Скільки людей вирішили задачу B9 неправильно?

Вирішуємо за тією самою схемою. Спочатку було 45 000 випускників – це 100%. Потім із цієї кількості треба вибрати x випускників, які мають становити 80% від вихідної кількості. Складаємо пропорцію та вирішуємо:

45 000 — 100%
x - 80%

Давайте скоротимо по одному нулю в чисельнику та знаменнику 2-го дробу. Ще раз перепишемо отриману конструкцію:

Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:

45 000 · 8 = x · 10

Це найпростіше лінійне рівняння. Виразимо з нього змінну x:

x = 45 000 · 8: 10

Скорочуємо по одному нулю у 45 000 і 10, у знаменнику залишається одиниця, тому все, що нам потрібно — це знайти значення виразу:

x = 4500 · 8

Можна, звичайно, вчинити так само, як минулого разу, і перемножити ці числа стовпчиком. Але давайте не будемо самі собі ускладнювати життя, і замість множення стовпчиком розкладемо вісімку на множники:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А тепер найголовніше, про що я говорив на самому початку уроку. Потрібно уважно читати умову завдання!

Що від нас потрібно дізнатися? Скільки людей вирішили завдання B9 неправильно. А ми щойно знайшли тих людей, які вирішили правильно. Таких виявилося 80% вихідного числа, тобто. 36 000. Це означає, що з отримання остаточної відповіді треба відняти з вихідної чисельності учнів наші 80%. Отримаємо:

45 000 − 36 000 = 9000

Отримане число 9000 це і є відповідь до завдання. У цьому місті з 45 000 випускників 9000 чоловік вирішили завдання B9 неправильно. Все, завдання вирішено.

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

1. Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
2. Перемноження заданих членів пропорції навхрест. У буквеному виразі це має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добутку середніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
3. При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
4. Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
5. Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
   • (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
   • (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
6. Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові чи великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
7. Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.

Вміння обчислення відсотка від числа, коли потрібно дізнатися пеню за прострочення, розмір переплати за кредитом або прибуток компанії, якщо відомий її обіг та націнка.

• Як знайти число за його відсотком?

Правило. Щоб знайти число за його вказаним відсотком, потрібно задане число поділити на задану величину відсотка, а результат помножити на 100.

Таким обчисленням спочатку визначимо, скільки одиниць цього числа міститься в 1%, а потім у цілому (у 100%).

Наприклад:
Число, 23% якого становлять 52, так:
52: 23 * 100 = 226.1

Значить, якщо число 226,1 дорівнює 100%, число 52 дорівнює 23% від цього числа.

Число, 125% якого становлять 240, знаходимо так:
240: 125 * 100 = 192.

При визначенні числа за його відсотком слід пам'ятати, що:

— якщо відсоток менший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, більше за задане число (якщо 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— якщо відсоток більший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, менше від заданого числа (якщо 125% > 100%, то 192< 240).

Отже, при обчисленні числа за відсотком для самоконтролю потрібно перевірити:

— заданий за умови відсоток більший або менший за 100%;
— результат обчислення більше чи менше від заданого числа.

• Як дізнатися відсоток від суми у загальному випадку?

Після цього є два варіанти:

1. Якщо потрібно дізнатися, скільки відсотків складає інша сума від початкової, потрібно просто поділити її на розмір 1%, отриманий раніше.
2. Якщо ж потрібний розмір суми, яка становить, скажімо, 27,5% від початкової, потрібно розмір 1% помножити на потрібну кількість відсотків.

• Як вирахувати відсоток від суми за допомогою пропорції?

Для цього доведеться використовувати знання про метод пропорцій, що проходять у рамках шкільного курсу математики. Це буде виглядати так:

Нехай А - основна сума, що дорівнює 100%, і В - сума, співвідношення якої з А у відсотках нам потрібно дізнатися. Записуємо пропорцію:

(Х у цьому випадку - кількість відсотків).

За правилами розрахунку пропорцій ми отримуємо таку формулу:

Х = 100 * В/А

Якщо ж потрібно дізнатися, скільки складатиме сума В при вже відомій кількості відсотків від суми А, формула виглядатиме інакше:

В = 100*Х/А

Тепер залишається підставити у формулу відомі числа — і можна робити розрахунок.

• Як розрахувати відсоток суми за допомогою відомих співвідношень?

Зрештою, можна скористатися і більш простим способом. Для цього достатньо пам'ятати, що 1% у вигляді десяткового дробу – це 0,01. Відповідно, 20% - це 0,2; 48% - 0,48; 37,5% - це 0,375 і т.д. Достатньо помножити вихідну суму на відповідне число — і результат означатиме розмір відсотків.

Крім того, іноді можна скористатися простими дробами. Наприклад, 10% — це 0,1, тобто 1/10 отже, дізнатися, скільки становитимуть 10%, просто: потрібно лише розділити вихідну суму на 10.

Іншими прикладами таких співвідношень будуть:

1. 12,5% - 1/8, тобто потрібно ділити на 8;
2. 20% - 1/5, тобто потрібно розділити на 5;
3. 25% - 1/4, тобто ділимо на 4;
4. 50% - 1/2, тобто потрібно розділити навпіл;
5. 75% - 3/4, тобто потрібно розділити на 4 і помножити на 3.

Щоправда, в повному обсязі прості дроби зручні до розрахунку відсотків. Наприклад, 1/3 близька за розмірами до 33%, але не дорівнює точно: 1/3 - це 33, (3)% (тобто дріб з нескінченними трійками після коми).

• Як відняти відсоток від суми без допомоги калькулятора?

Якщо ж потрібно від уже відомої суми відібрати невідоме число, що становить якусь кількість відсотків, можна скористатися такими методами:

1. Обчислити невідоме число за допомогою одного з наведених вище способів, після чого відібрати його від вихідного.
2. Відразу розрахувати суму, що залишається. Для цього від 100% віднімаємо те число відсотків, яке потрібно відняти, і отриманий результат переводимо з відсотків до числа будь-яким з описаних вище способів.

Другий приклад зручніший, тому проілюструємо його. Припустимо, треба дізнатися, скільки залишиться, якщо від 4779 відібрати 16%. Розрахунок буде таким:

1. Забираємо від 100 (загальна кількість відсотків) 16. Отримуємо 84.
2. Вважаємо, що складе 84% від 4779. Отримуємо 4014,36.

• Як вирахувати (відняти) із суми відсоток з калькулятором у руках?

Всі наведені вище обчислення простіше робити, використовуючи калькулятор. Він може бути як у вигляді окремого пристрою, так і у вигляді спеціальної програми на комп'ютері, смартфоні або звичайному мобільному телефоні (навіть найстаріші з нині використовуваних пристроїв зазвичай мають цю функцію). З їхньою допомогою питання, як вирахувати відсоток із суми,вирішується дуже просто:

1. Набирається вихідна сума.
2. Натискається знак "-".
3. Вводиться кількість відсотків, яку потрібно відняти.
4. Натискається символ "%".
5. Натискається знак =.

У результаті екрані висвічується шукане число.

• Як відібрати від суми відсоток за допомогою онлайн-калькулятора?

Нарешті, зараз у мережі достатньо сайтів, де реалізовано функцію онлайн-калькулятора. У цьому випадку навіть не потрібно знання того, як порахувати відсоток від суми: всі операції користувача зводяться до введення в віконця потрібних цифр (або пересування повзунків для їх отримання), після чого результат одразу висвічується на екрані.

Особливо ця функція зручна для тих, хто розраховує не просто абстрактний відсоток, а конкретний розмір податкового відрахування або суму державного мита. Справа в тому, що в цьому випадку обчислення складніше: потрібно не лише знайти відсотки, а й додати до них постійну частину суми. Онлайн-калькулятор дозволяє уникнути подібних додаткових обчислень. Головне — вибрати сайт, який користується даними, які відповідають чинному закону.

Онлайн-калькулятор відсотків:

calculator.ru - дозволяє виконувати різноманітні розрахунки під час роботи з відсотками;

mirurokov.ru - калькулятор відсотків;

Джерело інформації:

• nsovetnik.ru - стаття про те, як вирахувати відсоток від суми;

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1