Методична розробка: Дослідницька робота "Рішення завдань застосування похідної у форматі ЄДІ".

Цілі уроку:

Навчальні: Повторити теоретичні відомості на тему «Застосування похідної» узагальнити, закріпити та покращити знання на цю тему.

Навчити застосовувати отримані теоретичні знання під час вирішення різного типу математичних завдань.

Розглянути методи вирішення завдань ЄДІ, пов'язані з поняттям похідної базового та підвищеного рівня складності.

Виховні:

Навчання навичкам: планування діяльності, роботи в оптимальному темпі, роботи в групі, підбиття підсумків.

Розвивати вміння оцінювати свої здібності, вміння контактувати з товаришами.

Виховувати почуття відповідальності та співпереживання. Сприяти вихованню вміння працювати в команді; уміння.. відноситься до думки однокласників.

Розвиваючі: Вміти оформляти ключові поняття теми, що вивчається. Розвивати навички роботи у групі.

Тип уроку: комбінований:

Узагальнення, закріплення навичок застосування властивостей елементарних функцій, застосування вже сформованих знань, умінь та навичок застосування похідної у нестандартних ситуаціях.

Обладнання: комп'ютер, проектор, екран, роздатковий матеріал.

План уроку:

1. Організаційна діяльність

Рефлексія настрою

2. Актуалізація знань учня

3. Усна робота

4. Самостійна робота у групах

5. Захист виконаних робіт

6. Самостійна робота

7. Домашні завдання

8. Підсумок уроку

9. Рефлексія настрою

Хід уроку

1. Рефлексія настрою.

Хлопці, доброго ранку. Я прийшла до вас на урок ось з таким настроєм (показую зображення сонця)!

А який у вас настрій?

У вас на столі лежать картки із зображеннями сонця, сонце за хмарою та хмарами. Покажіть який у вас настрій.

2. Аналізуючи результати пробних іспитів, а також результати підсумкової атестації останніх років, можна зробити висновок про те, що із завданнями математичного аналізу, з роботи ЄДІ справляються не більше 30% -35% випускників. діагностичних робіт правильно виконують їх в повному обсязі. Цим і зумовлений наш вибір. Відпрацьовуватимемо навичку застосування похідної при вирішенні завдань ЄДІ.

Крім проблем підсумкової атестації виникають питання і сумніви, якою мірою здобуті у цій галузі знання можуть і будуть затребувані надалі, наскільки виправдані як витрати часу, і здоров'я вивчення цієї теми.

Навіщо потрібна похідна? Де ми зустрічаємося з похідною та використовуємо її? Чи можна без неї обійтися в математиці і не лише?

Повідомлення учениці 3 хвилини -

3. Усна робота.

4. Самостійна робота у групах (3 групи)

Завдання 1 групи

) У чому полягає геометричний зміст похідної?

2) а) На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотична до цього графіка, проведена в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

б) На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотична до цього графіка, проведена у точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

Відповідь 1 групи:

1) Значення похідної функції в точці x=x0 дорівнює умовному коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою х0.

2) А) f1 (x) = 4/2 = 2

3) Б)f1(x)=-4/2=-2

Завдання 2 групи

1) У чому полягає фізичний зміст похідної?

2) Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом
x(t)=-t2+8t-21, де х - відстань від точки відліку в метрах, t -час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t=3 с.

3) Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом
x(t)= ½*t2-t-4, де х - відстань від точки відліку в метрах, t-час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 6 м/с?

Відповідь 2 групи:

1) Фізичний (механічний) зміст похідної полягає в наступному.

Якщо S(t) закон прямолінійного руху тіла, то похідна виражає миттєву швидкість у момент часу t:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Завдання 3 групи

1) Пряма y=3x-5 паралельна до графіки функції y=x2+2x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

2) На малюнку зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (-9; 8). Визначте кількість цілих точок у цьому інтервалі, у яких похідна функції f(x) позитивна.

Відповідь 3 групи:

1) Т.к пряма y=3x-5 паралельна дотичній то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту прямийy=3x-5, тобто, k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Цілі точки - це точки з цілочисленними значеннями абсцис.

Похідна функція f(x) позитивна, якщо функція зростає.

Питання: Що ви можете сказати про похідну функцію, яку описує приказка «Чим далі в ліс, тим більше дров»

Відповідь: Похідна позитивна по всій області визначення,т.к ця функція - монотонно зростає

6. Самостійна робота (на 6 варіантів)

7. Домашнє завдання.

Тренувальна робота Відповіді:

Підсумок уроку.

«Музика може піднімати чи утихомирювати душу, живопис – радувати око, поезія – пробуджувати почуття, філософія – задовольняти потреби розуму, інженерна справа – удосконалювати матеріальний бік життя людей. Але математика здатна досягти всіх цих цілей.

Так сказав американський математик Моріс Клайн.

Дякую за роботу!

Показуючий зв'язок похідної знака з характером монотонності функції.

Будь ласка, будьте гранично уважні у наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної

Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Жодні «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!

Завдання 1.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.

Рішення:

На малюнку виділені кольором області зменшення функції :

У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.

Завдання 2.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Раз дотична до графіка функції паралельна (або збігається) прямий (або, що те саме, ), що має кутовий коефіцієнт, Що дорівнює нулю, то і дотична має кутовий коефіцієнт .

Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .

Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), - саме в них дотичні до графіка функції будуть паралельні осі.

Таких точок – 4.

Завдання 3.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) прямий, що має кутовий коефіцієнт, то і дотична має кутовий коефіцієнт.

Це своє чергу означає, що у точках торкання.

Тому дивимося, скільки точок на графіку мають ординату , що дорівнює .

Як бачимо, таких точок – чотири.

Завдання 4.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.

Рішення:

Похідна дорівнює нулю в точках екстремуму. У нас їх 4:

Завдання 5.

На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?

Рішення:

На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.

Завдання 6.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.

Рішення:

Крапки екстремуму- Це точки максимуму (-3, -1, 1) і точки мінімуму (-2, 0, 3).

Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.

Завдання 7.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Рішення:

На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.

На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .

Їхня сума:

Завдання 8.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Рішення:

На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.

Довжина найбільшого їх – 6.

Завдання 9.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.

Рішення:

Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .

Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.

Геометричний зміст похідної Х У 0 дотична α k – кутовий коефіцієнт прямої (дотичної) Геометричний сенс похідної: якщо до графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою можна провести дотичну, непаралельну осі у, то виражає кутовий коефіцієнт дотичної, т. е. Оскільки, то вірна рівність Рівняння прямої

Х у Якщо α 0. Якщо α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Якщо α 0. Якщо α > 90°, то k

Х у Завдання 1. На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою -1. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х =

Y x x0x На малюнку зображено графік функції у = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою х 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х 0. Відповідь: -0,25

На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної інтервалі (-6;6). Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків. В = ...