Методика зведення числа у квадрат. Зведення у квадрат трицифрових чисел

*квадрати до сотні

Для того, щоб бездумно не зводити до квадрата за формулою всі числа, потрібно максимально спростити собі завдання такими правилами.

Правило 1 (відсікає 10 чисел)

Для чисел, що закінчуються 0.
Якщо число закінчується на 0, помножити його не складніше ніж однозначне число. Варто лише дописати пару нулів.
70 * 70 = 4900.
У таблиці позначено червоним.

Правило 2 (відсікає 10 чисел)

Для чисел, що закінчуються 5.
Щоб звести у квадрат двоцифрове число, що закінчується на 5, потрібно помножити першу цифру (x) на (x+1) і дописати до результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
У таблиці позначено зеленим.

Правило 3 (відсікає 8 чисел)

Для чисел від 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * другу цифру + (10 - друга цифра) ^ 2
Досить важко, правда? Давайте розберемо приклад:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
У таблиці зазначено світло-оранжевим.

Правило 4 (відсікає 8 чисел)

Для чисел від 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * другу цифру + (друга цифра) ^ 2
Теж досить важко для сприйняття. Давайте розберемо приклад:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
У таблиці позначено темно-жовтогарячим.

Правило 5 (відсікає 8 чисел)

Для чисел від 90 до 100.
XX * XX = 8000 + 200 * другу цифру + (10 - друга цифра) ^ 2
Схоже правило 3, але з іншими коефіцієнтами. Давайте розберемо приклад:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
У таблиці зазначено темно-темно-жовтогарячим.

Правило №6 (відсікає 32 числа)

Необхідно запам'ятати квадрати чисел до 40. Звучить дико і важко, але насправді до 20 більшість людей знають квадрати. 25, 30, 35 та 40 піддаються формулам. І залишається лише 16 пар чисел. Їх вже можна запам'ятати за допомогою мнемоніки (про яку я також хочу розповісти пізніше) або будь-якими іншими способами. Як таблицю множення:)
У таблиці позначено синім.

Ви можете запам'ятати всі правила, а можете запам'ятати вибірково, у будь-якому випадку всі числа від 1 до 100 підпорядковуються двом формулам. Правила допоможуть, не використовуючи ці формули, швидше порахувати більше 70% варіантів. Ось ці дві формули:

Формули (залишилось 24 цифри)

Для цифр від 25 до 50
XX * XX = 100 (XX - 25) + (50 - XX) ^ 2
Наприклад:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр від 50 до 100

XX * XX = 200 (XX - 25) + (100 - XX) ^ 2

Наприклад:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Звичайно не варто забувати про звичайну формулу розкладання квадрата суми (приватний випадок бінома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Зведення в квадрат, можливо, не найкорисніша у господарстві річ. Не відразу пригадаєш випадок, коли може знадобитися квадрат числа. Але вміння швидко оперувати числами, застосовувати відповідні правила під кожне з чисел відмінно розвиває пам'ять та «обчислювальні здібності» вашого мозку.

До речі, думаю, всі читачі хабри знають, що 642 = 4096, а 322 = 1024.
Багато квадратів чисел запам'ятовуються на асоціативному рівні. Наприклад, я легко запам'ятав 88^2 = 7744 через однакові числа. У кожного, напевно, знайдуться свої особливості.

Дві унікальні формули я вперше знайшов у книзі 13 steps to mentalism, яка мало пов'язана з математикою. Справа в тому, що раніше (можливо, і зараз) унікальні обчислювальні здібності були одним із номерів у сценічній магії: фокусник розповідав байку про те, як він отримав надздібності і на доказ цього миттєво зводить числа до сотні в квадрат. У книзі також зазначені способи зведення в куб, способи віднімання коренів і кубічних коренів.

Якщо тема швидкого рахунку цікава - писатиму ще.
Зауваження про помилки та редагування прошу писати в лс, заздалегідь дякую.

Якщо помножити числосаме на себе, вийде зведення в квадрат. Навіть першокласник знає, що «дворазово два – чотири». Тризначні, чотиризначні та ін. Числа краще перемножувати в стовпчик або на калькуляторі, а ось з двоцифровими справляйтеся без електронного помічника, помножуючи в розумі.

Інструкція

1. Розкладіть будь-яке двозначне числона складові, виділивши кількість одиниць. У числі 96 число одиниць - 6. Отже можна записати: 96 = 90 + 6.

2. Зведіть у квадратперше із чисел: 90 * 90 = 8100.

3. Подібно зробіть з другим числом: 6*6 = 36

4. Перемножте числа між собою і подвайте підсумки: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Складіть підсумки другого, третього і четвертого кроків: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Це і є результатом зведення в квадратЧисла 96. Після деякої тренування зможете швидко робити кроки в голові, вражаючи батьків і однокласників. Поки не освоїлися, записуйте підсумки всього кроку, щоб не заплутатися.

6. Для тренування зведіть у квадрат число 74 та перевірте себе на калькуляторі. Послідовність дій: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Зведіть у другий ступінь число 81. Ваші дії: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Запам'ятайте нестандартний метод зведення в квадратдвоцифрових чисел, що закінчуються на цифру 5. Виділіть число десятків: у числі 75 їх 7 штук.

9. Помножте число десятків на наступну цифру числовому ряду: 7 * 8 = 56.

10. Припишіть праворуч число 25: 5625 - результат зведення в квадратчисла 75.

11. Для тренування зведіть у другий ступінь число 95. Воно закінчується на цифру 5, отже послідовність процесів: 9 * 10 = 90, 9025 - результат.

12. Навчіться зводити в квадратнегативні числа: -95 квадрате дорівнює 9025, як в одинадцятому кроці. Подібно до -74 в квадрате дорівнює 5476, як у шостому кроці. Це з тим, що з множенні 2-х негативних чисел незмінно виходить правильне число: -95 * -95 = 9025. Отже при зведенні в квадратможете легко не зважати на знак «мінус».

Зведення числа у ступінь є одним із найпростіших алгебраїчних дій. У повсякденному житті зведення використовується рідко, а ось на виробництві при виконанні розрахунків - практично всюди, слід придатно пригадати, як це робиться.

Інструкція

1. Уявімо, що маємо якесь число а, ступенем якого є число n. Побудувати число в ступінь означає, що потрібно помножити число а на себе n разів.

2. Розглянемо кілька примеров. Чтобы побудувати число 2 на другий рівень, необхідно зробити действие:2х2=4

3. Щоб побудувати число 3 на п'яту ступінь, необхідно виконати дію: 3х3х3х3х3 = 243

4. Існує загальноприйняте позначення 2-го та третього ступеня чисел. Словосполучення «другий ступінь» зазвичай замінюється словом «квадрат», а замість словосполучення «третій ступінь» зазвичай кажуть «куб».

5. Як очевидно з наведених вище прикладів, тривалість і трудомісткість обчислень залежить від величини показника ступеня числа. Зведення квадрат або куб – досить просте завдання; Зведення числа в п'яту або більшу ступінь вже вимагає більше часу і акуратності в обчисленнях. Для прискорення цього процесу виключення помилок можна користуватися спеціальними математичними таблицями чи інженерним калькулятором.

Для короткого запису твори однієї й тієї числа самого він математики придумали уявлення ступеня. Тому вираз 16 * 16 * 16 * 16 * 16 можна записати більш коротким способом. Воно матиме вигляд 16^5. Вираз читатиметься як число 16 в п'ятому ступені.

Вам знадобиться

• Папір, ручка.

Інструкція

1. У загальному вигляді ступіньзаписується як a^n. Цей запис позначає, що число a множиться він n раз.Вираз a^n називається ступінью,a – це число, основа ступеня, n – це число, показник ступеня. Скажімо, a = 4, n = 5, Тоді запишемо 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. Ступінь n може бути негативним числом n = -1, -2, -3 і т.д. Щоб вирахувати негативну ступіньчисла, його потрібно опустити в знаменник.a^(-n) = (1/a)^n=1/a*1/a*1/a* … ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Як видно з прикладу -3 ступіньвід числа 2 можна визначити різними способами.1) Спочатку порахувати дріб 1/2 = 0,5; а після цього побудувати в ступінь 3, тобто. 0,5 ^ 3 = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,1252) Спочатку побудувати знаменник у ступінь 2^3 = 2*2*2 = 8, а потім обчислити дріб 1/8 = 0,125.

4. Зараз обчислимо -1 ступіньдля числа, тобто. n = -1. Правила, розглянуті вище, підходять для цього випадку. ступінь 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. З прикладу наочно видно, що число -1 ступеня – це зворотний дріб від числа. Припустимо число 5 як дробу 5/1, тоді 5^(-1) можна арифметично не рахувати, а одночасно написати дріб, зворотний 5/1, це 1/5.Так, 15^(-1) = 1/15,6^(-1) = 1/6,25^(-1) = 1/25

Зверніть увагу!
При зведенні числа в негативний ступінь слід пам'ятати, що число не може дорівнювати нулю. Відповідно до правила, ми повинні число опустити в знаменник. А нуль не може бути в знаменнику, тому що на нуль не можна розділяти.

Корисна порада
Зрідка під час роботи зі ступенями для полегшення розрахунку дробове число навмисно замінюють цілим -1 ступеня1/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

При вирішенні арифметичних та алгебраїчних завдань зрідка потрібно побудувати дрібв квадрат. Найпростіше це зробити, коли дрібдесяткова - досить звичайного калькулятора. Втім якщо дрібпроста або змішана, то при зведенні такого числа в квадратможуть виникнути деякі труднощі.

Вам знадобиться

• калькулятор, комп'ютер, додаток Excel.

Інструкція

1. Щоб збудувати десяткову дрібв квадрат, візьміть інженерний калькулятор, наберіть на ньому споруджувану в квадрат дрібі натисніть клавішу зведення на другий ступінь. На більшості калькуляторів ця кнопка позначена як "х?". На стандартному калькуляторі Windows функція зведення в квадратвиглядає як "x^2". Скажімо, квадратдесяткового дробу 3,14 дорівнюватиме: 3,14? = 9,8596.

2. Щоб побудувати в квадратдесяткову дрібна звичайному (бухгалтерському) калькуляторі, помножте це число саме на себе. До речі, в деяких моделях калькуляторів передбачена можливість зведення числа в квадратнавіть за відсутності особливої ​​кнопки. Тому заздалегідь ознайомтеся з інструкцією до певного калькулятора. Іноді приклади «хитромудрого» зведення в рівень наведені на задній кришці або на коробці калькулятора. Скажімо, на багатьох калькуляторах для зведення числа в квадратДосить натиснути кнопки «х» і «=».

3. Для зведення в квадратзвичайного дробу (що складається з чисельника та знаменника), зведіть у квадратокремо чисельник та знаменник цього дробу. Тобто скористайтеся подальшим правилом: (ч/з)? = год? / з?, де ч - чисельник дробу, з - знаменник дробу. Приклад: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Якщо зводиться в квадрат дріб- Змішана (складається з цілої частини і звичайного дробу), то заздалегідь приведіть її до звичайного вигляду. Тобто застосуйте таку формулу: (ц ч/з)? = ((ц * з + год) / з)? = (ц * з + год)? / з?, де ц - ціла частина змішаного дробу. Приклад: (3 2/5)? = ((3 * 5 +2) / 5)? = (3 * 5 +2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Якщо зводити в квадратзвичайні (не десяткові) дроби доводиться безперервно, то скористайтеся програмою MS Excel. Для цього введіть в одну з клітин таблиці таку формулу: =СТУПЕНЬ(A2;2) де А2 – адреса осередку, в яку вводитиметься квадрат дріб. Щоб поінформувати програму, що з числом, що вводиться, потрібно звертатися як зі звичайною дрібю (тобто не перетворювати її на десятковий вигляд), наберіть перед дрібцю цифру "0" і знак "пробіл". Тобто для введення, скажімо, дробу 2/3 треба запровадити: «0 2/3» (і натиснути Enter). При цьому у рядку введення відобразиться десяткове представлення введеного дробу. Значення та подання дробу невимушено у клітині збережеться у початковому вигляді. Крім того, при застосуванні математичних функцій, доказами яких є звичайні дроби, результат також буде представлений у вигляді звичайного дробу. Отже квадратдробу 2/3 буде представлено як 4/9.

Спосіб виділення квадрата двочлена використовується при полегшенні масивних виразів, а також для розв'язання квадратних рівнянь. На практиці його традиційно комбінують з іншими прийомами, включаючи розкладання на множники, угруповання та ін.

Інструкція

1. Спосіб виділення повного квадрата двочлена заснований на застосуванні 2 формул скороченого множення многочленів. Ці формули є окремими випадками Бінома Ньютона для 2-го ступеня і дозволяють спростити бажаний вираз так, щоб можна було провести подальше скорочення або розкладання на множники: (m + n) 2 = m 2 + m · n + n 2; (m - n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Відповідно до цього способу з початкового багаточлена потрібно виділити квадрати 2-х одночленів та суму/різницю їх подвійного твору. Використання цього способу має толк, якщо старший ступінь доданків не менше 2. Уявімо, дано завдання розкласти на множники з пониженням ступеня наступне вираз:4·y^4 + z^4

3. Для вирішення задачі необхідно скористатися способом виділення повного квадрата. Виходить, вираз складається з 2-х одночленів зі змінними парного ступеня. Отже, можна позначити кожен із них через m і n:m = 2·y²; n=z².

4. Тепер треба навести початковий вираз до виду (m + n) ². У ньому вже є квадрати цих доданків, але не вистачає подвійного твору. Необхідно додати його неприродно, а потім відняти:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² – 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²· z².

5. У виразі можна побачити формулу різниці квадратів:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2· y·z).

6. Виходить, спосіб складається з 2-х етапів: виділення одночленів повного квадрата m і n, додавання та віднімання їх подвійного твору. Спосіб виділення повного квадрата двочлена може використовуватися не тільки самосильно, але і в комбінації з іншими способами: винесення за дужки загального множника, заміна змінної, угруповання доданків та ін.

7. Приклад 2.Виділіть повний квадрат у виразі:4·y² + 2·y·z + z².Рішення.4·y² + 2·y·z + z² = = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Спосіб використовується при знаходженні коренів квадратного рівняння. Ліва частина рівняння є тричленом виду a·y? + b · y + c, де a, b і c - якісь числа, причому a? 0. a · y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·( y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a) ))? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Ці розрахунки призводять до подання дискримінанта, який дорівнює (b? – 4·a·c)/(4·a), а корені рівняння дорівнюють: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Операція зведення в ступіньє «бінарною», тобто має два неодмінні вхідні параметри та один вихідний. Один з початкових властивостей називається показником ступеня і визначає число разів, яке операція множення повинна бути застосована до другого параметра - основи. Підстава може бути як правильною, так і негативною числом .

Інструкція

1. Використовуйте при зведенні до ступеня негативного числа звичайні для цієї операції правила. Як і для позитивних чисел, зведення в ступінь позначає множення початкової величини на саму себе число разів, на одиницю меншу за показник ступеня. Скажімо, щоб побудувати четвертий рівень число -2, його треба тричі помножити він: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Множення 2-х негативних чисел незмінно дає позитивне значення, а результатом цієї операції для величин з різними знаками буде число негативне. На цьому можна зробити результат, що з зведенні негативних значень у ступінь з парним показником незмінно має виходити число позитивне, а при непарних показниках результат незмінно буде менше нуля. Використовуйте цю якість для перевірки здійснених розрахунків. Скажімо, -2 у п'ятому ступені має бути числом негативним -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 у шостій – позитивним -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. При зведенні негативного числа у ступінь показник може бути наведений у форматі звичайного дробу – скажімо, -64 у ступеню? Такий показник означає, що початкову величину слід побудувати в ступінь, що дорівнює чисельнику дробу, і витягти з нього корінь ступеня, що дорівнює знаменнику. Одна частина цієї операції розглянута на попередніх кроках, а тут вам слід звернути увагу на іншу.

4. Витяг кореня – непарна функція, тобто для негативних дійсних чисел вона може використовуватися тільки при непарному показнику ступеня. При парному ця функція значення не має. Отже, якщо в умовах завдання потрібно побудувати негативне число в дрібний ступінь з парним знаменником, то завдання рішення не має. В інших випадках проробіть спочатку операції з перших 2-х кроків, застосовуючи як показник ступеня чисельник дробу, а потім вийміть корінь зі ступенем знаменника.

Ступеневий формат запису числа – це скорочена форма запису операції множення основи саме себе. З числом, представленим у такій формі, можна здійснювати ті ж операції, що і з будь-якими іншими числами, в тому числі і зводити їх у ступінь. Скажімо, можна побудувати довільну ступінь квадратчисла та придбання результату на сучасному рівні становлення техніки не складе якоїсь складності.

Вам знадобиться

• Доступ до Інтернету або калькулятор Windows.

Інструкція

1. Для зведення квадрата в ступіньвикористовуйте загальне правило зведення в ступіньчисла, вже має статечний показник. За такої операції показники перемножуються, а основа залишається колишньою. Якщо підставу позначити як x, а початковий і додатковий показники ступеня – як a і b, записати це у загальному вигляді можна так: (x?)?=x??.

2. Для утилітарних розрахунків простіше кожного скористатися пошуковою системою Google – у неї вбудований дуже легкий у застосуванні калькулятор. Скажімо, якщо потрібно збудувати в п'яту ступінь квадратчисла 6, перейдіть на основну сторінку пошукача та введіть відповідний запит. Сформулювати його можна так: (6^2)^5 – тут значок ^ позначає ступінь. А можна самостійно розрахувати результуючий показник ступеня відповідно до формули з попереднього кроку і сформулювати запит так: 6^10. Або довірити це Google, ввівши такий запит: 6^(2*5). Для кожного з цих варіантів калькулятор пошуковика поверне ідентичний результат: 60466176.

3. За відсутності доступу до Інтернету обчислювач Google можна замінити, скажімо, вбудованим калькулятором Windows. Якщо ви використовуєте версії Seven чи Vista цієї ОС, розкрийте основне меню системи та наберіть кожного дві літери: «ка». Система відобразить в основному меню всі програми та файли, які асоціюється з цим поєднанням. У першому рядку буде посилання «Калькулятор» – клацніть по ній мишкою, і програма буде запущена.

4. Натисніть клавіші Alt + 2, щоб в інтерфейсі програми виникла кнопка з функцією зведення в довільну ступінь. Після цього введіть основу – у прикладі з другого кроку це число 6 – і клацніть спочатку по кнопці x?, а потім по кнопці x?. Введіть показник ступеня, в який потрібно побудувати квадрат– у використаному прикладі це число 5. Натисніть кнопку Enter, і калькулятор відобразить остаточний результат операції.

Відео на тему

Корисна порада
Щоб тренування не було тужливим, покличте на допомогу друга. Нехай він пише двозначне число, а ви - виведення зведення цього числа у квадрат. Після цього міняйтесь місцями.

Одним з найчастіших математичних дій, що застосовуються в інженерних та інших обчисленнях, є зведення числа у другий ступінь, який інакше називають квадратним. Наприклад, цим способом розраховується площа об'єкта чи фігури. На жаль, у програмі Excel немає окремого інструменту, який би зводив задане число саме в квадрат. Тим не менш, цю операцію можна виконати, використовуючи самі інструменти, які застосовуються для зведення в будь-яку іншу ступінь. Давайте з'ясуємо, як слід використовувати їх для обчислення квадрата від заданого числа.

Як відомо, квадрат числа обчислюється його множенням самого себе. Дані принципи, природно, лежать в основі обчислення зазначеного показника та в Excel. У цій програмі звести число в квадрат можна двома способами: використавши знак зведення у ступінь формул «^» та застосувавши функцію СТУПЕНЬ. Розглянемо алгоритм застосування даних варіантів практично, щоб оцінити, який їх краще.

Спосіб 1: зведення за допомогою формули

Перш за все, розглянемо найпростіший і найчастіше використовуваний спосіб зведення в другий ступінь в Excel, який передбачає використання формули із символом «^» . При цьому, як об'єкт, який буде зведений у квадрат, можна використовувати число або посилання на комірку, де це числове значення розташоване.

Загальний вигляд формули для зведення у квадрат наступний:

У ній замість "n"Необхідно підставити конкретне число, яке слід звести у квадрат.

Подивимося, як це працює на конкретних прикладах. Для початку зведемо у квадрат число, яке буде складовою формули.

Тепер давайте подивимося, як звести квадрат значення, яке розташоване в іншому осередку.

Спосіб 2: використання функції СТУПЕНЬ

Також для зведення числа у квадрат можна використовувати вбудовану функцію Excel СТУПЕНЬ. Цей оператор входить у категорію математичних функцій та її завданням є зведення певного числового значення в зазначену степень. Синтаксис у функції наступний:

СТУПЕНЬ (число; ступінь)

Аргумент «Кількість»може являти собою конкретне число або посилання елемент листа, де воно розташоване.

Аргумент «Ступінь»свідчить про ступінь, у якому необхідно звести число. Так як перед нами поставлено питання зведення в квадрат, то в нашому випадку цей аргумент дорівнюватиме 2 .

Тепер подивимося на конкретному прикладі, як здійснюється зведення в квадрат за допомогою оператора СТУПЕНЬ.

Також для вирішення поставленої задачі замість числа у вигляді аргументу можна використовувати посилання на комірку, в якій вона розташована.

Як відомо, площа прямокутника обчислюється перемноженням довжин двох різних сторін. У квадрата всі сторони рівні, тому потрібно перемножити бік саму себе. Звідси і виник вислів "звести до квадрата". Мабуть, найпростіший спосіб звести будь-яке число до квадрата – взяти звичайний калькулятор і перемножити потрібне число саме на себе. Якщо під рукою немає калькулятора, можна використовувати вбудований калькулятор у мобільному телефоні. Для більш просунутих користувачів можна порадити скористатися програмою Office Microsoft Excel, особливо, якщо такі обчислення потрібно проводити досить часто. Для цього необхідно виділити довільну комірку, наприклад G7, і вписати до неї формулу = F7 * F7. Далі в комірку F7 ввести будь-яке число, а в комірці G7 отримати результат.

Як звести до квадрата число, остання цифра якого 5. Для зведення у квадрат цього числа потрібно відкинути останню цифру числа. Отримане число необхідно перемножити з числом на 1 більшим. Потім потрібно дописати число 25 праворуч після отриманого результату. приклад. Нехай потрібно отримати квадрат числа 35. Після того, як буде відкинуто останню цифру 5, залишається число 3. Додається 1- виходить число 4.3х4=12. Дописується 25 і виходить результат 1225. 35х35 = 3 * 4 дописати 25 = 1225.

Як звести до квадрата число, остання цифра якого 6. Цей алгоритм підійде для тих, хто розібрався з питанням, як звести до квадрата число, що закінчується на цифру 5. Як відомо з математики, квадрат двочлена можна розрахувати за формулою (А+В) х (А + В) = АхА + 2хАхВ + ВхВ. У випадку зі зведенням у квадрат числа A, остання цифра якого 6, це число можна уявити як А=В+1, де В - число, яке на 1 менше від числа А, тому його остання цифра - 5. У цьому випадку формулу можна уявити у простішому вигляді (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Нехай для прикладу це число буде 16. Рішення 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Усне правило: для того, щоб знайти квадрат числа, що закінчується на 6: потрібно попереднє число звести в квадрат, додати два рази попереднє число та додати 1.

Як звести в квадрат числа від 11 до 29. Для зведення в квадрат чисел від 11 до 19, потрібно до вихідного числа додати число одиниць, результат, що вийшов, помножити на 10 і приписати праворуч зведене в квадрат число одиниць. приклад. Звести до квадрата 13. Число одиниць у цьому числі – 3. Далі потрібно обчислити проміжне число 13+3=16. Потім помножити його на 10. Виходить 160. Квадрат числа одиниць 3х3=9. Підсумковий результат 169. Для чисел третього десятка застосовується аналогічний алгоритм, тільки множити потрібно на 20 і одиниць додавати, а не приписувати. приклад. Обчислити квадрат числа 24. Знаходиться число одиниць – 4. Обчислюється проміжне число – 24+4=28. Після множення на 20 утворюється 560. Квадрат числа одиниць 4х4=16. Підсумковий результат 560+16=576.

Як звести до квадрата числа від 40 до 60. Алгоритм досить простий. Спочатку потрібно знайти, наскільки це число більше або менше середини діапазону числа 50. До отриманого результату додати (якщо число більше 50) або відняти (якщо число менше 50) 25. Отриману суму (або різницю) помножити на 100. До отриманого результату додати квадрат різниці між числом, квадрат якого необхідно визначити, і числом 50. Приклад: необхідно визначити квадрат числа 46. Різниця 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Підсумок: 46х46 = 2116.

Ще один прийом як звести в квадрат числа від 40 до 60. Для того щоб обчислити квадрат числа від 40 до 49, необхідно число одиниць збільшити на 15, отриманий результат помножити на 100, праворуч від нього приписати квадрат різниці між останньою цифрою заданого числа і 10. Приклад. Обчислити квадрат числа 42. Число одиниць цього числа - 2. Додається 15: 2+15=17. Знаходиться різниця цього числа одиниць і 10. Вона дорівнює 8. Зводиться в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписується праворуч до попереднього результату 17. Виходить підсумкове число 1764. Якщо число знаходиться в діапазоні від 51 до 59, то для зведення його в квадрат використовується той же алгоритм, тільки до одиниць потрібно додавати 25.

Як зводити в квадрат в думці будь-яке двозначне число. Якщо людина знає, як зводити в квадрат однозначні числа, тобто - знає таблицю множення, то він не виникне проблем при обчисленні квадратів двоцифрових чисел. приклад. Потрібно звести двозначне число 36 квадратний. Це число множиться на кількість своїх десятків. 36х3 = 8. Далі потрібно знайти добуток цифр числа: 3х6 = 18. Потім скласти обидва результати. 108 +18 = 126. Наступний крок: необхідно звести квадрат одиниці вихідного числа: 6х6=36. В отриманому творі визначається кількість десятків – 3 та додається до попереднього результату: 126+3=129. І останній крок. Праворуч отриманого результату приписується кількість одиниць вихідного числа, у цьому прикладі - 6. Кінцевий результат – число 1296.

Існує безліч способів, як зводити в квадрат різні числа. Деякі з наведених алгоритмів досить прості, деякі досить громіздкі і на перший погляд незрозумілі. Багато людей користуються століттями. Кожна людина може сама розробити свої власні більш зрозумілі та цікаві алгоритми. Але якщо є проблеми з усним рахунком чи виникли інші труднощі – доведеться залучити технічні засоби.

Уміння вважати в думці квадрати чисел може стати в нагоді в різних життєвих ситуаціях, наприклад, для швидкої оцінки інвестиційних угод, для підрахунку площ та обсягів, а також у багатьох інших випадках. Крім того, вміння вважати квадрати в умі може бути демонстрацією ваших інтелектуальних здібностей. У цій статті розібрано методики та алгоритми, що дозволяють навчитися цій навичці.

Квадрат суми та квадрат різниці

Одним із найпростіших способів зведення двоцифрових чисел у квадрат є методика, заснована на використанні формул квадрата суми та квадрата різниці:

Для використання цього методу необхідно розкласти двозначне число на суму кратного числа 10 і числа менше 10. Наприклад:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Практично всі методики зведення квадрат (які описані нижче) ґрунтуються на формулах квадрата суми і квадрата різниці. Ці формули дозволили виділити ряд алгоритмів, що спрощують зведення в квадрат у деяких окремих випадках.

Квадрат близький до відомого квадрата

Якщо число, яке зводиться в квадрат, знаходиться близько до числа, квадрат якого ми знаємо, можна використовувати одну з чотирьох методик для спрощеного рахунку в розумі:

На 1 більше:

Методика:до квадрата числа на одиницю менше додаємо саме число та число на одиницю менше.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 менше:

Методика:з квадрата числа на одиницю більше віднімаємо саме число та число на одиницю більше.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

На 2 більше

Методика:до квадрата числа на 2 менше додаємо подвоєну суму самого числа та числа на 2 менше.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 менше

Методика:з квадрата числа на 2 більше віднімаємо подвоєну суму самого числа та числа на 2 більше.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Всі ці методики можна легко довести, вивівши алгоритми із формул квадрата суми та квадрата різниці (про які сказано вище).

Квадрат чисел, що закінчуються на 5

Щоб звести до квадрата числа, що закінчуються на 5. Алгоритм простий. Число до останньої п'ятірки, множимо на це число плюс одиниця. До числа приписуємо 25.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Це вірно і для складніших прикладів:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Квадрат чисел близьких до 50

Рахувати квадрат чисел, які знаходяться в діапазоні від 40 до 60можна дуже простим способом. Алгоритм такий: до 25 додаємо (або віднімаємо) стільки, наскільки число більше (або менше) 50. Примножуємо цю суму (або різницю) на 100. До цього твору додаємо квадрат різниці числа, що зводиться в квадрат, і п'ятдесяти. Подивіться роботу алгоритму на прикладах:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Квадрат трицифрових чисел

Зведення у квадрат тризначних чисел може бути здійснено за допомогою однієї із формул скороченого множення:

Не можна сказати, що цей спосіб є зручним для усного рахунку, але в особливо складних випадках його можна взяти на озброєння:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Тренування

Якщо ви хочете прокачати свої вміння на тему даного уроку, можете використовувати наступну гру. На бали, які ви отримуєте, впливає правильність ваших відповідей і витрачений на проходження час. Зверніть увагу, що числа щоразу різні.