Момент інерції стрижня щодо центру мас. Центральний момент інерції

Момент інерції
Для обчислення моменту інерції ми повинні подумки розчленувати тіло на досить малі елементи, точки яких можна вважати лежать на однаковій відстані від осі обертання, потім знайти добуток маси кожного елемента на квадрат його відстані від осі і нарешті підсумувати всі отримані твори. Очевидно, це дуже трудомістка задача. Для підрахунку
моментів інерції тіл правильної геометричної форми можна скористатися часом прийомами інтегрального обчислення.
Знаходження кінцевої суми моментів інерції елементів тіла замінимо підсумовуванням нескінченно великої кількості моментів інерції, обчислених для нескінченно малих елементів:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (при Δm → 0).
Обчислимо момент інерції однорідного диска або суцільного циліндра заввишки hщодо його осі симетрії

Розчленуємо диск на елементи у вигляді тонких концентричних кілець із центрами на осі його симетрії. Отримані кільця мають внутрішній діаметр rта зовнішній r + dr, а висоту h. Так як dr<< r , то можемо вважати, що відстань усіх точок кільця від осі дорівнює r.
Для кожного окремого кільця момент інерції
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
де ΣΔm− маса всього кільця.
Об'єм кільця 2πrhdr. Якщо щільність матеріалу диска ρ , то маса кільця
ρ2πrhdr.
Момент інерції кільця
i = 2πρhr 3 dr.
Щоб підрахувати момент інерції всього диска, треба підсумувати моменти інерції кілець від центру диска ( r = 0) до краю його ( r = R), тобто обчислити інтеграл:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
або
I = (1/2)πρhR 4.
Але маса диска m = ρπhR 2, отже,
I = (1/2) mR 2.
Наведемо (без обчислення) моменти інерції для деяких тіл правильної геометричної форми, виготовлених з однорідних матеріалів


 1. Момент інерції тонкого кільця щодо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини (або тонкостінного порожнистого циліндра щодо його осі симетрії):
I = mR 2.
 2. Момент інерції товстостінного циліндра щодо осі симетрії:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
де R 1− внутрішній та R 2− зовнішній радіуси.
 3. Момент інерції диска щодо осі, що збігається з одним з його діаметрів:
I = (1/4) mR 2.
 4. Момент інерції суцільного циліндра щодо осі, перпендикулярної до утворює і проходить через її середину:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
де R− радіус основи циліндра, h− висота циліндра.
 5. Момент інерції тонкого стрижня щодо осі, що проходить через його середину:
I = (1/12)ml 2,
де l− Довжина стрижня.
 6. Момент інерції тонкого стрижня щодо осі, що проходить через один із його кінців:
I = (1/3)ml 2
7. Момент інерції кулі щодо осі, що збігається з одним з його діаметрів:
I = (2/5) mR 2.

Якщо відомий момент інерції будь-якого тіла щодо осі, що проходить через його центр мас, то момент інерції щодо будь-якої іншої осі, паралельної першої, може бути знайдений на підставі так званої теореми Гюйгенса-Штейнера.
Момент інерції тіла Iщодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції тіла I зщодо осі, паралельної даної та проходить через центр мас тіла, плюс маса тіла mпомножена на квадрат відстані lміж осями:
I = I c + ml 2.
Як приклад підрахуємо момент інерції кулі радіусу Rта масою m, підвішеного на нитки довжиною l щодо осі, що проходить через точку підвісу Про. Маса нитки мала порівняно з масою кулі. Оскільки момент інерції кулі щодо осі, що проходить через центр мас I c = (2/5) mR 2, а відстань
між осями ( l + R), то момент інерції щодо осі, що проходить через точку підвісу:
I = (2/5) mR 2 + m(l + R) 2.
Розмірність моменту інерції:
[I] = [m] × = ML 2.

Додаток. Момент інерції та її обчислення.

Нехай тверде тіло обертається навколо осі Z (рисунок 6). Його можна як незмінну з часом систему різних матеріальних точок m i , кожна з яких рухається по колу радіусом r i, що лежить у площині перпендикулярної осі Z. Кутові швидкості всіх матеріальних точок однакові. Моментом інерції тіла щодо осі Z називається величина:

де – момент інерції окремої матеріальної точки щодо осі ОZ. З визначення випливає, що момент інерції - адитивна величина, Т. е. момент інерції тіла, що складається з окремих частин, дорівнює сумі моментів інерції частин.

Малюнок 6

Очевидно, [ I] = кг×м 2. Важливість поняття моменту інерції виявляється у трьох формулах:

; ; .

Перша їх висловлює момент імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої осі Z (корисно цю формулу порівняти з виразом для імпульсу тіла P = mV c, де V c- Швидкість центру мас). Друга формула зветься основного рівняння динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі, тобто, інакше кажучи, другого закону Ньютона для обертального руху (порівняємо із законом руху центру мас: ). Третя формула виражає кінетичну енергію тіла, що обертається навколо нерухомої осі (порівняємо з виразом для кінетичної енергії частки ). Порівняння формул дозволяє зробити висновок про те, що момент інерції у обертальному русі грає роль, аналогічну масі в тому сенсі, що чим більше момент інерції тіла, тим менше кутове прискорення за інших рівних умов воно набуває (тіло, образно кажучи, важче розкрутити). Реально обчислення моментів інерції зводиться до обчислення потрійного інтеграла і може бути зроблено лише обмеженого числа симетричних тіл і лише осей симетрії. Кількість осей, навколо яких може обертатися тіло, дуже велика. Серед усіх осей виділяється та, яка проходить через чудову точку тіла. центр мас (Точку, для опису руху якої досить уявити, що вся маса системи зосереджена в центрі мас і до цієї точки прикладена сила, що дорівнює сумі всіх сил). Але осей, що проходять через центр мас, також дуже багато. Виявляється, що для будь-якого твердого тіла довільної форми існують три взаємно перпендикулярні осі. З х, З у, З z, звані осями вільного обертання , Що мають чудову властивість: якщо тіло закрутити навколо будь-якої з цих осей і підкинути вгору, то при наступному русі тіла вісь залишиться паралельною самій собі, тобто. не буде перекидатися. Закручування навколо будь-якої іншої осі цією властивістю не має. Значення моментів інерції типових тіл щодо зазначених осей наведено нижче. Якщо вісь проходить через центр мас, але становить кути a, b, g з осями З х, З у, З zвідповідно, то момент інерції щодо такої осі дорівнює

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Розглянемо коротко обчислення моменту інерції для найпростіших тіл.

1.Момент інерції довгого тонкого однорідного стрижня щодо осі, що проходить через центр стрижня мас і йому перпендикулярної.

Нехай т –маса стрижня, l –його довжина.

,

Індекс « з» у моменту інерції I cозначає, що це момент інерції щодо осі, що проходить через точку центру мас (центр симетрії тіла), C(0,0,0).

2. Момент інерції тонкої прямокутної платівки.

; ;

3. Момент інерції прямокутного паралелепіпеда.

т. З(0,0,0)

4. Момент інерції тонкого кільця.

;

т. З(0,0,0)

5. Момент інерції тонкого диска.

У силу симетрії

; ;

6. Момент інерції суцільного циліндра.

;

В силу симетрії:

7. Момент інерції суцільної кулі.

т. З(0,0,0)

8. Момент інерції суцільного конуса.

, т. С(0,0,0)

де R– радіус основи, h- Висота конуса.

Нагадаємо, що cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Нарешті, якщо вісь не проходить через центр мас, то момент інерції тіла може бути обчислений за допомогою теореми Гюйгенса Штейнера

I про = I з + md 2, (**)

де I про- момент інерції тіла щодо довільної осі, I з- момент інерції щодо паралельної їй осі, що проходить через центр мас,
m- маса тіла, d- Відстань між осями.

Процедура обчислення моментів інерції тіл стандартної форми щодо довільної осі зводиться до наступного.

Щодо нерухомої осі («осьовий момент інерції») називається величина J a, що дорівнює сумі творів мас усіх nматеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

• m i- Маса i-ї точки,
• r i- відстань від i-ї точки до осі.

Осьовий момент інерціїтіла J aє мірою інертності тіла у обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі .

Якщо тіло однорідне, тобто його густина скрізь однакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент інерціїтвердого тіла щодо будь-якої осі залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але також від положення тіла по відношенню до цієї осі. Відповідно до теореми Штейнера (теореми Гюйгенса-Штейнера), момент інерціїтіла Jщодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерціїцього тіла J cщодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглянутої осі, і добутку маси тіла mна квадрат відстані dміж осями:

де – повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

Осьові моменти інерції деяких тіл

Тіло	Опис	Становище осі a	Момент інерції J a
	Матеріальна точка маси m	На відстані rвід точки, нерухома
	Порожнистий тонкостінний циліндр або кільце радіусу rта маси m	Вісь циліндра
	Суцільний циліндр або диск радіусу rта маси m	Вісь циліндра
	Порожнистий товстостінний циліндр маси mіз зовнішнім радіусом r 2та внутрішнім радіусом r 1	Вісь циліндра
	Суцільний циліндр довжини l, радіуса rта маси m
	Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіуса rта маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець
	Тонкостінна сфера радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр сфери
	Куля радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр кулі
	Конус радіусу rта маси m	Ось конуса
	Рівнобедрений трикутник з висотою h, основою aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через вершину
	Правильний трикутник зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через центр мас
	Квадрат зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині квадрата і проходить через центр мас

Висновок формул

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції складових його частин. Розіб'ємо тонкостінний циліндр на елементи з масою dmта моментами інерції dJ i. Тоді

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється на вигляд

Товстостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Нехай є однорідне кільце із зовнішнім радіусом Rвнутрішнім радіусом R 1 товщиною hта щільністю ρ. Розіб'ємо його на тонкі кільця завтовшки dr. Маса та момент інерції тонкого кільця радіусу rскладе

Момент інерції товстого кільця знайдемо як інтеграл

Оскільки об'єм та маса кільця рівні

отримуємо остаточну формулу для моменту інерції кільця

Однорідний диск (суцільний циліндр)

Висновок формули

Розглядаючи циліндр (диск) як кільце з нульовим внутрішнім радіусом ( R 1 = 0), отримаємо формулу для моменту інерції циліндра (диска):

Суцільний конус

Висновок формули

Розіб'ємо конус на тонкі диски завтовшки dhперепендикулярні осі конуса. Радіус такого диска дорівнює

де R– радіус основи конуса, H- Висота конуса, h- Відстань від вершини конуса до диска. Маса та момент інерції такого диска складуть

Інтегруючи, отримаємо

Суцільна однорідна куля

Висновок формули

Розіб'ємо кулю на тонкі диски завтовшки dhперпендикулярні осі обертання. Радіус такого диска, розташованого на висоті hвід центру сфери, знайдемо за формулою

Маса та момент інерції такого диска складуть

Момент інерції сфери знайдемо інтегруванням:

Тонкостінна сфера

Висновок формули

Для виведення скористаємося формулою моменту інерції однорідної кулі радіусу R:

Обчислимо, наскільки зміниться момент інерції кулі, якщо при незмінній щільності його радіус збільшиться на нескінченно малу величину dR.

Тонкий стрижень (вісь проходить через центр)

Висновок формули

Роз'єм стрижень на малі фрагменти завдовжки dr. Маса та момент інерції такого фрагмента дорівнює

Інтегруючи, отримаємо

Тонкий стрижень (вісь проходить через кінець)

Висновок формули

При переміщенні осі обертання з середини стрижня на його кінець центр ваги стрижня переміщається щодо осі на відстань l/2. За теоремою Штейнера новий момент інерції дорівнюватиме

Безрозмірні моменти інерції планет та їх супутників

Велике значення для досліджень внутрішньої структури планет та їх супутників мають їхні безрозмірні моменти інерції. Безрозмірний момент інерції тіла радіусу rта маси mдорівнює відношенню його моменту інерції щодо осі обертання до моменту інерції матеріальної точки тієї ж маси щодо нерухомої осі обертання, розташованої на відстані r(Рівному mr 2). Ця величина відбиває розподіл маси по глибині. Одним з методів її вимірювання у планет і супутників є визначення доплерівського зміщення радіосигналу, що передається АМС, що пролітає біля цієї планети або супутника. Для тонкостінної сфери безрозмірний момент інерції дорівнює 2/3 (~0,67), для однорідної кулі - 0,4, і тим менше, чим більша маса тіла зосереджена біля його центру. Наприклад, у Місяця безрозмірний момент інерції близький до 0,4 (рівний 0,391), тому припускають, що він відносно однорідний, його щільність із глибиною змінюється мало. Безрозмірний момент інерції Землі менший, ніж у однорідної кулі (рівний 0,335), що є аргументом на користь існування у неї щільного ядра.

Відцентровий момент інерції

Відцентровими моментами інерції тіла по відношенню до осей прямокутної декартової системи координат називаються такі величини:

де x, yі z- координати малого елемента тіла об'ємом dV, щільністю ρ та масою dm.

Вісь OX називається головною віссю інерції тіла, якщо відцентрові моменти інерції J xyі J xzодночасно дорівнюють нулю. Через кожну точку тіла можна провести три основні осі інерції. Ці осі взаємно перпендикулярні одна одній. Моменти інерції тілащодо трьох головних осей інерції, проведених у довільній точці Oтіла, називаються головними моментами інерції тіла.

Головні осі інерції, що проходять через центр мас тіла, називаються головними центральними осями інерції тіла, а моменти інерції щодо цих осей – його головними центральними моментами інерції. Вісь симетрії однорідного тіла завжди є однією з головних центральних осей інерції.

Геометричний момент інерції

Геометричний момент інерції – геометрична характеристика перерізу виду

де - відстань від центральної осі до будь - якого елементарного майданчика щодо нейтральної осі .

Геометричний момент інерції не пов'язані з рухом матеріалу, він лише відбиває ступінь жорсткості перерізу. Використовується для обчислення радіусу інерції, прогину балки, підбору перерізу балок, колон та ін.

Одиниця виміру СІ - м 4 . У будівельних розрахунках, літературі та сортаментах металопрокату зокрема вказується у см 4 .

З нього виражається момент опору перерізу:

Центральний момент інерції

Центральний момент інерції(або момент інерції щодо точки O) – це величина

Центральний момент інерції можна сказати через основні осьові чи відцентрові моменти инерции: .

Тензор інерції та еліпсоїд інерції

Момент інерції тіла щодо довільної осі, що проходить через центр мас і має напрямок, заданий одиничним вектором, можна подати у вигляді квадратичної (білінійної) форми:

де - тензор інерції. Матриця тензора інерції симетрична, має розміри та складається з компонентів відцентрових моментів:

Вибір відповідної системи координат матриця тензора інерції може бути приведена до діагонального вигляду. Для цього потрібно вирішити задачу про власні значення для матриці тензора:
,
де - ортогональна матриця переходу у свій базис тензора інерції. У своєму базисі координатні осі спрямовані вздовж основних осей тензора інерції, і навіть збігаються з головними півосями еліпсоїда тензора інерції. Величини – головні моменти інерції. Вираз (1) у власній системі координат має вигляд:

звідки виходить рівняння

Часто ми чуємо вирази: він інертний, рухатися по інерції, момент інерції. У переносному значенні слово «інерція» може трактуватися як відсутність ініціативи та дій. Нас цікавить пряме значення.

Що таке інерція

Відповідно до визначення інерціяу фізиці – це здатність тіл зберігати стан спокою чи руху за відсутності дії зовнішніх сил.

Якщо із самим поняттям інерції все зрозуміло на інтуїтивному рівні, то момент інерції- Окреме питання. Погодьтеся, складно уявити, що це таке. У цій статті Ви навчитеся вирішувати базові завдання на тему "Момент інерції".

Визначення моменту інерції

Зі шкільного курсу відомо, що маса – міра інертності тіла. Якщо ми штовхнемо два візки різної маси, то зупинити складніше буде той, який важчий. Тобто чим більша маса, тим більша зовнішня дія необхідна, щоб змінити рух тіла. Розглянуте відноситься до поступального руху, коли візок з прикладу рухається прямою.

За аналогією з масою та поступальним рухом момент інерції – це міра інертності тіла при обертальному русі навколо осі.

Момент інерції- скалярна фізична величина, міра інертності тіла при обертанні навколо осі. Позначається буквою J та в системі СІ вимірюється у кілограмах, помножених на квадратний метр.

Як порахувати момент інерції? Є загальна формула, за якою у фізиці обчислюється момент інерції будь-якого тіла. Якщо тіло розбити на нескінченно малі шматочки масою dm , то момент інерції дорівнюватиме сумі творів цих елементарних мас на квадрат відстані до осі обертання.

Це загальна формула для моменту інерції у фізиці. Для матеріальної точки маси m , що обертається навколо осі на відстані r від неї, дана формула набуває вигляду:

Теорема Штейнера

Від чого залежить момент інерції? Від маси, положення осі обертання, форми та розмірів тіла.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – дуже важлива теорема, яку часто використовують під час вирішення завдань.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Теорема Гюйгенса-Штейнера каже:

Момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас паралельно довільної осі та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Для тих, хто не хоче постійно інтегрувати при розв'язанні задач на знаходження моменту інерції, наведемо малюнок із зазначенням моментів інерції деяких однорідних тіл, які часто зустрічаються у задачах:

Приклад розв'язання задачі знаходження моменту інерції

Розглянемо два приклади. Перше завдання – знайти момент інерції. Друге завдання – використання теореми Гюйгенса-Штейнера.

Завдання 1. Знайти момент інерції однорідного диска маси m і радіусу R. Вісь обертання проходить через центр диска.

Рішення:

Розіб'ємо диск на нескінченно тонкі кільця, радіус яких змінюється від 0 до Rі розглянемо одне таке кільце. Нехай його радіус – r, а маса - dm. Тоді момент інерції кільця:

Масу кільця можна представити у вигляді:

Тут dz- Висота кільця. Підставимо масу у формулу для моменту інерції та проінтегруємо:

У результаті вийшла формула моменту інерції абсолютного тонкого диска чи циліндра.

Завдання 2. Нехай знову є диск маси m і радіуса R. Тепер потрібно знайти момент інерції диска щодо осі, що проходить через середину одного з його радіусів.

Рішення:

Момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, відомий із попереднього завдання. Застосуємо теорему Штейнера і знайдемо:

До речі, у нашому блозі Ви можете знайти й інші корисні матеріали з фізики.

Сподіваємося, що Ви знайдете у статті щось корисне для себе. Якщо в процесі розрахунку тензора інерції виникають труднощі, не забувайте про студентський сервіс. Наші фахівці проконсультують з будь-якого питання та допоможуть вирішити завдання за лічені хвилини.

Розглянемо тепер проблему визначення моменту інерціїрізних тіл. Загальна формула для знаходження моменту інерціїоб'єкта щодо осі z має вигляд

Іншими словами, потрібно скласти всі маси, помноживши кожну з них на квадрат її відстані до осі (x 2 i + y 2 i). Зауважте, що це правильно навіть для тривимірного тіла, незважаючи на те, що відстань має такий «двовимірний вигляд». Втім, у більшості випадків ми обмежуватимемося двовимірними тілами.

Як простий приклад розглянемо стрижень, що обертається щодо осі, що проходить через його кінець і перпендикулярна до нього (фіг. 19.3). Нам потрібно підсумувати тепер усі маси, помножені на квадрати відстані х (у цьому випадку всі у — нульові). Під сумою, зрозуміло, я маю на увазі інтеграл від х2, помножений на «елементики» маси. Якщо ми розділимо стрижень на шматочки довжиною dx, то відповідний елемент маси буде пропорційний dx, а якби dx становило довжину всього стрижня, його маса була б дорівнює М. Тому

Розмірність моменту інерції завжди дорівнює масі, помноженій на квадрат довжини, тому єдина істотна величина, яку ми вирахували, це множник 1/3.

А чому дорівнює момент інерції I, якщо вісь обертання проходить через середину стрижня? Щоб знайти його, нам знову потрібно взяти інтеграл, але вже в межах -1/2L до +1/2L. Зауважимо, однак, одну особливість цього випадку. Такий стрижень з віссю, що проходить через центр, можна уявляти собі як два стрижні з віссю, що проходить через кінець, причому маса кожного з них дорівнює М/2, а довжина дорівнює L/2. Моменти інерції двох таких стрижнів дорівнюють один одному і обчислюються за формулою (19.5). Тому момент інерції всього стрижня дорівнює

Таким чином, стрижень набагато легше крутити за середину, аніж за кінець.

Можна, звичайно, продовжити обчислення моментів інерції інших тіл, які нас цікавлять. Але оскільки такі розрахунки вимагають великого досвіду у обчисленні інтегралів (що дуже важливо саме собою), вони як такі не становлять нам великого інтересу. Втім, тут є деякі дуже цікаві та корисні теореми. Нехай є якесь тіло і ми хочемо впізнати його момент інерції щодо якоїсь осі. Це означає, що хочемо знайти його інертність при обертанні навколо цієї осі. Якщо ми рухатимемо тіло за стрижень, що підпирає його центр мас так, щоб воно не поверталося при обертанні навколо осі (у цьому випадку на нього не діють жодні моменти сил інерції, тому тіло не повертатиметься, коли ми почнемо рухати його), то для того, щоб повернути його, знадобиться така ж сила, якби вся маса була зосереджена в центрі мас і момент інерції був би просто дорівнює I 1 = MR 2 ц.м. де R ц.м - відстань від центру мас до осі обертання. Проте ця формула, зрозуміло, неправильна. Вона не дає правильного моменту інерції тіла. Адже насправді при повороті тіло обертається. Крутиться як центр мас (що давало б величину I 1), саме тіло теж має повертатися щодо центру мас. Таким чином, на момент інерції I 1 потрібно додати I ц - момент інерції щодо центру мас. Правильна відповідь полягає в тому, що момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює

Ця теорема називається теоремою про паралельне перенесення осі. Доводиться вона дуже легко. Момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює сумі мас, помножених на суму квадратів х і у, тобто I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Ми зараз зосередимо нашу увагу на х, проте все точно можна повторити і для у. Нехай координата є відстань даної приватної точки від початку координат; подивимося, проте, як усе зміниться, якщо ми вимірюватимемо відстань х` від центру мас замість х від початку координат. Щоб це з'ясувати, ми маємо написати
x i = x `i + X ц.м.
Зводячи цей вираз у квадрат, знаходимо
x 2 i = x `2 i + 2X ц.м. x`i+X 2 ц.м.

Що вийде, якщо помножити його на m i і підсумувати за всіма r? Виносячи постійні величини за знак підсумовування, знаходимо

I x = Σm i x` 2 i + 2X ц.м. Σm i x` i + X2 ц.м. Σm i

Третю суму підрахувати легко; це просто МХ 2 ц. . Другий член складається з двох співмножників, один з яких Σm i x`i; він дорівнює x`-координаті центру мас. Але це має дорівнювати нулю, адже х` відраховується від центру мас, а в цій системі координат середнє положення всіх частинок, зважене їх масами, дорівнює нулю. Перший член, очевидно, є частиною х від I ц. Таким чином, ми приходимо до формули (19.7).

Давайте перевіримо формулу (19.7) одному прикладі. Просто перевіримо, чи буде вона застосовна для стрижня. Ми вже знайшли, що момент інерції стрижня щодо його кінця повинен дорівнювати ML 2 /3. А центр мас стрижня, очевидно, перебуває в відстані L/2. Таким чином, ми маємо отримати, що ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Оскільки одна четверта + одна дванадцята = однієї третьої, ми не зробили ніякої грубої помилки.

До речі, щоб знайти момент інерції (19.5) зовсім не обов'язково обчислювати інтеграл. Можна просто припустити, що він дорівнює величині ML 2 помноженої на деякий невідомий коефіцієнт γ. Після цього можна використовувати міркування про дві половинки та для моменту інерції (19.6) отримати коефіцієнт 1/4γ. Використовуючи тепер теорему про паралельне перенесення осі, доведемо, що γ=1/4γ + 1/4, звідки γ=1/3. Завжди можна знайти якийсь манівець!

При застосуванні теореми про паралельні осі важливо пам'ятати, що вісь I ц повинна бути паралельна осі, щодо якої ми хочемо обчислювати момент інерції.

Варто, мабуть, згадати про ще одну властивість, яка часто буває дуже корисною при знаходженні моменту інерції деяких типів тіл. Воно полягає в наступному: якщо у нас є плоска фігура та трійка координатних осей з початком координат, розташованим у цій площині, і віссю z, спрямованої перпендикулярно до неї, то момент інерції цієї фігури щодо осі z дорівнює сумі моментів інерції щодо осей х і у . Доводиться це дуже просто. Зауважимо, що

Момент інерції однорідної прямокутної пластинки, наприклад з масою М, шириною ω і довжиною L щодо осі, перпендикулярної до неї і проходить через її центр, дорівнює просто

оскільки момент інерції щодо осі, що лежить у площині пластинки і паралельної її довжині, дорівнює Mω 2 /12, тобто такий самий, як і для стрижня довжиною ω, а момент інерції щодо іншої осі в тій же площині дорівнює ML 2 / 12 такий же, як і для стрижня довжиною L.

Отже, перерахуємо властивості моменту інерції щодо цієї осі, яку ми назвемо віссю z:

1. Момент інерції дорівнює

2. Якщо предмет складається з кількох частин, причому момент інерції кожної їх відомий, то повний момент інерції дорівнює сумі моментів інерції цих частин.
3. Момент інерції щодо будь-якої даної осі дорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток повної маси на квадрат відстані даної осі від центру мас.
4. Момент інерції плоскої фігури щодо осі, перпендикулярної до її площини, дорівнює сумі моментів інерції щодо будь-яких двох інших взаємно перпендикулярних осей, що лежать у площині фігури та перетинаються з перпендикулярною віссю.

У табл. 19.1 наведено моменти інерції деяких елементарних фігур, що мають однорідну щільність мас, а табл. 19.2 - моменти інерції деяких фігур, які можуть бути одержані з табл. 19.1 з використанням перерахованих вище властивостей.