Нарисна геометрія. Теорія

Робота з кількома об'єктами

Зміна взаємного розташування об'єктів

У процесі створення малюнків постійно доводиться розташовувати об'єкти по одній лінії або на рівній відстані один щодо одного. Наприклад, симетричну фігуру з дев'яти об'єктів досить складно створити “на око”. Тому у графічному редакторі CorelDRAW існують спеціальні засоби, які суттєво полегшують взаємне вирівнювання об'єктів. Ці засоби допоможуть розташувати об'єкти вздовж вертикальної чи горизонтальної лінії. Крім того, ви можете розташувати об'єкти на рівній відстані один від одного. Ці кошти використовуються, якщо потрібно розмістити об'єкти точно в центрі сторінки. Створіть дев'ять найпростіших об'єктів. Скористаємося вирівнюванням об'єктів для їхнього симетричного розташування. Виділіть ліві три з щойно створених об'єктів, тобто перший стовпець.

Тепер приступимо до вирівнювання виділених об'єктів. Натисніть кнопку У розпорядити – Вирівняти та розподілити. На екрані з'явиться діалог для налаштування вирівнювання об'єктів, відкритий на вкладці (Выравнивание). Встановіть прапорець П про центру верхній частині діалогу Застосувати.Ми встановили вирівнювання об'єктів їх центрами в горизонтальному напрямку. Зверніть увагу, що поруч із кожним прапорцем наведено зображення - схема взаємного вирівнювання об'єктів.

Перейдіть на вкладку Розподіл.Встановіть прапорець Інтервалу лівій частині вікна та у верхній частині вікна, об'єкти будуть вирівняні на однаковій відстані по горизонталі та по вертикалі. Застосувати - Закрити

Аналогічно попрацюйте з другим і третім стовпцем, потім з кожним рядком. У результаті всі об'єкти будуть вирівняні на однаковій відстані

Що було Що стало

Об'єднання об'єктів у групи

Якщо вам потрібно працювати з кількома об'єктами, як з одним, ви можете просто виділити їх. Але при частому виділенні тих самих об'єктів втрачається багато часу. Крім того, при виділенні можна пропустити один з об'єктів, і подальші дії будуть неправильними. Тому для постійної роботи з кількома об'єктами, як з одним, ці об'єкти об'єднуються у групу

Виділіть усі об'єкти з минулого завдання. У рядку стану при цьому з'явиться повідомлення (виділено об'єктів: 9 шар 1).

Натисніть кнопку У впорядкувати – Згрупувати Запис у рядку стану при цьому зміниться на (Група (9) Шар 1). Щоб розгрупувати об'єкти, потрібно виконати зворотну операцію: виділити групу, упорядкувати – скасувати групування.

Накладання об'єктів один на одного

Як ви вже знаєте, об'єкти в CorelDRAW можуть розташовуватися один над одним. У цьому верхні об'єкти закривають нижні. Якщо верхні об'єкти залиті непрозорим кольором, нижні не видно. Порядок накладання об'єктів визначається порядком їх створення: у самому низу завжди знаходиться об'єкт, який створювався першим. Але послідовність розташування об'єктів один з одним можна змінювати. Саме про це зараз і йтиметься. Для наших експериментів ми створимо три простих об'єкти, зафарбуйте їх різними кольорами та розташуйте приблизно так, як на малюнку.

Якщо ви створите об'єкти в заданій послідовності, то внизу буде розташований багатокутник над ним зірка, а нагорі – прямокутник.Виділітьбагатокутник, який є найнижчим об'єктом, і натисніть У порядкувати – Порядок – На передній план сторінки

Багатокутник буде розташований поверх решти всіх об'єктів.

Натисніть У порядкувати – Порядок – На задній план сторінки. Багатокутник знову опиниться позаду інших об'єктів.

Натисніть У порядкувати – Порядок – На рівень уперед. Багатокутник буде розташований поверх зірки/але під прямокутником. (Не забувайте спочатку об'єкт виділяти)

Перед вибором команд зміни порядку накладання можна виділяти кілька об'єктів, наприклад, для розміщення всіх виділених об'єктів над іншим об'єктом. Пропоную вам самостійно перевірити це практично.

З'єднання об'єктів

Найзручнішим способом створення складних геометричних об'єктів є їхнє складання з простих. Розглянемо операцію з'єднання об'єктів. На відміну від об'єднання об'єктів групи, при з'єднанні виходить один новий об'єкт. У цьому з'являється можливість створювати об'єкти з отворами всередині. Отже, виконаємо з'єднання кількох об'єктів. Створимо прямокутний отвір у багатокутнику.

Намалюйте багатокутник на вільному полі документа, після чого намалюйте прямокутник, розташувавши його всередині багатокутника. Виділіть багатокутник та прямокутник. Можете вирівняти центром об'єкти, щоб вийшов більш акуратний малюнок. Натисніть кнопку Перетинвиділиться прямокутник всередині багатокутника. Перемістіть прямокутник, усередині багатокутника буде отвір.

При вирішенні низки позиційних завдань виникає потреба будувати сліди прямої. У перспективі слідами прямої є точки її перетину з предметною та картинною площинами. Точка перетину прямої з предметною площиною називається її предметним слідом. Крапка перетину прямої з картинною площиною називається її картинним слідом.

Для побудови слідів прямий її укладають у площину. Потім будують лінії перетину допоміжної площини з предметною та картинною. Продовживши пряму до перетину з отриманими лініями, знаходять точки перетину прямий з картинною (картинний слід) і предметною (предметний слід) площинами. На малюнку 30 показано побудову в перспективі предметного Ап і картинного Ак слідів низхідної прямої АКА" загального положення. Аналогічно будують сліди висхідної (рис. 32) і низхідної (рис. 33) прямих особливого положення.Зауважимо, що прямі приватного положення, як правило, мають тільки один слід. вертикальна (рис. 35) прямі мають тільки предметний слід А. Глибинна (рис. 36) і горизонтальна прямі, розташовані під довільним кутом до картинної площини (рис. 37), мають тільки картинний слід. площин, слідів немає.

Розділ 2. Зображення точки і прямої в перспективі

§ 10. Взаємне становище прямих

Щодо один одного прямі можуть бути паралельними, що перетинаються, схрещуються. Важливо знати та вміти визначати ознаки взаємного становища двох прямих, зображених на картині. Це дозволить вирішувати прямі (будувати перспективу взаємного становища прямих) і зворотні (визначати взаємне становище із зображенням на картині) завдання. Паралельні прямі. Найчастіше зустрічаються паралельні прямі. З практики спостережної перспективи відомо, що паралельні прямі здаються нам схожими на одній точці (залізничне полотно, шосейна дорога, вулиця тощо.). Для обґрунтування такого явища звернемося до проецірующего апарату. Задамо на проецірующем апараті (рис. 38, а) пучок паралельних прямих, довільно розташованих у предметній площині та паралельній їй. Збудуємо перспективу кожної прямої. І тому скористаємося наявними точками Ао, Во, Ео, т. е. картинними слідами цих прямих. Визначимо граничну точку кожної прямої (див. рис. 18). Зауважимо, що для всіх заданих прямих вона буде загальна - Л "о, оскільки визначається одним і тим же променем зору SAoo, проведеним паралельно їм до перетину з лінією горизонту. Отже, довільно спрямовані горизонтальні паралельні прямі на картині зображуються пучком прямих, що сходяться в одній граничній точці.Загальна гранична точка довільно розташованих горизонтальних паралельних прямих знаходиться на лінії горизонту і називається точкою сходу.(Закон точки сходу горизонтальних прямих). "оо), що лежать у предметній площині та їй паралельній (ЕхЕ"оо), точка сходу Л", може лежати в будь-якому місці на лінії горизонту в залежності від їхнього напрямку. Рис. 38 Якщо паралельні прямі глибинні, тобто розташовані перпендикулярно до картинної площини, то точкою сходу їх буде головна ечка Р (рис. 39). Отже, точкою сходу глибинних паралельних прямих є основна точка картини. (Закон точки сходу пучка глибинних прямих.) Розглянемо перспективу висхідних паралельних прямих загального становища (рис. 40). Якщо висхідні прямі паралельні, Го їх проекції на предметну площину також між собою па-еаллельні. Проекції паралельних прямих лежать у предметній площині, тому матимуть загальну граничну точку а - точку Сходу на лінії горизонту. Тоді точка сходу Лоо висхідних па-залельных прямих лежатиме на перпендикулярі, проведеному лінії горизонту через точку сходу а їх проекцій. Отже, висхідні паралельні прямі загального положення мають точку сходу, розташовану над лінією горизонту в довільному місці і лежачу на одному сходу проекцій цих прямих.(Закон точки сходу пучка висхідних прямих загального становища.) Аналогічно будують зображення низхідних паралельних прямих.Різниця лише в тому, що їх точка сходу ^ буде розташована в довільному місці під лінією горизонту (рис. 41).

Рис 41 Отже, низхідні паралельні прямі загального положення мають точку сходу, розташовану під лінією горизонту в довільному місці, що лежить на одному перпендикулярі з точкою сходу їх проекцій. (Закон точки сходу пучка низхідних прямих загального становища.) Отже, ознакою паралельності прямих загального становища, зображених на картині, є розташування одному перпендикулярі точок сходу прямих та його проекцій. У цьому точка сходу проекцій паралельних прямих повинна лежати лінії горизонту. На малюнку 42 зображені дві пари висхідних (Л,РВ і А2РВ) і низхідних (РК і В2Рн) паралельних прямих особливого положення. За підсумками загального правила їх точки сходу лежать однією перпендикулярі до лінії горизонту. Зауважимо, що у разі перпендикуляром є лінія головного вертикалу. Отже, висхідні паралельні прямі особливого стану мають точку сходу лінії головного вертикалу над горизонтом, які проекцій - у головній точці. (Закон точки сходу пучка висхідних прямих особливого становища.) Отже, низхідні паралельні прямі особливого становища мають точку сходу лінії головного вертикалу під горизонтом, які проекцій - у головній точці картини. (Закон точки сходу пучка низхідних прямих особливого становища.)

Рис. 42 Особливі ознаки мають прямі приватне положення, розташовані паралельно картині. Прямі, паралельні картині, зображуються у ньому паралельними. Якщо паралельні прямі фронтальні, то перспективі вони залишаються паралельними між собою, які проекції паралельні підставі картини, оскільки ці прямі та його проекції немає граничних точок (рис. 43). Рис. 43 Якщо паралельні прямі вертикальні, то в перспективі вони залишаються вертикальними і паралельними між собою, тому що вони не мають граничної точки. (Рис. 45). Пересічні прямі. Задамо на картині дві прямі, що перетинаються в точці А (рис. 46). Тоді проекції цих прямих на предметну площину перетинаються у точці а. Причому точка а – проекція точки перетину А даних прямих. Точки А та а знаходяться на одному перпендикулярі. Якщо картині точки перетину двох прямих та його проекцій лежать одному перпендикуляре, то дані прямі перетинаються між собою насправді. Схрещуються прямі. Задамо на картині дві прямі, що схрещуються (рис. 47). Якщо прямі схрещуються, вони не можуть бути паралельними і не повинні мати загальної точки. Отже, на картині точки перетину прямих та їх проекцій не повинні лежати на одному перпендикулярі. Рис. 46 Рис. 47 І дійсно, якщо на картині перпендикуляр до предметної площини, проведений з точки а1 перетину проекцій двох прямих, перетинає їх у двох різних точках А1 і А2, то ці прямі схрещуються між собою насправді. На картині точка, що здається перетином двох прямих, є зображенням двох різних точок В1 і В2, що лежать на прямих, що схрещуються. Обидві точки розташовані одному промені зору і тому на картині збігаються. Зауважимо, що підстави цих крапок, що злилися на картині, по-різному віддалені від підстави картини (В1 ближче, В2 далі). Це вказує на різне віддалення від картини відповідних їм точок на заданих прямих (точка, ближче до глядача, а точка В2 далі). Прямі схрещуються насправді, якщо картині точка перетину проекцій даних прямих є проекцією двох різних точок. Розглянемо побудову точок сходу паралельних (горизонтальних, висхідних і низхідних), а також прямих, що перетинаються і схрещуються, на прикладі перспективного зображення каркаса куреня (рис. 48). Рис. 48 Прямі, проведені через кінці жердин (У, 2, 3, 4) і коник куреня, є довільно спрямованими горизонтальними паралельними. Вони мають загальну точку сходу Q," на лінії горизонту. Проекції похилих жердин мають точку сходу q^ на лінії горизонту. через точку сходу їх проекцій qx Інша пара (3 і 4) похилих жердин куреня є низхідними паралельними прямими, і точка сходу їх QH знаходиться на тому ж перпендикулярі під лінією горизонту. сходи для висхідних і низхідних прямих повинні знаходитися на одному перпендикулярі до лінії горизонту і на однаковій відстані.По даному малюнку неважко визначити, які елементи куреня паралельні, перетинаються і схрещуються.

Запитання та вправи для самоконтролю 1. Яке положення точки в предметному просторі називають загальним, приватним? Які ознаки на картині відбивають це становище? 2. Як побудувати перспективу точки, заданої у предметному просторі? 3. Задайте картину (100 ммX 70 мм) з її елементами та 5 точок на ній: / - у предметній площині; 2 і 3 довільно розташовані в предметному просторі, але знаходяться нижче за лінію горизонту, при цьому 2 ближче, ніж 1, a 3 далі, ніж /; 4 і 5 знаходяться вище лінії горизонту, при цьому 4 на однаковому видаленні з 3 а 5 далі всіх. 4. На картині (рис. 49) умовно задані 8 точок: вершини двох дерев, дві птахи, що сидять на проводах, два птахи, що летять на дорозі предмет, вершина телеграфного стовпа. Визначте зображення на картині, яка з точок ближче і далі, вище і нижче всіх. Чи можна визначити віддаленість і висоту двох птахів, що летять? Дайте обґрунтування вашому судженню. Рис. 49 5. Доведіть, що перспектива пряма є пряма. 6. Як побудувати перспективу відрізка? 7. Яке положення відрізка прямої називається загальним, приватним? 8. Як побудувати перспективу нескінченно продовженої прямої, що лежить у предметній площині або їй паралельна? Що називається граничною точкою прямою? 9. Що називається лінією горизонту?

10. Що називається висхідною (низхідною) прямою загального та особливого становища? Як їх збудувати на картині? Вкажіть ознаки, що визначають ці прямі картині. 11. На картині (рис. 50) задано відрізки прямих. Визначте їхнє просторове положення. Вкажіть, де будуть їх граничні точки. Назвіть відрізки прямих на картині. 12. Які приватні положення може мати пряма, розташована в предметному просторі? Які ознаки на картині визначають їхнє становище? 13. За зображенням будиночка на картині (рис. 51) визначте його положення
Рис. 50 Мал. 51 елементів, що відображають горизонтальні, вертикальні, фронтальні, висхідні та низхідні прямі. 14. Що називається слідом прямою? Які сліди має пряма на картині? Як побудувати на картині сліди прямої? 15. Скільки і які сліди матимуть прямі: висхідні та низхідні загального та особливого становища, горизонтальні, фронтальні, вертикальні? Задайте на картині ці прямі та побудуйте їх сліди. 16. Що називається точкою сходу прямих? 17. Де знаходиться точка сходу: глибинних прямих, висхідних і низхідних загального та особливого становища, горизонтальних прямих, розташованих довільно та під кутом 45° до картинної площини? 18. При якому положенні паралельні прямі не мають точок сходу і залишаються паралельними? Дайте обґрунтування вашому судженню.

Відомо, що фронтальна, горизонтальна та профільна проекції є зображеннями проекційного креслення. Видамиприйнято називати ті зображення на машинобудівних кресленнях, які є проекції зовнішніх видимих поверхонь предметів. Можна також сказати, що під видамимаються на увазі видимі частини поверхонь предметів, звернені до спостерігача і показані на кресленнях.

Розташування видів на кресленні

Згідно з чинним на сьогоднішній день стандартом, розрізняють три види: основний, місцевий та додатковий.

Керуючись ГОСТ 2.305 - 68, види, що виходять на всіх основних проекціях площин, мають такі назви:

Головний вигляд(вид спереду). Він знаходиться на тому місці, де знаходиться фронтальна проекція

Вид зверху. Знаходиться під головним виглядом, тобто на тому місці, де розташована горизонтальна проекція

Вид зліва. Розміщується праворуч від головного виду, на тому місці, де розташовується профільна проекція

Вид справа. Знаходиться з лівого боку головного виду

Вид знизу. Розміщується над головним видом

Вид ззаду. Знаходиться з правого боку від виду зліва

Так само, як і всі проекції, основні види перебувають у проекційному зв'язку. При складанні машинобудівних креслень розробники намагаються вибирати якнайменше видів, й те водночас, щоб форма зображеного предмета було представлено і у всіх подробицях. У тих випадках, якщо це необхідно, ті частини поверхонь предметів, що є невидимими, допускається позначати за допомогою штрихових ліній.

Найповнішу інформацію про зображений на кресленні предмет повинен надавати головний вигляд. З цієї причини розташування деталі щодо фронтальної площини проекцій необхідно здійснювати таким чином, щоб можна було спроектувати її видимі поверхні із зазначенням найбільшої кількості елементів, що визначають форму. Крім того, саме головному виду слід демонструвати всі особливості форми деталі, уступи, вигини поверхні, силует, отвори, виїмки. Це необхідно робити з метою забезпечення максимально швидкого впізнавання тієї форми, яку має виріб, що зображується.

На креслярських графічних документах найменування видів не наносяться, за винятком тих випадків, коли з головним зображенням деталі вони знаходяться у прямому та безпосередньому проекційному зв'язку.

	Види поза проекційним зв'язком Для того щоб робоче поле креслення використовувати найбільш раціональним способом, згідно з діючими нормами та стандартами, допускається зображення видів на будь-якому їх місці, причому поза будь-яким проекційним зв'язком. Ті види, які розташовуються без проекційного зв'язку з головним видом, слід позначати різними літерами кирилиці (російського алфавіту), а щодо напряму, то для його вказівки слід застосовувати стрілки.
Розміри стрілки Усі стрілки, що наносяться на кресленнях у разі відображення виду поза проекційним зв'язком, повинні мати строго певні розміри, що встановлюються чинним стандартами.
	Розташування видів на полі креслення Основною вимогою, якій має відповідати розміщення на кресленнях головного та інших основних видів, є раціональність. При цьому необхідно враховувати також розміщення текстового матеріалу та необхідність нанесення розмірів. Згідно з діючими стандартами, не допускається розташовувати види на кресленнях таким чином, щоб це перешкоджало повному уявленню форми деталі на головному вигляді.
Раціональне розташування видів Під раціональним розташуванням видів на машинобудівних кресленнях розуміється таке їх розміщення, при якому дається повне уявлення про форму та всі особливості зображуваної деталі.
	Застосування розривів У тих випадках, коли предмети, що зображуються на кресленнях, мають ділянки, де поперечний переріз або є постійним, або змінюється закономірним чином, їх допустимо зображувати з розривами. При цьому контури цих розривів повинні позначатися за допомогою суцільної тонкої хвилястої лінії.
Місцевий вигляд За місцевим виглядом розуміється таке зображення окремої ділянки поверхні предмета, що утворено за допомогою проектування на одну з основних проекційних площин. Допускається обмеження місцевого виду за допомогою тонкої хвилястої лінії урвища. У тих випадках, коли місцевий вид зображується поза проекційним зв'язком, напрям погляду на основному вигляді вказується за допомогою стрілки, а на даному місцевому вигляді наноситься буквене позначення.
	Додаткові види У тих випадках, коли зображення, якийсь частини деталі на кресленні неможливо нанести таким чином, щоб не спотворити його форму і розміри, застосовують додаткові види. Їх отримують за допомогою проектування на площині, які не є паралельними щодо основних площин проекцій.
Якщо додатковий вид позиціонується у проекційному зв'язку з вихідним зображенням, символи, що позначають вигляд і напрямок погляду, не наноситься.
	Коли додатковий вид зміщений у бік від проекційного зв'язку, то напрям погляду вказується за допомогою стрілки з нанесенням літерного позначення, а над додатковим зображенням робиться позначення виду.
Допускається поворот основного вигляду, що супроводжується нанесенням знака «повернуто».
	Знак «повернутий» має строго певні розміри і повинен наноситися відповідно до прийнятих правил та стандартів.

Правила зображення предметів (виробів, споруд та їх складових елементів) на кресленнях для всіх галузей промисловості та будівництва встановлює ГОСТ 2.305 – 2008* «Зображення – види, розрізи, перерізи».

Зображення предметів повинні виконуватися за допомогою методу прямокутного (ортогонального) проектування. При цьому предмет розташовують між спостерігачем та відповідною площиною проекцій. При побудові зображень предметів стандарт допускає застосування умовностей і спрощень, внаслідок чого зазначена відповідність порушується. Тому виходять при проецірованіі предмета фігури називають не проекціями, а зображеннями. Як основні площини проекцій приймають грані пустотілого куба, який подумки поміщають предмет і проектують його на внутрішні поверхні граней. Грані поєднують із площиною (Малюнок 2.1). В результаті такого проектування виходять такі зображення: вид спереду, вид зверху, вид ліворуч, вид праворуч, вид ззаду, вид знизу.

Зображення на передній поверхні приймається на кресленні як головне. Предмет мають відносно фронтальної площини проекцій так, щоб зображення на ній давало найбільш повне уявлення про конструктивні особливості предмета і його функціональне призначення.

Розглянемо вибір головного зображенняз прикладу такого предмета, як стілець. Зобразимо його проекції схематично:

Поміркуємо: функціональне призначення предмета – предмет служить для того, щоб на ньому сидіти. На якому з малюнків це призначення найбільш зрозуміло - мабуть, це малюнок 1 або 2, 3-й - найменш інформативний.

Конструктивні особливості предмета - є безпосередньо сидіння, спинка, для зручності сидіння на стільці, розташовану під певним кутом щодо сидіння, ніжки, що мають сидіння на певній відстані від підлоги. На якому з малюнків ці особливості найбільш наочно представлені? Вочевидь, що це рисунок 1.

Висновок - як головний вид вибираємо проекцію під номером 1, як найбільш інформативну і найбільш повну інформацію про функціональне призначення стільця і його конструктивні особливості.

Подібним чином потрібно міркувати при виборі головного зображення будь-якого предмета!

Зображення на кресленні залежно від змісту поділяються на види, перерізи, розрізи.

Вид - Зображення видимої частини поверхні предмета, зверненої до спостерігача.

Види поділяються на основні, місцеві та додаткові.

Основні види — зображення отримують шляхом проектування предмета на площині проекцій. Усього їх шість, але найчастіше для отримання інформації про предмет використовую основні три: горизонтальну π 1 , фронтальну π 2 і профільну π 3 (Малюнок 2.1). При такому проектуванні отримують вид спереду, вид зверху, вид зліва.

Назви видів на кресленнях не написуються, якщо вони розташовані у проекційному зв'язку (Малюнок 2.1). Якщо ж види зверху, ліворуч і справа не перебувають у проекційному зв'язку з головним зображенням, всі вони відзначаються на кресленні написом на кшталт «А». Напрямок погляду вказується стрілкою, що позначається великою літерою російського алфавіту. Коли відсутнє зображення, на якому може бути показано напрям погляду, назву виду написують.

Рисунок 2.1 Освіта основних видів

Місцевий вигляд - зображення окремого обмеженого місця поверхні предмета на одній з основних площин проекцій. Місцевий вигляд можна розташовувати на будь-якому вільному місці креслення, відзначаючи написом типу «А», а у пов'язаного з ним зображення предмета повинна бути поставлена стрілка, що вказує напрям погляду, з відповідним буквеним позначенням (Малюнок 2.2 а, б).

Малюнок 2.2 – Місцеві види

Місцевий вигляд може бути обмежений лінією обриву, по можливості в найменшому розмірі (Малюнок 2.2, а), або не обмежений (Малюнок 2.2, б).

Додаткові види- зображення, що отримуються на площинах, непаралельних основним площинам проекцій. Додаткові види виконуються в тих випадках, якщо якусь частину предмета неможливо показати на основних видах без спотворення форми та розмірів. Додатковий вид відзначається на кресленні написом типу «А» (Малюнок 2.3, а), а у пов'язаного з додатковим видом зображення предмета ставиться стрілка з відповідним буквеним позначенням (Малюнок 2.3, а), що вказує напрям погляду.

Коли додатковий вид розташований у безпосередньому проекційному зв'язку з відповідним зображенням, стрілку і напис над видом не наносять (Малюнок 2.3, б). Додатковий вигляд можна повернути, зберігаючи при цьому положення, прийняте даного предмета на головному зображенні. При цьому до напису «А» додається знак («Повернуто») (Малюнок 2.3, в).

Основні, місцеві та додаткові види служать зображення форми зовнішніх поверхонь предмета. Вдале їхнє поєднання дозволяє уникнути штрихових ліній, або звести їх кількість до мінімуму. Для зменшення кількості зображень допускається на видах показувати необхідні невидимі частини поверхні за допомогою штрихових ліній. Однак, виявлення форми внутрішніх поверхонь предмета за допомогою штрихових ліній значно ускладнює читання креслення, створює передумови для неправильного його тлумачення, ускладнює нанесення розмірів і умовних позначень, тому їх. Для виявлення внутрішньої (невидимої) конфігурації предмета застосовують умовні зображення - розрізи і перерізи.

Малюнок 2.3

2.2 Розрізи

Розрізом називається зображення предмета, подумки розсіченого однією або декількома площинами.

Hа розрізі показують те, що розташоване в січній площині і що розташоване за нею.

2.2.1 Класифікація розрізів

Залежно від числа сіючих площинрозрізи поділяються на (Малюнок 2.4):

прості- при одній січній площині (Малюнок 2.6);
складні— при декількох площинах, що січуть (Малюнок 2.9, 2.10).

Малюнок 2.4 - Класифікація розрізів

Положення січної площини показують на основному зображенні товстої розімкнутої лінії (1,5s, де s- Товщина основної лінії). Довжина кожного штриха від 8 до 20 мм. Напрямок погляду показують стрілками, перпендикулярними штрихам. Стрілки зображують з відривом 2-3 мм від зовнішніх кінців штрихів. Ім'я січної площини позначається великими літерами російського алфавіту. Літери наносять паралельно горизонтальним лініям основного напису незалежно від положення стрілок (Малюнки 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.11).

Якщо при виконанні простого розрізу, що знаходиться в проекційному зв'язку з основним зображенням, площина, що січе, збігається з площиною симетрії, то січна площина не зображується, а розріз не підписується.

Рисунок 2.5 – Позначення розрізів на кресленні

Малюнок 2.6 - Простий розріз: а) - фронтальний; б) - місцевий

Залежно від положення січної площинищодо горизонтальної площини проекцій розрізи поділяються на:

горизонтальні — січна площина паралельна горизонтальній площині проекцій (Малюнок 2.7, б);
вертикальні – січна площина перпендикулярна горизонтальній площині проекцій (Малюнок 2.7, в, г);
похилі– січна площина складає з горизонтальною площиною проекцій кут, відмінний від прямого (Малюнок 2.8).

Малюнок 2.7 а – Модель деталі «Кривошип»

Рисунок 2.7 б – Простий горизонтальний розріз

Вертикальні розрізи називаються:

фронтальними , якщо січна площина паралельна фронтальній площині проекцій (Малюнок 2.7, в);
профільні, якщо січна площина паралельна профільній площині проекцій (Малюнок 2.7, г).

Малюнок 2.7 – Простий фронтальний розріз

Малюнок 2.7 г – Простий профільний розріз

Рисунок 2.8 – Похилий розріз

Складнірозрізи поділяються на:

східчасті , якщо січучі площини паралельні (ступінчасті горизонтальні, ступінчасті фронтальні) (Малюнок 2.9);
ламані, якщо січучі площини пересікаються (Малюнок 2.10).

Малюнок 2.9 – Складний – Ступінчастий розріз

Рисунок 2.10 – Складний – Ламаний розріз

Розрізи називаються:

поздовжніми, якщо січучі площини направлені вздовж довжини або висоти предмета (Малюнок 2.7, в);
поперечними, якщо січучі площини направлені перпендикулярно довжині або висоті предмета (Малюнок 2.7, г).

Розрізи, що служать для з'ясування пристрою предмета лише в окремих, обмежених місцях, називаються місцевими .

Рисунок 2.11 а – Приклади виконання розрізів

Рисунок 2.11 б – Приклади виконання розрізів, поєднаних із видами

2.2.2 Виконання розрізів

Горизонтальні, фронтальні та профільні розрізи можуть бути розташовані на місці відповідних основних видів (Малюнок 2.11, а, б).

Частина виду і частина відповідного розрізу допускається з'єднувати, розділяючи їх суцільною хвилястою лінією або лінією зі зламом (Малюнок 2.11, б). Вона не повинна збігатися з якими-небудь іншими лініями зображення.

Якщо з'єднуються половина виду і половина розрізу, кожен з яких є симметричною фігурою, то розділюючої лінією служить вісь симметрії (Малюнки 2.11, б; 2.12). Не можна з'єднувати половину виду з половиною розрізу, якщо якась лінія зображення збігається з осьовою (наприклад, ребро). У цьому випадку з'єднують більшу частину виду з меншою частиною розрізу або більшу частину розрізу з меншою частиною виду.

Допускається поділ розрізу і виду штрихпунктирною тонкою лінією, що збігається зі слідом площини симметрії не всього предмета, а лише його частини, якщо вона представляє тіло обертання. При з'єднанні половини виду з половиною відповідного розрізу, розрізняють справа від вертикальної осі і знизу від горизонтальної (Малюнок 2.12).

Малюнок 2.12

Малюнок 2.13

Місцевірозрізи виділяються на вигляді суцільними хвилястими лініями. Ці лінії не повинні збігатися з будь-якими іншими лініями зображення (Малюнок 2.13).

Фігури перерізу, отримані різними січними площинами при виконанні складногорозрізу, не розділяють одну від іншої ніякими лініями.

Складний ступінчастий розріз поміщають на місці відповідного основного виду (Малюнок 2.9) або в будь-якому місці креслення.

При ламаних розрізах січучі площини умовно повертають до поєднання в одну площину, при цьому напрям повороту може не збігатися з напрямом погляду. Якщо суміщені площини виявляться паралельними однією з основних площин проекцій, то ламаний розріз допускається поміщати на місці відповідного виду (Малюнок 2.10).

При поверненні січної площини елементи предмета, розташовані за нею, вичерчують так, як вони проеціруются на відповідну площину, з якою проводиться суміщення. Допускається з'єднання ступінчастого розрізу з ламаним у вигляді одного складного розрізу.

2.3 Перетину

Перебігом називається зображення Фігури, що виходить при уявному розсіченні предмета січною площиною(Малюнок 2.14).

На перетині показують тільки те, що потрапляє безпосередньо в січну площину.

Посічені площини вибирають так, щоб отримати нормальні поперечні перерізи.

Перерізи поділяються на:

перерізи, що входять до складу розрізу (Малюнок 2.15, а);
перерізи, що не входять до складу розрізу Рисунок 2.15.б).

Hе входять до складу розрізу діляться на:

винесені(Малюнки 2.14, а; 2.14, в; 2.15, б; 2.16, а; 2.17, а; 2.18);
накладені(Малюнки 2.14, б; 2.16, б; 2.17, б).

Винесені перерізи є переважними і їх допускається розташовувати в розриві між частинами одного і того ж виду, на продовженні сліду січної площини при симметричній фігурі перерізу, на будь-якому місці поля креслення, а також з поворотом (Малюнки 1; 2.16, а, 2.17, а, 2.18, а).

Для зображення сліду січної площини на кресленні застосовують товсту розімкнуту лінію зі стрілками, що вказують напрям погляду, і позначають площину, що січе, прописними літерами російського алфавіту. Перетин супроводжується написом на кшталт А-А (Малюнок 2.14).

Співвідношення розмірів стрілок і штрихів розімкнутої лінії повинні відповідати малюнку 2.14. Начальний і кінцевий штрихи не повинні перетинати контур зображення.

Літерні позначення присвоюють в алфавітному порядку без повторення і, як правило, без пропусків. Розмір шрифту буквених позначень повинен бути більше розміру цифр розмірних чисел приблизно в два рази. Букве позначення розташовують паралельно основний написи, незалежно від положення січної площини.

В загальному випадку, коли перетин розташовується на будь-якому вільному місці на кресленні, положення сліду площини сікається зображується, як зазначено вище, а зображення перерізу супроводжується написом, відповідного імені січої площини (рисунок 2.14, а; 2.15, б).

У випадках, показаних на Рисунках: 2.14 б, в; 2.17 а, б; 2.18 а (перетини накладені; перерізи, виконані в розриві виду; перерізи, виконані на продовженні сліду січної площини) — для симметричних перерізів слід січної площини не зображують і переріз написом не супроводжують.

Малюнок 2.14 а

Малюнок 2.14 б

Малюнок 2.14 в

Для несимметричних перерізів , Розташованих в розриві, або накладених, слід січої площини зображують, але літерами не супроводжують (Малюнок 2.16). Перетин також не супроводжують написом.

Контур винесеного перерізу виконується товстою суцільною лінією (основною лінією), а контур накладеного перерізу - тонкою суцільною лінією, при цьому контур виду не переривається.


а	б

Малюнок 2.15


а	б

Малюнок 2.16

Малюнок 2.17 а,б


а	б

Малюнок 2.18

Для декількох однакових перерізів одного і того ж предмета лінії перерізу позначають однією літерою і вичерпують один переріз. Якщо при цьому січучі площини спрямовані під різними кутами, то знак «Повернуто» не наносять (Малюнок 2.19).

Короткий курс накреслювальної геометрії

Лекції призначені для студентів інженерно-технічних спеціальностей

Метод Монжу

Якщо інформацію про відстань точки щодо площини проекції дати не за допомогою числової позначки, а за допомогою другої проекції точки, побудованої на другій площині проекцій, креслення називають двокартинним або комплексним. Основні принципи побудови таких креслень викладено Г. Монжем.
Викладений Монжем метод - метод ортогонального проектування, причому беруться дві проекції на дві взаємно перпендикулярні площині проекцій, - забезпечуючи виразність, точність і зручність вимірювання зображень предметів на площині, був і залишається основним методом складання технічних креслень

Малюнок 1.1 Точка у системі трьох площин проекцій

Модель трьох площин проекцій показано малюнку 1.1. Третя площина, перпендикулярна П1 і П2, позначається буквою П3 і називається профільною. Проекції точок на цю площину позначаються великими літерами або цифрами з індексом 3. Площини проекцій, попарно перетинаючи, визначають три осі 0x, 0y і 0z, які можна розглядати як систему декартових координат у просторі з початком у точці 0. Три площини проекцій ділять простір на вісім тригранних кутів – октантів. Як і раніше, вважатимемо, що глядач, який розглядає предмет, перебуває у першому октанті. Для отримання епюра точки в системі трьох площин проекцій площини П1 та П3 обертають до суміщення з площиною П2. При позначенні осей на епюрі негативні півосі не вказують. Якщо істотно тільки саме зображення предмета, а чи не його положення щодо площин проекцій, осі на епюрі не показують. Координатами називають числа, які ставлять у відповідність точці визначення її положення у просторі чи поверхні. У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогою прямокутних декартових координат x, y і z (абсцису, ординату та аплікату).

Для визначення положення прямий у просторі існують такі методи: 1. Двома точками (А та В). Розглянемо дві точки у просторі А та В (рис. 2.1). Через ці точки можна провести пряму лінію отримаємо відрізок. Для того, щоб знайти проекції цього відрізка на площині проекцій необхідно знайти проекції точок А і В і з'єднати їх прямою. Кожна з проекцій відрізка на площині проекцій менша від самого відрізка:<; <; <.

Рисунок 2.1 Визначення положення прямої за двома точками

2. Двома площинами (a; b). Цей спосіб завдання визначається тим, що дві непаралельні площини перетинаються в просторі по прямій лінії (цей спосіб докладно розглядається в курсі елементарної геометрії).

3. Точкою та кутами нахилу до площин проекцій. Знаючи координати точки, що належить прямої і кути нахилу її до площин проекцій, можна знайти положення прямої в просторі.

Залежно від положення прямої стосовно площин проекцій вона може займати як загальне, і приватні становища. 1. Пряма не паралельна жодній площині проекцій називається прямою загального положення (рис.3.1).

2. Прямі паралельні площинам проекцій, що займають приватне положення в просторі і називаються прямими рівнями. Залежно від того, якою площиною проекцій паралельна задана пряма, розрізняють:

2.1. Прямі паралельні горизонтальній площині проекцій називають горизонтальними або горизонталями (рис.3.2).

Рисунок 3.2 Горизонтальна пряма

2.2. Прямі паралельні фронтальній площині проекцій називаються фронтальними або фронталями (рис.3.3).

Малюнок 3.3 Фронтальна пряма

2.3. Прямі паралельні профільній площині проекцій називаються профільними (рис. 3.4).

Малюнок 3.4 Профіль прямий

3. Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називаються проецірующими. Пряма перпендикулярна до однієї площини проекцій, паралельна двом іншим. Залежно від того, якою площиною проекцій перпендикулярна пряма досліджувана, розрізняють:

3.1. Фронтально-проецуюча пряма – АВ (рис. 3.5).

Малюнок 3.5 Фронтально-проекційна пряма

3.2. Профільна пряма - АВ (рис.3.6).

Малюнок 3.6 Профільно-проєційуюча пряма

3.3. Горизонтально-проецуюча пряма – АВ (рис.3.7).

Малюнок 3.7 Горизонтально-проеційуюча пряма

Площина - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії поняття площину зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Деякі характеристичні властивості площини: 1. Площина є поверхня, що містить повністю кожну пряму, що з'єднує будь-які її точки; 2. Площина є безліч точок, рівновіддалених від двох заданих точок.

Способи графічного завдання площин Положення площини у просторі можна визначити:

1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій лінії (рис.4.1).

Малюнок 4.1 Площина задана трьома точками, що не лежать на одній прямій

2. Прямою лінією та точкою, що не належить цій прямій (рис.4.2).

Малюнок 4.2 Площина задана прямою лінією та точкою, що не належить цій лінії

3. Двома прямими, що перетинаються (рис.4.3).

Малюнок 4.3 Площина задана двома прямими лініями, що перетинаються.

4. Двома паралельними прямими (рис.4.4).

Малюнок 4.4 Площина задана двома паралельними прямими лініями

Різне положення площини щодо площин проекцій

Залежно від становища площини стосовно площин проекцій може займати як загальне, і приватні становища.

1. Площина не перпендикулярна жодній площині проекцій називається площиною загального становища. Така площина перетинає всі площини проекцій (має три сліди: - горизонтальний S1; - фронтальний S2; - профільний S3). Сліди площини загального положення перетинаються попарно на осях у точках ax, ay, az. Ці точки називаються точками сходу слідів, їх можна розглядати як вершини тригранних кутів, утворених даною площиною з двома із трьох площин проекцій. Кожен із слідів площини збігається зі своєю однойменною проекцією, а дві інші різноіменні проекції лежать на осях (рис.5.1).

2. Площини перпендикулярні площин проекцій - займають приватне положення в просторі і називаються проецірующими. Залежно від того, якою площиною проекцій перпендикулярна задана площина, розрізняють:

2.1. Площина, перпендикулярна горизонтальній площині проекцій (S ^П1) називається горизонтально-проецірующей площиною. Горизонтальна проекція такої площини є прямою лінією, яка одночасно є її горизонтальним слідом. Горизонтальні проекції всіх точок будь-яких постатей у цій площині збігаються з горизонтальним слідом (рис.5.2).

Малюнок 5.2 Горизонтально-проєціруюча площина

2.2. Площина, перпендикулярна до фронтальної площини проекцій (S ^П2) - фронтально-проеціююча площина. Фронтальною проекцією площини є пряма лінія, що збігається зі слідом S 2 (рис.5.3).

Малюнок 5.3 Фронтально-проєційна площина

2.3. Площина перпендикулярна профільній площині (S ^П3) - профільно-проецірующая площину. Окремим випадком такої площини є бісекторна площина (рис.5.4).

Малюнок 5.4 Профільно-проєційна площина

3. Площини паралельні площин проекцій - займають приватне положення в просторі і називаються площинами рівня. Залежно від того, якій площині паралельні площина, що досліджується, розрізняють:

3.1. Горизонтальна площина - площина паралельна горизонтальній площині проекцій (S // П1) - (S ^ П2, S ^ П3). Будь-яка постать у цій площині проектується на площину П1 без спотворення, але в площині П2 і П3 у прямі - сліди площини S 2 і S 3 (рис.5.5).

Рисунок 5.5 Горизонтальна площина

3.2. Фронтальна площина - площина паралельна фронтальній площині проекцій (S // П2), (S ^ П1, S ^ П3). Будь-яка постать у цій площині проектується на площину П2 без спотворення, але в площині П1 і П3 у прямі - сліди площини S 1 і S 3 (рис.5.6).

Малюнок 5.6 Фронтальна площина

3.3. Профільна площина - площина паралельна профільній площині проекцій (S // П3), (S ^ П1, S ^ П2). Будь-яка постать у цій площині проектується на площину П3 без спотворення, але в площині П1 і П2 у прямі - сліди площини S 1 і S 2 (рис.5.7).

Малюнок 5.7.

Сліди площини

Слідом площини називається лінія перетину площини з площинами проекцій. Залежно від того, з якою з площин проекцій перетинається ця, розрізняють: горизонтальний, фронтальний і профільний сліди площини.

Кожен слід площини є прямою лінією, для побудови яких необхідно знати дві точки, або одну точку та напрямок прямої (як для побудови будь-якої прямої). На малюнку 5.8 показано знаходження слідів площини S (АВС). Фронтальний слід площини S 2 побудований, як пряма з'єднує дві точки 12 і 22, що є фронтальними слідами відповідних прямих, що належать площині S . Горизонтальний слід S 1 - Пряма, що проходить через горизонтальний слід прямої АВ і S x. Профільний слід S 3 – пряма сполучна точки (S y і S z) перетину горизонтального та фронтального слідів з осями.

Малюнок 5.8 Побудова слідів площини

Визначення взаємного становища прямої та площини - позиційне завдання, на вирішення якої застосовується метод допоміжних сіючих площин. Сутність методу полягає в наступному: через пряму проведемо допоміжну площу Q і встановимо відносне положення двох прямих a і b, остання з яких є лінією перетину допоміжної сіючої площини Q і даної площини T (рис.6.1).

Рисунок 6.1 Метод допоміжних сіючих площин

Кожному з трьох можливих випадків відносного розташування цих прямих відповідає аналогічний випадок взаємного розташування прямої та площини. Так, якщо обидві прямі збігаються, то пряма а лежить у площині T, паралельність прямих вкаже на паралельність прямої та площині і, нарешті, перетин прямих відповідає випадку коли пряма а перетинає площину T. Таким чином можливі три випадки відносного розташування прямої та площини: Пряма належить площині; Пряма паралельна площині; Пряма перетинає площину, окремий випадок – пряма перпендикулярна площині. Розглянемо кожний випадок.

Пряма лінія, що належить площині

Аксіома 1. Пряма належить площині, якщо дві її точки належать тій самій площині (рис.6.2).

Завдання. Дана площина (n,k) та одна проекція прямої m2. Потрібно знайти відсутні проекції прямої m якщо відомо, що вона належить площині, заданої прямими, що перетинаються прямими n і k. Проекція прямої m2 перетинає прямі n і k в точках В2 і С2, для знаходження відсутніх проекцій прямий необхідно знайти недостатні проекції точок В і С як точок, що лежать на прямих відповідно n і k. Таким чином точки В і З належать площині заданої прямими n і k, що перетинаються, а пряма m проходить через ці точки, значить згідно аксіомі пряма належить цій площині.

Аксіома 2. Пряма належить площині, якщо має з площиною одну загальну точку і паралельна до будь-якої прямої розташованої в цій площині (рис.6.3).

Завдання. Через точку провести пряму m якщо відомо, що вона належить площині заданої пересічними прямими n і k. Нехай належить прямий n лежить у площині заданої пересічними прямими n і k. Через проекцію В2 проведемо проекцію прямої m2 паралельно прямий k2, для знаходження відсутніх проекцій прямий необхідно побудувати проекцію точки В1, як точки, що лежить на проекції прямої n1 і через неї провести проекцію прямої m1 паралельно проекції k1. Таким чином точки В належать площині заданої прямими n і k, що перетинаються, а пряма m проходить через цю точку і паралельна прямий k, значить згідно аксіомі пряма належить цій площині.

Малюнок 6.3 Пряма має з площиною одну загальну точку і паралельна прямій розташованій у цій площині

Головні лінії у площині

Серед прямих ліній, що належать площині, особливе місце займають прямі, що займають приватне становище у просторі:

1. Горизонталі h - прямі, що у даній площині і паралельні горизонтальної площині проекцій (h//П1)(рис.6.4).

Малюнок 6.4 Горизонталь

2. Фронталі f - прямі, розташовані в площині та паралельні фронтальній площині проекцій (f//П2) (рис.6.5).

Малюнок 6.5 Фронталь

3. Профільні прямі р - прямі, що знаходяться в даній площині та паралельні профільній площині проекцій (р//П3) (рис.6.6). Слід зазначити, що сліди площини можна також віднести до головним лініям. Горизонтальний слід – це горизонталь площини, фронтальний – фронталь та профільний – профільна лінія площини.

Малюнок 6.6 Профіль прямий

4. Лінія найбільшого ската та її горизонтальна проекція утворюють лінійний кут j, яким вимірюється двогранний кут, складений даною площиною та горизонтальною площиною проекцій (рис.6.7). Очевидно, якщо пряма немає двох загальних точок з площиною, вона або паралельна площині, або перетинає її.

Рисунок 6.7 Лінія найбільшого схилу

Взаємне розташування точки та площини

Можливі два варіанти взаємного розташування точки та площини: або точка належить площині, або ні. Якщо точка належить площині з трьох проекцій, визначальних положення точки у просторі, довільно задати можна лише одну. Розглянемо приклад (рис.6.8): Побудова проекції точки А належить площині загального стану заданої двома паралельними прямими a(a//b).

Завдання. Дано: площина T(а,в) та проекція точки А2. Потрібно побудувати проекцію А1 якщо відомо, що точка А лежить у площині а. Через точку А2 проведемо проекцію прямої m2, що перетинає проекції прямих a2 та b2 у точках С2 та В2. Побудувавши проекції точок С1 та В1, що визначають положення m1, знаходимо горизонтальну проекцію точки А.

Малюнок 6.8. Крапка, що належить площині

Дві площини у просторі можуть бути або взаємно паралельні, в окремому випадку збігаючись один з одним, або перетинатися. Взаємно перпендикулярні площини є окремим випадком площин, що перетинаються.

1. Паралельні площини. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом пересічним прямим іншою площині. Це визначення добре ілюструється завданням, через точку провести площину паралельну площині, заданої двома прямими ab, що перетинаються, (рис.7.1). Завдання. Дано: площину загального положення, задану двома прямими, що перетинаються ab і точка В. Потрібно через точку провести площину, паралельну площині ab і задати її двома перетинаються прямими c і d. Відповідно до визначення якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині то ці площини паралельні між собою. Для того щоб провести на епюрі паралельні прямі необхідно скористатися властивістю паралельного проектування – проекції паралельних прямих – паралельні між собою d||a, с||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2, с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Малюнок 7.1. Паралельні площини

2. Площини, що перетинаються, окремий випадок – взаємно перпендикулярні площини. Лінія перетину двох площин є пряма, для побудови якої досить визначити дві її точки, загальні обом площин, або одну точку та напрямок лінії перетину площин. Розглянемо побудову лінії перетину двох площин, коли одна з них проецує (рис.7.2).

Завдання. Дано: площина загального положення задана трикутником АВС, а друга площина - горизонтально проецірующая T. Потрібно побудувати лінію перетину площин. Розв'язання задачі полягає у знаходженні двох точок загальних для даних площин, через які можна провести пряму лінію. Площина, задана трикутником АВС, можна уявити, як прямі лінії (АВ), (АС), (ВС). Точка перетину прямої (АВ) з площиною T - точка D, прямий (AС) -F. Відрізок визначає лінію перетину площин. Так як T - горизонтально проецірующая площину, то проекція D1F1 збігається зі слідом площини T1, таким чином залишається тільки побудувати проекції, що відсутні, на П2 і П3.

Малюнок 7.2. Перетин площини загального положення з горизонтальною площиною.

Перейдемо до загальної нагоди. Нехай у просторі задані дві площини загального стану a(m,n) та b(ABC) (рис.7.3).

Малюнок 7.3. Перетин площин загального стану

Розглянемо послідовність побудови лінії перетину площин a(m//n) та b(АВС). За аналогією з попереднім завданням для знаходження лінії перетину даних площин проведемо допоміжні січні площини g і d. Знайдемо лінії перетину цих площин з площинами, що розглядаються. Площина g перетинає площину a прямою (12), а площину b - прямою (34). Точка До - точка перетину цих прямих одночасно належить трьом площинам a, b і g, будучи таким чином точкою лінії перетину площин a і b, що належить лінії. Площина d перетинає площини a і b за прямими (56) і (7C) відповідно, точка їх перетину М розташована одночасно в трьох площинах a, b, d і належить прямій лінії перетину площин a і b. Таким чином знайдено дві точки, що належать лінії перетину площин a і b - пряма (КМ).

Деякого спрощення при побудові лінії перетину площин можна досягти, якщо допоміжні сіючі площини проводити через прямі площину, що задають.

Взаємно перпендикулярні до площини. Зі стереометрії відомо, що дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до іншої. Через точку А можна провести безліч перпендикулярних площин даної площини a(f,h). Ці площини утворюють у просторі пучок площин, віссю якого є перпендикуляр, опущений з точки А на площину a . Для того щоб з точки А провести площину перпендикулярну площині заданої двома прямими hf, що перетинаються, необхідно з точки А провести пряму n перпендикулярну площині hf (горизонтальна проекція n перпендикулярна горизонтальній проекції горизонталі h, фронтальна проекція n перпендикулярна фронтальній проекції фронталі f). Будь-яка площина, що проходить через пряму n, буде перпендикулярна площині hf, тому для завдання площини через точки А проводимо довільну пряму m. Площина задана двома прямими mn, що перетинаються, буде перпендикулярна площині hf (рис.7.4).

Малюнок 7.4. Взаємно перпендикулярні площині

Метод плоскопаралельного переміщення

Зміна взаємного положення проектованого об'єкта та площин проекцій методом плоскопаралельного переміщення здійснюється шляхом зміни положення геометричного об'єкта так, щоб траєкторія руху її точок знаходилася в паралельних площинах. Площини носії траєкторій переміщення точок паралельні до будь-якої площини проекцій (рис. 8.1). Траєкторія довільна лінія. При паралельному перенесенні геометричного об'єкта щодо площин проекцій, проекція фігури хоч і змінює своє положення, але залишається конгруентної проекції фігури у її вихідному положенні.

Рисунок 8.1 Визначення натуральної величини відрізка методом плоскопаралельного переміщення

Властивості плоскопаралельного переміщення:

1. При кожному переміщенні точок у площині паралельної площині П1, її фронтальна проекція переміщається прямою лінією, паралельної осі х.

2. У разі довільного переміщення точки в площині паралельної П2 її горизонтальна проекція переміщається по прямій паралельній осі х.

Метод обертання навколо осі перпендикулярної площини проекцій

Площини носій траєкторій переміщення точок паралельні площині проекцій. Траєкторія – дуга кола, центр якого знаходиться на осі перпендикулярної площини проекцій. Для визначення натуральної величини відрізка прямого загального положення АВ (рис. 8.2), виберемо вісь обертання (i) перпендикулярну до горизонтальної площини проекцій і проходить через В1. Повернемо відрізок так, щоб він став паралельним фронтальній площині проекцій (горизонтальна проекція відрізка паралельна осі x). При цьому точка А1 переміститися в А"1, а точка не змінить свого положення. Положення точки А"2 знаходиться на перетині фронтальної проекції траєкторії переміщення точки А (пряма лінія паралельна осі x) і лінії зв'язку проведеної з А"1. Отримана проекція В2 А"2 визначає натуральну величину самого відрізка.

Рисунок 8.2 Визначення натуральної величини відрізка шляхом обертання навколо осі перпендикулярної горизонтальної площини проекцій

Метод обертання навколо осі паралельної площини проекцій

Розглянемо цей спосіб на прикладі визначення кута між прямими, що перетинаються (рис.8.3). Розглянемо дві проекції прямих, що перетинаються, і в які перетинаються в точці К. Для того щоб визначити натуральну величину кута між цими прямими необхідно провести перетворення ортогональних проекцій так, щоб прямі стали паралельні площині проекцій. Скористаємося способом обертання навколо лінії рівня – горизонталі. Проведемо довільно фронтальну проекцію горизонталі h2 паралельно до осі Ох, яка перетинає прямі в точках 12 і 22 . Визначивши проекції 11 та 11, побудуємо горизонтальну проекцію горизонталі h1 . Траєкторія руху всіх точок при обертанні навколо горизонталі - коло, що проектується на площину П1 у вигляді прямої лінії перпендикулярної горизонтальної проекції горизонталі.

Рисунок 8.3 Визначення кута між прямими, що перетинаються, обертанням навколо осі паралельної горизонтальної площини проекцій

Таким чином, траєкторія руху точки К1 визначена прямою К1О1, точка О-центр кола - траєкторії руху точки К. Щоб знайти радіус цього кола знайдемо методом трикутника натуральну величину відрізка КО. Продовжимо пряму К1О1 так щоб | О1К "1 | = | Точка К"1 відповідає точці К, коли прямі а і лежать в площині паралельної П1 і проведеної через горизонталь - вісь обертання. З урахуванням цього через точку К1 і точки 11 і 21 проведемо прямі, які лежать тепер у площині паралельної П1, а отже і кут фі - натуральна величина кута між прямими а і в.

Метод заміни площин проекцій

Зміна взаємного положення проектованої фігури та площин проекцій методом зміни площин проекцій досягається шляхом заміни площин П1 та П2 новими площинами П4 (рис. 8.4). Нові площини вибираються перпендикулярно до старого. Деякі перетворення проекцій потребують подвійної заміни площин проекцій (рис. 8.5). Послідовний перехід від однієї системи площин проекцій інший необхідно здійснювати, виконуючи наступне правило: відстань від нової проекції точки до нової осі повинна дорівнювати відстані від проекції, що замінюється точки до замінної осі.

Завдання 1: Визначити натуральну величину відрізка АВ прямого загального положення (рис. 8.4). З властивості паралельного проектування відомо, що відрізок проектується на площину натуральну величину, якщо він паралельний цій площині. Виберемо нову площину проекцій П4, паралельно відрізку АВ і перпендикулярно до площини П1. Введенням нової площини переходимо із системи площин П1П2 в систему П1П4 , причому в новій системі площин проекція відрізка А4В4 буде натуральною величиною відрізка АВ.