Знаходження значення виразу, приклади, рішення. Методичний посібник «система роботи над текстовим арифметичним завданням у початковій школі або як ефективно навчити учнів вирішувати завдання»

У цій статті розглянуто, як знаходити значення математичних виразів. Почнемо з простих числових виразів і далі розглядатимемо випадки у міру зростання їх складності. Наприкінці наведемо вираз, що містить буквені позначення, дужки, коріння, спеціальні математичні знаки, ступеня, функції тощо. Всю теорію, за традицією, забезпечимо багатими та докладними прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Як знайти значення числового виразу?

Числові висловлювання, окрім іншого, допомагають описувати умову завдання математичною мовою. Взагалі математичні вирази можуть бути як дуже простими, що складаються з кількох чисел і арифметичних знаків, і дуже складними, містять функції, ступеня, коріння, дужки тощо. В рамках завдання часто необхідно знайти значення того чи іншого виразу. Про те, як це робити, і йтиметься нижче.

Найпростіші випадки

Це випадки, коли вираз не містить нічого, крім чисел та арифметичних дій. Для успішного знаходження значень таких виразів знадобляться знання порядку виконання арифметичних дій без дужок, а також уміння виконувати дії з різними числами.

Якщо у виразі є лише числа та арифметичні знаки "+", "·", "-", "÷", то дії виконуються зліва направо в наступному порядку: спочатку множення та поділ, потім додавання та віднімання. Наведемо приклади.

Приклад 1. Значення числового виразу

Нехай потрібно знайти значення виразу 14-2 · 15 ÷ 6-3.

Виконаємо спочатку множення та розподіл. Отримуємо:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Тепер проводимо віднімання та отримуємо остаточний результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Приклад 2. Значення числового виразу

Обчислимо: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Спочатку виконуємо перетворення дробів, розподіл та множення:

0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Тепер займемося додаванням та відніманням. Згрупуємо дроби та приведемо їх до спільного знаменника:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Шукане значення знайдено.

Вирази з дужками

Якщо вираз містить дужки, то вони визначають порядок дій у цьому виразі. Спочатку виконуються дії у дужках, а потім уже всі інші. Покажемо на прикладі.

Приклад 3. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 0,5 · (0,76 - 0,06).

У виразі присутні дужки, тому спочатку виконуємо операцію віднімання у дужках, а вже потім – множення.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Значення виразів, що містять дужки в дужках, знаходиться за таким же принципом.

Приклад 4. Значення числового виразу

Обчислимо значення 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Виконувати дії будемо починаючи з внутрішніх дужок, переходячи до зовнішніх.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2, 5 = 1 + 2 · 6 = 13.

У знаходженні значень виразів з дужками головне - дотримуватися послідовності дій.

Вирази з корінням

Математичні вирази, значення яких потрібно знайти, можуть містити знаки кореня. Причому сам вираз може бути під знаком кореня. Як бути у такому разі? Спочатку потрібно знайти значення виразу під коренем, а потім витягти корінь із числа, отриманого в результаті. По можливості від коренів у числових виразах потрібно краще позбавлятися, замінюючи на числові значення.

Приклад 5. Значення числового виразу

Обчислимо значення виразу з корінням - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 .

Спочатку обчислюємо підкорені вирази.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Тепер можна обчислити значення всього виразу.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2 + 3 · 1, 5 = 6, 5

Часто знайти значення виразу з корінням часто потрібно спочатку провести перетворення вихідного виразу. Пояснимо це ще на одному прикладі.

Приклад 6. Значення числового виразу

Скільки буде 3 + 1 3 - 1 - 1

Як бачимо, ми не маємо можливості замінити корінь точним значенням, що ускладнює процес рахунку. Проте, у разі можна застосувати формулу скороченого множення.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким чином:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Вирази зі ступенями

Якщо у вираженні є ступеня, їх значення треба обчислити перш, ніж приступати до решти дій. Буває так, що сам показник чи основа ступеня є виразами. У такому разі спочатку обчислюють значення цих виразів, а потім уже значення ступеня.

Приклад 7. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 .

Починаємо обчислювати по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Залишилося тільки провести операцію додавання і дізнатися значення виразу:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Також часто доцільно буває провести спрощення вираження з використанням властивостей ступеня.

Приклад 8. Значення числового виразу

Обчислимо значення наступного виразу: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показники ступенів знову такі, що їх точні числові значення здобути не вдасться. Спростимо вихідний вираз, щоб знайти його значення.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Вирази з дробами

Якщо вираз містить дроби, то при обчисленні такого виразу всі дроби в ньому потрібно подати у вигляді звичайних дробів та обчислити їх значення.

Якщо в чисельнику та знаменнику дробу присутні вирази, то спочатку обчислюються значення цих виразів, і записується фінальне значення самого дробу. Арифметичні дії виконуються у стандартному порядку. Розглянемо рішення прикладу.

Приклад 9. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу, що містить дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Як бачимо, у вихідному виразі є три дроби. Обчислимо спочатку їх значення.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Перепишемо наш вираз і обчислимо його значення:

1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при знаходженні значень виразів зручно проводити скорочення дробів. Існує негласне правило: будь-який вираз перед знаходженням його значення найкраще спростити по максимуму, зводячи всі обчислення до найпростіших випадків.

Приклад 10. Значення числового виразу

Обчислимо вираз 25-1-25-74-3.

Ми не можемо націло витягти корінь із п'яти, проте можемо спростити вихідне вираження шляхом перетворень.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Вихідний вираз набуває вигляду:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Обчислимо значення цього виразу:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Висловлювання з логарифмами

Коли у виразі є логарифми, їх значення, якщо це можливо, обчислюється з самого початку. Наприклад, у виразі log 24 + 2 · 4 можна відразу замість log 24 записати значення цього логарифму, а потім виконати всі дії. Отримаємо: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Під самим знаком логарифму і в його підставі також можуть бути числові вирази. У такому разі, насамперед знаходяться їх значення. Візьмемо вираз log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Маємо:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Якщо ж обчислити точне значення логарифму неможливо, спрощення виразу допомагає знайти значення.

Приклад 11. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0,2 27 .

log 2 log 2256 = log 2 8 = 3 .

За якістю логарифмів:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .

Знову застосовуючи властивості логарифмів, для останнього дробу у виразі отримаємо:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Тепер можна переходити до обчислення значення вихідного виразу.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0,2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Вирази з тригонометричними функціями

Буває, що у виразі є тригонометричні функції синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також функції, зворотні їм. Зі значення обчислюються перед виконанням всіх інших арифметичних дій. Інакше вираз спрощується.

Приклад 12. Значення числового виразу

Знайдіть значення виразу: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .

Спочатку обчислюємо значення тригонометричних функцій, що входять до виразу.

sin - 5 π 2 = - 1

Підставляємо значення вираз і обчислюємо його значення:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .

Значення виразу знайдено.

Часто для того, щоб знайти значення виразу з тригонометричними функціями, його потрібно попередньо перетворити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 13. Значення числового виразу

Потрібно знайти значення виразу cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

Для перетворення будемо використовувати тригонометричні формули косинуса подвійного кута та косинуса суми.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Загальний випадок числового виразу

У загальному випадку тригонометричний вираз може містити всі описані вище елементи: дужки, ступеня, коріння, логарифми, функції. Сформулюємо загальне правило знаходження значень таких виразів.

Як знайти значення виразу

1. Коріння, ступеня, логарифми і т.д. замінюються їх значеннями.
2. Виконуються дії у дужках.
3. дії, Що Залишилися, виконуються по порядку зліва направо. Спочатку - множення та розподіл, потім - додавання та віднімання.

Розберемо приклад.

Приклад 14. Значення числового виразу

Обчислимо, чому дорівнює значення виразу - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 lne 2 + 1 + 3 9 .

Вираз досить складний і громіздкий. Ми невипадково вибрали саме такий приклад, постаравшись вмістити у нього всі описані вище випадки. Як знайти значення такого виразу?

Відомо, що при обчисленні значення складного виду дробу, спочатку окремо знаходяться значення чисельника і знаменника дробу відповідно. Будемо послідовно перетворювати і спрощувати цей вираз.

Насамперед обчислимо значення підкореного виразу 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Щоб зробити це, потрібно знайти значення синуса і виразу, який є аргументом тригонометричної функції.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Тепер можна дізнатися значення синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Обчислюємо значення підкореного виразу:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Зі знаменником дробу все простіше:

Тепер ми можемо записати значення всього дробу:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

З урахуванням цього, запишемо всі вирази:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Остаточний результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

У разі ми змогли обчислити точні значення коренів, логарифмів, синусів тощо. Якщо такої можливості немає, можна спробувати позбутися їх шляхом математичних перетворень.

Обчислення значень виразів раціональними способами

Обчислювати значення числових потрібно послідовно та акуратно. Цей процес можна раціоналізувати та прискорити, використовуючи різні властивості дій з числами. Наприклад, відомо, що добуток дорівнює нулю, якщо нулю дорівнює хоча б один із множників. З урахуванням цієї властивості, можна відразу сказати, що вираз 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 дорівнює нулю. При цьому зовсім не обов'язково виконувати дії по порядку, описаному в статті вище.

Також зручно використовувати властивість віднімання рівних чисел. Не виконуючи жодних дій, можна замовити, що значення виразу 56 + 8 - 3 , 789 lne 2 - 56 + 8 - 3 , 789 lne 2 також дорівнює нулю.

Ще один прийом, що дозволяє прискорити процес - використання тотожних перетворень таких як угруповання доданків та множників та винесення загального множника за дужки. Раціональний підхід до обчислення виразів з дробами - скорочення однакових виразів у чисельнику та знаменнику.

Наприклад, візьмемо вираз 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не виконуючи дій у дужках, а скорочуючи дріб, можна сказати, що значення виразу дорівнює 13.

Знаходження значень виразів із змінними

Значення літерного виразу та виразу зі змінними знаходиться для конкретних заданих значень літер та змінних.

Знаходження значень виразів із змінними

Щоб знайти значення літерного виразу та виразу зі змінними, потрібно у вихідний вираз підставити задані значення літер та змінних, після чого обчислити значення отриманого числового виразу.

Приклад 15. Значення виразу зі змінними

Обчислити значення виразу 0 5 x - y при заданих x = 2 4 і y = 5 .

Підставляємо значення змінних у вираз і обчислюємо:

0,5 x - y = 0,5 · 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8 .

Іноді можна так перетворити вираз, щоб отримати його значення незалежно від значень літер і змінних, що входять до нього. Для цього літер і змінних у виразі потрібно по можливості позбутися, використовуючи тотожні перетворення, властивості арифметичних дій і всі можливі інші способи.

Наприклад, вираз х + 3 - х, очевидно, має значення 3 і для обчислення цього значення зовсім необов'язково знати значення змінної ікс. Значення даного виразу дорівнює трьом всім значень змінної ікс з її області допустимих значень.

Ще один приклад. Значення виразу x x дорівнює одиниці всім позитивних іксів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Отже, якщо числове вираз складено з чисел і знаків +, −, · і:, то по порядку зліва направо потрібно спочатку виконати множення та поділ, а потім – додавання та віднімання, що дозволить знайти потрібне значення виразу.

Наведемо рішення прикладів пояснення.

приклад.

Обчисліть значення виразу 14−2·15:6−3.

Рішення.

Щоб знайти значення виразу, потрібно виконати всі вказані в ньому дії відповідно до прийнятого порядку виконання цих дій. Спочатку по порядку зліва направо виконуємо множення та поділ, отримуємо 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Тепер також по порядку зліва направо виконуємо дії, що залишилися: 14−5−3=9−3=6 . Так ми виявили значення вихідного виразу, воно дорівнює 6 .

Відповідь:

14−2·15:6−3=6 .

приклад.

Знайдіть значення виразу.

Рішення.

В даному прикладі нам спочатку потрібно виконати множення 2 · (-7) і поділ з множенням у виразі . Згадавши, як виконується , знаходимо 2·(−7)=−14 . А для виконання дій у виразі спочатку , після чого , і виконуємо: .

Підставляємо отримані значення вихідне выражение: .

А що робити, коли під знаком кореня знаходиться числове вираження? Щоб отримати значення такого кореня, потрібно спочатку знайти значення підкореного виразу, дотримуючись прийнятого порядку виконання дій. Наприклад, .

У числових виразах коріння слід сприймати як деякі числа, і коріння доцільно відразу замінити їх значеннями, після чого знаходити значення отриманого виразу без коріння, виконуючи дії прийнятої послідовності.

приклад.

Знайдіть значення виразу з корінням.

Рішення.

Спочатку знайдемо значення кореня . Для цього, по-перше, обчислимо значення підкореного виразу, маємо −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. А по-друге, знаходимо значення кореня.

Тепер обчислимо значення другого кореня з вихідного виразу: .

Нарешті, ми можемо визначити значення вихідного висловлювання, замінивши коріння їх значеннями: .

Відповідь:

Досить часто, щоб стало можливо знайти значення виразу з корінням, попередньо доводиться проводити його перетворення. Покажемо рішення прикладу.

приклад.

Яке значення виразу .

Рішення.

Ми не маємо можливості замінити корінь із трьох його точним значенням, що не дозволяє нам обчислити значення цього виразу описаним вище способом. Однак ми можемо обчислити значення цього виразу, виконавши нескладні перетворення. Застосуємо формулу різниці квадратів: . Враховуючи , отримуємо . Таким чином, значення вихідного виразу дорівнює 1.

Відповідь:

.

Зі ступенями

Якщо основа і показник ступеня є числами, їх значення обчислюється за визначенням ступеня, наприклад, 3 2 =3·3=9 чи 8 −1 =1/8 . Зустрічаються також записи, коли основа та/або показник ступеня є деякими виразами. У цих випадках потрібно знайти значення виразу на підставі, значення виразу в показнику, після чого обчислити значення самого ступеня.

приклад.

Знайдіть значення виразу зі ступенями виду 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Рішення.

У вихідному вираженні два ступені 2 3 4-10 і (1-1/2) 3,5-2 1/4 . Їх значення необхідно обчислити до виконання інших процесів.

Почнемо зі ступеня 2 3 · 4-10. У її показнику знаходиться числове вираз, обчислимо його значення: 3 · 4-10 = 12-10 = 2 . Тепер можна знайти значення самого ступеня: 2 3 · 4-10 = 2 2 = 4 .

В основі та показнику ступеня (1-1/2) 3,5-2·1/4 знаходяться вирази, обчислюємо їх значення, щоб потім знайти значення ступеня. Маємо (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Тепер повертаємося до вихідного виразу, замінюємо у ньому ступеня їх значеннями, і знаходимо потрібне нам значення виразу: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Відповідь:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Варто зауважити, що найпоширеніші випадки, коли доцільно провести попереднє спрощення виразу зі ступенямина базі .

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Судячи з показників ступенів, що у цьому вираженні, точні значення ступенів отримати не вдасться. Спробуємо спростити вихідний вираз, можливо це допоможе визначити його значення. Маємо

Відповідь:

.

Ступені у виразах часто йдуть рука об руку з логарифмами, але про знаходження значень виразів з логарифмами ми поговоримо в одному з .

Знаходимо значення виразу з дробами

Числові вирази у своєму записі можуть містити дроби. Коли потрібно визначити значення подібного виразу, дроби, відмінні від звичайних дробів, слід замінити їх значеннями перед виконанням інших дій.

У чисельнику і знаменнику дробів (які від звичайних дробів) можуть бути як деякі числа, і висловлювання. Щоб обчислити значення такого дробу, потрібно обчислити значення виразу в чисельнику, обчислити значення виразу в знаменнику, після чого обчислити значення самого дробу. Такий порядок пояснюється тим, що дріб a/b , де a і b – деякі вирази, по суті є окремим видом (a):(b) , оскільки .

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення виразу з дробами .

Рішення.

У вихідному числовому вираженні три дроби та . Щоб знайти значення вихідного виразу, нам спочатку потрібно ці дроби, замінити їх значеннями. Зробимо це.

У чисельнику та знаменнику дробу знаходяться числа. Щоб знайти значення такого дробу, замінюємо дробову межу знаком поділу, і виконуємо цю дію: .

У чисельнику дробу вираз 7−2·3 , його значення знайти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким чином, . Можна перейти до знаходження значення третього дробу.

Третій дріб у чисельнику і знаменнику містить числові вирази, тому спочатку потрібно обчислити їх значення, а це дозволить знайти значення самого дробу. Маємо .

Залишилося підставити знайдені значення у вихідне вираз, і виконати дії, що залишилися: .

Відповідь:

.

Часто при знаходженні значень виразів із дробами доводиться виконувати спрощення дробових виразів, що базується на виконанні дій з дробами та на скороченні дробів.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Корінь з п'яти націло не витягується, тому знаходження значення вихідного висловлювання спочатку спростимо його. Для цього позбавимося ірраціональності в знаменникупершого дробу: . Після цього вихідний вираз набуде вигляду . Після віднімання дробів пропаде коріння, що дозволить визначити значення спочатку заданого выражения: .

Відповідь:

.

З логарифмами

Якщо числове вираз містить , і якщо є можливість позбутися їх, це робиться перед виконанням інших дій. Наприклад, при знаходженні значення виразу log 2 4+2·3 , логарифм log 2 4 замінюється його значенням 2 після чого виконуються інші дії в звичайному порядку, тобто, log 2 4+2·3=2+2·3=2 +6=8.

Коли під знаком логарифму та/або в його підставі знаходяться числові вирази, то спочатку знаходяться значення, після чого обчислюється значення логарифму. Наприклад розглянемо вираз із логарифмом виду . В основі логарифму та під його знаком знаходяться числові вирази, знаходимо їх значення: . Тепер знаходимо логарифм, після чого завершуємо обчислення: .

Якщо ж логарифми не обчислюються точно, то знайти значення вихідного виразу може допомогти його спрощення з використанням . При цьому потрібно добре володіти матеріалом статті перетворення логарифмічних виразів.

приклад.

Знайдіть значення виразу з логарифмами .

Рішення.

Почнемо з обчислення log 2 (log 2256) . Оскільки 256=2 8 , то log 2 256=8 , отже, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Логарифми log 6 2 та log 6 3 можна згрупувати. Сума логарифмів log 6 2+log 6 3 дорівнює логарифму добутку log 6 (2·3) , таким чином, log 6 2+log 6 3=log 6 (2·3)=log 6 6=1.

Тепер розберемося з дробом. Для початку основу логарифму в знаменнику перепишемо у вигляді звичайного дробу як 1/5, після чого скористаємось властивостями логарифмів, що дозволить нам отримати значення дробу:
.

Залишилося лише підставити отримані результати у вихідний вираз і закінчити знаходження його значення:

Відповідь:

Як знайти значення тригонометричного виразу?

Коли числове вираз містить або т.п., їх значення обчислюються перед виконанням інших дій. Якщо під знаком тригонометричних функцій стоять числові вирази, спочатку обчислюються їх значення, після чого знаходяться значення тригонометричних функцій.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Звернувшись до статті, отримуємо та cosπ=−1 . Підставляємо ці значення у вихідний вираз, воно набуває вигляду . Щоб визначити його значення, спочатку необхідно виконати зведення на ступінь, після чого закінчити обчислення: .

Відповідь:

.

Варто зазначити, що обчислення значень виразів із синусами, косинусами тощо. часто вимагає попереднього перетворення тригонометричного виразу.

приклад.

Чому дорівнює значення тригонометричного виразу .

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, використовуючи , у разі нам знадобляться формула косинуса подвійного кута і формула косинуса суми:

Зроблені перетворення допомогли нам знайти значення виразу.

Відповідь:

.

Загальний випадок

Загалом числове вираз може містити і коріння, і ступеня, і дроби, і будь-які функції, і дужки. Знаходження значень таких виразів полягає у виконанні наступних дій:

• спочатку коріння, ступеня, дроби тощо. замінюються їх значеннями,
• далі дії у дужках,
• і по порядку зліва направо виконується дії, що залишилися - множення і розподіл, а за ними - додавання і віднімання.

Перелічені дії виконуються до одержання кінцевого результату.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Вигляд цього виразу досить складний. У цьому вся виразі бачимо дріб, коріння, ступеня, синус і логарифм. Як знайти його значення?

Просуваючись по запису зліва направо, ми натикаємося на дріб . Ми знаємо, що при роботі з дробами складного виду, нам потрібно окремо обчислити значення чисельника, окремо знаменника, і, нарешті, знайти значення дробу.

У чисельнику ми маємо корінь виду . Щоб визначити його значення, спочатку треба обчислити значення підкореного виразу . Тут є синус. Знайти його значення ми зможемо лише після обчислення значення виразу . Це ми можемо зробити: . Тоді, звідки і .

Зі знаменником все просто: .

Таким чином, .

Після підстановки цього результату у вихідний вираз, воно набуде вигляду. В отриманому вираженні міститься ступінь. Щоб знайти її значення, спочатку доведеться знайти значення показника, маємо .

Отже, .

Відповідь:

.

Якщо ж немає можливості обчислити точні значення коренів, ступенів тощо, то можна спробувати позбутися їх за допомогою будь-яких перетворень, після чого повернутися до обчислення значення за вказаною схемою.

Раціональні способи обчислення значень виразів

Обчислення значень числових виразів потребує послідовності та акуратності. Так, необхідно дотримуватись послідовності виконання дій, записаної в попередніх пунктах, але не потрібно це робити сліпо та механічно. Цим хочемо сказати, що часто можна раціоналізувати процес знаходження значення висловлювання. Наприклад, значно прискорити та спростити знаходження значення виразу дозволяють деякі властивості дій з числами.

Наприклад, ми знаємо таку властивість множення: якщо одне із множників у творі дорівнює нулю, те значення твори дорівнює нулю. Використовуючи цю властивість, ми можемо відразу сказати, що значення виразу 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45 · 36-2 · 4 + 456: 3 · 43) дорівнює нулю. Якби ми дотримувалися стандартного порядку виконання дій, то спочатку нам довелося б обчислювати значення громіздких виразів у дужках, а це зайняло б масу часу, і в результаті все одно вийшов би нуль.

Також зручно користуватися властивістю віднімання рівних чисел: якщо від числа відібрати рівне йому число, то в результаті вийде нуль. Цю властивість можна розглядати ширше: різницю двох однакових числових виразів дорівнює нулю. Наприклад, не обчислюючи значення виразів у дужках можна знайти значення виразу (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3), Воно дорівнює нулю, так як вихідне вираз являє собою різницю однакових виразів.

Раціональному обчисленню значень виразів можуть сприяти тотожні перетворення. Наприклад, буває корисним угруповання доданків і множників, не менш часто використовується винесення загального множника за дужки. Так значення виразу 53·5+53·7−53·11+5 дуже легко знаходиться після винесення множника 53 за дужки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Безпосереднє обчислення зайняло набагато більше часу.

На закінчення цього пункту звернемо увагу на раціональний підхід до обчислення значень виразів із дробами – однакові множники у чисельнику та знаменнику дробу скорочуються. Наприклад, скорочення однакових виразів у чисельнику та знаменнику дробу дозволяє відразу знайти її значення, яке дорівнює 1/2.

Знаходження значення буквеного виразу та виразу зі змінними

Значення літерного виразу та виразу зі змінними знаходиться для конкретних заданих значень літер та змінних. Тобто йдеться про знаходження значення літерного виразу для даних значень літер або про знаходження значення виразу зі змінними для вибраних значень змінних.

Правилознаходження значення літерного виразу або виразу зі змінними для даних значень літер або вибраних значень змінних таке: у вихідний вираз потрібно підставити дані значення літер або змінних, і обчислити значення отриманого числового виразу, воно є потрібним значенням.

приклад.

Обчисліть значення виразу 0,5 x-y при x = 2,4 і y = 5 .

Рішення.

Щоб знайти необхідне значення виразу, спочатку потрібно підставити вихідне вираз дані значення змінних, після чого виконати дії: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8 .

Відповідь:

−3,8 .

На закінчення відзначимо, що іноді виконання перетворень літерних виразів та виразів зі змінними дозволяє отримати їх значення, незалежно від значень літер та змінних. Наприклад, вираз x+3−x можна спростити, після чого воно набуде вигляду 3 . Звідси можна дійти невтішного висновку, що значення виразу x+3−x дорівнює 3 будь-яких значень змінної x з її області допустимих значень (ОДЗ) . Ще приклад: значення виразу дорівнює 1 всім позитивних значень x , так областю допустимих значень змінної x у вихідному вираженні є безліч позитивних чисел, і у цій галузі має місце рівність .

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.

ТЕМА УРОКА: Математичні вирази. Узагальнюючий урок.

Мета уроку:узагальнити та систематизувати всі наявні у дітей знання про математичні вирази, систематизувати та закріпити відповідні вміння.

Перелік знань та умінь:вміння виділяти математичні вирази серед інших записів; розуміння терміна «значення висловлювання»; розуміння завдання «знайти значення виразу»; знання двох видів математичних виразів 9числовий вираз, вираз зі змінною або буквене вираз; знання двох способів обчислення значення виразів: виконуючи дії відповідно до правил порядку дій і застосовуючи при обчисленні правила множення суми на число, поділу суми на число і т.п., тобто, замінюючи на основі властивостей арифметичних дій даний вираз іншим, тотожно рівним даному; вміння встановлювати рівність виразів, відносини 2більше2, «менше2; вміння складати вираз за завданням і навпаки; вміння визначати зміст виразу (і його значення), складеного за завданням; вміння читати вираз у різний спосіб і записувати висловлювання за її читанні різними способами.

ХІД УРОКУ

(Вчитель) - Тема сьогоднішнього уроку: математичні висловлювання. Метою вашої роботи на уроці буде: згадати все, що ви знаєте про математичні висловлювання, повторити та закріпити все, що ви вмієте з ними робити. А спочатку серед даних на дошці записів виберіть та прочитайте математичні вирази.

На дошці записано таке:

1. 16 · 20 · 5-360: 6 2. 63 · 756 · 0 + 8046 = 8046

3. (98-18 · а): 2 +87 4. а = 4

5. 50 · 37 · 4 = 50 · 4 · 37 = 200 · 37 = 7400

6. 1248·1·0 7. 98-14:2+5

Правильна відповідь: (1, 3, 6, 7)

(учні)- Математичними виразами є записи 1, 3, 6, 7. запис 2 – це рівність, у лівій частині якого числове вираз, а правої – значення цього виразу (твір 63·756 і0 дорівнює нулю, а сума нуля і 8046 дорівнює 8046); запис 4 це рівність; запис 5 це ланцюжок рівностей, ланцюжок рівних між собою виразів, розгорнутий запис обчислення твору на основі властивості множення – множення кількох чисел можна робити у порядку.

Вирази 1, 6 та 7 – числові вирази; 3 – буквене вираз.

(вчитель)- Подивіться вирази 1, 6, 7. Яке завдання можна з ним виконати?

(учні) - Можна знайти значення цих виразів.

(вчитель) Які правила при цьому потрібно пам'ятати?

(Учні) - Правила порядку дій.

(Вчитель)- Знайдіть значення виразу 1, вказавши послідовність виконання дій.

(учні) – послідовність (·, ·, :, ), 1540

(Вчитель)- Вкажіть раціональну послідовність виконання дії множення.

(учні) - 20 · 5,100 · 16

(Вчитель)-Знайдіть значення виразу 6.

(учні) – 0.

(вчитель)- Розгляньте ланцюжок рівностей 5. У тому порядку перемножуються числа, у якому записані у першому вираз?

(Учні) - Ні.

(вчитель)- Яка властивість множення дозволяє замінити цей вираз другим виразом у ланцюжку?

(учні) – Від перестановки місць множників твір не змінюється.

(Вчитель) - Отже, значення виразу можна шукати, виконуючи дії строго за правилами порядку дій. Можна ж замінити цей вираз рівним йому, застосовуючи властивості дій і виконати тоді дії не в тому порядку, в якому вони повинні були виконуватися в першому виразі, а в зручному для обчислень порядку.

(Вчитель)- Прочитайте вирази, використовуючи математичні терміни.

(Вчитель)- Відкрийте зошити, запишіть число, «Класна робота», тему «Математичні вирази».

(Вчитель)- Запишіть у зошиті вираз 3, попередньо прочитавши його. Праворуч від нього запишіть рівність а=4. пропустіть вниз чотири клітини. Запишіть вираз 7. Відкрийте підручники на стор. , користуючись правилами порядку дій, і повторити самі ці правила: вміння знаходити значення буквених виразів при заданому значенні букви, що входить у вираз, вміння порівнювати вирази, вміння складати за завданням вираз і навпаки, за виразом складати або знаходити в підручнику відповідне завдання, вміння визначати зміст виразів, вміння читати і записувати вирази Виконавши завдання і проконтролювавши себе, ви зможете і перевірити себе, як добре ви знаєте математичні вирази і вмієте використовувати ці знання.

ЗАВДАННЯ НА КАРТКАХ

1. Знайти значення виразу

2. Знайдіть значення виразу, що є сумою приватного виразу, що містить літеру та числа 2 та числа 87, при а=4.

Підказка 1.вираз записаний у тебе в зошит

Підказка 2.(9∙8 - 18∙а): 2+87

Консультація1.щоб знайти значення виразу, що містить літеру, потрібно замість літери в цей вираз подумки поставити його значення і обчислити значення числового виразу, що вийшов.

Консультації 2.Спочатку виконуються дії в дужках (причому спочатку множення або поділ, а потім додавання або віднімання), потім з результатом обчислення в дужках дії без дужок: спочатку множення або поділ, а потім додавання або віднімання.

3. Перепишіть п'ять разів вираз, у якому знаки дій записані так: «-« , «:», «+». Обчисліть значення цього виразу спочатку не розставляючи дужки, потім розставивши дужки чотирма різними способами те щоб серед значень вирази були числа 47, 96, 12, 86.

4. Знайдіть серед виразів, даних у вправах на сторінці 37, вираз, що є різницею двох творів і вираз, що є сумою двох приватних. Порівняйте їх. Запишіть у зошиті на пульті відповідну нерівність.

5. Знайдіть на сторінках 38 або 39 текстове завдання, для вирішення якого можна скласти вираз, що є добутком суми двох двоцифрових чисел на 2, на 3. Запишіть цей вираз. Запишіть розв'язання цього завдання щодо дій з поясненням у зошит. Наберіть число або значення величини, що вийшло в результаті рішення, на пульті, вказавши номер даного завдання, номер текстового завдання, а потім число чи значення величини.

6. Знайдіть завдання, при вирішенні яких можуть бути складені такі вирази:

1) 20:5; 2) 8-5; 3) 8+5; 4)24∙3; 5) 108:24; 6) 50+45.

Для кожного виразу вкажіть номер завдання, за яким воно складено. Назвіть номер виразів, які мають сенс для цього завдання. Вкажіть, що означає кожне з них.

ПІДСУМОК УРОКУ

(вчитель) – Користуючись кнопкою «Контроль», перевірте правильність виконання кожного завдання. Оцініть свої знання.

Отже, що ви знаєте про математичні вирази?

(учні)- Математичні вирази можуть бути числові та літерні.

Щоб знайти значення числового виразу, потрібно виконати всі дії згідно з правилами порядку дій. Можна визначити значення числового виразу та застосовуючи властивості дій.

Щоб знайти значення літерного виразу при заданому значенні літери, потрібно замість літери у вираз поставити її значення і обчислити значення числового виразу, що вийшов.

Два числові вирази можна порівнювати. З двох числових виразів то більше (менше), у якого значення більше (менше).

При вирішенні текстових завдань складаються вирази, значення останнього з яких (при записі рішення щодо дій) або значення якого (при записі рішення у вигляді виразу, а потім рівності) дає відповідь на запитання задачі.

(вчитель) - Що ви вмієте робити з виразами?

Вміємо знаходити значення числового виразу, користуючись правилами порядку дій та властивостями дій. Вміємо порівнювати вирази (для цього потрібно обчислити значення кожного виразу і порівняти їх), вміємо визначати зміст виразів, складених за даним завданням, вміємо складати вирази за завданнями, вміємо знаходити значення буквеного виразу при заданих значеннях літер, що входять до нього.

Примітка.До кожної відповіді вчитель або пропонує навести підтверджуючий приклад самого учня, або сам дає відповідне завдання з тих, що виконувались на уроці.

Запис, який складається з чисел, знаків та дужок, а також має сенс, називається числовим виразом.

Наприклад, такі записи:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

будуть числовими виразами.Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У прикладі, це число 13.

А, наприклад, такі записи

• 100 - *9,
• /32)343

не будуть числовими виразами,оскільки вони позбавлені сенсу і є просто набором чисел та знаків.

Значення числового виразу

Оскільки як знаків у числових висловлюваннях входять знаки арифметичних процесів, ми можемо порахувати значення числового выражения. Для цього необхідно виконати вказані дії.

Наприклад,

(100-32)/17 = 4, тобто для виразу (100-32)/17 значенням цього числового виразу буде число 4.

2*4+7=15, число 15 буде значенням числового виразу 2*4+7.

Часто для стислості запису не пишуть повністю значення числового виразу, а пишуть просто "значення виразу", опускаючи при цьому слово "числового".

Числова рівність

Якщо два числових вирази записані через знак одно, то ці вирази утворюють числову рівність. Наприклад, вираз 2*4+7=15 є числовою рівністю.

Як зазначалося вище, у числових виразах можуть використовуватися дужки. Як уже відомо, дужки впливають на порядок дій.

Взагалі всі дії розділені на кілька ступенів.

• Дії першого ступеня: додавання та віднімання.
• Дії другого ступеня: множення та розподіл.
• Дії третього ступеня – зведення у квадрат і зведення у куб.

Правила при обчисленні значень числових виразів

При обчисленні значень числових виразів слід керуватися такими правилами.

• 1. Якщо вираз не має дужок, то треба виконувати дії починаючи з вищих ступенів: третій ступінь, другий ступінь та перший ступінь. Якщо є кілька дій одного ступеня, їх виконують у порядку у якому вони записані, тобто зліва праворуч.
• 2. Якщо у виразі присутні дужки, то спочатку виконуються дії в дужках, а потім всі сталеві дії в звичайному порядку. При виконанні дій у дужках, якщо їх там декілька, слід користуватися порядком, описаним у пункті 1.
• 3. Якщо вираз є дріб, то спочатку обчислюються значенні в чисельнику і знаменнику, а потім чисельник ділиться на знаменник.
• 4. Якщо у виразі присутні вкладені дужки, виконувати дії слід з внутрішніх дужок.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Визначте порядок дій. Першу дію виконайте у внутрішніх дужках 489–296=193. Потім, помножте 193∙8=1544 та 34∙10=340. Наступна дія: 340 +1544 = 1884. Далі виконайте поділ 1884:4=461 і потім віднімання 461–410=60. Ви виявили значення даного виразу.

приклад. Знайдіть значення виразу 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Спростіть цей вираз. Для цього скористайтесь формулою tg α∙ctg α=1. Отримайте: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Відомо, що sin 30º=1/2 та cos 30º=√3/2. Отже, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Ви виявили значення даного виразу.

Значення виразу алгебри від . Щоб знайти значення виразу алгебри при заданих змінних, спростіть вираз. Підставте замість змінних певні значення. Виконайте необхідні дії. У результаті ви отримаєте число, яке і буде значенням виразу алгебри при заданих змінних.

приклад. Знайдіть значення виразу 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 та y=10. Спростіть цей вираз, отримайте: a–2y. Підставте відповідні значення змінних та обчисліть: a–2y=21–2∙10=1. Це значення значення виразу 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 і y=10.

Зверніть увагу

Існують вирази алгебри, які не мають сенсу при деяких значеннях змінних. Наприклад, вираз x/(7–a) немає сенсу, якщо a=7, т.к. при цьому знаменник дробу перетворюється на нуль.

Джерела:

• знайдіть найменше значення виразу
• Знайди значення виразів при 14

Навчитися спрощувати вирази в математиці просто необхідно правильно і швидко вирішувати завдання, різні рівняння. Спрощення висловлювання передбачає зменшення кількості дій, що полегшує обчислення та економить час.

Інструкція

Навчіться обчислювати ступені з . При множенні ступенів одержують числа, основа якого колишня, а показники ступенів складаються b^m+b^n=b^(m+n). При розподілі ступенів з однаковими основами отримують ступінь числа, основа якого залишається незмінною, а показники ступенів віднімаються, причому з показника діленого віднімається показник дільника b^m:b^n=b^(m-n). При зведенні ступеня в ступінь виходить ступінь числа, основа якого залишається незмінною, а показники перемножуються (b^m)^n=b^(mn)При зведенні в ступінь у цей ступінь зводиться кожен множник.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Розкладайте багаточлени на множники, тобто. уявляйте їх у вигляді добутку кількох співмножників – і одночленів. Виносьте спільний множник за дужки. Вивчіть основні формули скороченого множення: різницю квадратів, квадрат різниці, суму, різницю кубів, куб суми та різниці. Наприклад, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Саме ці формули є основними у спрощенні. Використовуйте спосіб виділення повного квадрата у тричлені виду ax^2+bx+c.

Якнайчастіше скорочуйте дроби. Наприклад, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Але пам'ятайте, що скорочувати можна лише множники. Якщо чисельник і знаменник дробу алгебри множити на одне і те ж число, відмінне від нуля, то при цьому значення дробу не зміниться. Перетворювати вирази можна двома способами: ланцюжком і з дій. Переважно другий спосіб, т.к. Легше перевірити результати проміжних дій.

Нерідко у виразах необхідно витягувати коріння. Коріння парної міри витягуються лише з невід'ємних виразів чи чисел. Коріння непарної міри витягується з будь-яких виразів.

Джерела:

• спрощення виразів зі ступенями

Тригонометричні функції спочатку виникли як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Зараз вони дуже широко застосовуються як у наукових, так і в технічних галузях людської діяльності. Для практичних обчислень тригонометричних функцій від заданих аргументів можна використовувати різні інструменти – нижче описано кілька найбільш доступних із них.

Інструкція

Скористайтеся, наприклад, програмою-калькулятором, яка встановлюється за умовчанням разом з операційною системою. Вона відкривається вибором пункту «Калькулятор» у папці «Службові» з підрозділу «Стандартні», розміщеному у розділі «Всі програми». Цей розділ можна, відкривши клацанням по кнопці «Пуск» головне меню операційної. Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то можете просто ввести «Калькулятор» у полі «Знайти програми та файли» головного меню, а потім клацнути за відповідним посиланням у результатах пошуку.

Порахуйте кількість необхідних дій та подумайте, в якому порядку їх слід виконувати. Якщо вас ускладнює це питання, зверніть увагу, що перш за інших виконуються дії, укладені в дужки, потім – розподіл та множення; і віднімання виробляються в останню чергу. Щоб було легко запам'ятати алгоритм виконуваних дій, у виразі над кожним знаком-оператором дій (+,-,*,:) тонким олівцем проставте цифри, відповідні виконання дій.

Приступайте до виконання першої дії, дотримуючись встановленого порядку. Вважайте, якщо дії легко виконати усно. Якщо потрібні обчислення (в стовпчик), здійснюйте їх запис під виразом, вказуючи порядковий номер дії.

Чітко відстежуйте послідовність виконуваних дій, оцінюйте, що з чого потрібно відняти, що розділити і т.п. Дуже часто відповідь у виразі виходить невірною через допущені помилки на даному етапі.

Відмінною рисою висловлювання є наявність математичних процесів. Воно позначаються певними знаками (множення, розподілу, віднімання чи складання). Послідовність виконання математичних процесів за необхідності коригується дужками. Виконати математичні дії означає знайти .

Що не є виразом

Не всяку математичну запис можна віднести до висловів.

Рівності є виразами. Присутні при цьому рівності математичні дії чи ні, не має значення. Наприклад, a=5 – це рівність, а чи не вираз, а й 8+6*2=20 теж вважатимуться виразом, хоча у ньому присутні множення . Цей приклад також належить до категорії рівностей.

Поняття висловлювання і рівності є взаємовиключними, перше входять до складу другого. Знак рівності поєднує два вирази:
5+7=24:2

Можна цю рівність спростити:
5+7=12

Вираз завжди передбачає, що представлені у ньому математичні дії можуть бути виконані. 9+:-7 - це не вираз, хоча тут є знаки математичних дій, адже виконати ці дії неможливо.

Існують і такі математичні, які формально є висловлюваннями, але не мають сенсу. Приклад такого виразу:
46:(5-2-3)

Число 46 необхідно розділити на результат дій у дужках, а він дорівнює нулю. На нуль ділити не можна, дія вважається забороненою.

Числові та алгебраїчні вирази

Існує два види математичних виразів.

Якщо вираз містить лише числа та знаки математичних дій, такий вираз називається числовим. Якщо ж у виразі поряд з числами присутні змінні, що позначаються літерами, чи чисел немає взагалі, вираз складається тільки із змінних та знаків математичних дій, він називається алгебраїчним.

Принципова відмінність числового значення від алгебраїчного полягає в тому, що у числового виразу значення лише одне. Наприклад, значення числового виразу 56–2*3 завжди дорівнюватиме 50, нічого змінити не можна. У алгебраїчного виразу значень може бути багато, адже замість можна підставити будь-яке число. Так, якщо у виразі b–7 замість b підставити 9, значення виразу дорівнюватиме 2, а якщо 200 – воно становитиме 193.

Джерела:

• Числові та алгебраїчні вирази