Найбільше загальне кратне та найменший спільний дільник. Ознаки ділимості та методи угруповання (2019)

До цілим числамвідносяться натуральні числа, нуль, і навіть числа, протилежні натуральним.

Натуральні числа- Це позитивні цілі числа.

Наприклад: 1, 3, 7, 19, 23 і т.д. Такі числа ми використовуємо для підрахунку (на столі лежить 5 яблук, у машини 4 колеса та ін.)

Латинською літерою \mathbb(N) - позначається безліч натуральних чисел.

До натуральних чисел не можна віднести негативні (у випорожнення не може бути негативна кількість ніжок) і дробові числа (Іван не міг продати 3,5 велосипеда).

Числами, протилежними до натуральних, є негативні цілі числа: −8, −148, −981, … .

Арифметичні дії з цілими числами

Що можна робити із цілими числами? Їх можна перемножувати, складати та віднімати один з одного. Розберемо кожну операцію на конкретному прикладі.

Додавання цілих чисел

Два цілих числа з однаковими знаками складаються наступним чином: проводиться додавання модулів цих чисел і перед отриманою сумою ставиться підсумковий знак:

(+11) + (+9) = +20

Віднімання цілих чисел

Два цілих числа з різними знаками складаються так: з модуля більшого числа віднімається модуль меншого і перед отриманою відповіддю ставлять знак більшого за модулем числа:

(-7) + (+8) = +1

Розмноження цілих чисел

Щоб помножити одне ціле число на інше, потрібно виконати перемноження модулів цих чисел і поставити перед отриманою відповіддю знак «+», якщо вихідні числа були з однаковими знаками, і знак «− », якщо вихідні числа були з різними знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Слід запам'ятати таке правило перемноження цілих чисел:

+ \cdot + = +

+ \ cdot - = -

- \cdot + = -

- \ cdot - = +

Існує правило перемноження кількох цілих чисел. Запам'ятаємо його:

Знак твору буде «+», якщо кількість множників з негативним знаком парна і «−», якщо кількість множників з негативним знаком непарна.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Розподіл цілих чисел

Розподіл двох цілих чисел проводиться так: модуль одного числа ділять на модуль іншого і якщо знаки чисел однакові, то перед отриманим приватним ставлять знак «+», а якщо знаки вихідних чисел різні, то ставиться знак «−».

(-25) : (+5) = -5

Властивості складання та множення цілих чисел

Розберемо основні властивості складання та множення для будь-яких цілих чисел a, b і c:

1. a + b = b + a - переміщувальна властивість додавання;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сполучна властивість додавання;
3. a cdot b = b cdot a - переміщувальна властивість множення;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- Сполучні властивості множення;
5. a \ cdot (b \ cdot c) = a \ cdot b + a \ cdot c- Розподільчу властивість множення.

Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Числа виникли ще первісному суспільстві у зв'язку з потребою людей вважати предмети. З часом у міру розвитку науки число перетворилося на найважливіше математичне поняття.

Для розв'язання завдань та доказів різних теорем необхідно розуміти, які бувають види чисел. Основні види чисел включають: натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа.

Натуральні числа- це числа, одержувані за природного рахунку предметів, а вірніше за її нумерації («перший», «другий», «третій»...). Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N (Можна запам'ятати, спираючись на англійське слово natural). Можна сказати що N ={1,2,3,....}

Цілі числа- Це числа з множини (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ця множина складається з трьох частин - натуральні числа, негативні цілі числа (протилежні натуральним числам) та число 0 (нуль). Цілі числа позначаються латинською літерою Z . Можна сказати що Z ={1,2,3,....}.

Раціональні числа- це числа, що у вигляді дробу, де m — ціле число, а n — натуральне число. Для позначення раціональних чисел використовується латинська літера Q . Усі натуральні та цілі числа – раціональні. Також як приклади раціональних чисел можна навести: ,,.

Дійсні (речові) числа- Це числа, які застосовуються для вимірювання безперервних величин. Безліч дійсних чисел позначається латинською літерою R. Дійсні числа включають раціональні числа та ірраціональні числа. Ірраціональні числа - це числа, які у результаті виконання різних операцій із раціональними числами (наприклад, вилучення кореня, обчислення логарифмів), але при цьому не є раціональними. Приклади ірраціональних чисел - це,.

Будь-яке дійсне число можна відобразити на числовій прямій:

Для перелічених вище множин чисел справедливе наступне висловлювання:

Тобто безліч натуральних чисел входить до множини цілих чисел. Безліч цілих чисел входить у безліч раціональних чисел. А безліч раціональних чисел входить до множини дійсних чисел. Цей вислів можна проілюструвати за допомогою кіл Ейлера.

Натуральні числа

Натуральні числа визначення – це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яким є найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яким є найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:

Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:

с – це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.

Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b

де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.

Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.

Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.

Прості натуральні числа поділяються лише на одиницю та на себе. Тут мається на увазі діляться повністю. Наприклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більші за одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складених чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числа та складові числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.

Властивості додавання та множення натуральних чисел:

переміщувальна властивість додавання

сполучна властивість додавання

(a + b) + c = a + (b + c);

переміщувальна властивість множення

сполучна властивість множення

(ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

A(b+c) = ab+ac;

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.

Раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа та дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді періодичного дробу. Приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число, натуральне число. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.

Початковий рівень

Найбільше загальне кратне та найменший спільний дільник. Ознаки ділимості та методи угруповання (2019)

Щоб НАМНОГО спростити собі життя коли треба щось вирахувати, щоб виграти дорогоцінний час на ОДЕ чи ЄДІ, щоб зробити менше дурних помилок – читай цей розділ!

Ось чому ти навчишся:

• як швидше, легше і точніше рахувати, використовуючиугруповання чиселпри складанні та відніманні,
• як без помилок, швидко множити і ділити, використовуючи правила множення та ознаки подільності,
• як значно прискорити розрахунки за допомогою найменшого загального кратного(НОК) та найбільшого спільного дільника(НД).

Володіння прийомами цього розділу може переважити шальки терезів у той чи інший бік ... поступиш ти у ВНЗ мрії чи ні, доведеться тобі або твоїм батькам платити величезні гроші за навчання або ти поступиш на бюджет.

Let's dive right in... (Поїхали!)

Важливе зауваження!Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути Ctrl+F5 (на Windows) або Cmd+R (на Mac).

Безліч цілих чиселскладається з 3 частин:

1. натуральні числа(Розглянемо їх докладніше трохи нижче);
2. числа, протилежні натуральним(все стане на свої місця, як тільки ти дізнаєшся, що таке натуральні числа);
3. нуль - " " (куди вже без нього?)

літерою Z.

Натуральні числа

«Бог створив натуральні числа, решта - справа рук людських» (c) Німецький математик Кронекер.

Натуральні числа – цечисла, які ми вживаємо для рахунку предметів і на цьому грунтується їх історія виникнення - необхідності вважати стріли, шкіри тощо.

1, 2, 3, 4... n

літерою N.

Відповідно, до цього визначення не входить (не можеш ти порахувати те, чого немає?) і тим більше не входять негативні значення (хіба буває яблуко?).

Крім цього, не входять і всі дробові числа (ми також не можемо сказати "у мене є ноутбука", або "я продав машини")

Будь-яке натуральне числоможна записати за допомогою 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким чином, 14 – це не цифра. Це число. З яких цифр воно складається? Правильно, із цифр і.

Додавання. Угруповання при додаванні щоб швидше вважати і менше помилятися

Що цікавого ти можеш сказати про цю процедуру? Звичайно, ти зараз відповіси «від перестановки доданків значення суми не змінюється». Здавалося б, примітивне, знайоме з першого класу правило, проте при вирішенні великих прикладів воно миттєво забувається!

Не забувай про нього -використовуй угрупованнящоб полегшити собі процес підрахунку та знизити ймовірність помилок, адже на ЄДІ калькулятора у тебе не буде.

Дивися сам, який вираз легше скласти?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Звичайно ж друге! Хоча результат той самий. Але! вважаючи другим способом у тебе менше шансів помилитися, і ти все зробиш швидше!

Отже, ти в умі вважаєш ось так:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Віднімання. Угруповання при відніманні, щоб швидше вважати і менше помилятися

При відніманні ми також можемо групувати віднімні числа, наприклад:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

А що, якщо віднімання чергується у прикладі зі додаванням? Так само можна групувати, відповість ти, і це правильно. Тільки прошу, не забувай про знаки перед числами, наприклад: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Пам'ятай: неправильно проставлені знаки призведуть до помилкового результату.

множення. Як множити в думці

Очевидно, що від зміни місць множників значення твору також не зміниться:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Я не говоритиму тобі «використовуй це при вирішенні прикладів» (ти й сам зрозумів натяк, правда?), а краще розповім, як швидко множити деякі числа в умі. Отже, уважно дивись таблицю:

І ще трохи про множення. Звичайно, ти пам'ятаєш два особливі випадки... Здогадуєшся про що я? Ось про це:

Ах так, ще розглянемо ознаки подільності. Усього існує 7 правил за ознаками ділимості, з яких перші 3 ти вже точно знаєш!

А ось решту зовсім не складно запам'ятати.

7 ознак ділимості чисел, які допоможуть тобі швидко рахувати в умі!

• Перші три правила ти, звичайно, знаєш.
• Четверте і п'яте легко запам'ятати - при розподілі на і ми дивимося, чи ділиться цього сума цифр, що становлять число.
• При поділі на ми звертаємо увагу на дві останні цифри числа - чи ділиться число, яке вони становлять?
• При розподілі на число має одночасно ділитися на і. Ось і вся премудрість.

Ти зараз думаєш – «навіщо мені все це»?

По-перше, ЄДІ проходить без калькулятораі ці правила допоможуть тобі зорієнтуватися в прикладах.

А по-друге, ти ж чув завдання про НІДі НОК? Знайома абревіатура? Почнемо згадувати та розбиратися.

Найбільший спільний дільник (НДД) - потрібен для скорочення дробів та швидких обчислень

Допустимо, у тебе є два числа: і. На яке найбільше число діляться обидва ці числа? Ти, не замислюючись, відповиш, бо знаєш, що:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Які цифри у розкладанні загальні? Правильно, 2 * 2 = 4. Ось і твоя відповідь була. Пам'ятаючи цей простий приклад, ти не забудеш алгоритм, як знаходити НІД. Спробуй «вибудувати» його в голові. Вийшло?

Щоб знайти НОД необхідно:

1. Розкласти числа на прості множники (на такі числа, які не можна розділити ні на що більше, крім самого себе або, наприклад, 3, 7, 11, 13 і т.д.).
2. Перемножити їх.

Розумієш, навіщо нам потрібні були ознаки подільності? Щоб ти подивився на число і міг почати ділити без решти.

Наприклад знайдемо НОД чисел 290 і 485

Перше число - .

Дивлячись на нього, ти одразу можеш сказати, що воно ділиться на, запишемо:

більше розділити ні на що не можна, а ось можна - і отримуємо:

290 = 29 * 5 * 2

Візьмемо ще одне число – 485.

За ознаками ділимості воно має без залишку ділитися на, тому що на закінчується. Ділимо:

Проаналізуємо початкове число.

• На воно ділитися не може (остання цифра – непарна),
• - не ділиться на, значить число теж не ділиться на,
• на та на також не ділиться (сума цифр, що входять до числа, не ділиться на та на)
• теж не ділиться, тому що не ділиться на і,
• на теж не ділиться, тому що не ділиться на в.
• не можна розділити на ціле,

Отже, число можна розкласти лише з і.

А тепер знайдемо НІДцих чисел (і). Яке це число? Правильно, .

Потренуємося?

Завдання №1. Знайти НОД чисел 6240 та 6800

1) Делю відразу на, тому що обидва числа 100% діляться на:

2) Поділю на великі числа (і), що залишилися, так як і без залишку діляться на (при цьому, розкладати не буду - він і так спільний дільник):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Даю спокій і почну розглядати числа в. Обидва числа точно діляться на (закінчуються на парні цифри (у такому разі уявляємо як, а можна поділити на)):

4) Працюємо з числами в. Чи мають вони спільні дільники? Так легко, як у попередніх діях, і не скажеш, тому далі просто розкладемо їх на прості множники:

5) Як ми бачимо, ми мали рацію: у і спільних дільників немає, і тепер нам потрібно перемножити.
НІД

Завдання №2. Знайти НОД чисел 345 та 324

Тут не можу швидко знайти хоч один спільний дільник, тому просто розкладаю на прості множники (якнайменше):

Точно, НОД, а я спочатку не перевірила ознаку ділимості на, і, можливо, не довелося б робити стільки дій. Але ти перевірив, правда? Молодець! Як бачиш, це зовсім нескладно.

Найменше загальне кратне (НОК) – економить час, допомагає вирішити завдання нестандартно

Припустимо, у тебе є два числа – і. Яке існує найменше число, яке ділиться і без залишку(тобто націло)? Важко уявити? Ось тобі візуальна підказка:

Ти пам'ятаєш, що позначається буквою? Правильно, якраз цілі числа.То яке найменше число підходить на місце х? :

В даному випадку.

З цього прикладу випливає кілька правил.

Правила швидкого знаходження НОК

Правило 1. Якщо одне з двох натуральних чисел ділиться на інше число, то більше цих двох чисел є їх найменшим загальним кратним.

Знайди у наступних чисел:

• НОК (7; 21)
• НОК (6; 12)
• НОК (5; 15)
• НОК (3; 33)

Звичайно, ти легко впорався з цим завданням і в тебе вийшли відповіді - , в.

Зауваж, у правилі ми говоримо про ДВОХ числах, якщо чисел буде більше, то правило не працює.

Наприклад, НОК (7; 14; 21) не дорівнює 21, так як не ділиться без залишку на.

Правило 2. Якщо два (або більше двох) числа є взаємно простими, то найменше загальне кратне дорівнює їхньому твору.

Знайди НОКу наступних чисел:

• НОК (1; 3; 7)
• НОК (3; 7; 11)
• НОК (2; 3; 7)
• НОК (3; 5; 2)

Порахував? Ось відповіді - ,; .

Як ти розумієш, не завжди можна так легко взяти і підібрати цей самий х, тому для більш складних чисел існує наступний алгоритм:

Потренуємося?

Знайдемо найменше загальне кратне – НОК (345; 234)

Розкладаємо кожне число:

Чому я одразу написав? Згадай ознаки ділимості на: ділиться на (остання цифра - парна) та сума цифр ділиться на. Відповідно, можемо відразу поділити на, записавши її як.

Тепер виписуємо в рядок найдовше розкладання - друге:

Додамо до нього числа з першого розкладання, яких немає в тому, що ми виписали:

Зауваж: ми виписали все окрім, бо вона в нас уже є.

Тепер нам необхідно усі ці числа перемножити!

Знайди найменше загальне кратне (НОК) самостійно

Які відповіді в тебе вийшло?

Ось що вийшло в мене:

Скільки часу ти витратив на перебування НОК? Мій час – 2 хвилини, правда я знаю одну хитрість, яку пропоную тобі відкрити зараз!

Якщо ти дуже уважний, то напевно помітив, що за заданими числами ми вже шукали НІДі розкладання на множники цих чисел ти міг взяти з того прикладу, тим самим спростивши собі завдання, але це далеко не все.

Подивися на картинку, можливо до тебе прийдуть ще якісь думки:

Ну що? Зроблю підказку: спробуй перемножити НОКі НІДміж собою та запиши всі множники, які будуть при перемноженні. Впорався? У тебе має вийти ось такий ланцюжок:

Придивись до неї уважніше: порівняй множники з тим, як розкладаються і.

Який висновок ти можеш зробити з цього? Правильно! Якщо ми перемножимо значення НОКі НІДміж собою, ми отримаємо твір цих чисел.

Відповідно, маючи числа та значення НІД(або НОК), ми можемо знайти НОК(або НІД) за такою схемою:

1. Знаходимо добуток чисел:

2. Ділимо твір, що вийшов на наш НІД (6240; 6800) = 80:

От і все.

Запишемо правило у загальному вигляді:

Спробуй знайти НІД, якщо відомо, що:

Впорався? .

Негативні числа - «лжечисла» та їхнє визнання людством.

Як ти вже зрозумів, це числа, протилежні натуральним, тобто:

Негативні числа можна складати, віднімати, множити та ділити – все як у натуральних. Здавалося б, що в них такого особливого? А справа в тому, що негативні числа «відвойовували» собі законне місце в математиці аж до XIX століття (до цього моменту була величезна кількість суперечок, чи існують вони).

Саме негативне число виникло через таку операцію з натуральними числами, як «віднімання». Справді, відняти - от і виходить негативне число. Саме тому, безліч негативних чисел часто називають «розширенням множини натуральних чисел».

Негативні числа довго не визнавалися людьми. Так, Стародавній Єгипет, Вавилон і Стародавня Греція - світочі свого часу, не визнавали негативних чисел, а разі отримання негативних коренів у рівнянні (наприклад, як і нас), коріння відкидалися як неможливі.

Вперше негативні числа отримали своє право на існування в Китаї, а згодом у VII столітті в Індії. Як ти думаєш, з чим пов'язане це зізнання? Правильно, негативними числами стали позначати борги (інакше – нестачу). Вважалося, що негативні числа - це тимчасове значення, яке в результаті зміниться на позитивне (тобто, гроші кредитору все ж таки повернуть). Однак індійський математик Брахмагупта вже тоді розглядав негативні числа нарівні з позитивними.

У Європі корисність негативних чисел, а також до того, що вони можуть позначати борги, дійшли значно пізніше, так, на тисячоліття. Перша згадка помічена в 1202 році в «Книзі абака» Леонарда Пізанського (відразу кажу – до Пізанської вежі автор книги стосунку ніякого не має, а ось числа Фібоначчі – це його рук справа (прізвисько Леонардо Пізанського – Фібоначчі)). Далі європейці дійшли того, що негативні числа можуть означати не лише борги, а й нестачу будь-чого, щоправда, визнавали це не всі.

Так було в XVII столітті Паскаль вважав що. Як гадаєш, чим він це доводив? Правильно, «ніщо не може бути менше НІЧОГО». Відлунням тих часів залишається той факт, що негативне число та операція віднімання позначається одним і тим же символом - мінусом «-». І правда: . Число « » позитивне, яке віднімається від, або негативне, яке підсумовується до?... Щось із серії «що перше: курка чи яйце?» Ось така, своєрідна ця математична філософія.

Негативні числа закріпили своє право існування з появою аналітичної геометрії, інакше кажучи, коли математики ввели таке поняття як числова вісь.

Саме з цього моменту настала рівноправність. Однак все одно питань було більше ніж відповіді, наприклад:

пропорція

Ця пропорція зветься «парадокс Арно». Подумай, що в ній є сумнівним?

Давай міркувати разом « » більше, ніж « » вірно? Таким чином, згідно з логікою, ліва частина пропорції має бути більшою за праву, але вони рівні... Ось він і парадокс.

У результаті математики домовилися до того, що Карл Гаусс (так, так, це той самий, який вважав суму (або) чисел) в 1831 році поставив крапку - він сказав, що негативні числа мають ті ж права, що й позитивні, а те, що вони застосовні не до всіх речей, нічого не означає, оскільки дроби так само не застосовні до багатьох речей (не буває так, що яму копають землекопа, не можна купити квитки в кіно і т.д.).

Заспокоїлися математики лише у ХІХ столітті, коли Вільямом Гамільтоном і Германом Грассманом було створено теорію негативних чисел.

Отакі вони спірні, ці негативні числа.

Виникнення «порожнечі», чи біографія нуля.

У математиці – особливе число. З першого погляду, це ніщо: додати, відібрати - нічого не зміниться, але варто тільки приписати його праворуч до « », і отримана кількість буде в рази більшою від початкового. Множенням на нуль ми всі перетворюємо на ніщо, а поділити на «ніщо», тобто ми не можемо. Одним словом, чарівне число)

Історія нуля довга та заплутана. Слід нуля знайдено у творах китайців у 2 тис. н.е. і ще раніше у майя. Перше використання символу нуля, яким він є в наші дні, було відмічено у грецьких астрономів.

Існує безліч версій, чому вибрали саме таке позначення «нічого». Деякі історики схиляються до того що це омикрон, тобто. перша літера грецького слова ніщо - ouden. Згідно з іншою версією, життя символу нуля дало слово «обол» (монета, що майже не має цінності).

Нуль (або нуль) як математичний символ вперше з'являється в індійців (зауваж, там же стали «розвиватися» негативні числа). Перші достовірні свідоцтва про запис нуля відносяться до 876 р., і в них «» – складова числа.

У Європу нуль також прийшов із запізненням - лише 1600 р., і як і негативні числа, стикався з опором (що вдієш, такі вони, європейці).

"Нуль часто ненавиділи, здавна боялися, а то й забороняли" - пише американський математик Чарльз Сейф. Так, турецький султан Абдул-Хамід II наприкінці XIX ст. наказав своїм цензорам викреслити з усіх підручників хімії формулу води H2O, приймаючи букву «О» за нуль і не бажаючи, щоб його ініціали паплюжилися сусідством з ганебним нулем».

На просторах інтернету можна зустріти фразу: «Нуля - наймогутніша сила у Всесвіті, він може все! Нуль створює порядок у математиці, і він вносить у неї хаос». Абсолютно правильно помічено:)

Короткий виклад розділу та основні формули

Безліч цілих чисел складається з 3 частин:

• натуральні числа (розглянемо їх докладніше трохи нижче);
• числа, протилежні натуральним;
• нуль - " "

Безліч цілих чисел позначається літерою Z.

1. Натуральні числа

Натуральні числа - це числа, які ми використовуємо для рахунку предметів.

Безліч натуральних чисел позначається літерою N.

В операціях з цілими числами знадобиться вміння знаходити НОД та НОК.

Найбільший спільний дільник (НДД)

Щоб знайти НОД необхідно:

1. Розкласти числа на прості множники (на такі числа, які не можна розділити ні на що більше, окрім самого себе чи, наприклад, тощо).
2. Виписати множники, що входять до складу обох чисел.
3. Перемножити їх.

Найменше загальне кратне (НОК)

Щоб знайти НОК необхідно:

1. Розкласти числа на прості множники (це вже добре вмієш робити).
2. Виписати множники, що входять у розкладання одного з чисел (краще брати найдовший ланцюжок).
3. Додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел.
4. Знайти добуток множників, що вийшли.

2. Негативні числа

це числа, протилежні натуральним, тобто:

Тепер я хочу чути тебе...

Надіюсь ти оцінив супер-корисні "трюки" цього розділу і зрозумів як вони допоможуть тобі на іспиті.

І що важливіше – у житті. Я про це не говорю, але, повір, це так. Уміння швидко і без помилок рахувати рятує у багатьох життєвих ситуаціях.

Тепер твій хід!

Напиши, чи будеш ти застосовувати методи угруповання, ознаки ділимості, НОД та НОК у розрахунках?

Можливо, ти застосовував їх раніше? Де і як?

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши у коментарях як тобі стаття.

І удачі на іспитах!

Цілі числа -це натуральні числа, а також протилежні їм числа та нуль.

Цілі числа- Розширення безлічі натуральних чисел N, яке виходить шляхом додавання до N 0 та негативних чисел типу − n. Безліч цілих чисел позначають Z.

Сума , різницю і добуток цілих чисел дають знову цілі числа, тобто. цілі числа становлять кільце щодо операцій складання та множення.

Цілі числа на числовій осі:

Скільки цілих чисел? Яка кількість цілих чисел? Найбільшого і найменшого цілого числа немає. Цей ряд нескінченний. Найбільше та найменше ціле число не існує.

Натуральні числа ще називаються позитивними цілими числами, тобто. фраза «натуральне число» і «позитивне ціле число» це те саме.

Ні прості, ні десяткові дроби є цілими числами. Але є дроби з цілими числами.

Приклади цілих чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 і так далі.

Говорячи простою мовою, цілі числа - це (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - Послідовність цілих чисел. Тобто ті, у яких дрібна частина (()) дорівнює нулю. Вони не мають часток.

Натуральні числа – це цілі, позитивні числа. Цілі числа, приклади: (1,2,3,4...+ ∞).

Операції над цілими числами.

1. Сума цілих чисел.

Для складання двох цілих чисел з однаковими знаками необхідно скласти модулі цих чисел і перед сумою поставити підсумковий знак.

Приклад:

(+2) + (+5) = +7.

2. Віднімання цілих чисел.

Для складання двох цілих чисел з різними знаками необхідно з модуля числа, яке більше відняти модуль числа, яке менше і перед відповіддю поставити знак більшого числа по модулю.

Приклад:

(-2) + (+5) = +3.

3. Примноження цілих чисел.

Для множення двох цілих чисел необхідно перемножити модулі цих чисел і перед твором поставити знак плюс (+), якщо вихідні числа були одного знака, і мінус (-) - якщо різного.

Приклад:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Коли множаться кілька чисел, знак твору буде позитивним, якщо число непозитивних співмножників парне, і негативний, якщо непарне.

Приклад:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 непозитивних помножувачів).

4. Розподіл цілих чисел.

Для поділу цілих чисел необхідно поділити модуль одного на модуль іншого і поставити перед результатом знак «+», якщо знаки чисел однакові, і мінус, - якщо різні.

Приклад:

(-12) : (+6) = -2.

Властивості цілих чисел.

Z не замкнуто щодо розподілу 2-х цілих чисел ( наприклад, 1/2). Нижче наведена таблиця показує деякі основні властивості додавання та множення для будь-яких цілих a, bі c.

З таблиці можна дійти невтішного висновку, що Z- це комутативне кільце з одиницею щодо складання та множення.

Стандартний поділ не існує на багатьох цілих чисел, але є т.зв. розподіл із залишком: для будь-яких цілих aі b, b≠0є один набір цілих чисел qі r, що a = bq + rі 0≤r<|b| , де |b|- Абсолютна величина (модуль) числа b. Тут a- ділене, b- дільник, q- приватне, r- Залишок.