Знайдемо дискримінант квадратного рівняння. Як розв'язувати квадратні рівняння? Дискримінант

Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Квадратне рівняння вирішується просто! *Далі у тексті «КУ».Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів на запит на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 осіб на місяць шукають цю інформацію, причому це літо, а що буде серед навчального року — запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив також зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться, щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:

Квадратне рівняння – це рівняння виду:

де коефіцієнти a,bі з довільними числами, причому a≠0.

У шкільному курсі матеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два корені.

2. *Мають лише один корінь.

3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюється коріння? Просто!

Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

*Ці формули треба знати напам'ять.

Можна відразу записувати та вирішувати:

Приклад:

1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, у шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…

Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівні корені, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:

х 1 = 3 х 2 = 3

Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.

Тепер такий приклад:

Як відомо – корінь із негативного числа не витягується, тому рішення у разі немає.

Ось і весь процес розв'язання.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с – задані числа, причому a ≠ 0

Графіком є ​​парабола:

Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Детально про квадратичну функцію можете подивитисьстаттю в Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12

*Можна було відразу ж ліву та праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.

Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11

У відповіді можна записати х = 11.

Відповідь: х = 11

Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0

а = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння у разі, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексні числа? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль та необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Концепція комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z = a + bi

де a і b – дійсні числа, i – так звана уявна одиниця.

a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучені корені.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони легко вирішуються без будь-яких дискримінантів.

Випадок 1. Коефіцієнт b=0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо:

Приклад:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Випадок 2. Коефіцієнт = 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо, розкладаємо на множники:

*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.

Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.

Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.

Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b+ с = 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a+ с =b, то

Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, отже

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Виконується рівність a+ с =b, значить

Закономірність коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.

х 1 = -6 х 2 = -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.

х 1 = - 17 х 2 = 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 – (а 2 –1) х – а = 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 10х2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви можете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую робити це завжди.

СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1

Отримані коріння рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие та ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто зазначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).

2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою - t, q, p, h та іншими.

Бібліографічний опис:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Єльков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмельова О. В. Способи розв'язання квадратних рівнянь // Юний вчений. 2016. №6.1. С. 17-20..3.2019).



Наш проект присвячений способам розв'язання квадратних рівнянь. Мета проекту: навчитися вирішувати квадратні рівняння способами, які не входять до шкільної програми. Завдання: знайти всі можливі способи розв'язання квадратних рівнянь та навчитися їх використовувати самим та познайомити однокласників із цими способами.

Що таке «квадратні рівняння»?

Квадратне рівняння- Рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c- Деякі числа ( a ≠ 0), x- Невідоме.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

• a називається першим коефіцієнтом;
• b називається другим коефіцієнтом;
• c – вільним членом.

А хто ж перший "винайшов" квадратні рівняння?

Деякі алгебраїчні прийоми розв'язання лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому у Стародавньому Вавилоні. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є ранніми свідченнями про вивчення квадратних рівнянь. На цих табличках викладено методи розв'язання деяких типів квадратних рівнянь.

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і із земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики.

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Вавилонські математики приблизно з IV століття до н. використовували метод доповнення квадрата для вирішення рівнянь з позитивним корінням. Близько 300 року до н. Евклід придумав загальніший геометричний метод рішення. Першим математиком, який знайшов рішення рівняння з негативним корінням у вигляді алгебраїчної формули, був індійський учений Брахмагупта(Індія, VII століття нашої ери).

Брахмагупта виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>0

У цьому рівнянні коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмідається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах2 = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи розв'язання зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків та коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі у 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллісеред перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Розглянемо кілька способів розв'язання квадратних рівнянь.

Стандартні способи розв'язання квадратних рівнянь із шкільної програми:

1. Розкладання лівої частини рівняння на множники.
2. Метод виділення повного квадрата.
3. Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
4. Графічний розв'язок квадратного рівняння.
5. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Зупинимося докладніше на розв'язання наведених та не наведених квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Нагадаємо, що для вирішення наведених квадратних рівнянь достатньо знайти два числа такі, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума - другому коефіцієнту з протилежним знаком.

приклад.x 2 -5x+6=0

Потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 6, а сума 5. Такими числами будуть 3 та 2.

Відповідь: x 1 =2, x 2 =3.

Але можна використовувати цей спосіб і для рівнянь з першим коефіцієнтом не рівним одиниці.

приклад.3x 2 +2x-5=0

Беремо перший коефіцієнт та множимо його на вільний член: x 2 +2x-15=0

Корінням цього рівняння будуть числа, добуток яких дорівнює - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримане коріння ділимо на перший коефіцієнт.

Відповідь: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Розв'язання рівнянь способом "перекидання".

Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 де а≠0.

Помножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + abх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильному даному. Його коріння у 1 та у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо х 1 = у 1/а та х 2 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання". Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перекинемо" коефіцієнт 2 до вільного члена і зробивши заміну отримаємо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до зворотної теореми Вієта

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 = 2,5; у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Відповідь: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1.

2. Якщо а – b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = – 1.

приклад.345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Відповідь: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

приклад.132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b + с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Існують інші властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. але їх використання складніше.

8. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Рис 1. Номограма

Це старий і нині забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений с.83 збірки: Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Криволинійна шкала номограми побудована за формулами (рис. 1):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а(Все в см), з рис.1 подоби трикутників САНі CDFотримаємо пропорцію

звідки після підстановок та спрощень випливає рівняння z 2 + pz + q = 0,причому буква zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Мал. 2 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

приклади.

1) Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0номограма дає коріння z 1 = 8,0 та z 2 = 1,0

Відповідь: 8,0; 1.0.

2) Вирішимо за допомогою номограми рівняння

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2 отримаємо рівняння z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 та z 2 = 0,5.

Відповідь: 4; 0,5.

9. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

приклад.х 2 + 10х = 39.

В оригіналі це завдання формулюється так: "Квадрат і десять коренів дорівнюють 39".

Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже площа кожного дорівнює 2,5x. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD, добудовуючи в кутах чотири рівні квадрати, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25

Мал. 3 Графічний спосіб розв'язання рівняння х 2 + 10х = 39

Площа S квадрата ABCD можна як суму площ: початкового квадрата x 2 , чотирьох прямокутників (4∙2,5x = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25∙ 4 = 25) , тобто. S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки випливає, що сторона квадрата АВСD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата отримаємо

10. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Безу.

Теорема Безу. Залишок від розподілу многочлена P(x) на двочлен x - α дорівнює P(α) (тобто значення P(x) при x = α).

Якщо число α є коренем многочлена P(x), цей многочлен ділиться на x -α без залишку.

приклад.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Розділимо Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х=1, або х-3=0, х=3; Відповідь: х1 =2, х2 =3.

Висновок:Вміння швидко і раціонально розв'язувати квадратні рівняння просто необхідне рішення більш складних рівнянь, наприклад, дробово-раціональних рівнянь, рівнянь вищих ступенів, біквадратних рівнянь, а старшій школі тригонометричних, показових і логарифмічних рівнянь. Вивчивши всі знайдені способи розв'язання квадратних рівнянь, ми можемо порадити однокласникам, крім стандартних способів, розв'язання способом перекидання (6) і розв'язання рівнянь за якістю коефіцієнтів (7), оскільки є більш доступними для розуміння.

Література:

1. Брадіс В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.
2. Алгебра 8 клас: підручник для 8 кл. загальноосвіт. установ Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б. за ред. С. А. Теляковського 15-те вид., Дораб. - М: Просвітництво, 2015
3. https://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. / За ред. В.М. Молодшого. - М: Просвітництво, 1964.

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI

§ 253. Вилучення коренів квадратних із негативних чисел.
Розв'язання квадратних рівнянь із негативними дискримінантами

Як ми знаємо,

i 2 = - 1.

Разом з тим

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Таким чином, існують принаймні два значення кореня квадратного з - 1, а саме i і - i . Але, можливо, є ще якісь комплексні числа, квадрати яких рівні - 1?

Щоб з'ясувати це питання, припустимо, що квадрат комплексного числа а + bi дорівнює - 1. Тоді

(а + bi ) 2 = - 1,

а 2 + 2абі - b 2 = - 1

Два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах. Тому

Згідно з другим рівнянням системи (1) хоча б одне з чисел а і b має дорівнювати нулю. Якщо b = 0, то з першого рівняння виходить а 2 = - 1. Число а дійсне, і тому а 2 > 0. Невід'ємне число а 2 не може дорівнювати негативному числу - 1. Тому рівність b = 0 у разі неможливо. Залишається визнати, що а = 0, але тоді з першого рівняння системи одержуємо: - b 2 = - 1, b = ±1.

Отже, комплексними числами, квадрати яких дорівнюють -1, є лише числа i і - i , умовно це записується у вигляді:

√-1 = ± i .

Аналогічними міркуваннями учні можуть переконатися у тому, що є рівно два числа, квадрати яких рівні негативному числу - а . Такими числами є √ a i і -√ a i . Умовно це записується так:

√- а = ± √ a i .

Під √ a тут мається на увазі арифметичний, тобто позитивний корінь. Наприклад, √4 = 2, √9 =.3; тому

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Якщо раніше при розгляді квадратних рівнянь із негативними дискримінантами ми говорили, що такі рівняння не мають коріння, то тепер так уже не можна говорити. Квадратні рівняння з негативними дискримінантами мають комплексне коріння. Це коріння виходить за відомими нам формулами. Нехай, наприклад, дано рівняння x 2 + 2х + 5 = 0; тоді

х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Отже, дане рівняння має два корені: х 1 = - 1 +2i , х 2 = - 1 - 2i . Це коріння є взаємно сполученим. Цікаво відзначити, що їх сума дорівнює - 2, а твір 5, отже виконується теорема Виета.

Вправи

2022. (У с т н о.) Розв'язати рівняння:

а) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; у 3 x 2 = - 5.

2023. Знайти усі комплексні числа, квадрати яких рівні:

а) i ; б) 1/2 - √3/2 i ;

2024. Розв'язати квадратні рівняння:

а) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; в) x 2 - 14x + 74 = 0.

Розв'язати системи рівнянь (№ 2025, 2026):

2027. Довести, що коріння квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та негативним дискримінантом є взаємно поєднаним.

2028. Довести, що теорема Вієта вірна для будь-яких квадратних рівнянь, а не лише для рівнянь із невід'ємним дискримінантом.

2029. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, корінням якого є:

a) х 1 = 5 - i , х 2 = 5 + i ; б) х 1 = 3i , х 2 = - 3i .

2030. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює (3 - i ) (2i - 4).

2031. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює 32 - i
1- 3i .

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.