Знайти бічну поверхню правильної шестикутної призми. Площа бічної поверхні призми

Площа бічній поверхні призми. Вітаю! У цій публікації ми з вами розберемо групу завдань із стереометрії. Розглянемо комбінацію тіл – призми та циліндра. На даний момент ця стаття завершує всю серію статей, пов'язаних з розглядом типів завдань зі стереометрії.

Якщо в банку завдань з'являтимуться нові, то, звичайно, будуть і доповнення на блозі в майбутньому. Але й того, що вже є цілком достатньо, щоб ви могли навчитися вирішувати всі завдання з короткою відповіддю у складі іспиту. Матеріалу вистачить на роки вперед (програма математики статична).

Подані завдання пов'язані з обчисленням площі призми. Відзначу, що нижче розглядається пряма призма (і відповідно прямий циліндр).

Без знання будь-яких формул, ми розуміємо, що бічна поверхня призми це її бічні грані. У прямій призми бічні грані це прямокутники.

Площа бічної поверхні такої призми дорівнює сумі площ усіх її бічних граней (тобто прямокутників). Якщо йдеться про правильну призму, в яку вписаний циліндр, то зрозуміло, що всі грані цієї призми є рівними прямокутниками.

Формально площу бічної поверхні правильної призми можна відобразити так:

27064. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 1. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Бічна поверхня цієї призми складається з чотирьох рівних площею прямокутників. Висота грані дорівнює 1, ребро основи призми дорівнює 2 (це два радіуси циліндра), отже площа бічної грані дорівнює:

Площа бічної поверхні:

73023. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √0,12, а висота дорівнює 3.

Площа бічної поверхні цієї призми дорівнює сумі площ трьох бічних граней (прямокутників). Для знаходження площі бічної грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота дорівнює трьом. Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний трикутник, в який вписано коло з радіусом √0,12. З прямокутного трикутника АОС можна знайти АС. А потім і AD (AD=2АС). За визначенням тангенсу:

Отже AD = 2АС = 1,2. Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:

27066. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √75, а висота дорівнює 1.

Шукана площа дорівнює сумі площ усіх бічних граней. У правильної шестикутної призми бічні грані – це рівні прямокутники.

Для знаходження площі грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота відома, вона дорівнює 1.

Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний шестикутник, в який вписано коло радіусу √75.

Розглянемо прямокутний трикутник АВО. Нам відомий катет ВВ (це радіус циліндра). ще можемо визначити кут АОВ, він дорівнює 300 (трикутник АОС рівносторонній, ОВ-бісектриса).

Скористаємося визначенням тангенсу у прямокутному трикутнику:

АС=2АВ, оскільки ОВ є медіаною, тобто ділить АС навпіл, отже АС=10.

Таким чином, площа бічної грані дорівнює 1∙10=10 та площа бічної поверхні:

76485. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр, радіус основи якого дорівнює 8√3, а висота дорівнює 6.

Площа бічної поверхні зазначеної призми із трьох рівних за площею граней (прямокутників). Щоб знайти площу потрібно знати довжину ребра основи призми (висота нам відома). Якщо розглядати проекцію (вид зверху), маємо правильний трикутник вписаний в окружність. Сторона цього трикутника виражається через радіус як:

Подробиці цього взаємозв'язку. Значить вона дорівнюватиме

Тоді площа бічної грані дорівнює: 24 6 = 144. А потрібна площа:

245354. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.

Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5, а висота 10. a Н Використовуємо формулу площі поверхні правильної призми: В основі лежить правильний шестикутник, який великими діагоналями ділиться на 6 рівних правильних трикутників зі стороною а = 5 Тому площа правильного шестикутника можна знайти так: Використовуємо формулу площі бічної поверхні правильної призми: а Підставляємо дані у формулу * : *

Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5, а висота 10. a Н В основі лежить правильний шестикутник Використовуємо формулу площі бічної поверхні правильної призми: а Підставляємо дані у формулу * : * S бік = = Відповідь: 300

Знайдіть бічне ребро правильної чотирикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 20, а площа поверхні дорівнює Використовуємо формулу площі поверхні правильної призми: В основі лежить квадрат зі стороною а = 20 = Н 1760 = Н 80Н = Н = 12 Відповідь: 12

Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють. 3 Н а Використовуємо формулу об'єму правильної призми: В основі лежить правильний шестикутник, який великими діагоналями ділиться на 6 рівних правильних трикутників зі стороною а = 1 а Тому площу правильного шестикутника можна знайти так: Н – висота (бічна ребра) правильної призми формулу *: *

Гранню паралелепіпеда є ромб зі стороною 1 і гострим кутом Одне з ребер паралелепіпеда складає з цією гранню кут 60 0 і дорівнює 2. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Через середню лінію основи трикутної призми, об'єм якої дорівнює 32, проведена площина, паралельна бічному ребру. Знайдіть об'єм відсіченої трикутної призми. Через середню лінію основи трикутної призми проведено площину, паралельну бічному ребру. Об'єм відсіченої трикутної призми дорівнює 5. Знайдіть обсяг вихідної призми.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Це найпоширеніші об'ємні постаті серед інших подібних, що зустрічаються у побуті та природі. Вивченням їх властивостей займається стереометрія або просторова геометрія. У цій статті розкриємо питання про те, як можна знайти площу бічної поверхні правильної трикутної призми, а також чотирикутної та шестикутної.

Що являє собою призма?

Перед тим як розраховувати площу бічної поверхні правильної трикутної призми та інших видів цієї фігури, слід розібратися, що вони являють собою. Потім навчимося визначати цікаві для величини.

Призмою, з погляду геометрії, називається об'ємне тіло, яке обмежене двома довільними однаковими багатокутниками та n паралелограмами, де n – це кількість сторін одного багатокутника. Намалювати таку фігуру легко, для цього слід зобразити якийсь багатокутник. Потім провести з кожної його вершини відрізок, який дорівнюватиме за довжиною і паралельний усім іншим. Потім потрібно з'єднати кінці цих ліній між собою так, щоб вийшов ще один багатокутник, що дорівнює вихідному.

Вище видно, що фігура обмежена двома п'ятикутниками (вони називаються нижньою та верхньою основами фігури) та п'ятьма паралелограмами, які на малюнку відповідають прямокутникам.

Усі призми відрізняються один від одного двома головними параметрами:

• типом багатокутника, що лежить в основі фігури;
• кутами між паралелограмами та основами.

Кількість сторін прямокутника дає назву призмі. Звідси отримуємо вищезгадані трикутну, шестикутну та чотирикутну фігури.

Також вони різняться за величиною нахилу. Що стосується зазначених кутів, то якщо вони дорівнюють 90 o тоді таку призму називають прямою, або прямокутною (кут нахилу дорівнює нулю). Якщо деякі з кутів прямими не є, то фігура називається косокутною. Різниця між ними видно з першого погляду. Рисунок нижче демонструє ці різновиди.

Як видно, висота h збігається із довжиною її бічного ребра. У разі косокутної цей параметр завжди менший.

Яка призма називається правильною?

Оскільки ми повинні відповісти на питання про те, як знайти площу бічної поверхні правильної призми (трикутної, чотирикутної і так далі), потрібно дати визначення цього типу об'ємної фігури. Розберемо матеріал докладніше.

Правильна призма – це прямокутна фігура, у якої правильний багатокутник утворює ідентичні підстави. Цією фігурою може бути рівнокутний трикутник, квадрат та інші. Будь-який n-кутник, всі довжини сторін і кути якого однакові, буде правильним.

Ряд таких призм показано схематично на малюнку нижче.

Бічна поверхня призми

Як було сказано, ця фігура складається з n + 2 площин, які, перетинаючи, утворюють n + 2 грані. Дві з них належать основам, інші утворені паралелограмами. Площа всієї поверхні складається із суми площ зазначених граней. Якщо в неї не включати значення двох підстав, тоді ми отримуємо відповідь на питання про те, як знайти площу бічної поверхні призми. Так, можна визначити її значення та підстав окремо один від одного.

Нижче наводиться для якої бічна поверхня утворена трьома чотирикутниками.

Розглянемо процес обчислень далі. Очевидно, що площа бічної поверхні призми дорівнює сумі n площ відповідних паралелограмів. Тут n - це кількість сторін багатокутника, що утворює основу фігури. Площу кожного паралелограма можна знайти, якщо помножити довжину його сторони на опущену її висоту. Це стосується загального випадку.

Якщо призма, що вивчається, є прямою, тоді процедура визначення площі її бічної поверхні S b значно полегшується, оскільки така поверхня складається з прямокутників. У цьому випадку можна скористатися такою формулою:

Де h – висоти фігури, P o – периметр її основи

Правильна призма та її бічна поверхня

Наведена у пункті вище формула у разі такої фігури набуває цілком конкретного вигляду. Оскільки периметр n-кутника дорівнює добутку числа його сторін на довжину однієї, то виходить така формула:

Де a – довжина сторони відповідного n-кутника.

Площа бічної поверхні чотирикутної та шестикутної

Скористаємося вище формулою, щоб визначити необхідні значення для зазначених трьох типів фігур. Розрахунки виглядатимуть так.

Для трикутної формула набуде вигляду:

Наприклад, сторона трикутника дорівнює 10 см, а висота фігури – 7 см, тоді:

S 3 b = 3 * 10 * 7 = 210 см 2

У разі чотирикутної призми шуканий вираз набуває форми:

Якщо взяти ті ж значення довжин, що й у попередньому прикладі, тоді отримуємо:

S 4 b = 4 * 10 * 7 = 280 см 2

Площа бічної поверхні шестикутної призми розраховується за такою формулою:

Підставляючи ті ж числа, що й у попередніх випадках, маємо:

S 6 b = 6 * 10 * 7 = 420 см 2

Зауважимо, що у разі правильної призми будь-якого типу її бічна поверхня утворена однаковими прямокутниками. У прикладах вище площа кожного їх становила a*h = 70 см 2 .

Розрахунок для косокутної призми

Визначення значення площі бічної поверхні цієї фігури виконати трохи складніше, ніж для прямокутної. Тим не менш, наведена вище формула залишається тією ж самою, тільки замість периметра основи слід взяти периметр перпендикулярного зрізу, а замість висоти - довжину бічного ребра.

Малюнок вище демонструє чотирикутну косокутну призму. Заштрихований паралелограм - це той перпендикулярний зріз, периметр якого P sr необхідно розрахувати. Довжина бічного ребра на малюнку позначена літерою C. Тоді одержуємо формулу:

Периметр зрізу можна знайти, якщо відомі кути паралелограмів, що утворюють бічну поверхню.