Знайти велику та малу півосі еліпса. Лінії другого порядку
Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність
Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:
Поняття алгебраїчної лінії та її порядку
Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).
Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.
Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.
За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.
Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де 
– довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.
Якщо , то рівняння спрощується до 
, і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.
Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.
Наприклад:
доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.
Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:
доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.
Максимальне значення: 2
Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.
У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять 
, то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.
З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.
Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.
Істотний недолік загального рівняння полягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.
Що таке канонічний вид рівняння?
Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .
Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:
Класифікація ліній другого порядку
За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:
(і – позитивні дійсні числа)
1) 
- канонічне рівняння еліпса;
2) - канонічне рівняння гіперболи;
3) 
- канонічне рівняння параболи;
4) – уявнийеліпс;
5) - пара прямих, що перетинаються;
6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);
7) – пара паралельних прямих;
8) – пара уявнихпаралельних прямих;
9) - пара прямих, що збіглися.
У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.
Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.
Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.
Еліпс та його канонічне рівняння
Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».
Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:
Як побудувати еліпс?
Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:
Приклад 1
Побудувати еліпс, заданий рівнянням
Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду: 
Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .
В даному випадку : 
Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число 
називають великою піввіссюеліпса;
число 
– малою піввіссю.
у прикладі: .
Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.
Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.
Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.
Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо: 
Далі рівняння розпадається на дві функції: 
- Визначає верхню дугу еліпса; 
- Визначає нижню дугу еліпса.
Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція 
. Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами 
. Настукаємо три смс-ки на калькуляторі: 
Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.
Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію: 
Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?
Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса
Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:
Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші від даного значення: .
Тепер стане все зрозуміліше: 
Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:
Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.
На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)
Як знайти фокуси еліпса?
У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.
Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати 
, де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.
Обчислення простіше пареної ріпи: 
! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.
Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст
Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.
У нашому випадку:
З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .
Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси 
. Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.
Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.
Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса 
пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.
Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:
Окружність – це окремий випадок еліпса
Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».
Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.
Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.
Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:
– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.
Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.
Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення
Приклад 2
Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.
Рішення та креслення наприкінці уроку
Додамо екшену:
Поворот та паралельне перенесення еліпса
Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс 
але хіба на практиці не може зустрітися рівняння 
? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!
Подібне рівняння не часто, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику: 
Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, 
– це неканонічний записеліпса 
. Запис!- Рівняння 
не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок F_1 і F_2 є величина постійна (2a) , більша відстані (2c) між цими заданими точками (рис.3.36,а). Це геометричне визначення висловлює фокальна властивість еліпса.
Фокальна властивість еліпса
Точки F_1 і F_2 називаються фокусами еліпса, відстань між ними 2c=F_1F_2 - фокусною відстанню, середина O відрізка F_1F_2 - центром еліпса, число 2a - довжиною великої осі еліпса (відповідно, число a - великою піввіссю ел. Відрізки F_1M і F_2M , що з'єднують довільну точку M еліпса з його фокусами, називаються радіальними фокальними точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки еліпса, називається хордою еліпса.
Відношення e = frac (c) (a) називається ексцентриситетом еліпса. З визначення (2a>2c) випливає, що 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометричне визначення еліпса, що виражає його фокальну властивість, еквівалентно його аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням еліпса:
Справді, введемо прямокутну систему координат (рис.3.36, в). Центр O еліпса приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокуси (фокальну вісь або першу вісь еліпса), приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки F_1 до точки F_2); пряму, перпендикулярну фокальної осі і проходить через центр еліпса (другу вісь еліпса), приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).
Складемо рівняння еліпса, користуючись його геометричним визначенням, що виражає фокальну властивість. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусів F_1(-c,0),~F_2(c,0). Для довільної точки M(x,y) , що належить еліпсу, маємо:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Записуючи цю рівність у координатній формі, отримуємо:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Переносимо другий радикал у праву частину, зводимо обидві частини рівняння квадрат і наводимо подібні члени:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Розділивши на 4, зводимо обидві частини рівняння квадрат:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Позначивши b=\sqrt(a^2-c^2)>0, отримуємо b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Розділивши обидві частини на a^2b^2\ne0, приходимо до канонічного рівняння еліпса:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Отже, обрана система координат є канонічною.
Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло (рис.3.36,6), оскільки a=b . У цьому випадку канонічною буде будь-яка прямокутна система координат з початком у точці O\equiv F_1\equiv F_2, a рівняння x^2+y^2=a^2 є рівнянням кола з центром у точці O та радіусом, рівним a .
Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.49), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому еліпсом. Іншими словами, аналітичне визначення еліпса еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає фокальну властивість еліпса.
Директоріальна властивість еліпса
Директрисами еліпса називаються дві прямі, що проходять паралельно осі ординат канонічної системи координат на однаковій відстані \frac(a^2)(c) від неї. При c=0 , коли еліпс є коло, директрис немає (можна вважати, що директриси нескінченно видалені).
Еліпс з ексцентриситетом 0
Справді, наприклад, для фокусу F_2 та директриси d_2 (рис.3.37,6) умова \frac(r_2)(\rho_2)=eможна записати в координатній формі:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Позбавляючись ірраціональності та замінюючи e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, Приходимо до канонічного рівняння еліпса (3.49). Аналогічні міркування можна провести для фокусу F_1 та директриси d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Рівняння еліпса у полярній системі координат
Рівняння еліпса в полярній системі координат F_1r\varphi (рис.3.37,в і 3.37(2)) має вигляд
R = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)
де p=\frac(b^2)(a) фокальний параметр еліпса.
Справді, виберемо як полюс полярної системи координат лівий фокус F_1 еліпса, а як полярну осю - промінь F_1F_2 (рис.3.37,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , згідно з геометричним визначенням (фокальною властивістю) еліпса, маємо r+MF_2=2a . Виражаємо відстань між точками M(r,\varphi) та F_2(2c,0) (див. пункт 2 зауважень 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Отже, у координатній формі рівняння еліпса F_1M+F_2M=2a має вигляд
R + sqrt (r 2-4 cdot c cdot r cdot cos varphi +4 cdot c 2) = 2 cdot a.
Усамітнюємо радикал, зводимо обидві частини рівняння квадрат, ділимо на 4 і наводимо подібні члени:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Виражаємо полярний радіус r та робимо заміну e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
що й потрібно було довести.
Геометричний сенс коефіцієнтів у рівнянні еліпса
Знайдемо точки перетину еліпса (рис.3.37,а) з координатними осями (вершини злліпса). Підставляючи рівняння y=0 , знаходимо точки перетину еліпса з віссю абсцис (з фокальною віссю): x=\pm a . Отже, довжина відрізка фокальної осі, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2a. Цей відрізок, як зазначено вище, називається великою віссю еліпса, а число a – великою піввіссю еліпса. Підставляючи x = 0, отримуємо y = b b . Отже, довжина відрізка другої осі еліпса, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2b. Цей відрізок називається малою віссю еліпса, а число b - малою віссю еліпса.
Справді, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, причому рівність b = a виходить тільки у разі c = 0 коли еліпс є колом. Ставлення k=\frac(b)(a)\leqslant1називається коефіцієнтом стискування еліпса.
Зауваження 3.9
1. Прямі x = a, ~ y = b обмежують на координатній площині основний прямокутник, усередині якого знаходиться еліпс (див. рис.3.37, а).
2. Еліпс можна визначити, як геометричне місце точок, що отримується в результаті стиснення кола до її діаметру.
Дійсно, нехай у прямокутній системі координат Oxy рівняння кола має вигляд x^2+y^2=a^2. При стиску до осі абсцис з коефіцієнтом 0 \begin(cases)x"=x,\y"=k\cdot y.\end(cases) Підставляючи в рівняння кола x=x" і y=\frac(1)(k)y" отримуємо рівняння для координат образу M"(x",y") точки M(x,y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} оскільки b = k \ cdot a . Це канонічне рівняння еліпса. 3. Координатні осі (канонічної системи координат) є осями симетрії еліпса (називаються головними осями еліпса), яке центр - центром симетрії. Дійсно, якщо точка M(x,y) належить еліпсу. то й точки M"(x,-y) і M""-x,y) , симетричні точці M щодо координатних осей, також належать тому ж еліпсу. 4. З рівняння еліпса у полярній системі координат r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(див. рис.3.37,в), з'ясовується геометричний зміст фокального параметра - це половина довжини хорди еліпса, що проходить через його фокус перпендикулярно до фокальної осі (r = p при \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ексцентриситет e характеризує форму еліпса, а саме відмінність еліпса від кола. Чим більше e, тим еліпс більш витягнутий, а чим ближче e до нуля, тим ближчий еліпс до кола (рис.3.38, а). Дійсно, враховуючи, що e=\frac(c)(a) і c^2=a^2-b^2 отримуємо E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} де k - коефіцієнт стиснення еліпса, 0 6. Рівняння \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1при a
7. Рівняння \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bвизначає еліпс з центром у точці O"(x_0,y_0), осі якого паралельні координатним осям (рис.3.38,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36). При a=b=R рівняння (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2описує коло радіуса R з центром у точці O"(x_0, y_0). Параметричне рівняння еліпсау канонічній системі координат має вигляд \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Справді, підставляючи ці вирази рівняння (3.49), приходимо до основної тригонометричної тотожності \cos^2t+\sin^2t=1 . Приклад 3.20.Зобразити еліпс \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1в канонічній системі координат Oxy. Знайти півосі, фокусну відстань, ексцентриситет, коефіцієнт стиснення, фокальний параметр, рівняння директрис. Рішення.Порівнюючи задане рівняння з канонічним, визначаємо півосі: a = 2 - велика піввісь, b = 1 - мала піввісь еліпса. Будуємо основний прямокутник із сторонами 2a=4,~2b=2 із центром на початку координат (рис.3.39). З огляду на симетричність еліпса вписуємо його в основний прямокутник. За потреби визначаємо координати деяких точок еліпса. Наприклад, підставляючи x=1 рівняння еліпса, отримуємо \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y = pm frac (sqrt (3)) (2). Отже, точки з координатами \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- Належать еліпсу. Обчислюємо коефіцієнт стиснення k = frac (b) (a) = frac (1) (2); фокусна відстань 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ексцентриситет e=frac(c)(a)=frac(sqrt(3))(2); фокальний параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Складаємо рівняння директрис: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Кривими другого порядкуна площині називаються лінії, що визначаються рівняннями, в яких змінні координати xі yмістяться у другому ступені. До них відносяться еліпс, гіпербола та парабола. Загальний вид рівняння кривої другого порядку: де A, B, C, D, E, F- числа і хоча б один із коефіцієнтів A, B, Cне дорівнює нулю. При вирішенні завдань із кривими другого порядку найчастіше розглядаються канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи. До них легко перейти від загальних рівнянь, цьому буде присвячено приклад 1 задач з еліпсами. Визначення еліпса.Еліпсом називається безліч усіх точок площини, таких, для яких сума відстаней до точок, званих фокусами, є постійна величина і більша, ніж відстань між фокусами. Фокуси позначені як і малюнку нижче. Канонічне рівняння еліпса має вигляд: де aі b (a > b) - Довжини півосей, тобто половини довжин відрізків, що відсікаються еліпсом на осях координат. Пряма, що проходить через фокуси еліпса, є його віссю симетрії. Інший віссю симетрії еліпса є пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно цьому відрізку. Крапка ПроПеретин цих прямих служить центром симетрії еліпса або просто центром еліпса. Вісь абсцис еліпс перетинає в точках ( a, Про) та (- a, Про), а вісь ординат - у точках ( b, Про) та (- b, Про). Ці чотири точки називаються вершинами еліпса. Відрізок між вершинами еліпса на осі абсцис називається його великою віссю, але в осі ординат - малою віссю. Їхні відрізки від вершини до центру еліпса називаються півосями. Якщо a = b, то рівняння еліпса набуває вигляду . Це рівняння кола радіусу a, А коло - окремий випадок еліпса. Еліпс можна отримати з кола радіусу a, якщо стиснути її в a/bраз уздовж осі Ой
. приклад 1.Перевірити, чи є лінія, задана загальним рівнянням Рішення. Проводимо перетворення загального рівняння. Застосовуємо перенесення вільного члена у праву частину, почленное розподіл рівняння одне й те число і скорочення дробів: Відповідь. Отримане в результаті перетворення рівняння є канонічним рівнянням еліпса. Отже, ця лінія - еліпс. приклад 2.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його півосі відповідно дорівнюють 5 і 4. Рішення. Дивимося на формулу канонічного рівняння еліпса і підставляємо: Велика піввісь - це a= 5, менша піввісь - це b= 4 . Отримуємо канонічне рівняння еліпса: Точки і , позначені зеленим на більшій осі, де називаються фокусами. називається ексцентриситетомеліпса. Ставлення b/aхарактеризує "сплюснутість" еліпса. Що менше це відношення, то сильніше еліпс витягнутий вздовж великої осі. Однак ступінь витягнутості еліпса частіше прийнято виражати через ексцентриситет, формула якого наведена вище. Для різних еліпсів ексцентриситет змінюється від 0 до 1, залишаючись завжди менше одиниці. приклад 3.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює 8 і більша вісь дорівнює 10. Рішення. Робимо нескладні висновки: Якщо більша вісь дорівнює 10, то її половина, тобто піввісь a = 5
, Якщо відстань між фокусами дорівнює 8, то число cз координат фокусів дорівнює 4. Підставляємо та обчислюємо: Результат - канонічне рівняння еліпса: приклад 4.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його більша вісь дорівнює 26 і ексцентриситет. Рішення. Як випливає і з розміру більшої осі, і з рівняння ексцентриситету, велика піввісь еліпса a= 13 . З рівняння ецентриситету виражаємо число c, необхідне обчислення довжини меншої півосі: Обчислюємо квадрат довжини меншої півосі: Складаємо канонічне рівняння еліпса: Приклад 5.Визначити фокуси еліпса, заданого канонічним рівнянням. Рішення. Слід знайти число c, Що визначає перші координати фокусів еліпса: Отримуємо фокуси еліпса: Приклад 6.Фокуси еліпса розташовані на осі Oxсиметрично щодо початку координат. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо: 1) відстань між фокусами 30, а велика вісь 34 2) мала вісь 24, а один із фокусів знаходиться в точці (-5; 0) 3) ексцентриситет, а один із фокусів знаходиться в точці (6; 0) Якщо - довільна точка еліпса (на кресленні позначена зеленим у правій верхній частині еліпса) і - відстані до цієї точки від фокусів , то формули для відстаней - наступні: Для кожної точки, що належить еліпсу, сума відстаней від фокусів є постійна величина, рівна 2 a. Прямі, що визначаються рівняннями називаються директрисамиеліпса (на кресленні – червоні лінії по краях). З двох вищенаведених рівнянь випливає, що для будь-якої точки еліпса де і - відстань цієї точки до директрис і . Приклад 7.Даний еліпс. Скласти рівняння його директрис. Рішення. Дивимося на рівняння директоріс і виявляємо, що потрібно знайти ексцентриситет еліпса, тобто . Усі дані для цього є. Обчислюємо: Отримуємо рівняння директоріс еліпса: Приклад 8.Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокусами є точки , а директорами є прямі .Параметричне рівняння еліпса
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
Еліпс, заданий канонічним рівнянням
, еліпсом.
.
.
Продовжуємо вирішувати завдання на еліпс разом
,
.
