Знайти коріння тригонометричного рівняння, що належать проміжку. Тригонометричні рівняння

Так як до- ціле число, то к=1. Тоді х =- Вирішення вихідного рівняння.

Розглянемо другу систему сукупності

Якщо n=0, то . При п = -1; -2;рішень не буде.

Якщо п=1, - Розв'язання системи і, отже, вихідного рівняння.

Якщо п=2, то

За рішень не буде.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Щоб успішно вирішувати тригонометричні рівняннязручно користуватися методом відомостідо раніше вирішених завдань. Давайте розберемося, у чому суть цього?

У будь-якій пропонованій задачі вам необхідно побачити вже вирішену задачу, а потім за допомогою послідовних рівносильних перетворень спробувати звести дану вам задачу до більш простої.

Так, при вирішенні тригонометричних рівнянь зазвичай становлять деяку кінцеву послідовність рівносильних рівнянь, останньою ланкою якої є рівняння з очевидним рішенням. Тільки важливо пам'ятати, що якщо навички розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь не сформовані, то розв'язання складніших рівнянь буде утруднене і малоефективне.

Крім того, вирішуючи тригонометричні рівняння, ніколи не варто забувати про можливість існування кількох способів розв'язання.

Приклад 1. Знайти кількість коренів рівняння cos x = -1/2 на проміжку.

Рішення:

І спосіб.Зобразимо графіки функцій y = cos x та y = -1/2 і знайдемо кількість їх загальних точок на проміжку (рис. 1).

Так як графіки функцій мають дві загальні точки на проміжку, то рівняння містить два корені на даному проміжку.

ІІ метод.За допомогою тригонометричного кола (рис. 2) з'ясуємо кількість точок, що належать до проміжку , в яких cos x = -1/2. На малюнку видно, що рівняння має два корені.

ІІІ спосіб.Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, розв'яжемо рівняння cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k - ціле число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Проміжку належить коріння 2π/3 і -2π/3 + 2π, k – ціле число. Таким чином, рівняння має два корені на заданому проміжку.

Відповідь: 2.

Надалі тригонометричні рівняння будуть вирішуватися одним із запропонованих способів, що у багатьох випадках не виключає застосування та інших способів.

Приклад 2. Знайти кількість розв'язків рівняння tg (x + π/4) = 1 на проміжку [-2π; 2π].

Рішення:

Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, отримаємо:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – ціле число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z);

x = πk, k - ціле число (k € Z);

Проміжок [-2π; 2π] належать числа -2π; -π; 0; π; 2π. Отже, рівняння має п'ять коренів на заданому проміжку.

Відповідь: 5.

Приклад 3. Знайти кількість коренів рівняння cos 2 x + sin x · cos x = 1 на проміжку [-π; π].

Рішення:

Так як 1 = sin 2 x + cos 2 x (основне тригонометричне тотожність), то вихідне рівняння набуває вигляду:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Добуток дорівнює нулю, а отже хоча б один із множників повинен дорівнювати нулю, тому:

sin x = 0 або sin x - cos x = 0.

Оскільки значення змінної, у яких cos x = 0, є корінням другого рівняння (синус і косинус однієї й тієї числа не можуть одночасно бути рівними нулю), то розділимо обидві частини другого рівняння на cos x:

sin x = 0 або sin x / cos x - 1 = 0.

У другому рівнянні скористаємося тим, що tg x = sin x / cos x тоді:

sin x = 0 або tg x = 1. За допомогою формул маємо:

x = πk або x = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z).

З першої серії коренів проміжку [-π; π] належать числа -π; 0; π. З другої серії: (π/4 – π) та π/4.

Таким чином, п'ять коренів вихідного рівняння належать до проміжку [-π; π].

Відповідь: 5.

Приклад 4. Знайти суму коренів рівняння tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на проміжку [-π; 1,1π].

Рішення:

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 і зробимо заміну.

Нехай tg x + stgx = a. Обидві частини рівності зведемо у квадрат:

(tg x + stg x) 2 = a 2 . Розкриємо дужки:

tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2 .

Так як tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 а значить

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 - 2.

Тепер вихідне рівняння має вигляд:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. За допомогою теореми Вієта отримуємо, що a = -1 або a = -2.

Зробимо зворотну заміну, маємо:

tg x + сtgx = -1 або tg x + сtgx = -2. Вирішимо отримані рівняння.

tg x + 1/tgx = -1 або tg x + 1/tgx = -2.

За якістю двох взаємно зворотних чисел визначаємо, що перше рівняння немає коренів, та якщо з другого рівняння маємо:

tg x = -1, тобто. x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 1,1π] належить коріння: -π/4; -π/4 + π. Їхня сума:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Відповідь: π/2.

Приклад 5. Знайти середнє арифметичне коріння рівняння sin 3x + sin x = sin 2x на проміжку [-π; 0,5 π].

Рішення:

Скористаємося формулою sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тоді

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x і рівняння набуває вигляду

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Винесемо загальний множник sin 2x за дужки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Розв'яжемо отримане рівняння:

sin 2x = 0 або 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 або cos x = 1/2;

2x = πk або x = ±π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Таким чином, маємо коріння

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 0,5π] належить коріння -π; -π/2; 0; π/2 (з першої серії коріння); π/3 (з другої серії); -π/3 (з третьої серії). Їхнє середнє арифметичне дорівнює:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Відповідь: -π/6.

Приклад 6. Знайти кількість коренів рівняння sin x + cos x = 0 на проміжку [-1,25π; 2π].

Рішення:

Це рівняння є однорідним рівнянням першого ступеня. Розділимо обидві його частини на cosx (значення змінної, при яких cos x = 0, не є корінням даного рівняння, оскільки синус і косинус одного й того ж числа не можуть одночасно дорівнювати нулю). Вихідне рівняння має вигляд:

x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-1,25π; 2π] належить коріння -π/4; (-π/4 + π); та (-π/4 + 2π).

Таким чином, заданому проміжку належать три корені рівняння.

Відповідь: 3.

Навчіться робити найголовніше – чітко представляти план розв'язання задачі, і тоді будь-яке тригонометричне рівняння буде вам під силу.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

На ваші прохання!

13. Розв'яжіть рівняння 3-4cos 2 x=0. Знайдіть суму його коріння, що належить проміжку .

Понизимо ступінь косинуса за такою формулою: 1+cos2α=2cos 2 α. Отримуємо рівносильне рівняння:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Ділимо обидві частини рівності на (-2) і отримуємо найпростіше тригонометричне рівняння:

14. Знайдіть b 5 геометричної прогресії, якщо b 4 =25 і b 6 =16.

Кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусіднім з ним членам:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n+1 . У нас (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 · 16 ⇒ b 5 = ± 5 · 4 ⇒ b 5 = ±20.

15. Знайдіть похідну функції: f(x)=tgx-ctgx.

16. Знайдіть найбільше та найменше значення функції y(x)=x 2 -12x+27

на відрізку.

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції y=f(x) на відрізку, потрібно знайти значення цієї функції на кінцях відрізка і тих критичних точках, які належать даному відрізку, та був з усіх отриманих значень вибрати найбільше і найменше.

Знайдемо значення функції за х=3 і за х=7, тобто. на кінцях відрізка.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Знаходимо похідну цієї функції: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); критична точка х = 6 належить даному проміжку. Знайдемо значення функції за х = 6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А тепер вибираємо із трьох отриманих значень: 0; -8 і -9 максимальне і менше: у наиб. =0; у найм. =-9.

17. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:

Цей проміжок – це область визначення цієї функції. Відповіді повинні починатися з F(x), а не з f(x) – адже ми шукаємо первісну. За визначенням функція F(x) є першорядною функції f(x), якщо виконується рівність: F’(x)=f(x). Так що можна просто знаходити похідні запропонованих відповідей, поки не вийде ця функція. Суворе рішення – це обчислення інтеграла від цієї функції. Застосовуємо формули:

19. Складіть рівняння прямої, що містить медіану BD трикутника АВС, якщо його вершини А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).

Для складання рівняння прямої потрібно знати координати 2-х точок цієї прямої, а нам відомі координати тільки точки В. Оскільки медіана BD ділить протилежну сторону навпіл, то точка D є серединою відрізка АС. Координати середини відрізка є напівсуми відповідних координат кінців відрізка. Знайдемо координати точки D.

20. Обчислити:

24. Площа правильного трикутника, що лежить в основі прямої призми, дорівнює

Це завдання — обернене до завдання № 24 з варіанта 0021.

25. Знайдіть закономірність і вставте недостатнє число: 1; 4; 9; 16; …

Очевидно, що це число 25 , тому що нам дана послідовність квадратів натуральних чисел:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Всім удачі та успіхів!