Неповні рівняння площини. Рівняння площини у відрізках

Всі рівняння площини, які розібрані в наступних пунктах, можуть бути отримані із загального рівняння площини, а також приведені до загального рівняння площини. Таким чином, коли говорять про рівняння площини, то мають на увазі загальне рівняння площини, якщо не зазначено інше.

Рівняння площини у відрізках.

Рівняння площини виду , де a , b і c – відмінні від нуля дійсні числа рівнянням площини у відрізках.

Така назва не випадкова. Абсолютні величини чисел a, b і c рівні довжинам відрізків, які відсікає площину на координатних осях Ox, Oy та Oz відповідно, рахуючи від початку координат. Знак чисел a, b і c показує, у якому напрямку (позитивному чи негативному) слід відкладати відрізки на координатних осях.

Для прикладу побудуємо у прямокутній системі координат Oxyz площину, визначену рівнянням площини у відрізках . Для цього відзначаємо точку, віддалену на 5 одиниць від початку координат у негативному напрямку осі абсцис, на 4 одиниці в негативному напрямку осі ординат та на 4 одиниці у позитивному напрямку осі аплікат. Залишилося поєднати ці точки прямими лініями. Площина отриманого трикутника і є площиною, що відповідає рівнянню площини у відрізках виду .

Для отримання більш повної інформації звертайтеся до статті рівняння площини у відрізках, там показано приведення рівняння площини у відрізках до загального рівняння площини, там Ви також знайдете докладні рішення характерних прикладів та завдань.

Нормальне рівняння площини.

Загальне рівняння площини виду називають нормальним рівнянням площини, якщо дорівнює одиниці, тобто, , та .

Часто можна побачити, що нормальне рівняння площини записують як . Тут - напрямні косинуси нормального вектора даної площини одиничної довжини, тобто , а p – невід'ємне число, що дорівнює відстані від початку координат до площини.

Нормальне рівняння площини у прямокутній системі координат Oxyz визначає площину, яка віддалена від початку координат на відстань p у позитивному напрямку нормального вектора цієї площини . Якщо p=0 то площина проходить через початок координат.

Наведемо приклад нормального рівняння площини.

Нехай площина задана у прямокутній системі координат Oxyz загальним рівнянням площини виду . Це загальне рівняння площини є нормальним рівнянням площини. Справді, і нормальний вектор цієї площини має довжину рівну одиниці, оскільки .

Рівняння площини у нормальному вигляді дозволяє знаходити відстань від точки до площини.

Рекомендуємо більш детально розібратися з даним видом рівняння площини, переглянути докладні рішення характерних прикладів та завдань, а також навчитися наводити загальне рівняння площини до нормального вигляду. Це можна зробити, звернувшись до статті .

Список літератури.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Рівняння поверхні у просторі

Визначення. Будь-яке рівняння, що зв'язує координати x, y, z будь-якої точки поверхні, є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини

Визначення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С – координати вектора

вектор нормали до площини. Можливі такі окремі випадки:

А = 0 - площина паралельна осі Ох

В = 0 - площина паралельна осі Оу

С = 0 - площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А = В = 0 - площина паралельна площині хОу

А = С = 0 - площина паралельна площині хОz

В = С = 0 - площина паралельна площині yOz

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу

С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 – площина збігається з площиною хОу

А = С = D = 0 – площина збігається з площиною xOz

В = С = D = 0 – площина збігається з площиною yOz

Рівняння площини, що проходить через три точки

Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) у загальній декартовій системі координат. Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною

Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) та вектор.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору.

Вектори та вектор мають бути компланарні, тобто.

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двом векторам, колінеарним площині

Нехай задані два вектори і колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, вектори мають бути компланарними. Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно до вектора нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, він перпендикулярний площині, отже, перпендикулярний і вектору. Тоді скалярний твір

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Розглянемо ПДСК (O, i,j,k) у просторі R 3 . Нехай  – деяка площина та вектор  Nперпендикулярний . Зафіксуємо на площині  довільну точку М 0 і візьмемо поточну точку М простору. Позначимо ` r =
і ` r 0 =
. Тоді
=`r – `r 0 , а точка М тоді і лише тоді, коли вектори ` Nі
ортогональні. Останнє можливо, коли

N .
= 0, тобто  N . (`r –`r 0) = 0, (9)

це рівняння називається векторним рівняннямплощині. Вектор ` Nназивають нормальнимвектор плоскої.

Якщо ` N =(А, У, З), М 0 ( х 0 , у 0 , z 0) , М( х, у, z) , то рівняння (9) набуде вигляду

А( х – х 0) + В( у – у 0) + С( z – z 0) = 0, (10).

Це рівняння називають рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

До Як відомо, через три точки можна провести єдину площину. Нехай М 1 ( х 1 , у 1 , z 1), М 3 ( х 2 , у 2 , z 2), М 3 ( х 3 , у 3 , z 3). Знайдемо рівняння цієї площини. Відповідно до векторного рівняння (9), щоб записати це рівняння, необхідно знати точку площини та нормальний вектор. Крапка у нас є (наприклад М 1). А як нормальний вектор підійде будь-який вектор, перпендикулярний цій площині. Відомо, що векторний добуток двох векторів перпендикулярно до площини, в якій лежать ці вектори. Отже, векторний добуток векторів
і
можна взяти як нормальний вектор площини :

` N =


Тоді рівняння площини  у векторній формі має вигляд

. (

) =
.
.
= 0.

(зауважимо, що отримали умову компланарності векторів
,
,
).

Через координати точок М1, М2, М3 і М це рівняння запишеться так

, (11)

і називається рівнянням площини, проходить через три задані точкиМ 1 ( х 1 , у 1 , z 1), М 2 ( х 2 , у 2 , z 2), М 3 ( х 3 , у 3 , z 3).

Розглянемо знову рівняння (9), перетворимо його:

Ах + Ву + Cz +(–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) = 0 ,

Ах + Ву + Cz+D = 0, де D = (- Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) .

Рівняння

Ах + Ву + Cz+D = 0, (12)

називається загальним рівняннямплощині. Тут векторN = ( A, B, C) – нормальний вектор площини (тобто вектор, перпендикулярний до площини). Справедлива теорема:

Теорема 4.2.

У просторі R 3 всяка площина може бути описана лінійним щодо змінних x y, zрівнянням та навпаки, Будь-яке рівняння першого ступеня визначає деяку площину.

Вивчимо розташування площини щодо системи координат за її загальним рівнянням Ах + Ву + Cz+ D = 0.

Якщо коефіцієнт D = 0, то координати точки О(0, 0, 0) задовольняють рівняння Ах + Ву + Cz= 0, отже, ця точка лежить площині, тобто. площину з рівнянням Ах + Ву + Cz= 0 проходить через початок координат.

Якщо у загальному рівнянні площини відсутня однаіз змінних (відповідний коефіцієнт дорівнює нулю), то площина паралельна однойменній осі координат. Наприклад, рівняння Ах + Cz + D= 0 визначає площину, паралельну осі ОУ. Дійсно, вектор нормалі має координати. ` N= (А, 0, С) і легко перевірити, що ` Nj. Але якщо площина і вектор перпендикулярні тому самому вектору, всі вони паралельні. Площина з рівнянням Ву + Cz= 0, у разі, проходить через вісь ОХ (тобто. ця вісь лежить на площині)

Відсутність двохзмінних у рівнянні площини означає, що площина паралельна відповідній координатній площині, наприклад, рівняння виду Ах + D= 0 визначає площину, паралельну площині УОZ. Вектор нормалі має координати ` N= (А, 0, 0), він колінеарен вектору  i, і, отже, площина перпендикулярна вектору  i, або паралельна площині УОZ.

Рівняння координатних площинмають вигляд: пл. ХОУ: z= 0, пл. XOZ: y= 0, пл. YOZ: x = 0.

Справді, площина ХОУ проходить через початок координат (D = 0) та вектор  k=(0, 0, 1) – її звичайний вектор. Аналогічно площини ХОZ та УОZ проходять через початок координат (D = 0) та вектори  j=(0, 1, 0) та  i = (1,0,0) – їх нормалі відповідно.

Якщо D0, то перетворимо загальне рівняння так

Ах + Ву+С z = –D,
,
.

Про позначивши тут
,
,
, отримаємо рівняння
, (13)

яке називається рівнянням площини у відрізках на осях. Тут а, b, c– величини відрізків, що відсікаються площиною на осях координат (рис.). Це рівняння зручно використовуватиме побудови площині у системі координат. Неважко переконатися, що точки ( а, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, з) лежать на площині. Прямі, що проходять через ці точки, називаються слідамиплощині координатних площинах.

Наприклад, збудуємо площину

2х – 3у + 4z –12 = 0.

Наведемо це рівняння до виду (13), отримаємо

Д ля побудови площини в системі координат відзначимо на осі ОХ точку (6, 0, 0), на осі ОУ точку (0, -4, 0), на осі ОZ – (0, 0, 3), з'єднаємо їх відрізками прямі ( сліди площини). Отриманий трикутник є частиною площини, що шукається, укладена між осями координат.

Таким чином, щоб знайти рівняння площинидостатньо знати

Або нормальний вектор цієї площини та будь-яку її точку (рівняння (10));

Або три точки, що лежать на площині (рівняння (11)).

Взаємне розташування площину просторі зручно вивчати за допомогою відповідних векторів. Якщо  – площина з нормальним вектором N, то

Висновок формули аналогічний тому, як це було зроблено для прямої на площині. Провести його самостійно.

У декартових координатах кожна площина визначається рівнянням першого ступеня щодо невідомих х, у та z і кожне рівняння першого ступеня з трьома невідомими визначає площину.

Візьмемо довільний вектор із початком у точці . Виведемо рівняння геометричного місця точок М(x,y,z), кожної з яких вектор перпендикулярний вектору. Запишемо умову перпендикулярності векторів:

Отримане лінійне рівняння відносно x, y, z, отже, воно визначає площину, що проходить через точку перпендикулярно вектору . Вектор називають нормальним вектором площини. Розкриваючи дужки в отриманому рівнянні площини та позначаючи число
літерою D, представимо його у вигляді:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Це рівняння називають загальним рівнянням площини. А, В, С та D – коефіцієнти рівняння, А 2 + В 2 + С 2 0.

1. Неповні рівняння площини.

Якщо у загальному рівнянні площини один, два чи три коефіцієнти дорівнюють нулю, то рівняння площини називають неповним. Можуть бути такі випадки:

1) D = 0 - площина проходить через початок координат;

2) А = 0 – площина паралельна осі Ох;

3) У = 0 – площина паралельна осі Оу;

4) С = 0 – площина паралельна осі Оz;

5) А = В = 0 – площина паралельна площині ХОY;

6) А = С = 0 – площина паралельна площині ХОZ;

7) В = С = 0 – площина паралельна площині YOZ;

8) А = D = 0 - площина проходить через вісь Ох;

9) У = D = 0 – площина проходить через вісь Оу;

10) С = D = 0 - площина проходить через вісь Оz;

11) А = В = D = 0 - площина збігається з площиною XOY;

12) А = С = D = 0 – площина збігається із площиною XOZ;

13) С = В = D = 0 – площина збігається із площиною YOZ.

2. Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні площині D 0, його можна перетворити до виду

, (13.3)

яке називають рівнянням площини у відрізках. - Визначають довжини відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.

3. Нормальне рівняння площини.

Рівняння

де - напрямні косинуси нормального вектора площини називають нормальним рівнянням площини. Для приведення загального рівняння площини до нормального вигляду його треба помножити на множник , що нормує :
,

при цьому знак перед корінням вибирають із умови .

Відстань d від точки до площини визначають за такою формулою: .

4. Рівняння площини, що проходить через три точки

Візьмемо довільну точку площини М(x,y,z) і з'єднаємо точку М 1 з кожною з трьох, що залишилися. Отримаємо три вектори. Для того, щоб три вектори належали одній площині, необхідно достатньо, щоб вони були компланарні. Умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього змішаного твору, тобто .

Записуючи цю рівність через координати точок, отримаємо шукане рівняння:

. (13.5)

5. Кут між площинами.

Площини можуть бути паралельні, збігатися або перетинатися, утворюючи двогранний кут. Нехай дві площини задані загальними рівняннями та . Щоб площини збігалися, потрібно, щоб координати будь-якої точки, що відповідає першому рівнянню, задовольняли б і другому рівнянню.

Це буде мати місце, якщо
.

Якщо , то площини паралельні.

Кут , утворений двома площинами, що перетинаються, дорівнює куту, утвореному їх нормальними векторами. Косинус кута між векторами визначається за такою формулою:

Якщо , то площини перпендикулярні.

Приклад 21. Скласти рівняння площини, що проходить через дві точки і перпендикулярно до площини.

Запишемо шукане рівняння у вигляді: . Так як площина повинна проходити через точки і то координати точок повинні задовольняти рівняння площини. Підставляючи координати точок та , отримуємо: і .

З умови перпендикулярності площин маємо: . Вектор розташований в площині, що шукається, і, отже, перпендикулярний нормальному вектору: .

з навчальної дисципліни

МАТЕМАТИКА

Тема №2. Основи аналітичної геометрії

Заняття. Площина у просторі

Вступ

У лекції розглянемо різні види рівняння площини у просторі, доведемо, що рівняння першого ступеня визначає у просторі площину, за рівняннями площин навчимося визначати їхнє взаємне розташування у просторі.

1. Основні поняття

Визначення. Нехай задана прямокутна система координат, будь-яка поверхня S та рівняння

F(x, y, z) = 0 (1)

Будемо говорити, що рівняння (1) є рівнянням поверхні S в заданій системі координат, якщо йому задовольняють координати кожної точки цієї поверхні і не задовольняють координати ніякої точки, яка не належить цій поверхні. З погляду даного визначення поверхня є безліч точок простору R 3 .

приклад. Рівняння

x 2 + y 2 + z 2 = 5 2

поверхня, яка є сферою радіусу 5, з центром у точці 0(0,0,0).

2. Рівняння площини у просторі

2.1. Загальне рівняння площини

Визначення. Площиноюназивається поверхня, вага точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С – координати вектора – вектор нормалідо площини.

Можливі такі окремі випадки:

А = 0 – площина паралельна осі Ох

В = 0 – площина паралельна осі Оу

С = 0 – площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А = В = 0 - площина паралельна площині хОу

А = С = 0 – площина паралельна площині хОz

В = С = 0 – площина паралельна площині yOz

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу

З = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 - площина збігається з площиною хОу

А = С = D = 0 – площина збігається із площиною xOz

В = С = D = 0 – площина збігається із площиною yOz

2.2. Рівняння площини, що проходить через три точки

Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 М 2 М 3 необхідно, щоб вектори
були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

2.3.Рівняння площини за двома точками і вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2) та вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

2.4.Рівняння площини по одній точці і двом векторам,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М( х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

2.5.Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0.

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

2.6.Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах+Ву+Сz + D = 0 поділити обидві частини на – D

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, cє точками перетину площини відповідно до осей х, у,z.

2.7.Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0 у 0 z 0) до площини Ах+Ву+Сz+ D=0 одно:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) і Q (1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х + 2у - z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, –1, 4) та В(3, 2, –1) перпендикулярно до площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, –5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 – 24 + D = 0; D = -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x – 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р: