Об'єм та повна поверхня конуса. Площа бічної та повної поверхні конуса

Ми знаємо, що таке конус, спробуємо знайти площу його поверхні. Навіщо слід вирішувати таке завдання? Наприклад, потрібно зрозуміти, скільки тіста піде виготовлення вафельного ріжка? Чи скільки цеглин знадобиться, щоб скласти цегляний дах замку?

Виміряти площу бічної поверхні конуса просто так не вийде. Але уявімо собі той самий ріжок, обмотаний тканиною. Щоб знайти площу шматка тканини, потрібно розрізати та розкласти її на столі. Вийде плоска фігура, її площу ми зможемо знайти.

Рис. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхню вздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Тепер "розмотаємо" бічну поверхню на площину. Отримуємо сектор. Центр цього сектора - вершина конуса, радіус сектора дорівнює утворює конуса, а довжина його дуги збігається з довжиною кола основи конуса. Такий сектор називається розгорткою бічної поверхні конуса (див. рис. 2).

Рис. 2. Розгорнення бічної поверхні

Рис. 3. Вимірювання кута в радіанах

Спробуємо знайти площу сектора за наявними даними. Спочатку введемо позначення: нехай кут при вершині сектора в радіанах (див. рис. 3).

З кутом при вершині розгортки нам доведеться часто стикатися у завданнях. Поки що спробуємо відповісти на запитання: а чи не може цей кут вийти більше 360 градусів? Тобто, чи не вийде так, що розгортка накладеться сама на себе? Звичайно ж ні. Доведемо це математично. Нехай розгортка "наклалася" сама на себе. Це означає, що довжина дуги розгортки більша за довжину кола радіуса . Але, як було зазначено, довжина дуги розгортки є довжина кола радіуса . А радіус основи конуса, зрозуміло, менше утворює, наприклад, тому, що катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу.

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль відіграє , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Поряд із площею бічної поверхні можна знайти і площу повної поверхні. Для цього до площі бічної поверхні треба додати площу основи. Але основа - це коло радіусу, чия площа за формулою дорівнює.

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Рис. 4. Шуканий кут

Приклад 1. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор із кутом при вершині. Знайти цей кут, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи дорівнює 3 см (див. рис. 4).

Рис. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Приклад 2. Площа осьового перерізу конуса дорівнює, висота дорівнює. Знайти площу повної поверхні (див. рис. 6).

Тут представлені завдання з конусами, умова пов'язана з площею поверхні. Зокрема в деяких завданнях стоїть питання про зміну площі зі збільшенням (зменшенням) висоти конуса або радіуса його основи. Теорія на вирішення завдань в . Розглянемо такі завдання:

27135. Довжина кола основи конуса дорівнює 3, що утворює рівну 2. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Підставляємо дані:

75697. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворює збільшити у 36 разів, а радіус основи залишиться тим самим?

Площа бічної поверхні конуса:

Утворювальна збільшується в 36 разів. Радіус залишився тим самим, отже довжина кола основи не змінилася.

Значить площа бічної поверхні зміненого конуса матиме вигляд:

Таким чином, вона збільшиться у 36 разів.

*Залежність прямолінійна, тому це завдання легко можна вирішити усно.

27137. У скільки разів зменшиться площа бічної поверхні конуса, якщо радіус його основи зменшити у 1,5 раза?

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Радіус зменшується в 1,5 рази, тобто:

Отримали, що площа бічної поверхні зменшилася у 1,5 рази.

27159. Висота конуса дорівнює 6, що утворює рівну 10. Знайдіть площу його повної поверхні, поділену на Пі.

Повна поверхня конуса:

Необхідно знайти радіус:

Відома висота і твірна, за теоремою Піфагора обчислимо радіус:

Таким чином:

Отриманий результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

76299. Площа повної поверхні конуса дорівнює 108. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.

Перетин проходить через середину висоти паралельно до основи. Значить радіус основи і утворює відсіченого конуса будуть у 2 рази менші за радіус і утворює вихідного конуса. Запишемо чому дорівнює площа поверхні відсіченого конуса:

Отримали, що вона буде в 4 рази менша за площу поверхні вихідного, тобто 108:4 = 27.

*Оскільки вихідний і відсічений конус є подібними тілами, то також можна було скористатися властивістю подібності:

27167. Радіус основи конуса дорівнює 3, висота дорівнює 4. Знайдіть площу повної поверхні конуса, поділену на Пі.

Формула повної поверхні конуса:

Радіус відомий, необхідно знайти утворює.

За теоремою Піфагора:

Таким чином:

Результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

Завдання. Площа бічної поверхні конуса в чотири рази більша за площу основи. Знайдіть чому дорівнює косинус кута між утворюючим конусом і площиною основи.

Площа основи конуса дорівнює:

Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.

Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса чи площу сфери – вважайте, що пощастило.

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого кола в раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.

Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у задачах частини В варіантів ЄДІ з математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких завданнях завдання формулюється, наприклад, так: «Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, поділену на».

А де ще застосовуються формули об'єму і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.

Рис. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхню вздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Рис. 2. Розгорнення бічної поверхні

Рис. 3. Вимірювання кута в радіанах

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль відіграє , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Рис. 4. Шуканий кут

Рис. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Площа поверхні конуса (або просто поверхня конуса) дорівнює сумі площ основи та бічної поверхні.

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за такою формулою: S = πR l, де R - радіус основи конуса, а l- Утворює конуса.

Оскільки площа основи конуса дорівнює πR 2 (як площа кола), то площа повної поверхні конуса дорівнюватиме: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Отримання формули площі бічної поверхні конуса можна пояснити такими міркуваннями. Нехай на кресленні зображена розгортка бічної поверхні конуса. Розділимо дугу АВ на можливо більше рівних частин і всі точки поділу з'єднаємо з центром дуги, а сусідні - один з одним хордами.

Отримаємо ряд рівних трикутників. Площа кожного трикутника дорівнює ah / 2 , де а- Довжина основи трикутника, a h- Його висота.

Сума площ усіх трикутників становитиме: ah / 2 n = anh / 2 , де n- Число трикутників.

При великому числі поділів сума площ трикутників стає дуже близькою до площі розгортки, тобто площі бічної поверхні конуса. Сума основ трикутників, тобто. anстає дуже близькою до довжини дуги АВ, тобто до довжини кола основи конуса. Висота кожного трикутника стає дуже близькою до радіусу дуги, тобто до утворює конуса.

Нехтуючи незначними відмінностями у розмірах цих величин, отримуємо формулу площі бічної поверхні конуса (S):

S = C l / 2 , де С - довжина кола основи конуса, l- Утворює конуса.

Знаючи, що С = 2πR, де R - радіус кола основи конуса, отримуємо: S = πR l.

Примітка.У формулі S = C l / 2 поставлено знак точної, а не наближеної рівності, хоча на підставі проведеного міркування ми могли б цю рівність вважати наближеною. Але у старших класах середньої школи доводиться, що рівність

S = C l / 2 точне, а чи не наближене.

Теорема. Бічна поверхня конуса дорівнює добутку довжини кола основи на половину твірної.

Впишемо в конус (мал.) якусь правильну піраміду і позначимо літерами рі lчисла, що виражають довжини периметра основи та апофеми цієї піраміди.

Тоді бічна поверхня її висловиться твором 1/2 р l .

Припустимо тепер, що кількість сторін вписаного основу багатокутника необмежено зростає. Тоді периметр рбуде прагнути до межі, що приймається за довжину З кола основи, а апофема lбуде мати межею утворюючу конуса (оскільки з ΔSAK випливає, що SA - SK
1 / 2 р lбуде прагнути до межі 1 / 2 С L. Ця межа приймається за величину бічної поверхні конуса. Позначивши бічну поверхню конуса буквою S, можемо написати:

S = 1/2 С L = З 1/2 L

Наслідки.
1) Оскільки С = 2 π R, то бічна поверхня конуса виразиться формулою:

S = 1/2 2π R L = π RL

2) Повну поверхню конуса отримаємо, якщо бічну поверхню складемо з площею основи; тому, позначаючи повну поверхню через Т, матимемо:

T = π RL + π R 2 = π R(L + R)

Теорема. Бічна поверхня усіченого конуса дорівнює добутку напівсуми довжин кіл підстав на утворюючу.

Впишемо в усічений конус (рис.) якусь правильну усічену піраміду і позначимо літерами р, р 1 і lчисла, що виражають в однакових лінійних одиницях довжини периметрів нижньої та верхньої основ та апофеми цієї піраміди.

Тоді бічна поверхня вписаної піраміди дорівнює 1/2 ( р + р 1) l

При необмеженому зростанні числа бічних граней вписаної піраміди периметри рі р 1 прагнуть до меж, що приймаються за довжини С і С 1 кіл підстав, а апофема lмає межу утворює L усіченого конуса. Отже, величина бічної поверхні вписаної піраміди прагне при цьому до межі, що дорівнює (С + С 1) L. Ця межа і приймається за величину бічної поверхні усіченого конуса. Позначивши бічну поверхню усіченого конуса буквою S, матимемо:

S = 1/2 (З + З 1) L

Наслідки.
1) Якщо R і R 1 означають радіуси кіл нижньої і верхньої основ, то бічна поверхня усіченого конуса буде:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Якщо в трапеції OO 1 А 1 А (рис.), від обертання якої виходить усічений конус, проведемо середню лінію ПС, то отримаємо:

ВС = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2ВС.

Отже,

S = 2 π BC L,

тобто. бічна поверхня усіченого конуса дорівнює добутку довжини кола середнього перерізу на твірну.

3) Повна поверхня Т усіченого конуса виразиться так:

T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)