Об'єм кулі формула калькулятор. Об'єм кулі

Перш ніж почати вивчати поняття кулі, що таке об'єм кулі, розглядати формули обчислення його параметрів, необхідно згадати поняття кола, яке раніше вивчалося в курсі геометрії. Адже більшість дій у тривимірному просторі аналогічні або випливають із двовимірної геометрії з поправкою на появу третьої координати та третього ступеня.

Що таке коло?

Коло - це фігура декартової площині (зображена малюнку 1); найчастіше визначення звучить як «геометричне місце всіх точок на площині, відстань яких до заданої точки (центру) вбирається у якогось неотрицательного числа, званого радіусом».

Як бачимо по малюнку, точка О - це центр фігури, а безліч всіх точок, що заповнюють коло, наприклад, А, В, С, К, Е, знаходяться не далі заданого радіусу (не виходять за межі кола, зображеного на рис 2).

Якщо радіус дорівнює нулю, то коло перетворюється на точку.

Проблеми з розумінням

Учні часто плутають ці поняття. Легко запам'ятати, провівши аналогію. Обруч, який діти крутять під час уроків фізичної культури, - коло. Розуміючи це чи запам'ятавши, перші літери обох слів - "О", діти менімонічно розумітимуть різницю.

Введення поняття «куля»

Куля – це тіло (рис. 3), обмежене якоюсь сферичною поверхнею. Що за «сферична поверхня» стане ясно з її визначення: це геометричне місце всіх точок на поверхні, відстань від яких до заданої точки (центру) не перевищує якогось невід'ємного числа, що називається радіусом. Як бачимо, поняття кола та сферичної поверхні аналогічні, тільки різняться простори, в яких вони знаходяться. Якщо зобразити кулю у двовимірному просторі, ми отримуємо коло, межею якого є коло (біля кулі кордон – сферична поверхня). На малюнку бачимо сферичну поверхню з радіусами ОА = ОВ.

Куля замкнута і відкрита

У векторному та метричному просторах також розглядаються два поняття, пов'язані зі сферичною поверхнею. Якщо куля включає цю сферу в себе, то вона називається замкненою, а якщо ж ні, то в такому випадку куля є відкритою. Це " просунуті " поняття, їх вивчають в інститутах при введенні в аналіз. Для простого, навіть побутового використання буде достатньо і формул, які вивчаються в курсі стереометрії 10-11 класів. Саме такі, доступні практично кожній середньостатистичній освіченій людині поняття будуть розглянуті далі.

Поняття, які потрібно знати для наступних обчислень

Радіус та діаметр.

Радіус кулі та її діаметр визначаються так само, як у кола.

Радіус - відрізок, що з'єднує будь-яку точку на межі кулі та точку, що є центром кулі.

Діаметр - відрізок, що з'єднує дві точки на межі кулі і проходить через центр. Малюнок 5а наочно демонструє, які відрізки є радіусами кулі, але в малюнку 5б зображені діаметри сфери (відрізки, які проходять через точку Про).

Перерізи у сфері (кулі)

Будь-який переріз сфери є колом. Якщо воно проходить через центр кулі, то називається великим колом (коло з діаметром АВ), решта перерізів - малими колами (коло з діаметром DC).

Площа даних кіл обчислюється за такими формулами:

Тут S – це позначення площі, R – радіуса, D – діаметра. Також є константа, що дорівнює 3,14. Але не варто плутати, що для обчислення площі великого кола використовують радіус або діаметр самої кулі (сфери), а для визначення площі потрібні розміри радіусу саме малого кола.

Таких перерізів, які проходять через дві точки одного діаметра, що лежать на межі кулі, можна провести незліченну кількість. Як приклад – наша планета: дві точки на Північному та Південному полюсах, які є кінцями земної осі, а в геометричному сенсі – кінцями діаметра, та меридіани, які проходять через ці дві точки (рисунок 7). Тобто кількість великих кіл у сфері за кількістю прагне нескінченності.

Частини кулі

Якщо відсікти від сфери за допомогою деякої площини «шматочок» (рисунок 8), він називатиметься сферичним чи кульовим сегментом. У нього буде висота - перпендикуляр із центру січної площини до сферичної поверхні О 1 К. Точка К на сферичній поверхні, до якої приходить висота, називається вершиною сферичного сегмента. А мале коло з радіусом О 1 Т (у даному випадку, згідно з малюнком, площина не пройшла через центр сфери, але якщо перетин проходитиме через центр, то коло перерізу буде великим), утворений при відсіканні кульового сегмента, називатиметься основою нашого шматочка кулі – сферичного сегмента.

Якщо з'єднати кожну точку заснування сферичного сегмента з центром сфери, ми отримаємо фігуру під назвою "кульовий сектор".

Якщо через сферу проходять дві площини, які між собою паралельні, то та частина сфери, яка укладена між ними, називається шаровим шаром (рисунок 9, де зображена сфера з двома площинами та окремо - шаровий шар).

Поверхня (виділена частина на малюнку 9 праворуч) цієї частини сфери називається поясом (знов для кращого розуміння можна провести аналогію із земною кулею, а саме з її кліматичними поясами - арктичними, тропічними, помірними тощо), а кола перерізу будуть основами шарового шару. Висота шару - частина діаметра, проведеного перпендикулярно до січих площин з центрів основ. Існує також поняття кульової сфери. Вона утворюється в тому випадку, коли площини, які є паралельними один одному, не перетинають сферу, а торкаються її в одній точці кожна.

Формули обчислення об'єму кулі та площі її поверхні

Куля утворюється при обертанні навколо нерухомого діаметра півкола чи кола. Для обчислень різних параметрів даного об'єкта знадобиться не так багато даних.

Об'єм кулі, формула для обчислення якої зазначена вище, виведено за допомогою інтегрування. Розберемося за пунктами.

Розглядаємо коло у двовимірній площині, адже, як було сказано вище, саме коло лежить в основі побудови кулі. Використовуємо лише четверту частину (рисунок 10).

Беремо коло з одиничним радіусом та центром на початку координат. Рівняння такого кола має такий вигляд: Х 2 + У 2 = R 2 . Висловлюємо звідси У: У 2 = R 2 - Х2.

Обов'язково відзначимо, що отримана функція невід'ємна, безперервна і спадна на відрізку Х (0; R), адже значення Х у тому випадку, коли ми розглядаємо чверть кола, лежить від нуля до значення радіуса, тобто до одиниці.

Наступне, що ми робимо, це обертаємо нашу чверть кола навколо осі абсцис. В результаті ми отримаємо півкулю. Щоб визначити його обсяг, вдамося до методів інтегрування.

Так як це обсяг лише півкулі, збільшуємо результат у два рази, звідки отримуємо, що об'єм кулі дорівнює:

Дрібні нюанси

Якщо необхідно обчислити об'єм кулі через його діаметр, пам'ятаємо про те, що радіус - це половина діаметра, і підставляємо це значення у вищевказану формулу.

Також до формули об'єму кулі можна дійти через площу її межі поверхні - сфери. Нагадаємо, що площа сфери обчислюється за формулою S = 4πr 2 , проінтегрувавши яку, також дійдемо вищезазначеної формули об'єму кулі. З цих же формул можна виразити радіус, якщо за умови завдання є значення обсягу.

Визначення кулі

Куля- це тіло, всі точки якого знаходяться від заданої точки на відстані, що не перевищує R.

Онлайн-калькулятор

Задана точка, про яку йдеться у визначенні кулі, називається центромцієї кулі. А згадана відстань - радіусомданої кулі.

У кулі, за аналогією з колом, так само є діаметр D D D, який за довжиною вдвічі більший за радіус:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D =2 ⋅ R

Формула об'єму кулі через її радіус

Об'єм кулі обчислюється за такою формулою:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- радіус цієї кулі.

Розглянемо кілька прикладів.

Куля вписана в куб, діагональ d d dякого дорівнює 500 см. \sqrt(500)\text( див.)5 0 0 ​ див.Знайти об'єм кулі.

Рішення

D = 500 d = sqrt (500) d =5 0 0 ​

Спочатку необхідно визначити довжину сторони куба. Вважатимемо, що вона дорівнює a a a. Отже, діагональ куба дорівнює (виходячи з теореми Піфагора):

D = a 2 + a 2 + a 2 d = sqrt (a 2 + a 2 + a 2)d =a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d = sqrt (3 cdot a 2)d =3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a = sqrt (frac (500) (3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12.9 a\approx12.9 a ≈1 2 . 9

Якщо куб вписаний кулю, його радіус дорівнює половинці довжини боку цього куба. В результаті маємо:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR =2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 R=\frac(1)(2)\cdot 12.9\approx6.4R =2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Заключний етап - знаходження об'єму кулі за формулою:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 , 5 см 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097,5\text( см)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 см3

Відповідь

1097 , 5 см 3 . 1097,5 text (см) ^3.1 0 9 7 , 5 см3 .

Формула об'єму кулі через її діаметр

Так само об'єм кулі можна знайти через його діаметр. Для цього використовуємо зв'язок між радіусом та діаметром кулі:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D =2 ⋅ R

R = D 2 R = frac (D) (2) R =2 D​

Підставимо цей вираз у формулу для об'єму кулі:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =6 π ​ ⋅ D 3

D D D- Діаметр даної кулі.

Діаметр кулі дорівнює 15 см. 15 text (див.) 1 5 див.Знайдіть його обсяг.

Рішення

D = 15 D = 15 D =1 5

Відразу підставляємо значення діаметра у формулу:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 см 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D approx1766.25\text( см)^3V =6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 см3

Відповідь

$1766.25\text{см3 .}$

WikiHow ретельно стежить за роботою редакторів, щоб гарантувати відповідність кожної статті нашим високим стандартам якості.

Радіус кулі (позначається як r або R) – це відрізок, який з'єднує центр кулі з будь-якою точкою на поверхні. Як і у випадку кола, радіус кулі є важливою величиною, яка необхідна для знаходження діаметра кулі, довжини кола, площі поверхні та/або об'єму. Але радіус кулі можна знайти і за цим значенням діаметра, довжини кола та іншої величини. Використовуйте формулу, на яку можна підставити дані значення.

Кроки

Формули для обчислення радіусу

Обчисліть радіус діаметром.Радіус дорівнює половині діаметра, тому використовуйте формулу г = D/2. Ця така сама формула, яка використовується при обчисленні радіусу та діаметра кола.

• Наприклад, дано кулю з діаметром 16 см. Радіус цієї кулі: r = 16/2 = 8 см. Якщо діаметр дорівнює 42 см, то радіус дорівнює 21 см (42/2=21).

1. Обчисліть радіус за довжиною кола.Використовуйте формулу: r = C/2π. Оскільки довжина кола C = πD = 2πr, то розділіть формулу для обчислення довжини кола на 2π і отримайте формулу для знаходження радіусу.

   • Наприклад, дано кулю з довжиною кола 20 см. Радіус цієї кулі: r = 20/2π = 3,183 см.
   • Така сама формула використовується при обчисленні радіусу та довжини кола кола.

2. Обчисліть радіус за обсягом кулі.Використовуйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Об'єм кулі обчислюється за формулою V = (4/3)πr 3 . Відокремивши r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, тобто для обчислення радіусу об'єм кулі ділимо на π, результат множимо на 3/4, а отриманий результат зводимо в ступінь 1/3 (або витягаємо кубічний корінь).

   • Наприклад, дана куля з об'ємом 100 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см= r

3. Обчисліть радіус площею поверхні.Використовуйте формулу: г = √(A/(4 π)). Площа поверхні кулі обчислюється за формулою А = 4πr 2 . Відокремивши r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу √(A/(4π)) = r, тобто щоб обчислити радіус, потрібно витягти квадратний корінь із площі поверхні, поділеної на 4π. Замість того, щоб видобувати корінь, вираз (A/(4π)) можна звести до ступеня 1/2.

   • Наприклад, дана куля з площею поверхні 1200 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см= r

   Визначення основних величин

   1. Запам'ятайте основні величини, які стосуються обчислення радіусу кулі.Радіус кулі – це відрізок, який з'єднує центр кулі з будь-якою точкою на поверхні. Радіус кулі можна обчислити за даними значення діаметра, довжини кола, об'єму або площі поверхні.

      Скористайтеся значеннями даних величин, щоб знайти радіус.Радіус можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, обсягу та площі поверхні. Більше того, зазначені величини можна знайти за цим значенням радіусу. Щоб обчислити радіус, просто перетворіть формули знаходження зазначених величин. Нижче наведені формули (в яких присутній радіус) для обчислення діаметра, довжини кола, об'єму та площі поверхні.

   Знаходження радіусу на відстані між двома точками

   1. Знайдіть координати (х, у, z) центру кулі.Радіус кулі дорівнює відстані між його центром та будь-якою точкою, що лежить на поверхні кулі. Якщо відомі координати центру кулі та будь-якої точки, що лежить на його поверхні, можна знайти радіус кулі за спеціальною формулою, обчисливши відстань між двома точками. Спочатку знайдіть координати центру кулі. Майте на увазі, що так як куля є тривимірною фігурою, то точка матиме три координати (х, у, z), а не дві (х, у).

      • Розглянемо приклад. Дана куля з центром з координатами (4,-1,12) . Скористайтеся цими координатами, щоб знайти радіус кулі.

   2. Знайдіть координати точки, що лежить на поверхні кулі.Тепер потрібно знайти координати (х, у, z) будь-якийкрапки, що лежить на поверхні кулі. Оскільки всі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі, для обчислення радіусу кулі можна вибрати будь-яку точку.

      • У нашому прикладі припустимо, що деяка точка, що лежить на поверхні кулі, має координати (3,3,0) . Обчисливши відстань між цією точкою та центром кулі, ви знайдете радіус.

   3. Обчисліть радіус за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Дізнавшись координати центру кулі та точки, що лежить на його поверхні, ви можете знайти відстань між ними, яка дорівнює радіусу кулі. Відстань між двома точками обчислюється за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), де d – відстань між точками, (x 1 , y 1 ,z 1) - координати центру кулі, (x 2, y 2, z 2) - координати точки, що лежить на поверхні кулі.

      • У прикладі замість (x 1 ,y 1 ,z 1) підставте (4,-1,12), а замість (x 2 ,y 2 ,z 2) підставте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Це шуканий радіус кулі.

   4. Майте на увазі, що у загальних випадках r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Усі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі. Якщо у формулі для знаходження відстані між двома точками "d" замінити на "r", вийде формула для обчислення радіусу кулі за відомими координатами (x 1 ,y 1 ,z 1) центру кулі та координатами (x 2 ,y 2 ,z 2 ) будь-якої точки, що лежить на поверхні кулі.

      • Зведіть обидві сторони цього рівняння в квадрат і отримайте r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Зауважте, що це рівняння відповідає рівнянню сфери r 2 = x 2 + y 2 + z 2 із центром з координатами (0,0,0).
   • Не забувайте про порядок виконання математичних операцій. Якщо ви не пам'ятаєте цей порядок, а ваш калькулятор може працювати з круглими дужками, користуйтеся ними.
   • У цій статті розповідається про обчислення радіусу кулі. Але якщо ви відчуваєте труднощі з вивченням геометрії, краще почати з обчислення величин, пов'язаних із кулею, через відоме значення радіусу.
   • π (Пі) – це літера грецького алфавіту, що означає постійну, рівну відношенню діаметра кола до довжини його кола. Число Пі є ірраціональним числом, яке записується як ставлення дійсних чисел. Існує безліч наближень, наприклад, відношення 333/106 дозволить знайти число Пі з точністю до чотирьох цифр після десяткової коми. Як правило, користуються приблизним значенням числа Пі, що дорівнює 3,14.

Багато тіл, які ми зустрічаємо в житті або про які чули, мають кулясту форму, наприклад футбольний м'яч, крапля води, що падає, під час дощу або наша планета. У зв'язку з цим актуальним є розгляд питання, як знаходити обсяг кулі.

Фігура куля в геометрії

Перед тим як відповісти на питання, кулі, розглянемо докладніше це тіло. Деякі люди плутають його із сферою. Зовні вони справді схожі, проте куля - це заповнений всередині об'єкт, сфера ж є лише зовнішню оболонку кулі нескінченно малої товщини.

З точки зору геометрії кулю можна уявити сукупністю точок, причому ті з них, які лежать на його поверхні (вони утворюють сферу), знаходяться на однаковій відстані від центру фігури. Цю відстань називають радіусом. По суті, радіус - це єдиний параметр, за допомогою якого можна описати будь-які властивості кулі, такі як площа поверхні або об'єм.

На малюнку нижче наведено приклад кулі.

Якщо уважно подивитися на цей ідеальний круглий об'єкт, можна здогадатися, як його отримати зі звичайного кола. Для цього достатньо обертати цю плоску фігуру навколо осі, що збігається з діаметром.

Однією з відомих древніх літературних джерел, у якому досить докладно розглядаються властивості цієї об'ємної постаті, є праця грецького філософа Евкліда - " Елементи " .

Площа поверхні та об'єм

Розглядаючи питання, як знаходити обсяг кулі, крім цієї величини, слід навести формулу для його площі, оскільки обидва вирази можна пов'язати один з одним, як буде показано нижче.

Отже, щоб обчислити об'єм кулі, слід застосувати одну з двох формул:

• V = 4/3 * pi * R3;
• V = 67/16*R3.

Тут R – радіус фігури. Перша з наведених формул є точною, однак, щоб скористатися цією перевагою, необхідно використовувати відповідну кількість знаків після коми для числа pi. Друге вираження дає цілком добрий результат, відрізняючись від першого всього на 0,03%. Для низки практичних завдань цієї точності більш ніж достатньо.

дорівнює цій величині для сфери, тобто виражається формулою S = 4 * pi * R2. Якщо звідси висловити радіус, а потім підставити його в першу формулу для об'єму, тоді отримаємо: R = √(S/(4*pi)) = > V = S/3*√(S/(4*pi)).

Таким чином, ми розглянули питання, як знайти об'єм кулі через радіус та через площу його поверхні. Ці висловлювання можна успішно застосовувати практично. Далі у статті наведемо приклад їхнього використання.

Завдання з краплею дощу

Вода, коли знаходиться в невагомості, набуває форми кулястої краплі. Пов'язано це з наявністю сил поверхневого натягу, які прагнуть мінімізувати площу поверхні. Куля, у свою чергу, має найменше її значення серед усіх геометричних фігур з однаковою масою.

Під час дощу крапля води, що падає, знаходиться в невагомості, тому її формою є куля (тут нехтуємо силою опору повітря). Необхідно визначити об'єм, площу поверхні та радіус цієї краплі, якщо відомо, що її маса становить 0,05 грама.

Об'єм визначити просто, для цього слід поділити відому масу на густину H 2 O (ρ = 1 г/см 3). Тоді V = 0,05/1 = 0,05 см 3 .

Знаючи, як знайти об'єм кулі, слід виразити з формули радіус і підставити отримане значення, маємо: R = ∛(3*V/(4*pi)) = ∛(3*0,05/(4*3,1416)) = 0,2285 див.

Тепер значення радіуса підставляємо у вираз для площі поверхні фігури, отримуємо: S = 4*3,1416*0,22852=0,6561 см2.

Таким чином, знаючи, як знаходити об'єм кулі, ми отримали відповіді на всі питання задачі: R = 2,285 мм, S = 0,6561 см2 і V = 0,05 см3.