Зворотна теорема вієта онлайн. Теорема Вієта

У математиці існують спеціальні прийоми, з якими багато квадратних рівнянь вирішуються дуже швидко і без будь-яких дискримінантів. Більше того, при належному тренуванні багато хто починає вирішувати квадратні рівняння усно, буквально «з першого погляду».

На жаль, у сучасному курсі шкільної математики подібні технології майже не вивчаються. А знати треба! І сьогодні ми розглянемо один із таких прийомів — теорему Вієта. Спочатку введемо нове визначення.

Квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0 називається наведеним. Зверніть увагу: коефіцієнт при x 2 дорівнює 1. Жодних інших обмежень на коефіцієнти не накладається.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 – це наведене квадратне рівняння;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - теж наведене;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 — а ось це ніфіга не наведена, оскільки коефіцієнт при x 2 дорівнює 2.

Зрозуміло, будь-яке квадратне рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 можна зробити наведеним - достатньо поділити всі коефіцієнти на число a . Ми завжди можемо зробити так, оскільки з визначення квадратного рівняння випливає, що a ≠ 0.

Щоправда, далеко не завжди ці перетворення будуть корисними для відшукання коренів. Трохи нижче ми переконаємося, що робити це треба лише тоді, коли у підсумковому наведеному квадратом рівнянні всі коефіцієнти будуть цілими. А поки що розглянемо найпростіші приклади:

Завдання. Перетворити квадратне рівняння на наведене:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Розділимо кожне рівняння на коефіцієнт при змінній х 2 . Отримаємо:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 — поділили всі на 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 — розділили на −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - розділили на 1,5, всі коефіцієнти стали цілими;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 — поділили на 2. При цьому виникли дробові коефіцієнти.

Як бачите, наведені квадратні рівняння можуть мати цілі коефіцієнти навіть у тому випадку, коли вихідне рівняння містило дроби.

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої власне і вводилося поняття наведеного квадратного рівняння:

Теорема Вієта. Розглянемо наведене квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0. Припустимо, що це рівняння має дійсне коріння x 1 і x 2 . І тут вірні такі твердження:

1. x 1 + x 2 = −b. Іншими словами, сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при змінній x взятому з протилежним знаком;
2. x 1 · x 2 = c. Добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному коефіцієнту.

приклади. Для простоти розглядатимемо лише наведені квадратні рівняння, що не потребують додаткових перетворень:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; коріння: х 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = -15; коріння: х 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; коріння: x1 = −1; x 2 = -4.

Теорема Вієта дає нам додаткову інформацію про коріння квадратного рівняння. На перший погляд це може здатися складним, але навіть при мінімальному тренуванні ви навчитеся "бачити" коріння і буквально вгадувати їх за лічені секунди.

Завдання. Розв'яжіть квадратне рівняння:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x2+33x+30=0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Спробуємо виписати коефіцієнти за теоремою Вієта і «відгадати» коріння:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 – це наведене квадратне рівняння.
   За теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Неважко помітити, що коріння - числа 2 і 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 — також наведене.
   За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Звідси коріння: 3 та 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 – це рівняння не є наведеним. Але ми це виправимо, розділивши обидві сторони рівняння на коефіцієнт a = 3. Отримаємо: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Вирішуємо за теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ коріння: −10 та −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 — знову коефіцієнт при x 2 не дорівнює 1, тобто. рівняння не наведене. Ділимо все на число a = −7. Отримаємо: x 2 - 11x + 30 = 0.
   За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; з цих рівнянь легко вгадати коріння: 5 та 6.

З наведених міркувань видно, як теорема Вієта спрощує розв'язання квадратних рівнянь. Жодних складних обчислень, жодних арифметичних коренів та дробів. І навіть дискримінант (див. урок «Рішення квадратних рівнянь») нам не знадобився.

Зрозуміло, у всіх міркуваннях ми виходили з двох важливих припущень, які, власне кажучи, не завжди виконуються в реальних завданнях:

1. Квадратне рівняння є наведеним, тобто. коефіцієнт при х 2 дорівнює 1;
2. Рівняння має два різні корені. З погляду алгебри, у разі дискримінант D > 0 — власне, ми спочатку припускаємо, що це нерівність правильно.

Однак у типових математичних завданнях ці умови виконуються. Якщо ж у результаті обчислень вийшло «погане» квадратне рівняння (коефіцієнт при x 2 відмінний від 1), це легко виправити — погляньте на приклади на початку уроку. Про коріння взагалі мовчу: що це за завдання, в якому немає відповіді? Звичайно, коріння буде.

Таким чином, загальна схема розв'язання квадратних рівнянь з теореми Вієта виглядає так:

1. Звести квадратне рівняння до наведеного, якщо це ще не зроблено за умови завдання;
2. Якщо коефіцієнти у наведеному квадратному рівнянні вийшли дробовими, вирішуємо через дискримінант. Можна навіть повернутися до вихідного рівняння, щоб працювати з більш «зручними» числами;
3. У випадку з цілими коефіцієнтами вирішуємо рівняння по теоремі Вієта;
4. Якщо протягом кількох секунд не вдалося вгадати коріння, забиваємо на теорему Вієта і вирішуємо через дискримінант.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Отже, маємо рівняння, яке є наведеним, т.к. коефіцієнт a = 5. Розділимо все на 5, отримаємо: x 2 − 7x + 10 = 0.

Усі коефіцієнти квадратного рівняння цілочисленні — спробуємо вирішити теорему Вієта. Маємо: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. У цьому випадку коріння легко вгадується — це 2 і 5. Вважати через дискримінант не треба.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Дивимося: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 — це рівняння не наведене, розділимо обидві сторони на коефіцієнт a = −5. Отримаємо: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 – рівняння із дробовими коефіцієнтами.

Краще повернутися до вихідного рівняння та рахувати через дискримінант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; х 2 = 0,4.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Для початку розділимо все на коефіцієнт a = 2. Вийде рівняння x 2 + 5x − 300 = 0.

Це наведене рівняння за теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = -300. Вгадати коріння квадратного рівняння у цьому випадку важко — особисто я серйозно «завис», коли вирішував це завдання.

Прийде шукати коріння через дискримінант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Якщо ви не пам'ятаєте корінь із дискримінанта, просто зазначу, що 1225: 25 = 49. Отже, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .

Тепер, коли корінь з дискримінанта відомий, вирішити рівняння не важко. Отримаємо: x1 = 15; x 2 = -20.

Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми говоритимемо лише про рішення за теоремою Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння — це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знаками ми віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

При вивченні способів розв'язання рівнянь другого порядку в шкільному алгебри курсі, розглядають властивості отриманих коренів. Вони зараз відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться у цій статті.

Квадратне рівняння

Рівняння другого порядку являє собою рівність, яка показана на фото нижче.

Тут символи a, b, c є деякими числами, що мають назву коефіцієнтів рівняння, що розглядається. Щоб розв'язати рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його істинним.

Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, в яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді кількість коренів у загальному випадку також дорівнює двом.

Для розв'язання цього рівнянь існує кілька способів. У цій статті розглянемо один із них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.

Формулювання теореми Вієта

Наприкінці XVI відомий математик Франсуа Вієт (француз) помітив, аналізуючи властивості коренів різних квадратних рівнянь, що певні комбінації їх задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їхній твір та сума.

Теорема Вієта встановлює наступне: коріння квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичного взяте зі зворотним знаком, а при їх добутку призводять до відношення вільного члена до квадратичного коефіцієнта.

Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:

• r 2 + r 1 = -b/a;
• r 1 х r 2 = c/a.

Де r 1 , r 2 - це значення коренів рівняння, що розглядається.

Наведені дві рівності можна використовувати для вирішення низки різних математичних завдань. Використання теореми Вієта у прикладах із рішенням наведено у наступних розділах статті.

У цій лекції ми познайомимося з цікавими співвідношеннями між корінням квадратного рівняння та його коефіцієнтами. Ці співвідношення вперше виявив французький математик Франсуа Вієт (1540-1603).

Наприклад, для рівняння Зx 2 - 8x - 6 = 0, не знаходячи його коріння, можна, скориставшись теоремою Вієта, відразу сказати, що сума коренів дорівнює , а добуток коренів дорівнює
т. е. - 2. А рівняння х 2 - 6х + 8 = 0 укладаємо: сума коренів дорівнює 6, добуток коренів дорівнює 8; між іншим, тут неважко здогадатися, чому дорівнює коріння: 4 і 2.
Доказ теореми Вієта. Коріння х 1 і х 2 квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 перебувають за формулами

Де D = b 2 - 4ас - дискримінант рівняння. Склавши це коріння,
отримаємо

Тепер обчислимо твір коренів х 1 та х 2 Маємо

Друге співвідношення доведено:
Зауваження. Теорема Вієта справедлива і в тому випадку, коли квадратне рівняння має один корінь (тобто коли D = 0), просто в цьому випадку вважають, що рівняння має два однакові корені, до яких і застосовують зазначені вище співвідношення.
Особливо простий вид набувають доведених співвідношення для наведеного квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. У цьому випадку отримуємо:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тобто. сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
За допомогою теореми Вієта можна отримати й інші співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Нехай, наприклад, х 1 і х 2 — коріння квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. Тоді

Однак основне призначення теореми Вієта не в тому, що вона виражає деякі співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Набагато важливішим є те, що за допомогою теореми Вієта виводиться формула розкладання квадратного тричлена на множники, без якої ми надалі не обійдемося.

Доведення. Маємо

Приклад 1. Розкласти на множники квадратний тричлен Зх 2 – 10x + 3.
Рішення. Розв'язавши рівняння Зх 2 – 10x + 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена Зх 2 – 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Скориставшись теоремою 2, отримаємо

Є сенс замість написати Зx – 1. Тоді остаточно отримаємо Зх 2 – 10x + 3 = (х – 3) (3х – 1).
Зауважимо, що заданий квадратний тричлен можна розкласти на множники і без застосування теореми 2, використовуючи спосіб угруповання:

Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х – 3) – (х – 3) = (х – 3) (Зx – 1).

Але, як бачите, при цьому способі успіх залежить від того, чи зуміємо знайти вдале угруповання чи ні, тоді як при першому способі успіх гарантований.
Приклад 1. Скоротити дріб

Рішення. З рівняння 2х 2 + 5х + 2 = 0 знаходимо х 1 = - 2,

З рівняння х2 - 4х - 12 = 0 знаходимо х 1 = 6, х 2 = -2. Тому
х 2 - 4х - 12 = (х - 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А тепер скоротимо заданий дріб:

Приклад 3. Розкласти на множники вирази:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Розв'язання. а) Введемо нову змінну у = х 2 . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді у 2 + b + 6.
Розв'язавши рівняння у 2 + bу + 6 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Тепер скористаємося теоремою 2; отримаємо

у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Залишилося згадати, що у = x 2 тобто повернення до заданого виразу. Отже,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2) (х 2 + 3).
б) Введемо нову змінну у = . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді 2у 2 + у - 3. Розв'язавши рівняння
2у 2 + у - 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далі, використовуючи теорему 2, отримаємо:

Залишилося згадати, що у = , тобто повернутися до заданого виразу. Отже,

На закінчення параграфа — деякі міркування, знову ж таки пов'язані з теоремою Вієта, а точніше, із зворотним твердженням:
якщо числа х 1 , х 2 такі, що х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то ці числа корені рівняння
За допомогою цього твердження можна вирішувати багато квадратних рівнянь усно, не користуючись громіздкими формулами коренів, а також складати квадратні рівняння із заданим корінням. Наведемо приклади.

1) х 2 - 11х + 24 = 0. Тут х 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Неважко здогадатися, що х 1 = 8, х 2 = 3.

2) х 2 + 11х + 30 = 0. Тут х 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Неважко здогадатися, що х 1 = -5, х 2 = -6.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - позитивне число, то обидва корені або позитивні, або негативні; це важливо враховувати при доборі коріння.

3) х 2 + х - 12 = 0. Тут х 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко здогадатися, що х 1 = 3, х2 = -4.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - від'ємне число, то коріння різне за знаком; це важливо враховувати при доборі коріння.

4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Неважко помітити, що х = 1 задовольняє рівняння, тобто. х 1 = 1 - корінь рівняння. Оскільки х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, отримуємо, що х 2 = - .

5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Тут х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Якщо звернути увагу, що 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, стає ясно, що х 1 = 283, х 2 = 10 (а тепер уявіть, які обчислення довелося б виконати для вирішення цього квадратного рівняння за допомогою стандартних формул).

6) Складемо квадратне рівняння так, щоб його корінням служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Зазвичай у таких випадках становлять наведене квадратне рівняння х 2 + рх + q = 0.
Маємо х 1 + х 2 = -р, тож 8 - 4 = -р, тобто р = -4. Далі, x 1 x 2 = q, тобто. 8«(-4) = q, звідки отримуємо q = -32. Отже, р = -4, q = -32, отже, квадратне рівняння, що шукається, має вигляд х 2 -4х-32 = 0.

Будь-яке повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0можна привести до вигляду x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0, якщо попередньо розділити кожен доданок на коефіцієнт a перед x 2. А якщо ввести нові позначення (b/a) = pі (c/a) = q, то матимемо рівняння x 2 + px + q = 0, яке в математиці називається наведеним квадратним рівнянням.

Коріння наведеного квадратного рівняння та коефіцієнти pі qзв'язані між собою. Це підтверджується теорема Вієта, названою так на честь французького математика Франсуа Вієта, який жив наприкінці XVI ст.

Теорема. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0дорівнює другому коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену q.

Запишемо дані співвідношення у такому вигляді:

Нехай x 1і x 2різне коріння наведеного рівняння x 2 + px + q = 0. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -pі x 1 · x 2 = q.

Для доказу підставимо кожен із коренів x 1 і x 2 до рівняння. Отримуємо дві вірні рівності:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Віднімемо з першої рівності другу. Отримаємо:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Перші два доданки розкладаємо за формулою різниці квадратів:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

За умовами коріння x 1 і x 2 різні. Тому ми можемо скоротити рівність на (x 1 – x 2) ≠ 0 та виразити p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x1+x2) = -p.

Першу рівність доведено.

Для доказу другої рівності підставимо на перше рівняння

x 1 2 + px 1 + q = 0 замість коефіцієнта p дорівнює йому число - (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Перетворивши ліву частину рівняння, отримуємо:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, що потрібно було довести.

Теорема Вієта хороша тим, що, навіть не знаючи коренів квадратного рівняння, ми можемо обчислити їх суму та добуток .

Теорема Вієта допомагає визначати ціле коріння наведеного квадратного рівняння. Але у багатьох учнів це спричиняє труднощі через те, що вони не знають чіткого алгоритму дії, особливо якщо коріння рівняння має різні знаки.

Отже, наведене квадратне рівняння має вигляд x 2 + px + q = 0 де x 1 і x 2 його коріння. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q.

Можна зробити наступний висновок.

Якщо в рівнянні перед останнім членом стоїть знак мінус, то коріння x 1 і x 2 мають різні знаки. Крім того, знак меншого кореня збігається зі знаком другого коефіцієнта рівняння.

Виходячи з того, що при додаванні чисел з різними знаками їх модулі віднімаються, а перед отриманим результатом ставиться знак більшого за модулем числа, слід діяти таким чином:

1. визначити такі множники числа q, щоб їхня різниця дорівнювала числу p;
2. поставити перед меншим із отриманих чисел знак другого коефіцієнта рівняння; другий корінь матиме протилежний знак.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння x 2 – 2x – 15 = 0.

Рішення.

Спробуємо вирішити це рівняння за допомогою запропонованих вище правил. Тоді можна точно сказати, що це рівняння матиме два різні корені, т.к. D = b 2 - 4ac = 4 - 4 · (-15) = 64> 0.

Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Це будуть числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак «мінус», тобто. знак другого коефіцієнта рівняння. Отже, отримаємо коріння рівняння x 1 = -3 і x 2 = 5.

Відповідь. x 1 = -3 та x 2 = 5.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння x 2 + 5x – 6 = 0.

Рішення.

Перевіримо, чи має це рівняння коріння. Для цього знайдемо дискримінант:

D = b 2 - 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Рівняння має два різні корені.

Можливі множники числа 6 - це 2 і 3, 6 і 1. Різниця дорівнює 5 у пари 6 і 1. У цьому прикладі коефіцієнт другого доданку має знак «плюс», тому і менше число матиме такий самий знак. А ось перед другим числом стоятиме знак мінус.

Відповідь: x 1 = -6 та x 2 = 1.

Теорему Вієта можна записати і для повного квадратного рівняння. Так, якщо квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0має коріння x 1 і x 2 , то для них виконуються рівності

x 1 + x 2 = -(b/a)і x 1 · x 2 = (c/a). Проте застосування цієї теореми у квадратному рівнянні досить проблематично, т.к. за наявності коренів, хоча один із них є дробовим числом. А працювати з підбором дробів досить складно. Але все ж таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Помножимо його ліву та праву частини на коефіцієнт a. Рівняння набуде вигляду (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Тепер введемо нову змінну, наприклад t = ax.

У цьому випадку отримане рівняння перетворитися на наведене квадратне рівняння виду t 2 + bt + ac = 0, коріння якого t 1 і t 2 (за їх наявності) може бути визначено за теоремою Вієта.

У цьому випадку коріння вихідного квадратного рівняння буде

x 1 = (t 1 /a) та x 2 = (t 2 / a).

Приклад 3.

Розв'язати рівняння 15x2 – 11x+2=0.

Рішення.

Складаємо допоміжне рівняння. Помножимо кожне доданок рівняння на 15:

15 2 x 2 - 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Робимо заміну t = 15x. Маємо:

t 2 - 11t + 30 = 0.

За теоремою Вієта корінням даного рівняння будуть t 1 = 5 і t 2 = 6.

Повертаємося до заміни t = 15x:

5 = 15x або 6 = 15x. Таким чином, x 1 = 5/15 та x 2 = 6/15. Скорочуємо та отримуємо остаточну відповідь: x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Відповідь. x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Щоб освоїти розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта, учням необхідно якнайбільше тренуватися. Саме в цьому полягає секрет успіху.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.