Зворотні тригонометричні функції. Зворотні тригонометричні функції, їх графіки та формули

Дано визначення зворотних тригонометричних функцій та їх графіки. А також формули, що пов'язують зворотні тригонометричні функції, формули сум та різниць.

Визначення зворотних тригонометричних функцій

Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції однозначні. Так, рівняння y = sin xпри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, запроваджують поняття їхніх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x = arcsin y.

Якщо особливо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі головні значення, які визначаються такими визначеннями.

Арксинус ( y = arcsin x) - це функція, зворотна до синуса ( x = sin y

Арккосинус ( y = arccos x) - це функція, зворотна до косинусу ( x = cos y), що має область визначення та безліч значень .

Арктангенс ( y = arctg x) - це функція, зворотна до тангенсу ( x = tg y), що має область визначення та безліч значень .

Арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, зворотна до котангенсу ( x = ctg y), що має область визначення та безліч значень .

Графіки зворотних тригонометричних функцій

Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основні формули

Тут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.

arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції

Формули суми та різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Зворотні тригонометричні функції - це математичні функції, що є зворотними тригонометричним функцій.

Функція y=arcsin(x)

Арксинусом числа α називають таке число α із проміжку [-π/2;π/2], синус якого дорівнює α.
Графік функції
Функція у= sin⁡(x) на відрізку [-π/2;π/2], строго зростає і безперервна; отже, вона має зворотну функцію, що строго зростає і безперервну.
Функція, обернена до функції у= sin⁡(x), де х ∈[-π/2;π/2], називається арксинусом і позначається y=arcsin(x),де х∈[-1;1].
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арксинусу є відрізок [-1;1], а безліччю значень - відрізок [-π/2;π/2].
Зазначимо, що графік функції y = arcsin (x), де х ∈ [-1; 1]. симетричний графіку функції у = sin (⁡ x), де х ∈ [-π / 2; першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arcsin (x).

Приклад №1.

Знайти arcsin(1/2)?

Оскільки область значень функції arcsin(x) належить проміжку [-π/2;π/2], то підходить тільки значення π/6 .
Відповідь:π/6

Приклад №2.
Знайти arcsin(-(√3)/2)?

Оскільки область значень arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то підходить тільки значення -π/3.Отже arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функція y=arccos(x)

Арккосинусом числа α називають таке число α із проміжку , косинус якого дорівнює α.

Графік функції

Функція у = cos(⁡x) на відрізку , суворо зменшується і безперервна; отже, вона має зворотну функцію, суворо спадаючу та безперервну.
Функція, обернена до функції у= cos⁡x, де х ∈, називається арккосинусомі позначається y = arccos (x), де х ∈ [-1; 1].
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арккосинусу є відрізок [-1;1], а безліччю значень - відрізок .
Зазначимо, що графік функції y = arccos (x), де х ∈ [-1; 1] симетричний графіку функції у = cos (⁡ x), де х ∈, щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arccos (x).

Приклад №3.

Знайти arccos(1/2)?

Оскільки область значень функції arccos(x) належить проміжку , то підходить лише значення 3π/4.Отжеarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Відповідь: 3π/4

Функція y=arctg(x)

Арктангенсом числа α називають таке число α із проміжку [-π/2;π/2], тангенс якого дорівнює α.

Графік функції

Функція тангенс безперервна і строго зростаюча на інтервалі(-π/2;π/2); отже вона має зворотну функцію, яка безперервна і строго зростає.
Функція, обернена до функції у= tg⁡(x), де х∈(-π/2;π/2); називається арктангенсом і позначається y=arctg(x), де х∈R.
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арктангенса є інтервал(-∞;+∞), а безліччю значень - інтервал
(-π/2;π/2).
Зазначимо, що графік функції y=arctg(x), де х∈R, симетричний графіку функції у= tg⁡x, де х ∈ (-π/2;π/2), щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y=arctg(x).

Приклад №5?

Знайти arctg((√3)/3).

Так як область значень arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то підходить тільки значення π/6. Отжеarctg((√3)/3) =π/6.
Приклад №6.
Знайти arctg(-1)?

Оскільки область значень arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то підходить тільки значення -π/4. Отжеarctg(-1) = - π/4.

Функція y=arcctg(x)

Графік функції

На інтервалі (0; π), функція котангенс суворо зменшується; крім того, вона безперервна в кожній точці цього інтервалу; отже, на інтервалі (0;π), ця функція має зворотну функцію, яка є строго спадною і безперервною.
Функція, обернена до функції у=ctg(x), де х ∈(0;π), називається арккотангенсом і позначається y=arcctg(x),де х∈R.
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арккотангенса буде R, а безліччю значень – інтервал (0; π). ;π),щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arcctg (x).

Приклад №8.
Знайти arcctg(-(√3)/3)?

Оскільки область значень arcctg(x) х∈(0;π), то підходить тільки значення 2π/3.Отже arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна

На цьому уроці ми розглянемо особливості зворотних функційі повторимо зворотні тригонометричні функції. Окремо будуть розглянуті властивості всіх основних зворотних тригонометричних функцій: арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання О 7і З 1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 9. Зворотні тригонометричні функції.

Теорія

Конспект уроку

Згадаймо, коли ми зустрічаємося з таким поняттям, як зворотна функція. Наприклад, розглянемо функцію зведення квадрат. Нехай у нас є квадратна кімната зі сторонами по 2 метри, і ми хочемо обчислити її площу. Для цього за формулою пощади квадрата зводимо двійку квадрат і в результаті отримуємо 4 м 2 . Тепер уявімо зворотне завдання: ми знаємо площу квадратної кімнати і хочемо знайти довжини її сторін. Якщо ми знаємо, що площа дорівнює тим же 4 м 2 , то виконаємо зворотну дію до зведення в квадрат - витяг арифметичного квадратного кореня, який нам дасть значення 2 м.

Таким чином, для функції зведення числа квадрат зворотною функцією є вилучення арифметичного квадратного кореня.

Саме у вказаному прикладі ми виникло проблем із обчисленням боку кімнати, т.к. ми розуміємо, що це позитивне число. Однак якщо відірватися від цього випадку і розглянути завдання загальнішим чином: «Обчислити число, квадрат якого дорівнює чотирьом», ми зіткнемося з проблемою – таких чисел два. Це 2 та -2, т.к. теж дорівнює чотирьом. Виходить, що зворотне завдання у випадку вирішується неоднозначно, і дію визначення числа, яке у квадраті дало відоме нам число? має два результати. Це зручно показати на графіку:

А це означає, що такий закон відповідності чисел ми не можемо назвати функцією, оскільки для функції одного значення аргументу відповідає суворо однезначення функції.

Для того, щоб ввести саме зворотну функцію до зведення в квадрат, було запропоновано поняття арифметичного квадратного кореня, що дає лише невід'ємні значення. Тобто. для функції зворотної функцією вважається.

Аналогічно існують і функції, зворотні до тригонометричних, їх називають зворотними тригонометричними функціями. До кожної з розглянутих нами функцій існує своя зворотна, їх називають: арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс.

Ці функції вирішують завдання обчислення кутів за відомим значенням тригонометричної функції. Наприклад, з використанням таблиці значень основних тригонометричних функцій можна обчислити синус якого кута дорівнює. Знаходимо це значення у рядку синусів і визначаємо, якому кутку воно відповідає. Перше, що хочеться відповісти, що це кут або , але якщо у вас є таблиця значень до , ви відразу помітите ще одного претендента на відповідь, - це кут або . А якщо ми згадаємо про період синуса, то зрозуміємо, що кутів, при яких синус дорівнює , безліч. І така безліч значень кутів, що відповідають даному значенню тригонометричної функції, спостерігатиметься і для косінусів, тангенсів та котангенсів, т.к. всі вони мають періодичність.

Тобто. ми стикаємося з тією ж проблемою, яка була для обчислення значення аргументу значення функції для дії зведення в квадрат. І в даному випадку для зворотних тригонометричних функцій було введено обмеження області значень, які дають при обчисленні. Ця властивість таких зворотних функцій називають звуженням області значень, і воно необхідне для того, щоб їх можна було називати функціями.

Для кожної із зворотних тригонометричних функцій діапазон кутів, які вона повертає, вибрано свій, і ми їх розглянемо окремо. Наприклад, арксинус повертає значення кутів у діапазоні від до .

Вміння працювати зі зворотними тригонометричними функціями нам знадобиться при вирішенні тригонометричних рівнянь.

Зараз ми вкажемо основні властивості кожної із зворотних тригонометричних функцій. Хто захоче познайомитися з ними докладніше, зверніться до розділу «Рішення тригонометричних рівнянь» у програмі 10 класу.

Розглянемо властивості функції арксинус та побудуємо її графік.

Визначення.Арксинусом числаx

Основні властивості арксинусу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арксинус:

1) Область визначення ;

2) Область значень ;

3) Функція непарна Цю формулу бажано окремо запам'ятати, т.к. вона корисна для перетворень. Також зазначимо, що з непарності випливає симетричність графіка функції щодо початку координат;

Побудуємо графік функції:

Звернімо увагу, що жодна з ділянок графіка функції не повторюється, а це означає, що арксинус не є періодичною функцією, на відміну від синуса. Те саме буде ставитись і до всіх інших аркфункцій.

Розглянемо властивості функції арккосинусу і побудуємо її графік.

Визначення.Арккосинусом числаxназивають таке значення кута y, для якого . Причому як обмеження значення синуса, а як обраний діапазон кутів.

Основні властивості арккосинусу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арккосинусу:

1) Область визначення ;

2) Область значень;

3) Функція перестав бути ні парної ні непарної, тобто. загального вигляду . Цю формулу теж бажано запам'ятати, вона стане нам у нагоді пізніше;

4) Функція монотонно зменшується.

Побудуємо графік функції:

Розглянемо властивості функції арктангенсу та побудуємо її графік.

Визначення.Арктангенсом числаxназивають таке значення кута y, для якого . Причому т.к. обмежень на значення тангенса немає, бо як обраний діапазон кутів.

Основні властивості арктангенсу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арктангенсу:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція непарна . Ця формула також корисна, як і аналогічні їй. Як у випадку з арксинусом, з непарності випливає симетричність графіка функції щодо початку координат;

4) Функція монотонно зростає.

Побудуємо графік функції: