Загальний знаменник визначення. Як знайти найменший спільний знаменник – поняття

Множення «хрест-навхрест»

Метод спільних дільників

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест».

Загальний знаменник дробів

Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яка, нагадаю, звучить так:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них – у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так усе просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше за добуток 8 · 12 = 96.

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Як знайти найменший спільний знаменник

Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множники 2 та 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 – загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемо.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника?

Загальний знаменник, поняття та визначення.

Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа.

Приведення дробів до спільного знаменника

Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменникі як привести дроби до спільного знаменника. Спочатку дано визначення спільного знаменника дробів та найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто приклади застосування цього правила. На закінчення розібрано приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Навігація на сторінці.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника– це множення чисельників та знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник, визначення, приклади

Тепер настав час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, загальним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники цих дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, оскільки існує безліч спільних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники цих дробів. Нехай, наприклад, дано дроби 1/4 і 5/6 їх знаменники рівні 4 і 6 відповідно. Позитивними загальними кратними чисел 4 та 6 є числа 12, 24, 36, 48, … Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 та 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

приклад.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 та 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Рішення.

Для відповіді на поставлене запитання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3 , 6 та 12 . Для цього перевіримо, чи ділиться 150 націло на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила та приклади поділу натуральних чисел, а також правила та приклади поділу натуральних чисел із залишком): 150:3=50, 150:6=25, 150: 12 = 12 (зуп. 6) .

Отже, 150 не ділиться націло на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 та 12 . Отже, число 150 може бути загальним знаменником вихідних дробів.

Відповідь:

Не можна.

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У багатьох чисел, що є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число , яке називають найменшим загальним знаменником. Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника цих дробів.

Визначення.

Найменший спільний знаменник– це найменше, зі всіх спільних знаменників цих дробів.

Залишилося розібратися із питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Оскільки є найменшим позитивним загальним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників даних дробів є найменшим загальним знаменником даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаменників цих дробів. Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів 3/10 та 277/28.

Рішення.

Знаменники даних дробів дорівнюють 10 і 28 . Найменший загальний знаменник, що шукається, знаходиться як НОК чисел 10 і 28 . У нашому випадку легко : оскільки 10 = 2 · 5, а 28 = 2 · 2 · 7 , то НОК (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140 .

Відповідь:

140 .

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай прості дроби призводять до найменшого спільного знаменника. Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменникаскладається з трьох кроків:

По-перше, є найменший загальний знаменник дробів.
По-друге, кожному дробу обчислюється додатковий множник, навіщо найменший загальний знаменник ділиться на знаменник кожної дроби.
По-третє, чисельник та знаменник кожного дробу множиться на його додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило для вирішення наступного прикладу.

приклад.

Приведіть дроби 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Рішення.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший загальний знаменник, який дорівнює найменшому загальному кратному чисел 14 та 18 . Оскільки 14=2·7 і 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дроби 5/14 та 7/18 будуть приведені до знаменника 126 . Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126:14=9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126:18=7.

Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів 5/14 та 7/18 на додаткові множники 9 та 7 відповідно. Маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено. У результаті вийшли дроби 45/126 та 49/126.

Вміст:

Для складання або віднімання дробів з різними знаменниками (числа, що стоять під дробовою рисою) спочатку необхідно знайти їх найменший спільний знаменник (НОЗ). Таким числом буде найменше кратне, що зустрічається у списку кратних кожного знаменника, тобто число, що ділиться націло на кожен знаменник. Також ви можете обчислити найменше загальне кратне (НОК) двох або більше знаменників. У будь-якому випадку йдеться про цілі числа, методи знаходження яких дуже схожі. Визначивши НОЗ, ви зможете привести дроби до спільного знаменника, що у свою чергу дозволить вам складати та віднімати їх.

Кроки

1 Перерахування кратних

1 Перерахуйте кратні кожного знаменника.Складіть список з кількох кратних кожного знаменника у рівнянні. Кожен список має складатися із твору знаменника на 1, 2, 3, 4 тощо.
- Приклад: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Кратні 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2*7 = 14; і так далі.
- Кратні 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3*4 = 12; 3*5 = 15; 3*6 = 18; 3*7 = 21; і так далі.
- Кратні 5: 5 * 1 = 5; 5*2 = 10; 5*3 = 15; 5*4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5*7 = 35; і так далі.
2 Визначте найменше загальне кратне.Перегляньте кожен список і позначте будь-які кратні числа, які є спільними для всіх знаменників. Після виявлення загальних кратних визначте найменший знаменник.
- Зверніть увагу, що якщо спільний знаменник не знайдено, можливо, потрібно буде продовжити виписувати кратні, доки не з'явиться загальне кратне число.
- Краще (і легше) користуватися цим методом у тому випадку, коли у знаменниках стоять невеликі числа.
- У прикладі загальним кратним всіх знаменників є число 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
- НОЗ = 30
3 Для того щоб привести дроби до спільного знаменника, при цьому не змінивши їх значення, помножте кожен чисельник (число, що стоїть над дробовою рисою) на число, що дорівнює частці від поділу НОЗ на відповідний знаменник.
- Приклад: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- Нове рівняння: 15/30 + 10/30 + 6/30
4 Розв'яжіть отримане рівняння.Після знаходження НОЗ та зміни відповідних дробів, просто розв'яжіть отримане рівняння. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
- Приклад: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 Використання найбільшого спільного дільника

1 Перелічіть дільники кожного знаменника.Дільник - це ціле число, яке поділяє націло це число. Наприклад, дільниками числа 6 є числа 6, 3, 2, 1. Дільником будь-якого числа є 1, тому що будь-яке число поділяється на одиницю.
- Приклад: 3/8 + 5/12
- Дільники 8: 1, 2, 4 , 8
- Дільники 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2 Знайдіть найбільший спільний дільник обох знаменників.Перерахувавши дільники кожного знаменника, відзначте всі спільні дільники. Найбільший спільний дільник є найбільшим спільним дільником, який знадобиться для вирішення завдання.
- У прикладі спільними дільниками для знаменників 8 і 12 є числа 1, 2, 4.
- НОД = 4.
3 Перемножте знаменники між собою.Якщо ви хочете використовувати НОД для вирішення завдання, спочатку перемножте знаменники між собою.
- Приклад: 8*12 = 96
4 Розділіть отримане значення на НОД.Отримавши результат перемноження знаменників, розділіть його на обчислений вами НОД. Отримане число буде найменшим загальним знаменником (НОЗ).
- Приклад: 96/4 = 24
5
- Приклад: 24/8 = 3; 24/12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
6 Розв'яжіть отримане рівняння.
- Приклад: 9/24 + 10/24 = 19/24

3 Розкладання кожного знаменника на прості множники

1 Розкладіть кожен знаменник на звичайні множники.Розкладіть кожен знаменник на прості множники, тобто прості числа, що при перемноженні дають вихідний знаменник. Нагадаємо, що прості множники - це числа, які діляться тільки на 1 або самих себе.
- Приклад: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Прості множники 4: 2 * 2
- Прості множники 5: 5
- Прості множники 12: 2 * 2 * 3
2 Підрахуйте число разів кожен простий множник у кожного знаменника.Тобто визначте скільки разів кожен простий множник з'являється в списку множників кожного знаменника.
- Приклад: Є дві 2 для знаменника 4; нуль 2 для 5; дві 2 для 12
- Є нуль 3 для 4 та 5; одна 3 для 12
- Є нуль 5 для 4 та 12; одна 5 для 5
3 Візьміть тільки найбільше разів для кожного простого множника.Визначте найбільшу кількість разів наявності кожного простого множника у будь-якому знаменнику.
- Наприклад: найбільше разів для множника 2 - 2 рази; для 3 - 1 раз; для 5 - 1 раз.
4 Запишіть по порядку знайдені на попередньому кроці прості множники.Не записуйте кількість разів наявності кожного простого множника у всіх вихідних знаменниках - робіть це з урахуванням найбільшого числа разів (як описано в попередньому кроці).
- Приклад: 2, 2, 3, 5
5 Помножте ці числа.Результат добутку цих чисел дорівнює НОЗ.
- Приклад: 2*2*3*5 = 60
- НОЗ = 60
6 Розділіть НОЗ на вихідний знаменник.Для обчислення множника, який потрібний для приведення дробів до спільного знаменника, розділіть знайдений вами НОЗ на вихідний знаменник. Помножте чисельник та знаменник кожного дробу на цей множник. Ви отримаєте дроби із спільним знаменником.
- Приклад: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
7 Розв'яжіть отримане рівняння.НОЗ знайдено; тепер ви можете скласти або відняти дроби. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
- Приклад: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 Робота зі змішаними числами

1 Перетворіть кожне змішане число на неправильний дріб.Для цього помножте цілу частину змішаного числа на знаменник і складіть із чисельником – це буде чисельник неправильного дробу. Ціле число теж перетворите на дріб (просто поставте 1 у знаменнику).
- Приклад: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Переписане рівняння: 8/1 + 9/4 + 2/3
2 Знайти найменший спільний знаменник.Обчисліть НОЗ будь-яким способом, описаним у попередніх розділах. Для цього прикладу ми будемо використовувати метод "перерахування кратних", в якому виписуються кратні кожного знаменника та на їх основі обчислюється НОЗ.
- Зверніть увагу, що вам не потрібно перераховувати кратні 1 , так як будь-яке число, помножене на 1 , Так само самому собі; іншими словами, кожне число є кратним 1 .
- Приклад: 4*1=4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4*4 = 16; і т.д.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; і т.д.
- НОЗ = 12
3 Перепишіть вихідне рівняння.Чисельники та знаменники вихідних дробів помножте на число, що дорівнює частці від поділу НОЗ на відповідний знаменник.
- Наприклад: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
4 Розв'яжіть рівняння.НОЗ знайдено; тепер ви можете скласти або відняти дроби. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
- Приклад: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Що вам знадобиться

Олівець
Папір
Калькулятор (за бажанням)

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільного знаменника та розв'яжемо завдання з цієї теми. Дамо визначення поняття загального знаменника та додаткового множника, згадаємо про взаємно прості числа. Дамо визначення поняттю найменший загальний знаменник (НОЗ) і вирішимо низку завдань з його перебування.

Тема: Складання та віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Приведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна поділити на 2. Отримаємо дріб . Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати і зворотне перетворення, помноживши чисельник і знаменник дробу на 2. І тут кажуть, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дроб можна привести до будь-якого знаменника кратного знаменника даного дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, його чисельник та знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Отже, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник та знаменник вихідного дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. І тому розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник та знаменник даного дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15, отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують у думці. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужкою трохи правіше і вище від вихідного дробу.

Дроб можна призвести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і загальний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке спільне кратне їх знаменників. Для простоти дробу призводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників цих дробів.

приклад. Привести до найменшого спільного знаменника дробу та .

Спочатку знайдемо найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першого і другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 і на 6. Три – це додатковий множник для першого дробу, а два – для другого. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто ми знайшли рівні їм дроби, у яких один і той самий знаменник.

Правило.Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники цих дробів, тобто знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу – 4, для другого – 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15 отримаємо, відповідно, 5 і 3. Наводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дробу та .

Загальний знаменник – 24. Додаткові множники, відповідно, – 2 та 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Тоді загальний знаменник та додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дробу та .

Розкладемо числа 60 та 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо загальний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу – це 14. Додатковий множник для другого дробу – 5. Приведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.

4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. – ЗШ МІФІ, 2011.

5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. – ЗШ МІФІ, 2011.

6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. – Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені у п.1.2. цього уроку.

Домашнє завдання

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. - М.: Мнемозіна, 2012. (Посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290