Однорідні рівняння першого та другого ступеня. Однорідні тригонометричні рівняння: загальна схема розв'язання
Сьогодні ми займемося однорідними тригонометричними рівняннями. Спочатку розберемося з термінологією: що таке однорідне тригонометричне рівняння. Воно має такі характеристики:
- у ньому має бути кілька доданків;
- всі доданки повинні мати однаковий ступінь;
- всі функції, що входять до однорідної тригонометричної тотожності, повинні обов'язково мати однаковий аргумент.
Алгоритм рішення
Виділимо доданки
І якщо з першим пунктом все зрозуміло, то про друге варто поговорити детальніше. Що означає однаковий ступінь доданків? Давайте розглянемо перше завдання:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Перший доданок у цьому рівнянні - 3cosx 3\cos x. Зверніть увагу, тут є лише одна тригонометрична функція. cosx\cos x — і більше ніяких інших тригонометричних функцій тут немає, тому ступінь цього доданка дорівнює 1. Те саме з другим — 5sinx 5\sin x - тут присутній тільки синус, тобто ступінь цього доданку теж дорівнює одиниці. Отже, маємо тотожність, що складається з двох елементів, кожне з яких містить тригонометричну функцію, і при цьому тільки одну. Це рівняння першого ступеня.
Переходимо до другого виразу:
4sin2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Перший член цієї конструкції - 4sin2 x 4((\sin )^(2))x.
Тепер ми можемо записати таке рішення:
sin2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Іншими словами, перший доданок містить дві тригонометричні функції, тобто його ступінь дорівнює двом. Розберемося з другим елементом sin2x\sin 2x. Згадаймо таку формулу - формулу подвійного кута:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
І знову, в отриманій формулі ми маємо дві тригонометричні функції — синус і косинус. Таким чином, статечне значення цього члена конструкції теж дорівнює двом.
Переходимо до третього елементу - 3. З курсу математики середньої школи ми пам'ятаємо, що будь-яке число можна множити на 1, так і запишемо:
˜ 3=3⋅1
А одиницю за допомогою основного тригонометричного тотожності можна записати в такому вигляді:
1=sin2 x⋅ cos2 x
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Отже, ми можемо переписати 3 у такому вигляді:
3=3(sin2 x⋅ cos2 x)=3sin2 x+3 cos2 x
3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Таким чином, наш доданок 3 розбився на два елементи, кожен з яких є однорідним і має другий ступінь. Синус у першому члені зустрічається двічі, косинус у другому теж двічі. Таким чином, 3 теж може бути представлено у вигляді доданку зі статечним показником два.
З третім виразом те саме:
sin3 x+ sin2 xcosx=2 cos3 x
Давайте подивимося. Перший доданок - sin3 x((\sin )^(3))x — це тригонометрична функція третього ступеня. Другий елемент - sin2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
sin2 ((\sin )^(2)) — це ланка зі статечним значенням два, помножена на cosx\cos x - доданок першої. Отже, третій член теж має статечне значення три. Нарешті, праворуч стоїть ще одна ланка. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x — це елемент третього ступеня. Отже, маємо однорідне тригонометричне рівняння третього ступеня.
У нас записано три тотожності різних ступенів. Зверніть увагу ще раз на другий вираз. У вихідному записі в одного з членів є аргумент 2x 2x. Ми змушені позбутися цього аргументу, перетворивши його за формулою синуса подвійного кута, тому що всі функції, що входять до нашої тотожності, повинні обов'язково мати однаковий аргумент. І ця вимога для однорідних тригонометричних рівнянь.
Використовуємо формулу основної тригонометричної тотожності та записуємо остаточне рішення
З термінами ми розібралися, переходимо до рішення. Незалежно від статечного показника, рішення рівності такого типу завжди виконується у два кроки:
1) довести, що
cosx≠0
\cos x\ne 0. Для цього достатньо згадати формулу основної тригонометричної тотожності (sin2 x⋅ cos2 x = 1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) і підставити в цю формулу cosx=0\cos x=0. Ми отримаємо такий вираз:
sin2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
Підставляючи отримані значення, тобто замість cosx\cos x - нуль, а замість sinx\ sin x - 1 або -1, у вихідний вираз, ми отримаємо неправильну числову рівність. Це і є обґрунтуванням того, що
cosx≠0
2) другий крок логічно випливає з першого. Оскільки
cosx≠0
\cos x\ne 0, ділимо обидві наші сторони конструкції на cosn x((\cos )^(n))x, де n n — той самий статечний показник однорідного тригонометричного рівняння. Що це нам дає:
\[\begin(array)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\end(align) \\() \\ \end(array)\]
Завдяки цьому наша громіздка вихідна конструкція зводиться до рівняння n n-ступеня щодо тангенсу, рішення якої легко записати за допомогою заміни змінної. Ось і весь алгоритм. Давайте подивимося, як він працює на практиці.
Вирішуємо реальні завдання
Завдання №1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Ми вже з'ясували, що це однорідне тригонометричне рівняння зі статечним показником, що дорівнює одиниці. Тому насамперед з'ясуємо, що cosx≠0\cos x\ne 0. Припустимо неприємне, що
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Підставляємо отримане значення у наш вираз, отримуємо:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\end(align)
На підставі цього можна сказати, що cosx≠0\cos x\ne 0. Розділимо наше рівняння на cosx\cos x, тому що весь наш вираз має статечне значення, що дорівнює одиниці. Отримаємо:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)
Це не табличне значення, тому у відповіді фігуруватиме arctgx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Оскільки arctg arctg arctg-функція непарна, «мінус» ми можемо винести з аргументу і поставити його перед arctg. Отримаємо остаточну відповідь:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Завдання №2
4sin2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Як ви пам'ятаєте, перш ніж розпочати його вирішення, потрібно виконати деякі перетворення. Виконуємо перетворення:
4sin2 x+2sinxcosx−3 (sin2 x+ cos2 x)=0 4sin2 x+2sinxcosx−3 sin2 x−3 cos2 x=0sin2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2) ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (align)
Ми отримали конструкцію, що складається із трьох елементів. У першому члені ми бачимо sin2 ((\sin )^(2)), тобто його статечне значення дорівнює двом. У другому доданку ми бачимо sinx\sin x і cosx\cos x - знову ж таки функції дві, вони перемножуються, тому загальний ступінь знову два. У третій ланці ми бачимо cos2 x((\cos )^(2))x — аналогічно до першого значення.
Доведемо, що cosx=0\cos x=0 перестав бути рішенням цієї конструкції. Для цього припустимо неприємне:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\sin x=\pm 1 \1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]
Ми довели, що cosx=0\cos x=0 може бути рішенням. Переходимо до другого кроку - ділимо весь наш вираз на cos2 x((\cos )^(2))x. Чому у квадраті? Тому що статечний показник цього однорідного рівняння дорівнює двом:
sin2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)
Чи можна вирішувати цей вислів за допомогою дискримінанта? Звичайно можна. Але я пропоную згадати теорему, обернену до теореми Вієта, і ми отримаємо, що даний багаточлен представимо у вигляді двох простих багаточленів, а саме:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\end(align)
Багато учнів запитують, чи варто кожної групи рішень тотожностей писати окремі коефіцієнти чи не морочитися і скрізь писати той самий. Особисто я вважаю, що краще і надійніше використовувати різні літери, щоб у випадку, коли ви вступатимете до серйозного технічного вузу з додатковими випробуваннями з математики, перевіряльники не причепилися до відповіді.
Завдання №3
sin3 x+ sin2 xcosx=2 cos3 x
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Ми вже знаємо, що це однорідне тригонометричне рівняння третього ступеня, ніякі спеціальні формули не потрібні, і все, що нам потрібно, це перенести доданок 2cos3 x 2((\cos )^(3))x вліво. Переписуємо:
sin3 x+ sin2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Ми бачимо, що кожен елемент містить у собі три тригонометричні функції, тому це рівняння має статечне значення, що дорівнює трьом. Вирішуємо його. Насамперед, нам потрібно довести, що cosx=0\cos x=0 не є коренем:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]
Підставимо ці числа в нашу вихідну конструкцію:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)
Отже, cosx=0\cos x=0 не є рішенням. Ми довели, що cosx≠0\cos x\ne 0. Тепер, коли ми це довели, розділимо наше вихідне рівняння на cos3 x((\cos )^(3))x. Чому саме у кубі? Тому що ми щойно довели, що наше вихідне рівняння має третій ступінь:
sin3 xcos3 x+sin2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)
Введемо нову змінну:
tgx=t
Переписуємо конструкцію:
t3 +t2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Перед нами кубічне рівняння. Як її вирішувати? Спочатку, коли я тільки складав цей відеоурок, то планував попередньо розповісти про розкладання багаточленів на множники та інші прийоми. Але в цьому випадку все набагато простіше. Погляньте, наше тотожність наведене, при доданку з найбільшою мірою стоїть 1. Крім того, всі коефіцієнти цілі. І це означає, що ми можемо скористатися наслідком з теореми Безу, яке свідчить, що це коріння є дільниками числа -2, т. е. вільного члена.
Виникає питання: що ділиться -2. Оскільки 2 - число просте, то варіантів не так вже й багато. Це може бути такі числа: 1; 2; -1; -2. Негативне коріння відразу відпадає. Чому? Тому що обидва вони за модулем більше 0, отже, t3 ((t)^(3)) буде більше за модулем, ніж t2 ((t) ^ (2)). Оскільки куб — функція непарна, тому число в кубі буде негативним, а t2 ((t)^(2)) - позитивним, і вся ця конструкція, при t=−1 t=-1 та t=−2 t=-2, буде не більше 0. Віднімаємо з нього -2 і отримуємо число, яке явно менше 0. Залишаються лише 1 і 2. Давайте підставимо кожне з цих чисел:
˜ t=1→1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
Ми отримали правильну числову рівність. Отже, t=1 t=1 є коренем.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0
t=2 t=2 не є коренем.
Відповідно до слідства і тієї ж теореми Безу, будь-який многочлен, чиїм корінням є x0 ((x)_(0)), представимо у вигляді:
Q(x)=(x= x0 )P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
У нашому випадку в ролі x x виступає змінна t t, а ролі x0 ((x)_(0)) - корінь, рівний 1. Отримаємо:
t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
Як знайти багаточлен P (t) P\left(t\right)? Очевидно, потрібно зробити таке:
P(t)= t3 +t2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Підставляємо:
t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Отже, наш вихідний багаточлен розділився без залишку. Таким чином, ми можемо переписати нашу вихідну рівність у вигляді:
(t−1)( t2 +2t +2) = 0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Перший множник ми вже розглянули. Давайте розглянемо другий:
t2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Досвідчені учні, напевно, вже зрозуміли, що ця конструкція не має коріння, але давайте все-таки порахуємо дискримінант.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Дискримінант менше 0, отже, вираз не має коріння. Отже, величезна конструкція звелася до звичайної рівності:
\[\begin(array)(·(35)(l))
t=text( )1 \tgx=text( )1 \xx\frac(text( )\!\!\pi\!\!text( ))(4)+text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\end(array)\]
На закінчення хотілося б додати пару зауважень щодо останнього завдання:
- чи завжди буде виконуватися умова cosx≠0\cos x\ne 0,і варто взагалі проводити цю перевірку. Зрозуміло, не завжди. У тих випадках, коли cosx=0\cos x=0 є рішенням нашої рівності, слід винести його за дужки, і тоді в дужках залишиться повноцінне однорідне рівняння.
- що таке поділ багаточлену на багаточлен. Справді, у більшості шкіл цього не вивчають, і коли учні вперше бачать таку конструкцію, то зазнають легкого шоку. Але, насправді, це простий і гарний прийом, який суттєво полегшує вирішення рівнянь найвищих ступенів. Зрозуміло, йому буде присвячено окремий відеоурок, який я опублікую найближчим часом.
Ключові моменти
Однорідні тригонометричні рівняння – улюблена тема на всіляких контрольних роботах. Вирішуються вони дуже просто - досить один раз потренуватися. Щоб було зрозуміло, про що йдеться, запровадимо нове визначення.
Однорідне тригонометричне рівняння - це таке, в якому кожен ненульовий доданок якого складається з однакової кількості множників. Це можуть бути синуси, косинуси або їх комбінації — метод рішення завжди той самий.
Ступінь однорідного тригонометричного рівняння — це кількість тригонометричних множників, що входять до ненульових доданків.
sinx+15 cos x=0
\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - тотожність 1-го ступеня;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2-го ступеня;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3-го ступеня;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 — а це рівняння не є однорідним, оскільки справа стоїть одиниця — ненульовий доданок, у якому відсутні тригонометричні множники;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 - теж неоднорідне рівняння. Елемент sin2x\ sin 2x - другого ступеня (бо можна уявити
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x - першої, а доданок 3 - взагалі нульовий, оскільки ні синусів, ні косінусів у ньому немає.
Загальна схема рішення
Схема рішення завжди та сама:
Припустимо, що cosx=0\cos x=0. Тоді sinx=±1\sin x=\pm 1 - це випливає з основної тотожності. Підставляємо sinx\sin x і cosx\cos x у вихідний вираз, і якщо виходить марення (наприклад, вираз 5=0 5=0), переходимо до другого пункту;
Ділимо все на ступінь косинуса: cosx, cos2x, cos3x ... - Залежить від статечного значення рівняння. Отримаємо звичайну рівність із тангенсами, яка благополучно вирішується після заміни tgx=t.
tgx=tЗнайдене коріння буде відповіддю до вихідного виразу.
У цій статті ми розглянемо спосіб розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь.
Однорідні тригонометричні рівняння мають таку ж структуру, як і однорідні рівняння будь-якого іншого виду. Нагадаю спосіб розв'язання однорідних рівнянь другого ступеня:
Розглянемо однорідні рівняння виду
Відмітні ознаки однорідних рівнянь:
а) всі одночлени мають однаковий ступінь,
б) вільний член дорівнює нулю,
в) у рівнянні присутні ступеня з двома різними основами.
Однорідні рівняння вирішуються за подібним алгоритмом.
Щоб вирішити рівняння такого типу, розділимо обидві частини рівняння на (можна розділити на або на )
Увага! При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.
Якщо є, то ми виписуємо це коріння, щоб потім про нього не забути, а потім ділимо на це вираз.
Взагалі, перш за все, при вирішенні будь-якого рівняння, у правій частині якого стоїть нуль, потрібно спробувати розкласти ліву частину рівняння на множники будь-яким доступним способом. А потім кожен множник прирівняти до нуля. В цьому випадку ми точно не втратимо коріння.
Отже, обережно розділимо ліву частину рівняння вираз почленно. Отримаємо:
Скоротимо чисельник і знаменник другого та третього дробу:
Введемо заміну:
Отримаємо квадратне рівняння:
Розв'яжемо квадратне рівняння, знайдемо значення, а потім повернемося до вихідного невідомого.
При вирішенні однорідних тригонометричних рівнянь потрібно пам'ятати кілька важливих речей:
1. Вільний член можна перетворити до квадрату синуса та косинуса за допомогою основного тригонометричного тотожності:
2. Синус і косинус подвійного аргументу є одночленами другого ступеня – синус подвійного аргументу легко перетворити до твору синуса та косинуса, а косинус подвійного аргументу – до квадрата синуса чи косинуса:
Розглянемо кілька прикладів розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь.
1 . Розв'яжемо рівняння:
Це класичний приклад однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня: ступінь кожного одночлена дорівнює одиниці, вільний член дорівнює нулю.
Перш ніж ділити обидві частини рівняння на , необхідно перевірити, що коріння рівняння є корінням вихідного рівняння. Перевіряємо: якщо , то title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}
Розділимо обидві частини рівняння на .
Отримаємо: 
, де
, де
Відповідь: , де
2 . Розв'яжемо рівняння:
Це приклад однорідного тригонометричного рівняння другого ступеня. Ми пам'ятаємо, якщо ми можемо розкласти ліву частину рівняння на множники, то бажано це зробити. У цьому рівнянні ми можемо винести за дужки. Зробимо це:
Рішення першого рівняння: , де
Друге рівняння – однорідне тригонометричне рівняння першого ступеня. Щоб його вирішити, розділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо:
Відповідь: , де ,
3 . Розв'яжемо рівняння:
Щоб це рівняння "стало" однорідним, перетворимо на твір, і представимо число 3 у вигляді суми квадратів синуса та косинуса:
Перенесемо всі складові вліво, розкриємо дужки і наведемо таких членів. Отримаємо:
Розкладемо ліву частину на множники і прирівняємо кожен множник до нуля:
Відповідь: , де ,
4 . Розв'яжемо рівняння:
Ми бачимо, що можемо винести за дужки. Зробимо це:
Прирівняємо кожен множник до нуля:
Розв'язання першого рівняння:
Друге рівняння сукупності є класичне однорідне рівняння другого ступеня. Коріння рівняння не є корінням вихідного рівняння, тому розділимо обидві частини рівняння на :
Розв'язання першого рівняння:
Розв'язання другого рівняння.
Нелінійні рівняння із двома невідомими
Визначення 1 . Нехай A - деяке безліч пар чисел (x; y). Кажуть, що на множині A задана цифрова функція z від двох змінних x і y , якщо зазначено правило, за допомогою якого кожній парі чисел з множини A ставиться у відповідність деяке число.
Завдання числової функції z від двох змінних x та y часто позначаютьтак:
де f (x , y) - будь-яка функція, відмінна від функції
f (x , y) = ax +by + c ,
де a, b, c – задані числа.
Визначення 3 . Рішенням рівняння (2)називають пару чисел ( x; y) , для яких формула (2) є правильною рівністю.
приклад 1 . Вирішити рівняння
Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то з формули (4) випливає, що невідомі x та y задовольняють системі рівнянь
рішенням якої є пара чисел (6 ; 3) .
Відповідь: (6; 3)
Приклад 2 . Вирішити рівняння
Отже, рішенням рівняння (6) є безліч пар чиселвиду
(1 + y ; y) ,
де y – будь-яке число.
лінійне
Визначення 4 . Рішенням системи рівнянь
називають пару чисел ( x; y) , при підстановці яких у кожне із рівнянь цієї системи виходить правильна рівність.
Системи з двох рівнянь, одне з яких лінійне, мають вигляд
g(x , y)
Приклад 4 . Розв'язати систему рівнянь
Рішення . Виразимо з першого рівняння системи (7) невідоме y через невідоме x і підставимо отриманий вираз у друге рівняння системи:
Вирішуючи рівняння
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Отже,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Системи з двох рівнянь, одне з яких однорідне
Системи з двох рівнянь, одне з яких однорідне, мають вигляд
де a, b, c - задані числа, а g(x , y) – функція двох змінних x та y .
Приклад 6 . Розв'язати систему рівнянь
Рішення . Розв'яжемо однорідне рівняння
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
розглядаючи його як квадратне рівняння щодо невідомого x:
.
У випадку, коли x = - 5y, з другого рівняння системи (11) отримуємо рівняння
5y 2 = - 20 ,
яке коріння немає.
У випадку, коли
з другого рівняння системи (11) одержуємо рівняння
,
корінням якого служать числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Знаходячи для кожного з цих значень y відповідне йому значення x отримуємо два рішення системи: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Відповідь : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Приклади розв'язання систем рівнянь інших видів
Приклад 8 . Розв'язати систему рівнянь (МФТІ)
Рішення . Введемо нові невідомі u та v , які виражаються через x та y за формулами:
Для того щоб переписати систему (12) через нові невідомі, висловимо спочатку невідомі x і y через u і v . Із системи (13) випливає, що
Розв'яжемо лінійну систему (14), виключивши з другого рівняння цієї системи змінну x . З цією метою здійснимо над системою (14) такі перетворення:
- перше рівняння системи залишимо без змін;
- з другого рівняння віднімемо перше рівняння і замінимо друге рівняння системи на отриману різницю.
В результаті система (14) перетворюється на рівносильну їй систему
з якої знаходимо
Скориставшись формулами (13) та (15), перепишемо вихідну систему (12) у вигляді
Система (16) перше рівняння - лінійне , тому ми можемо висловити з нього невідоме u через невідоме v і підставити цей вираз у друге рівняння системи.
За допомогою цього відеоуроку учні можуть вивчити тему однорідних тригонометричних рівнянь.
Дамо визначення:
1) однорідне тригонометричне рівняння першого ступеня має вигляд a sin x + b cos x = 0;
2) однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня має вигляд a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Розглянемо рівняння a sin x + b cos x = 0. Якщо а дорівнюватиме нулю, то рівняння виглядатиме як b cos x = 0; якщо b дорівнює нулю, то рівняння буде виглядати як a sin x = 0. Це рівняння, які ми називали найпростішими та вирішували раніше у попередніх темах.
Зараз розглянемо варіант, коли a і b не дорівнюють нулю. За допомогою поділу частин рівняння на косинус x і здійснимо перетворення. Отримаємо a tg x + b = 0, тоді tg x дорівнюватиме - b/а.
З вищевикладеного випливає висновок, що рівняння a sin mx + b cos mx = 0 є однорідним тригонометричним рівнянням I ступеня. Щоб розв'язати рівняння, його частини поділяють на cos mx.
Розберемо приклад 1. Вирішити 7 sin(x/2) - 5 cos(x/2) = 0. Спочатку частини рівняння ділимо на косинус(x/2). Знаючи, що синус, поділений на косинус, це тангенс, отримаємо 7 tg (x/2) - 5 = 0. Перетворюючи вираз, знайдемо, що значення тангенсу (x/2) дорівнює 5/7. Розв'язання даного рівняння має вигляд х = arctg a + πn, у нашому випадку х = 2 arctg (5/7) + 2πn.
Розглянемо рівняння a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) при а рівному нулю рівняння виглядатиме як b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Перетворюючи, отримаємо вираз cos x (b sin x + c cos x) = 0 і перейдемо до розв'язання двох рівнянь. Після поділу частин рівняння на косинус x отримаємо b tg x + c = 0, а значить tg x = - c/b. Знаючи, що х = arctg a + πn, то рішенням у цьому випадку буде х = arctg (-с/b) + πn.
2) якщо а не дорівнює нулю, то шляхом розподілу частин рівняння на косинус у квадраті отримаємо рівняння, що містить тангенс, яке буде квадратним. Це рівняння можна вирішити шляхом введення нової змінної.
3) при рівному нулю рівняння набуде вигляду a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Це рівняння можна вирішити, якщо винести синус x за дужку.
1. подивитися, чи є у рівнянні a sin 2 x;
2. якщо у рівнянні член a sin 2 x міститься, то розв'язати рівняння можна шляхом поділу обох частин на косинус у квадраті та наступним введенням нової змінної.
3. якщо в рівнянні a sin 2 x не міститься, вирішити рівняння можна за допомогою виносу за дужки cosx.
Розглянемо приклад 2. Винесемо за дужки косинус та отримаємо два рівняння. Корінь першого рівняння x = π/2 + πn. Для вирішення другого рівняння розділимо частини цього рівняння на косинус x шляхом перетворень отримаємо х = π/3 + πn. Відповідь: x = π/2 + πn і х = π/3 + πn.
Розв'яжемо приклад 3, рівняння виду 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 і знайдемо його коріння, яке належить відрізку від - π до π. Т.к. це неоднорідне рівняння, необхідно привести його до однорідного вигляду. Використовуючи формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, отримаємо рівняння sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Розділивши всі частини рівняння на cos 2 x, отримаємо tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Використовуючи введення нової змінної z = tg 2x, розв'яжемо рівняння, коренем якого буде z = 1. Тоді tg 2x = 1, звідки випливає, що x = π/8 + (πn)/2. Т.к. за умовою завдання потрібно знайти коріння, яке належить відрізку від - π до π, рішення матиме вигляд - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
Однорідні тригонометричні рівняння
Сьогодні ми розберемо, як вирішуються однорідні тригонометричні рівняння. Це рівняння спеціального виду.
Познайомимося із визначенням.
Рівняння виду а sin x+bcosx = 0 (а синус ікс плюс бе косинус ікс дорівнює нулю) називають однорідним тригонометричним рівнянням першого ступеня;
рівняння виду а sin 2 x+bsin xcosx+сcos 2 x= 0 (а синус квадрат ікс плюс бе синус ікс косинус ікс плюс се косинус квадрат ікс дорівнює нулю) називають однорідним тригонометричним рівнянням другого ступеня.
Якщо а=0, то рівняння набуде вигляду bcosx = 0.
Якщо b = 0 , то отримаємо а sin x = 0.
Дані рівняння є елементарними тригонометричними, і їхнє рішення ми розглядали на минулих наших темах
Розглянемотой випадок, коли обидва коефіцієнти не дорівнюють нулю. Розділимо обидві частини рівняння аsinx+ bcosx = 0 почленно на cosx.
Це можемо зробити, оскільки косинус ікс відмінний від нуля. Адже, якщо cosx = 0 , то рівняння аsinx+ bcosx = 0 набуде вигляду аsinx = 0 , а≠ 0, отже sinx = 0 . Що неможливо, адже за основною тригонометричною тотожністю sin 2 x+cos 2 x=1 .
Розділивши обидві частини рівняння аsinx+ bcosx = 0 почленно на cosx, Отримаємо: + =0
Здійснимо перетворення:
1. Оскільки = tg x, то =а tg x
2 скорочуємо на cosxтоді
Таким чином отримаємо такий вираз а tg x + b =0.
Здійснимо перетворення:
1.перенесемо b у праву частину виразу з протилежним знаком
а tg x = - b
2. Позбавимося множника а розділивши обидві частини рівняння на а
tg x = -.
Висновок: Рівняння виду а sinmx+bcosmx = 0 (а синус емікс плюс бе косинус емікс дорівнює нулю) теж називають однорідним тригонометричним рівнянням першого ступеня. Щоб вирішити його, ділять обидві частини на cosmx.
ПРИКЛАД 1. Розв'язати рівняння 7 sin - 5 cos = 0 (сім синус ікс на два мінус п'ять косинус ікс на два дорівнює нулю)
Рішення. Розділимо обидві частини рівняння почленно на cos, отримаємо
1. = 7 tg (оскільки співвідношення синуса до косінусу - це тангенс, то сім синус ікс на два поділене на косинус ікс на два, дорівнює 7 тангенс ікс на два)
2. -5 = -5 (при скороченні cos)
Таким чином отримали рівняння
7tg - 5 = 0, Перетворимо вираз, перенесемо мінус п'ять у праву частину, змінивши знак.
Ми привели рівняння до виду tg t = a де t =, a =. А так як дане рівняння має рішення для будь-якого значення а і ці рішення мають вигляд
х = arctg a + πn, то рішення нашого рівняння матиме вигляд:
Arctg + πn, знайдемо х
х=2 arctg + 2πn.
Відповідь: х = 2 arctg + 2πn.
Перейдемо до однорідного тригонометричного рівняння другого ступеня
аsin 2 x+b sin x cos x +зcos 2 x = 0.
Розглянемо кілька випадків.
I. Якщо а=0, то рівняння набуде вигляду bsinxcosx+сcos 2 x= 0.
При вирішенні ето рівняння використовуємо метод розкладання на множники. Винесемо cosxза дужку та отримаємо: cosx(bsinx+сcosx)= 0 . Звідки cosx= 0 або
b sin x +зcos x = 0.А ці рівняння ми вже вміємо розв'язувати.
Розділимо обидві частини рівняння почленно на cosх, отримаємо
1 (оскільки співвідношення синуса до косинусу - це тангенс).
Таким чином отримуємо рівняння: b tg х+с=0
Ми привели рівняння до виду tg t = a де t = х, a =. А так як дане рівняння має рішення для будь-якого значення аі ці рішення мають вигляд
х = arctg a + πn, то рішення нашого рівняння буде:
х = arctg + πn, .
ІІ. Якщо а≠0, то обидві частини рівняння почленно розділимо на cos 2 x.
(Думаючи аналогічно, як і у випадку з однорідним тригонометричним рівнянням першого ступеня, косинус ікс не може звернутися в нуль).
ІІІ. Якщо з = 0, то рівняння набуде вигляду аsin 2 x+ bsinxcosx= 0. Це рівняння вирішується методом розкладання на множники (винесемо sinxза дужку).
Значить, при вирішенні рівняння аsin 2 x+ bsinxcosx+сcos 2 x= 0 можна діяти за алгоритмом:
ПРИКЛАД 2. Вирішити рівняння sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус ікс, помножений на косинус ікс мінус корінь з трьох, помножений на косинус квадрат ікс дорівнює нулю).
Рішення. Розкладемо на множники (винесемо за дужку cosx). Отримаємо
cos x (sin x - cos x) = 0, тобто. cos x = 0 або sin x - cos x = 0.
Відповідь: х = + πn, х = + πn.
ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двох ікс мінус подвоєний добуток синуса двох ікс на косинус двох ікс плюс три косинус квадрат двох ікс) і знайти його коріння, що належить проміжку (- π; π).
Рішення. Це рівняння не однорідне, тому проведемо перетворення. Число 2, що міститься у правій частині рівняння, замінимо твором 2·1
Оскільки за основним тригонометричним тотожністю sin 2 x + cos 2 x =1, то
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = розкривши дужки отримаємо: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Значить рівняння 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 набуде вигляду:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.
Отримали однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня. Застосуємо спосіб почленного поділу на cos 2 2x:
tg 2 2x – 2tg 2x + 1 = 0.
Введемо нову змінну z = tg2х.
Маємо z 2 – 2 z + 1 = 0. Це квадратне рівняння. Помітивши у лівій частині формулу скороченого множення - квадрат різниці (), отримаємо (z - 1) 2 = 0, тобто. z = 1. Повернемося до зворотної заміни:
Ми привели рівняння до виду tg t = a де t = 2х, a = 1 . А так як дане рівняння має рішення для будь-якого значення аі ці рішення мають вигляд
х = arctg x a + πn, то розв'язання нашого рівняння буде:
2х = arctg1 + πn,
х= + , (ікс дорівнює сумі пі на вісім і пі ен на два).
Нам залишилося знайти такі значення х, які містяться в інтервалі
(- π; π), тобто. задовольняють подвійну нерівність - π х π. Так як
х = +, то - π + π. Розділимо всі частини цієї нерівності на π і помножимо на 8, отримаємо
перенесемо одиницю праворуч і ліворуч, змінивши знак на мінус один
розділимо на чотири отримаємо,
для зручності в дробах виділимо цілі частини
- Цій нерівності задовольняють такі цілочисленні n: -2, -1, 0, 1 Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання. Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним. Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами. Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію. Яку персональну інформацію ми збираємо: Як ми використовуємо вашу персональну інформацію: Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам. Винятки: Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення. Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.Збір та використання персональної інформації
Розкриття інформації третім особам
Захист персональної інформації
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
