Визначення довжини гіпотенузи. Властивості геометричної фігури

«А нам кажуть, що катет коротший за гіпотенузу…» Ці рядки з відомої пісні, яка звучала у художньому фільмі «Пригоди електроніка» справді вірні за геометрією Евкліда. Адже катети – це дві сторони, що утворюють кут, градусний захід якого дорівнює 90 градусам. А гіпотенуза - найдовша «натягнута» сторона, яка з'єднує два перпендикулярні один одному катета, і лежить протилежно прямому куту. Саме тому знайти гіпотенузу за катетами можна тільки у прямокутному трикутнику, і якби катет був довшим за гіпотенузу, то такий трикутник би не існував.

Як знайти гіпотенузу по теоремі Піфагора, якщо відомі обидва катеты

Теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи – це ні що інше, як сума квадратів катетів: x^2+y^2=z^2, де:

х – перший катет;
y – другий катет;
z – гіпотенуза.

Але потрібно знайти просто гіпотенузу, а не її квадрат. Для цього вийміть корінь.

Алгоритм знаходження гіпотенузи за двома відомими катетами:

Позначте собі, де катети, а де гіпотенуза.
Зведіть перший катет у квадрат.
Зведіть другий катет у квадрат.
Складіть отримані величини.
Вийміть корінь із числа, отриманого у пункті 4.

Як знайти гіпотенузу через синус, якщо відомий катет і гострий кут, що лежить проти нього

Відношення відомого катета до гострого кута, що лежить проти нього, дорівнює величині гіпотенузи: a/sin A = c. Це наслідок визначення синуса:

Відношення протилежного катета до гіпотенузи: sin А = а/с де:

a – перший катет;
A – гострий кут, протилежний катету;
c-гіпотенуза.

Алгоритм знаходження гіпотенузи з теореми синусів:

Позначте собі відомий катет і протилежний йому кут.
Розділіть катет на протилежний кут.
Отримайте гіпотенузу.

Як знайти гіпотенузу через косинус, якщо відомий катет і гострий кут, прилеглий йому

Відношення відомого катета до гострого прилеглого кута дорівнює величині гіпотенузи a/cos B = c. Це наслідок визначення косинуса: відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cos B= a/с, де:

a – другий катет;
B – гострий кут, що належить другому катету;
с-гіпотенуза.

Алгоритм знаходження гіпотенузи за теоремою косінусів:

Позначте собі відомий катет і прилеглий йому кут.
Розділіть катет на кут.
Отримайте гіпотенузу.

Як знайти гіпотенузу за допомогою «єгипетського трикутника»

"Єгипетський трикутник" - це трійка чисел, знаючи які ви зможете заощадити час для знаходження гіпотенузи або навіть іншого невідомого катета. Трикутник має таку назву, тому що в Єгипті деякі числа символізували Богів і були основою при будові пірамід та інших споруд.

Перша трійка чисел: 3-4-5. Катети тут дорівнюють 3 і 4. Тоді гіпотенуза обов'язково дорівнюватиме 5. Перевірка: (9+16=25).
Друга трійка чисел: 5-12-13. Тут також катети дорівнюють 5 і 12. Отже, гіпотенуза дорівнюватиме 13. Перевірка: (25+144=169).

Такі числа допомагають навіть тоді, коли вони розділені чи помножені на якесь одне число. Якщо катети дорівнюють 3 і 4, то гіпотенуза дорівнюватиме 5. Якщо помножити ці числа на 2, то і гіпотенуза помножиться на 2. Наприклад, трійка чисел 6-8-10 також підходитиме під теорему Піфагора і можна не вираховувати гіпотенузу, якщо ви запам'ятайте такі трійки чисел.

Таким чином, знайти гіпотенузу за відомими катетами можна 4 способами. Найоптимальнішим варіантом є теорема Піфагора, але також не завадило б запам'ятати і трійки чисел, які становлять "єгипетський трикутник", адже ви зможете заощадити багато часу, якщо вам трапляться такі значення.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

При розрахунку сторін прямокутного трикутника може зіграти знання його ознак:
1) Якщо катет прямого кута лежить навпроти кута 30 градусів, він дорівнює половині гіпотенузи;
2) Гіпотенуза завжди довша за будь-який з катетів;
3) Якщо навколо прямокутного трикутника описано коло, то його центр має лежати в середині гіпотенузи.

Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпроти кута 90 градусів. Щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.

Інструкція

Нехай нам відомий один із катетів і прилеглий до нього кут. Для певності нехай це катет |AB| та кут α. Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної косинус – косинус щодо прилеглого катета до . Тобто. у наших позначеннях cos α = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos α.
Якщо нам відомі катет |BC| та кут α, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin α = |BC| / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos α.

Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут α = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Розглянемо як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому необхідно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg = |BC| / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15^2+(15*√3)^2=30^2=>225+675=900. Перевірка виконана.

Корисна порада

Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.

Джерела:

Таблиця простих чисел від 1 до 10 000

Катетаминазивають дві короткі сторони прямокутного трикутника, що становлять ту його вершину, величина якої дорівнює 90°. Третю сторону у такому трикутнику називають гіпотенузою. Всі ці сторони та кути трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які дозволяють обчислити довжину катета, якщо відомо кілька інших параметрів.

Інструкція

Використовуйте теорему Піфагора для катета (A), якщо відома довжина двох інших сторін (B і C) прямокутного трикутника. Ця теорема стверджує, що сума зведених у квадрат довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього випливає, що довжина кожного з катетів дорівнює квадратному кореню з довжин гіпотенузи та другого катета: A=√(C²-B²).

Скористайтеся визначенням прямої тригонометричної функції «синус» для гострого кута, якщо відома величина кута (α), що лежить навпроти катета, що обчислюється, і довжина гіпотенузи (C). Це стверджує, що синус цього відомого відношенню довжини шуканого катета до довжини гіпотенузи. Це те, що довжина шуканого катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на синус відомого кута: A=C∗sin(α). Для цих відомих величин можна використовувати і косеканс і розрахувати потрібну довжину, розділивши довжину гіпотенузи на косеканс відомого кута A=C/cosec(α).

Визначте пряму тригонометричну функцію косинус, якщо крім довжини гіпотенузи (C) відома і величина гострого кута (β), прилеглого до шуканого . Косинус цього кута як співвідношення довжин шуканого катета і гіпотенузи, та якщо можна висновок, що довжина катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на косинус відомого кута: A=C∗cos(β). Можна скористатися визначенням функції секанс та обчислити потрібне значення, розділивши довжину гіпотенузи на секанс відомого кута A=C/sec(β).

Виведіть потрібну формулу з аналогічного визначення для похідної тригонометричної функції тангенс, якщо крім величини гострого кута (α), що лежить навпроти катета (A), що шукається, відома довжина другого катета (B). Тангенсом протилежного шуканому катету кута відношення довжини цього катета до довжини другого катета. Отже, шукана величина дорівнюватиме добутку довжини відомого катета на тангенс відомого кута: A=B∗tg(α). З цих відомих величин можна вивести й іншу формулу, якщо скористатися визначенням функції котангенс. У цьому випадку для обчислення довжини катета треба буде знайти співвідношення довжини відомого катета до котангенсу відомого кута: A=B/ctg(α).

Відео на тему

Слово «катет» прийшло в російську мову з грецької. У точному перекладі воно означає виска, тобто перпендикуляр до землі. У математиці катетами називаються сторони, що утворюють прямий кут прямокутного трикутника. Протилежна цьому кутку сторона називається гіпотенузою. Термін «катет» застосовується також в архітектурі та технології зварювальних робіт.

Накресліть прямокутний трикутник АСВ. Позначте його катети як і b, а гіпотенузу - як. Усі сторони та кути прямокутного трикутника між собою певними. Відношення катета, що протилежить одному з гострих кутів, до гіпотенузи називається синусом даного кута. У цьому трикутнику sinCAB=a/c. Косинус - це ставлення до гіпотенузи катета, що прилягає, тобто cosCAB=b/c. Зворотні відносини називаються секансом та косекансом.

Секанс даного кута виходить при розподілі гіпотенузи на катет, тобто secCAB=c/b. Виходить величина, зворотна косинус, тобто виразити її можна за формулою secCAB=1/cosSAB.
Косеканс дорівнює частці від поділу гіпотенузи на протилежний катет і це величина, зворотна синусу. Вона може бути розрахована за формулою cosecCAB=1/sinCAB

Обидва катета пов'язані між собою та котангенсом. В даному випадку тангенсом буде відношення сторони a до сторони b, тобто катета, що протилежить до прилеглого. Це відношення може бути виражене формулою tgCAB=a/b. Відповідно, зворотним ставленням буде котангенс: ctgCAB=b/a.

Співвідношення між розмірами гіпотенузи та обох катетів визначив ще давньогрецький Піфагор. Теорема, його ім'я, люди користуються досі. Вона свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, тобто с2 = a2 + b2. Відповідно, кожен катет дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета. Цю формулу можна записати як b = √ (с2-а2).

Довжину катета можна виразити і через відомі вам співвідношення. Згідно з теоремами синусів і косінусів, катет дорівнює добутку гіпотенузи на одну з цих функцій. Можна його висловити і чи котангенс. Катету можна знайти, наприклад, за формулою a = b*tan CAB. Точно так само, залежно від заданих тангенса або , визначається і другий катет.

В архітектурі також використовується термін "катет". Він застосовується по відношенню до іонічної капітелі та виска через середину її задка. Тобто і в цьому випадку цим терміном є перпендикуляр до заданої лінії.

У технології зварювальних робіт є "катет кутового шва". Як і в інших випадках, це найкоротша відстань. Тут йдеться про проміжок між однією з деталей, що зварюються, до межі шва, що знаходиться на поверхні іншої деталі.

Відео на тему

Джерела:

що таке катет та гіпотенуза у 2019

У перекладі з грецької мови, гіпотенуза означає «натягнутий». Для правильного розуміння уявіть собі тятиву цибулі, яка з'єднує два кінці гнучкої палиці. Ось також і у прямокутному трикутнику, найбільшою за довжиною стороною, є гіпотенуза, що лежить проти прямого кута. Вона виступає з'єднувачем двох інших сторін, іменованих катетами. Щоб дізнатися, яка ж довжина цієї «тітьови», необхідно мати значення довжин катетів, або величину двох гострих кутів. Комбінуючи ці дані, можна вирахувати за допомогою формул потрібне значення.

Як знайти гіпотенузу з катетів

Найпростіший спосіб розрахунку, якщо ви знаєте величину двох катетів (позначимо один А, другий). На допомогу приходить сам Піфагор та його всесвітньо відома теорема. Вона розповідає нам, що й звести довжину катетів у квадрат і скласти пораховані значення, то результаті ми дізнаємося значення довжини гіпотенузи зведене в квадрат. З наведеного вище зробимо висновок: для знаходження величини гіпотенузи необхідно витягти квадратний корінь із загальної суми квадратів катетів С=√(А²+В²). Приклад: катет А=10 см, катет В=20 см. Гіпотенуза при цьому дорівнює 22,36 см. Розрахунок відбувається так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Як знайти гіпотенузу через кут

Дещо складніше розрахувати довжину гіпотенузи через заданий кут. Якщо ви знаєте розмір одного з двох катетів (позначимо А) та величину кута (позначимо α), що лежить навпроти нього, то розмір гіпотенузи знаходиться за допомогою тригонометрії, а конкретно – синуса. Все, що потрібно зробити, це розділити значення відомого катета на синус кута. З=А/sin(?). Приклад: довжина катета А=30 див, кут навпроти нього 45°, гіпотенуза у своїй буде 42,25 див. Розрахунок відбувається так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Ще один спосіб – знайти розмір гіпотенузи через косинус. Він застосовується якщо вам відомий розмір катета (позначимо В) та гострого кута (позначимо α), що прилягає до нього. Все, що потрібно зробити, це розділити значення катета на синус кута. С=В/cos(?). Приклад: довжина катета = 30 см, кут навпроти нього 45 °, гіпотенуза при цьому буде 42,25 см. Розрахунок відбувається так: 30 / cos (45 °) = 30/0,71 = 42,25.

Як знайти гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника

Будь-який школяр, який себе поважає, знає, що трикутник рівнобедрений, за умови, що дві з трьох сторін рівні між собою. Ці сторони називаються бічними, а що залишається - основою. Якщо ж один із кутів дорівнює 90°, то перед вами рівнобедрений прямокутний трикутник.

Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику, просто, адже він має кілька властивостей, які допоможуть. Вугілля, що прилягає до основи, однакове за значенням, загальна сума значень кутів дорівнює 180°. Це означає, що прямий кут лежить навпроти основи, значить основа – гіпотенуза, катетами є бічні сторони.

Інструкція

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90 градусів. Він складається з двох катетів та гіпотенузи. Гіпотенузою називають велику сторону цього трикутника. Вона лежить проти прямого кута. Катетами відповідно називають менші його сторони. Вони можуть як рівні між собою, і мати різну величину. Рівність катетів , що ви працюєте з прямокутним трикутником. Краса його в тому, що він поєднує в собі двох фігур: прямокутного та рівнобедреного трикутника. Якщо катети не рівні, то трикутник довільний і основному закону: що більше кут, то більше котить, що лежить навпроти нього.

Існує кілька способів знаходження гіпотенузи по куту. Але перш ніж скористатися одним із них, слід визначити, який і кут відомі. Якщо дано кут і катет, що прилягає до нього, то гіпотенузу легше все знайти по косинусу кута. Косинусом гострого кута (cos a) у прямокутному трикутнику називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Звідси випливає, що гіпотенуза (с) дорівнюватиме відношення прилеглого катета (b) до косинуса кута a (cos a). Це можна записати так: a=b/c => c=b/cos a.

Якщо дано кут і протилежний катет, слід працювати . Синус гострого кута (sin a) у прямокутному трикутнику є відношення протилежного катета (a) до гіпотенузи (c). Тут принцип, що у попередньому прикладі, лише замість функції косинуса береться синус. sin a = a / c => c = a / sin a.

Також можна скористатися такою тригонометричною функцією, як . Але знаходження шуканої величини трохи ускладниться. Тангенсом гострого кута (tg a) у прямокутному трикутнику називають відношення протилежного катета (а) до прилеглого (b). Знайшовши обидва катеты, застосуйте теорему Піфагора (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів) і велика буде знайдена.

Зверніть увагу

Працюючи з теоремою Піфагора, не забувайте, що ви маєте справу зі ступенем. Знайшовши суму квадратів катетів, для отримання остаточної відповіді слід отримати квадратний корінь.

Джерела:

як знайти катет та гіпотенузу

Інструкція

При відомому і гострому куті прямокутного , то розмір гіпотенузи по відношенню до катета до / цього кута, якщо даний кут є протилежним/прилеглим:

h = C1(або C2)/sinα;

h = С1(або С2)/cosα.

Приклад: Нехай дано ABC з гіпотенузою AB і C. Нехай кут B дорівнює 60 градусів, а кут A 30 градусів Довжина катета BC 8 см. Треба довжину гіпотенузи AB. Для цього можна скористатися будь-яким із запропонованих вище способів:

AB = BC/cos60 = 8 см.

AB = BC/sin30 = 8 см.

Слово « катет» походить від грецьких слів «перпендикуляр» чи «прямий» - це пояснює, чому саме так назвали обидві сторони прямокутного трикутника, що становлять його дев'яностоградусний кут. Знайти довжину будь-якого з катетов неважко, якщо відома величина прилеглого до нього кута і ще будь-якої з параметрів, тому що в цьому випадку фактично стануть відомі величини всіх трьох кутів.

Інструкція

Якщо крім величини прилеглого кута (β) відома довжина другого катета (b), то довжину катета (a) можна визначити як приватне від розподілу довжини відомого катетале в відомого кута: a=b/tg(β). Це випливає з визначення цієї тригонометричної. Можна обійтися без тангенсу, якщо скористатися теоремою. З неї випливає, що довжини шуканої до синуса протилежного кута відношенню довжини відомого катета до синуса відомого кута. Протилежний шуканому катету гострий кут можна виразити через відомий кут як 180 ° -90 ° -β = 90 ° -β, так як сума всіх кутів будь-якого трикутника повинна становити 180 °, а один з його кутів дорівнює 90 °. Отже, шукану довжину катета можна обчислити за формулою a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Якщо відомі величина прилеглого кута (β) та довжина гіпотенузи (c), то довжину катета (a) можна обчислити як добуток довжини гіпотенузи на косинус відомого кута: a=c∗cos(β). Це випливає з визначення косинуса як тригонометричної функції. Але можна скористатися, як і в попередньому кроці, теоремою синусів і тоді довжина шуканого катета дорівнюватиме добутку синуса між 90° і відомим кутом на відношення довжини гіпотенузи до синуса прямого кута. А оскільки синус 90° дорівнює одиниці, можна записати так: a=sin(90°-β)∗c.

Практичні обчислення можна проводити, наприклад, за допомогою програмного калькулятора, що є у складі ОС Windows. Для його запуску можна в головному меню на кнопці Пуск вибрати пункт Виконати, набрати команду calc і натиснути кнопку OK. У найпростішому варіанті інтерфейсу цієї програми, що відкривається за замовчуванням, тригонометричні функції не передбачені, тому після його запуску треба клацнути в меню розділ «Вид» і вибрати рядок «Науковий» або «Інженерний» (залежить від використовуваної версії операційної системи).

Відео на тему

Джерела:

що таке катет та гіпотенуза у 2019

Є три варіанти вирішення цього завдання. Перший - якщо в умовах завдання дано, що катети рівні (по суті ми маємо прямокутний рівнобедрений трикутник). Другий - якщо ще дано якийсь кут (крім кута в 45%, тоді ми маємо той самий рівнобедрений трикутник і повертаємось до першого варіанту). І третій – коли відомий один із катетів. Розглянемо ці варіанти докладніше.

Як знайти рівні катети, при відомій гіпотенузі

перший катет (позначимо його літерою "a") дорівнює другому катету ((позначимо його літерою "b"): a = b;

розмір катетів;

У цьому варіанті розв'язання задачі ґрунтується на використанні теореми Піфагора. Її застосовують до прямокутних трикутників і основний її варіант звучить як: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Так, як катети у нас рівні, ми можемо позначати обидва катета одним і тим же сиволом: a = b, значить - a = a.

Підставляємо наші умовні позначення теорему (з урахуванням вищевикладеного):
c^2=a^2+a^2,
Далі максимально спрощуємо формулу:
с^2=2*(a^2) - групуємо,
с=√2*а - підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня,
a=c/√2 - виносимо шукане.
Підставимо це значення гіпотенузи і отримуємо рішення:
a=x/√2

Як знайти катети, при відомій гіпотенузі та вугіллі

гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
кут β дорівнює q: β=q;

розмір катетів;

Для вирішення цього завдання необхідно використовувати тригонометричні функції. Найбільш популярні дві з них:

функція синуса - синус шуканого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;
функція косинуса - косинус шуканого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи;

Ви можете використати будь-яку. Я наведу приклад із використанням першої. Нехай катети у нас позначаються символами "a" (прилеглий до кута) та "b" (протилежний до кута). Відповідно наш кут лежить між катетом "a" та гіпотенузою.

Підставляємо вибрані умовні позначення у формулу:
sinβ = b/c
Виводимо катет:
b=c*sinβ
Підставляємо наш даний і маємо один катет.
b=c*sinq

Другий катет можна знайти скориставшись другою тригонометричною функцією, або ж перейти до третього варіанту.

Як знайти один катет, якщо відома гіпотенуза та інший катет

гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
катет (позначимо його літерою "b") дорівнює y см: b = y;

розмір іншого катета (позначимо його літерою "a");

У цьому варіанті розв'язанням задачі, як і в першому є використання теореми Піфагора.

Підставляємо наші умовні позначення у теорему:
c^2=a^2+b^2,
Виносимо необхідний катет:
a^2=c^2-b^2
Підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня:
a=√(c^2-b^2)
Підставляємо дані значення та маємо рішення:
a=√(x^2-y^2)