Осьова симетрія візерунки. Осьова та центральна симетрії

« Симетрія»- Слово грецького походження. Воно означає пропорційність, наявність певного порядку, закономірності розташування частин.

Люди з давніх-давен використовували симетрію в малюнках, орнаментах, предметах побуту.
Симетрія поширена у природі. Її можна спостерігати у формі листя і квітів рослин, у розташуванні різних органів тварин, у формі кристалічних тіл, в метелику, загадковій сніжинці, мозаїці в храмі, морській зірці.
Симетрія широко використовується на практиці, у будівництві та техніці. Це строга симетрія у формі античних будівель, гармонійні давньогрецькі вази, будівлі Кремля, машин, літаків та багато іншого. (Слайд 4) Прикладами використання симетрії є паркет і бордюр. (дивись гіперпосилання про використання симетрії у бордюрах та паркетах) Розглянемо кілька прикладів, де можна побачити симетрію у різних предметах, з використанням слайд-шоу (включити значок).

Визначення: це симетрія щодо точки.
Визначення: Точки А і В симетричні щодо деякої точки, якщо точка О є серединою відрізка АВ.
Точка О називається центром симетрії фігури, а фігура називається центрально-симетричною.
Властивість: Фігури, симетричні щодо певної точки, дорівнюють.
Приклади:

Алгоритм побудови центрально-симетричної фігури
1.Побудуємо трикутник А 1В 1 З 1, симетричний трикутнику АВС, щодо центру (точки) О. Для цього з'єднаємо точки А,В,С з центром Про і продовжимо ці відрізки;
2. Виміряємо відрізки АТ, ВО, СО і відкладемо з іншого боку від точки О, рівні їм відрізки (АТ = А 1 О 1, ВО = В 1 О 1, СО = С 1 О 1);

3. З'єднаємо точки, що вийшли, відрізками А 1 В 1; А 1 З 1; В1 З 1.
Отримали ∆А 1 1 С 1 симетричний ∆АВС.

– це симетрія щодо проведеної осі (прямої).
Визначення: Точки А і В симетричні щодо деякої прямої а якщо ці точки лежать на прямій, перпендикулярній даній, і на однаковій відстані.
Визначення: Осю симетрії називається пряма при перегинанні за якою «половинки» збігатимуться, а фігуру називають симетричною щодо деякої осі.
Властивість: Дві симетричні постаті рівні.
Приклади:

Алгоритм побудови фігури, симетричної щодо деякої прямої
Побудуємо трикутник А1В1С1, симетричний трикутнику АВС щодо прямої а.
Для цього:
1. Проведемо з вершин трикутника АВС прямі, перпендикулярні до прямої а і продовжимо їх далі.
2. Виміряємо відстані від вершин трикутника до точок на прямій і відкладемо з іншого боку прямий такі ж відстані.
3. З'єднаємо точки, що вийшли, відрізками А1В1, В1С1, В1С1.

Отримали ∆ А1В1С1 симетричний ∆АВС.

Осьова симетрія. При осьовий симетрії кожна точка фігури перетворюється на точку, симетричну їй щодо фіксованої прямої.

Розміри: 360 х 260 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати картинку для уроку геометрії, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні і натисніть «Зберегти зображення як...». Для показу картинок на уроці Ви також можете безкоштовно скачати презентацію «Орнамент.ppt» з усіма картинками в zip-архіві. Розмір архіву – 3324 КБ.

Симетрія

"Точка симетрії" - Центральна симетрія. А А1. Осьова та центральна симетрія. Крапка C називається центром симетрії. Симетрія у побуті. Круглий конус має осьову симетрію; вісь симетрії – вісь конуса. Фігури мають більше двох осей симетрії. Паралелограм має лише центральну симетрію.

Математична симетрія - А що таке симетрія? Фізична симетрія. Симетрія у біології. Історія симетрії. Однак у складних молекул, як правило, відсутня симетрія. Паліндроми. Симетрія. У х і м і в. МАЄ БАГАТО СПІЛЬНОГО З ПОСТУПАЛЬНОЇ СИМЕТРІЄЮ В МАТЕМАТИЦІ. А власне, як би нам жилось без симетрії? Осьова симетрія.

"Орнамент" - б) На смузі. Паралельний перенесення Центральна симетрія Осьова симетрія Поворот. Лінійний (варіанти розташування): Створення орнаменту за допомогою центральної симетрії та паралельного перенесення. Площинний. Одним із різновидів орнаменту є сітчастий орнамент. Перетворення, що використовуються для створення орнаменту:

«Симетрія в природі» – однією з основних властивостей геометричних фігур є симетрія. Тема обрана не випадково, адже наступного року ми маємо розпочати вивчення нового предмета – геометрії. На явище симетрії у живій природі звернули увагу ще Стародавню Грецію. Ми займаємося у шкільному науковому товаристві тому, що любимо пізнавати щось нове та невідоме.

«Рух у геометрії» - Математика гарна та гармонійна! Назвіть приклади руху. Рух у геометрії. Що називається рухом? До яких наук застосовується рух? Як рух використовується у різних сферах діяльності людини? Група теоретиків. Поняття руху Осьова симетрія Центральна симетрія. Чи можемо ми бачити рух у природі?

"Симетрія в мистецтві" - Левітан. Рафаель. ІІ.1. Пропозиція в архітектурі. Ритм є одним із основних елементів виразності мелодії. Р. Декарт. Корабельний гай. А. В. Волошинов. Веласкес "Здача Бреди". Зовні гармонія може виявлятися у мелодії, ритмі, симетрії, пропорційності. Ii.4.Пропорція у літературі.

Всього у темі 32 презентації

Гомотетія та подоба.Гомотетія - перетворення, у якому кожній точціМ (площини або простору) ставиться у відповідність точкаМ", що лежить на ОМ (рис. 5.16), причому відношенняОМ ": ОМ = λ одне і те ж для всіх точок, відмінних відО. Фіксована точкаПро називається центром гомотетії. СтавленняОМ": ОМ вважають позитивним, якщоМ" та М лежать по один бік відО, негативним - з різних боків. Число X називають коефіцієнтом гомотетії. ПриХ< 0 гомотетію називають зворотною. Приλ = - 1 гомотетія перетворюється на перетворення симетрії щодо точкиО. При гомотетії пряма перетворюється на пряму, зберігається паралельність прямих і площин, зберігаються кути (лінійні і двогранні), кожна постать перетворюється на нійподібну (рис. 5.17).

Правильне і зворотне твердження. Гомотетія може бути визначена як афінне перетворення, при якому прямі, що з'єднують відповідні точки, проходять через одну точку – центр гомотетії. Гомотетію застосовують збільшення зображень (проекційний ліхтар, кіно).

Центральна та дзеркальна симетрії.Симетрія (в широкому значенні) - властивість геометричної фігури Ф, що характеризує деяку правильність її форми, незмінність її при дії рухів та відбитків. Фігура Ф має симетрію (симетрична), якщо існують нетотожні ортогональні перетворення, що переводять цю фігуру в себе. Сукупність всіх ортогональних перетворень, що поєднують фігуру Ф із собою, є групою цієї постаті. Так, плоска фігура (рис. 5.18) з крапкоюМ, що перетворює-

ся в себе при дзеркальному відображення, симетрична щодо прямої - осіАВ. Тут група симетрії складається з двох елементів – точкаМ перетворюється наМ".

Якщо фігура Ф на площині така, що повороти щодо будь-якої точкиПро на кут 360°/n, де n > 2 ціле число, переводять її в себе, то фігура Ф має симетрію n-го порядку щодо точкиПро - Центру симетрії. Приклад таких фігур - правильні багатокутники, наприклад зірчастий (рис. 5.19), що має симетрію восьмого порядку щодо свого центру. Група симетрії тут так звана циклічна група n-го порядку. Коло має симетрію нескінченного порядку (оскільки поєднується з собою поворотом на будь-який кут).

Найпростішими видами просторової симетрії є центральна симетрія (інверсія). У цьому випадку щодо точкиПро фігура Ф поєднується сама з собою після послідовних відбиття від трьох взаємно перпендикулярних площин, тобто точкаПро - середина відрізка, що сполучає симетричні точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точкаПро є центром симетрії. КрапкиМ та М" куба

Науково-практична конференція

МОУ «Середня загальноосвітня школа № 23»

міста Вологди

секція: природно - наукова

проектно-дослідницька робота

ВИДИ СИМЕТРІЇ

Виконала роботу учениця 8 «а» класу

Кренева Маргарита

Керівник: учитель математики вищої

2014

Структура проекту:

1. Введення.

2. Цілі та завдання проекту.

3. Види симетрії:

3.1. Центральна симетрія;

3.2. Осьова симетрія;

3.3. Дзеркальна симетрія (симетрія щодо площини);

3.4. Поворотна симетрія;

3.5. Переносна симетрія.

4. Висновки.

Симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість.

Г. Вейль

Вступ.

Тему моєї роботи було обрано після вивчення розділу «Осіва та центральна симетрія» в курсі «Геометрія 8 класу». Мене дуже зацікавила ця тема. Я захотіла дізнатися: які види симетрії існують, чим вони відрізняються один від одного, якими є принципи побудови симетричних фігур у кожному з видів.

Мета роботи : Знайомство з різними видами симетрії

Завдання:

Вивчити літературу з цього питання.

Узагальнити та систематизувати вивчений матеріал.

Підготувати презентацію.

У давнину слово «СИММЕТРІЯ» вживалося у значенні «гармонія», «краса». У перекладі з грецької це слово означає «пропорційність, однаковість у розташуванні частин чогось по протилежних сторонах від точки, прямої або площині.

Існують дві групи симетрій.

До першої групи належить симетрія положень, форм, структур. Це симетрія, яку можна безпосередньо бачити. Вона може бути названа геометричною симетрією.

Друга група характеризує симетрію фізичних явищ та законів природи. Ця симетрія лежить у самій основі природничо картини світу: її можна назвати фізичною симетрією.

Я зупинюся на вивченнігеометричної симетрії .

У свою чергу, геометричній симетрії існує також кілька видів: центральна, осьова, дзеркальна (симетрія щодо площини) радіальна (або поворотна), переносна та інші. Я розгляну сьогодні 5 видів симетрії.

Центральна симетрія

Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо вони лежать на прямій, що проходить через т і знаходяться по різні сторони від неї на однаковій відстані. Точка О називається центром симетрії.

Фігура називається симетричною щодо точкиПро якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точкиПро також належить цій фігурі. КрапкаПро називається центром симетрії фігури, кажуть, що фігура має центральну симетрію.

Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм.

Фігури, зображені на слайді симетричні, щодо певної точки

2. Осьова симетрія

Дві точкиX і Y називаються симетричними щодо прямоїt , якщо ця пряма проходить через середину відрізка ХУ і перпендикулярна до нього. Також слід сказати, що кожна точка прямаt вважається симетричною сама собі.

Прямаt - Вісь симетрії.

Фігура називається симетричною щодо прямоїt, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямоїt також належить цій фігурі.

Прямаtназивається віссю симетрії фігури, кажуть, що фігура має осьову симетрію.

Осьовий симетрією мають нерозгорнутий кут, рівнобедрений і рівносторонній трикутники, прямокутник і ромб,літери (дивися презентацію).

Дзеркальна симетрія (симетрія щодо площини)

Дві точки Р 1 і Р називаються симетричними щодо площини, а якщо вони лежать на прямій, перпендикулярній площині а, і знаходяться від неї на однаковій відстані

Дзеркальна симетрія добре знайома кожній людині. Вона пов'язує будь-який предмет та його відображення у плоскому дзеркалі. Кажуть, що одна фігура є дзеркально симетричною іншою.

На площині фігурою з безліччю осей симетрії було коло. У просторі безліч площин симетрії має кулю.

Але якщо коло є єдиним у своєму роді, то в тривимірному світі є цілий ряд тіл, що володіють нескінченним безліччю площин симетрії: прямий циліндр з колом у підставі, конус з круговою основою, куля.

Легко встановити, що кожна симетрична плоска фігура може бути за допомогою дзеркала поєднана сама з собою. Варто здивуватись, що такі складні фігури, як п'ятикутна зірка або рівносторонній п'ятикутник, теж симетричні. Як це випливає з осей, вони відрізняються саме високою симетрією. І навпаки: не так просто зрозуміти, чому така, начебто, правильна постать, як косокутний паралелограм, несиметрична.

4. П поворотна симетрія (або радіальна симетрія)

Поворотна симетрія - це симетрія, що зберігається у формі предметапри повороті навколо деякої осі на кут, що дорівнює 360°/n(або кратний цій величині), деn= 2, 3, 4, … Вказану вісь називають поворотною віссюn-го порядку.

Прип=2 усі точки фігури повертаються на кут 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) Навколо осі, у своїй форма фігури зберігається, тобто. Кожна точка фігури перетворюється на точку тієї ж фігури(фігура перетворюється в себе). Вісь називають віссю другого порядку.

На малюнку 2 показано вісь третього порядку, малюнку 3 – 4 порядку, малюнку 4 - 5-го порядку.

Предмет може мати більше однієї поворотної осі: рис.1 – 3осі повороту, рис.2 –4 осі, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – тільки 1 вісь

Всім відомі літери «І» і «Ф» мають поворотну симетрію. Якщо повернути літеру «І» на 180° навколо осі, перпендикулярної до площини літери і проходить через її центр, то літера поєднається сама з собою. Іншими словами, буква «І» симетрична щодо повороту на 180°, 180°= 360°: 2,n=2 , отже вона має симетрію другого порядку.

Зауважимо, що поворотну симетрію другого порядку має також буква «Ф».

Крім того літера і має центр симетрії, а літера Ф вісь симетрії

Повернемося до прикладів із життя: склянка, конусоподібний фунт з морозивом, шматочок дроту, труба.

Якщо ми уважніше придивимося до цих тіл, то зауважимо, що всі вони так чи інакше складаються з кола, через безліч осей симетрії якого проходить безліч площин симетрії. Більшість таких тіл (їх називають тілами обертання) мають, звичайно, і центр симетрії (центр кола), через який проходить щонайменше одна поворотна вісь симетрії.

Виразно видно, наприклад, вісь у конуса фунтика з морозивом. Вона проходить від середини кола (стирчить із морозива!) до гострого кінця конуса-фунтика. Сукупність елементів симетрії якогось тіла ми сприймаємо як свого роду міру симетрії. Куля, безперечно, щодо симетрії є неперевершеним втіленням досконалості, ідеалом. Стародавні греки сприймали його як найбільш досконале тіло, а коло, природно, як найбільш досконалу плоску постать.

Для опису симетрії конкретного об'єкта треба зазначити всі поворотні осі та його порядок, і навіть всі площини симетрії.

Розглянемо, наприклад, геометричне тіло, що складається з двох однакових правильних чотирикутних пірамід.

Воно має одну поворотну вісь 4-го порядку (вісь АВ), чотири поворотні осі 2-го порядку (осі РЄ,DF, MP, NQ), п'ять площин симетрії (площиниCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Переносна симетрія

Ще одним видом симетрії єпереносна з імметрія.

Про таку симетрію говорять тоді, коли при перенесенні фігури вздовж прямої на якусь відстань «а» або відстань, кратну цій величині, вона поєднується сама з собою Пряма, вздовж якої проводиться перенесення, називається віссю перенесення, а відстань «а» - елементарним перенесенням, періодом чи кроком симетрії.

а

Рисунок, що періодично повторюється, на довгій стрічці називається бордюром. Насправді бордюри зустрічаються у різних видах (настінний розпис, чавунне лиття, гіпсові барельєфи чи кераміка). Бордюри застосовують маляри та художники при оформленні кімнати. Для виконання цих орнаментів виготовляють трафарет. Пересуваємо трафарет, перевертаючи чи не перевертаючи його, обводимо контур, повторюючи малюнок, і виходить орнамент (наглядна демонстрація).

Бордюр легко побудувати за допомогою трафарету (вихідного елемента), зрушуючи або перевертаючи його та повторюючи малюнок. На малюнку зображені трафарети п'яти видів:а ) несиметричний;б, в ) мають одну вісь симетрії: горизонтальну або вертикальну;г ) центрально-симетричний;д ) має дві осі симетрії: вертикальну та горизонтальну.

Для побудови бордюрів використовують такі перетворення:

а ) паралельне перенесення;б ) симетрію щодо вертикальної осі;в ) центральну симетрію;г ) симетрію щодо горизонтальної осі.

Аналогічно можна збудувати розетки. Для цього коло поділяють наn рівних секторів, в одному з них виконують зразок малюнка і потім послідовно повторюють останній в інших частинах кола, повертаючи малюнок щоразу на кут 360°/n .

Наочним прикладом застосування осьової та переносної симетрії може бути паркан, зображений на фотографії.

Висновок: Таким чином, існують різні види симетрії, симетричні точки у кожному з цих видів симетрії будуються за певними законами. У житті ми всюди зустрічаємося тим чи іншим видом симетрії, а часто у предметів, які оточують нас, можна відзначити відразу кілька видів симетрії. Це створює порядок, красу і досконалість в навколишньому світі.

ЛІТЕРАТУРА:

Довідник з елементарної математики. М.Я. Вигодський. - Видавництво "Наука". - Москва 1971р. - 416стор.

Сучасний словник іншомовних слів. - М: Російська мова, 1993г.

Історія математики у школіIX - Xкласи. Г.І. Глейзер. – Видавництво «Освіта». - Москва 1983р. - 351стор.

Наочна геометрія 5-6 класи. І.Ф. Шаригін, Л.М. Єрганжієва. - Видавництво "Дрофа", Москва 2005р. - 189стор.

Енциклопедія для дітей Біологія С. Ісмаїлова. - Видавництво "Аванта +". - Москва 1997р. - 704стор.

Урманцев Ю.А. Симетрія природи та природа симетрії - М.: Думка arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

Життя людей сповнене симетрією. Це зручно, красиво, не потрібно вигадувати нових стандартів. Але що вона є насправді і чи така гарна в природі, як прийнято вважати?

Симетрія

З давніх-давен люди прагнуть упорядкувати світ навколо себе. Тож щось вважається гарним, а щось не дуже. З естетичної точки зору як привабливі розглядаються золотий та срібний переріз, а також, зрозуміло, симетрія. Цей термін має грецьке походження і буквально означає "пропорційність". Зрозуміло, йдеться як про збіг за цією ознакою, а й у деяких іншим. У загальному сенсі симетрія - це така властивість об'єкта, коли в результаті тих чи інших утворень результат дорівнює вихідним даним. Це зустрічається як у живій, так і неживій природі, а також у предметах, зроблених людиною.

Насамперед термін "симетрія" вживається в геометрії, але знаходить застосування в багатьох наукових областях, причому його значення залишається в цілому незмінним. Це досить часто зустрічається і вважається цікавим, оскільки відрізняється його видів, і навіть елементів. Використання симетрії також цікаве, адже вона зустрічається не тільки в природі, а й у орнаментах на тканині, бордюрах будівель та багатьох інших рукотворних предметах. Варто розглянути це подробиці, оскільки це вкрай захоплююче.

Вживання терміна в інших наукових галузях

Надалі симетрія розглядатиметься з погляду геометрії, проте варто згадати, що це слово використовується не тільки тут. Біологія, вірусологія, хімія, фізика, кристалографія - все це неповний список областей, в яких це явище вивчається з різних боків та в різних умовах. Від того, до якої науки належить цей термін, залежить, наприклад, класифікація. Так, поділ на типи серйозно варіюється, хоча деякі основні, мабуть, залишаються незмінними скрізь.

Класифікація

Розрізняють кілька основних типів симетрії, з яких найчастіше зустрічаються три:

Крім того, в геометрії розрізняють також такі типи, вони зустрічаються значно рідше, але не менш цікаві:

• ковзна;
• обертальна;
• точкова;
• поступальна;
• гвинтова;
• фрактальна;
• і т.д.

У біології всі види називаються трохи інакше, хоча насправді можуть бути такими ж. Підрозділ на ті чи інші групи відбувається на підставі наявності чи відсутності, а також кількості деяких елементів, таких як центри, площини та осі симетрії. Їх слід розглянути окремо та детальніше.

Базові елементи

У явищі виділяють деякі риси, одна з яких обов'язково є. Так звані базові елементи включають площини, центри і осі симетрії. Саме відповідно до їх наявності, відсутності та кількості визначається тип.

Центром симетрії називають точку всередині фігури або кристала, в якій сходяться лінії, що поєднують попарно всі паралельні один одному сторони. Зрозуміло, він не завжди. Якщо є сторони, яких немає паралельної пари, то таку точку знайти неможливо, оскільки її немає. Відповідно до визначення, очевидно, що центр симетрії - це те, через що фігура може бути відображена сама на себе. Прикладом може бути, наприклад, коло і точка у його середині. Цей елемент зазвичай позначається як C.

Площина симетрії, зрозуміло, уявна, але вона ділить фігуру на дві рівні одна одній частини. Вона може проходити через одну або кілька сторін, бути паралельною до неї, а може ділити їх. Для однієї й тієї фігури може існувати відразу кілька площин. Ці елементи зазвичай позначаються як P.

Але, мабуть, найчастіше трапляється те, що називають "осі симетрії". Це нерідке явище можна побачити як у геометрії, і у природі. І воно гідне окремого розгляду.

Осі

Часто елементом, щодо якого фігуру можна назвати симетричною,

Прикладами можуть бути рівнобедреные і У першому випадку буде вертикальна вісь симетрії, з обох боків від якої рівні грані, тоді як у другому лінії перетинатимуть кожен кут і збігатися з усіма бісектрисами, медіанами і висотами. Звичайні ж трикутники нею не мають.

До речі, сукупність усіх вищезгаданих елементів у кристалографії та стереометрії називається ступенем симетрії. Цей показник залежить від кількості осей, площин та центрів.

Приклади у геометрії

Умовно можна розділити всі безліч об'єктів вивчення математиків на постаті, що мають вісь симетрії, і такі, які її не мають. У першу категорію автоматично потрапляють усі кола, овали, а також деякі окремі випадки, інші ж потрапляють у другу групу.

Як і у випадку, коли йшлося про вісь симетрії трикутника, цей елемент для чотирикутника існує не завжди. Для квадрата, прямокутника, ромба чи паралелограма він є, а для неправильної фігури, відповідно, немає. Для кола осі симетрії – це безліч прямих, які проходять через її центр.

Крім того, цікаво розглянути й об'ємні постаті з цього погляду. Хоча б однією віссю симетрії крім всіх правильних багатокутників і кулі будуть володіти деякі конуси, а також піраміди, паралелограми та деякі інші. Кожен випадок слід розглядати окремо.

Приклади у природі

У житті називається білатеральною, вона зустрічається найбільш
часто. Будь-яка людина і дуже багато тварин тому приклад. Осьова називається радіальною і зустрічається набагато рідше, як правило, в рослинному світі. І все-таки вони є. Наприклад, варто подумати, скільки осей симетрії має зірка, і чи вона їх взагалі? Зрозуміло, йдеться про морських мешканців, а не предмет вивчення астрономів. І правильною відповіддю буде така: це залежить від кількості променів зірки, наприклад п'ять, якщо вона п'ятикутна.

Крім того, радіальна симетрія спостерігається у багатьох квіток: ромашки, волошки, соняшники і т. д. Прикладів величезна кількість вони буквально скрізь навколо.

Аритмія

Цей термін, перш за все, нагадує більшості про медицину та кардіологію, проте він спочатку має дещо інше значення. У разі синонімом буде " асиметрія " , тобто відсутність чи порушення регулярності у тому чи іншому вигляді. Її можна зустріти як випадковість, а іноді вона може стати чудовим прийомом, наприклад, в одязі чи архітектурі. Адже симетричних будівель дуже багато, але знаменита трохи нахилена, і хоч вона не одна така, але це найвідоміший приклад. Відомо, що так вийшло випадково, але в цьому є своя краса.

Крім того, очевидно, що обличчя і тіла людей та тварин теж не повністю симетричні. Проводились навіть дослідження, згідно з результатами яких "правильні" особи розцінювалися як неживі чи просто непривабливі. Все-таки сприйняття симетрії і це явище саме собою дивовижні і поки не до кінця вивчені, а тому вкрай цікаві.