Основні властивості правильної піраміди. Формули та властивості правильної трикутної піраміди

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( заснування ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Об `єм;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Основизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо

Трикутна піраміда - це піраміда, основу якої трикутник. Висота цієї піраміди – це перпендикуляр, який опущений з вершини піраміди на її підстави.

Знаходження висоти піраміди

Як знайти висоту піраміди? Дуже просто! Для знаходження висоти будь-якої трикутної піраміди можна скористатися формулою об'єму: V = (1/3) Sh, де S – це площа основи, V – обсяг піраміди, h – її висота. З цієї формули вивести формулу висоти: для знаходження висоти трикутної піраміди, потрібно помножити обсяг піраміди на 3, а потім поділити значення, що вийшло на площу основи, це буде: h = (3V)/S. Оскільки основа трикутної піраміди – це трикутник, можна скористатися формулою підрахунку площі трикутника. Якщо нам відомі: площа трикутника S та його сторона z, то за формулою площі S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, де h – це висота піраміди, γ – це ребро трикутника; кут між сторонами трикутника і самі дві сторони, то за такою формулою: S = (1/2)γφsinQ, де γ, φ - це сторони трикутника, знаходимо площу трикутника. Значення синуса кута Q потрібно переглянути в таблиці синусів, яка є в Інтернеті. Далі підставляємо значення площі формулу висоти: h = (2S)/γ. Якщо завдання вирахувати висоту трикутної піраміди, то обсяг піраміди вже відомий.

Правильна трикутна піраміда

Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, тобто піраміди, в якій усі грані – це рівносторонні трикутники, знаючи величину ребра γ. І тут ребра піраміди - це сторони рівносторонніх трикутників. Висота правильної трикутної піраміди буде: h = γ√(2/3), де γ – це ребро рівностороннього трикутника, h – це висота піраміди. Якщо площа основи (S) невідома, а дані лише: довжина ребра (γ) і обсяг (V) багатогранника, то необхідну змінну у формулі з попереднього кроку потрібно замінити її еквівалентом, який виражений через довжину ребра. Площа трикутника (правильного) дорівнює 1/4 від добутку довжини сторони цього трикутника, зведену в квадрат на квадратний корінь із 3. Підставляємо цю формулу замість площі основи в попередню формулу, і отримуємо таку формулу: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Об'єм тетраедра можна виразити через довжину його ребра, то з формули для обчислення висоти фігури можна прибрати всі змінні і залишити лише бік трикутної грані фігури. Обсяг такої піраміди можна обчислити, поділивши на 12 з твору зведену в куб довжину його грані квадратний корінь з 2.

Підставляємо цей вираз у попередню формулу, отримуємо таку формулу для обчислення: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Також правильну трикутну призму можна вписувати у сферу, і знаючи лише радіус сфери (R) можна знайти й висоту тетраедра. Довжина ребра тетраедра дорівнює: γ = 4R/√6. Замінимо змінну γ цим виразом у попередній формулі та отримуємо формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Таку ж формулу можна мати, знаючи радіус (R) кола, вписаного в тетраедр. У такому випадку довжина ребра трикутника дорівнюватиме 12 співвідношень між квадратним коренем з 6 і радіусом. Підставляємо цей вираз у попередню формулу та маємо: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Як знайти висоту правильної чотирикутної піраміди

Щоб відповісти на питання, як знайти довжину висоти піраміди, необхідно знати, що таке правильна піраміда. Чотирикутна піраміда - це піраміда, в основі якої знаходиться чотирикутник. Якщо в умовах задачі ми маємо: обсяг (V) та площу основи (S) піраміди, то формула для обчислення висоти багатогранника (h) буде така - розділити об'єм, помножений на 3 на площу S: h = (3V)/S. При квадратній основі піраміди з відомими: заданим об'ємом (V) та довжиною сторони γ, замініть площу (S) у попередній формулі на квадрат довжини сторони: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Висота правильної піраміди h = SO проходить саме через центр кола, яке описане біля основи. Оскільки основа даної піраміди - це квадрат, то точка - це точка перетину діагоналей AD і BC. Ми маємо: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далі, у прямокутному трикутнику SOC знаходимо (за теоремою Піфагора): SO = √(SC 2 -OC 2). Тепер ви знаєте, як знайти висоту правильної піраміди.

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Об'ємною фігурою, яка часто з'являється у геометричних завданнях, є піраміда. Найпростіша з усіх фігур цього класу – трикутна. У цій статті докладно розберемо основні формули та властивості правильної

Геометричні уявлення про фігуру

Перш ніж переходити до розгляду властивостей правильної трикутної піраміди, розберемося докладніше, про яку фігуру йдеться.

Припустимо, що є довільний трикутник у тривимірному просторі. Виберемо в цьому просторі будь-яку точку, яка в площині трикутника не лежить і з'єднаємо її з трьома вершинами трикутника. Ми отримали трикутну піраміду.

Вона складається із 4-х сторін, причому всі вони є трикутниками. Крапки, у яких з'єднуються три грані, називаються вершинами. Їх у фігури також чотири. Лінії перетину двох граней – це ребра. Ребер у піраміди, що розглядається 6. Малюнок нижче демонструє приклад цієї фігури.

Оскільки постать утворена чотирма сторонами, її також називають тетраедром.

Правильна піраміда

Вище було розглянуто довільну фігуру з трикутною основою. Тепер припустимо, що ми провели перпендикулярний відрізок із вершини піраміди до її основи. Цей відрізок називається висотою. Очевидно, що можна провести 4 різні висоти для фігури. Якщо висота перетинає в геометричному центрі трикутну основу, то така піраміда називається прямою.

Пряма піраміда, основою якої буде рівнокутний трикутник, називається правильною. Для неї всі три трикутники, що утворюють бічну поверхню фігури, є рівнобедреними та рівні один одному. Приватним випадком правильної піраміди є ситуація, коли чотири сторони є рівносторонніми однаковими трикутниками.

Розглянемо властивості правильної трикутної піраміди і наведемо відповідні формули для обчислення її параметрів.

Сторона основи, висота, бічне ребро та апотема

Будь-які з перелічених параметрів однозначно визначають інші дві характеристики. Наведемо формули, які пов'язують ці величини.

Припустимо, що сторона основи трикутної правильної піраміди дорівнює a. Довжина її бічного ребра дорівнює b. Чому дорівнюють висота правильної піраміди трикутної та її апотема.

Для висоти h отримуємо вираз:

Ця формула випливає з теореми Піфагора для якого є бічне ребро, висота та 2/3 висоти основи.

Апотема піраміди називається висота для будь-якого бічного трикутника. Довжина апотеми a b дорівнює:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

З цих формул видно, що якими б не були сторона основи піраміди трикутної правильної і довжина її бічного ребра, апотема завжди буде більшою за висоту піраміди.

Подані дві формули містять усі чотири лінійні характеристики аналізованої фігури. Тому за відомими двом їх можна знайти інші, вирішуючи систему із записаних рівностей.

Об'єм фігури

Для абсолютно будь-якої піраміди (у тому числі похилої) значення об'єму простору, обмеженого нею, можна визначити, знаючи висоту фігури та площу її основи. Відповідна формула має вигляд:

Застосовуючи цей вираз для аналізованої фігури, отримаємо таку формулу:

Де висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, а її сторона основи – a.

Не складно отримати формулу для обсягу тетраедра, у якого всі сторони рівні між собою і є рівносторонні трикутники. У такому разі обсяг фігури визначиться за такою формулою:

Тобто визначається довжиною боку a однозначно.

Площа поверхні

Продовжимо розглядати властивості піраміди трикутної правильної. Загальна площа всіх граней фігури називається площею поверхні. Останню зручно вивчати, розглядаючи відповідну розгортку. На малюнку нижче показано, як виглядає розгортка правильної трикутної піраміди.

Припустимо, що нам відомі висота h та сторона основи a фігури. Тоді площа її заснування дорівнюватиме:

Отримати цей вислів може кожен школяр, якщо згадає, як знаходити площу трикутника, а також врахує, що висота рівностороннього трикутника також є бісектрисою та медіаною.

Площа бічної поверхні, утвореної трьома однаковими рівнобедреними трикутниками, становить:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ця рівність випливає з вираження апотеми піраміди через висоту і довжину основи.

Повна площа поверхні фігури дорівнює:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Зауважимо, що для тетраедра, у якого всі чотири сторони є однаковими рівносторонніми трикутниками, площа S дорівнюватиме:

Властивості правильної усіченої трикутної піраміди

Якщо у розглянутої трикутної піраміди площиною, паралельною підставі, зрізати верх, то нижня частина, що залишилася, буде називатися усіченою пірамідою.

У разі трикутної основи в результаті описаного методу перерізу виходить новий трикутник, який також є рівностороннім, але має меншу довжину сторони, ніж сторона основи. Усічена трикутна піраміда показана нижче.

Ми бачимо, що ця фігура вже обмежена двома трикутними основами та трьома рівнобедреними трапеціями.

Припустимо, що висота отриманої фігури дорівнює h, довжини сторін нижньої та верхньої основ становлять a 1 і a 2 відповідно, а апотема (висота трапеції) дорівнює a b . Тоді площу поверхні зрізаної піраміди можна обчислити за формулою:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Тут перший доданок - це площа бічної поверхні, другий доданок - площа трикутних основ.

Обсяг фігури розраховується так:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Для однозначного визначення характеристик зрізаної піраміди необхідно знати три її параметри, що демонструють наведені формули.