Паралелограм має. "паралелограм та його властивості"

Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.

Вконтакте

Визначення паралелограма

Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.

Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.

Сторони та кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:

Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.

AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

опущені на один бік, є перпендикулярними;
протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма з теореми

Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.

Sпр-ма – площа;

a та b - його сторони

α - кут між відрізками a та b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого перебувають тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:

Застосування у векторній алгебрі

Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені за таких умов:

a і b, α - сторони та кут між ними;
d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;

Параметр	Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинус кута між ними
по діагоналях та стороні
через висоту та протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонах та величині вершини між ними

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих

Властивості паралелограма:
Теорема 22. Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як мають спільну сторону АС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Значить, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23. Протилежні кути паралелограма рівні: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24. Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25. Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.

Ознаки паралелограма
Теорема 26. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28. Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, прилеглі до однієї стороні, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, що мають рівні кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30. Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.

У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.

Це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельно паралельні.

1 . Будь-яка діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Доведення . За II ознакою (навхрест кути, що лежать, і загальна сторона).

Теорема доведена.

2 . У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення .
Аналогічно,

Теорема доведена.

Властивість 3. У паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 4 . Бісектриса кута паралелограма, перетинаючи протилежну сторону, ділить його на рівнобедрений трикутник і трапецію. (Ч. сл. - вершину - два рівнобедрених?-ка).

Доведення .

Теорема доведена.

5 . У паралелограмі відрізок з кінцями на протилежних сторонах, що проходить через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 6 . Кут між висотами, опущеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює гострому куту паралелограма.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 7 . Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 °.

Доведення .

Теорема доведена.

Побудова бісектриси кута. Властивості бісектриси кута трикутника.

1) Побудувати довільний промінь DE.

2) На даному промені побудувати довільне коло з центром у вершині і таке саме
з центром на початку збудованого променя.

3) F і G - точки перетину кола зі сторонами даного кута, H - точка перетину кола з побудованим променем

Побудувати коло з центром у точці H та радіусом, рівним FG.

5) I - точка перетину кіл побудованого променя.

6) Провести пряму через вершину та I.

IDH – необхідний кут.
)

1 . Бісектриса кута трикутника розбиває протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.

Доведення . Нехай x, y відрізки сторони c. Продовжимо промінь BC. На промені BC відкладемо від C відрізок CK, що дорівнює AC.

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивості паралелограма та показати, як їх можна застосувати для вирішення завдань.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературу з питання, що досліджується;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

У підручнику геометрії ми читаємо таке визначення паралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як «паралельні лінії» (від грецьких слів Parallelos – паралельний та gramme – лінія), цей термін було введено Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теорія паралелограмів І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелах з геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доведення:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доведення:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

. Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доведення:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

. Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доведення:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доведення:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доведення: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

На рівних трикутниках відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доведення:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доведення: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

випадок

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

Доведення

Насамперед проведемо діагональ AC. Виходять два трикутники: ABC і ADC.

Так як ABCD - паралелограм, то справедливо наступне:

AD | BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2як лежачи навхрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4як лежачи навхрест.

Отже, triangle ABC = triangle ADC (за другою ознакою: і AC — загальна).

І, отже, triangle ABC = triangle ADC , то AB = CD і AD = BC .

Доведено!

2. Протилежні кути тотожні.

Доведення

Згідно з доказом властивості 1Ми знаємо, що \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким чином, сума протилежних кутів дорівнює: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Враховуючи, що \triangle ABC = \triangle ADC отримуємо \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доведено!

3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину.

Доведення

Проведемо ще одну діагональ.

за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: AB = CD. Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.

Таким чином видно, що \triangle AOB = \triangle COD за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, BO = OD (напроти кутів \angle 2 і \angle 1 ) і AO = OC (напроти кутів \angle 3 і \angle 4 відповідно).

Доведено!

Ознаки паралелограма

Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.

Для кращого запам'ятовування зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне запитання. "як дізнатися?". Тобто як дізнатися, що задана фігура це паралелограм.

1. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні.

AB = CD; AB || CD Rightarrow ABCD - паралелограм.

Доведення

Розглянемо докладніше. Чому AD | BC?

\triangle ABC = \triangle ADC за властивості 1: AB = CD , AC - загальна і \angle 1 = \angle 2 як навхрест лежать при паралельних AB і CD і січе AC .

Але якщо \triangle ABC = \triangle ADC , \angle 3 = \angle 4 (лежать навпроти AB і CD відповідно). І отже AD || BC (angle 3 і angle 4 - навхрест лежачі теж рівні).

Перша ознака вірна.

2. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD - паралелограм.

Доведення

Розглянемо цю ознаку. Ще раз проведемо діагональ AC.

за властивості 1\triangle ABC = \triangle ACD.

З цього виходить що: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BCі \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CDтобто ABCD - паралелограм.

Друга ознака вірна.

3. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні кути рівні.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Паралелограм.

Доведення

2 \ alpha + 2 \ beta = 360 ^ (\ circ)(оскільки ABCD - чотирикутник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D за умовою).

Виходить, \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) . Але \alpha і \beta є односторонніми внутрішніми при січній AB .

І те, що \alpha + \beta = 180^(\circ) говорить про те, що AD || BC.

При цьому \ alpha і beta - внутрішні односторонні при січній AD . І це означає AB | CD.

Третя ознака вірна.

4. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого діагоналі розділені точкою перетину навпіл.

AO = OC; BO = OD \Rightarrow паралелограм.

Доведення

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 як вертикальні \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, та \Rightarrow AB || CD.

Аналогічно BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, та \Rightarrow AD || BC.

Четверта ознака вірна.