Переведення чисел із заданої системи в іншу. Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Оскільки те саме число може бути записано в різних системах числення (наприклад, ), то постає питання про переведення уявлення числа з однієї системи в іншу. Правила перекладу для цілих та дробових чисел відрізняються.

Для переведення чисел з будь-якої системи числення до десяткової можна скористатися формулою (1).

приклад. Перевести до десяткової системи числення числа

Рішення:

Переклад цілих чисел з однієї системи числення до іншої

1. Розділяти задане число на нову основу, записану у вигляді числа зі старою основою до отримання залишку.

2. Отримане приватне слід знову ділити на нову основу, і цей процес треба повторювати доти, доки приватне стане менше дільника.

3. Отримані залишки від розподілу і останнє приватне записуються в зворотному порядку отриманому при розподілі.

Рішення:

Переклад дробових чисел з однієї системи числення до іншої

Помножити задане число на нову основу, записану у вигляді числа зі старою основою. При кожному множенні ціла частина твору береться у вигляді чергової цифри відповідного розряду, а дробова частина, що залишилася, приймається за нове множинне. Число множень визначає розрядність одержаного результату.

приклад. Перевести число у двійкову, вісімкову, шістнадцяткову системи числення.

Рішення:

Рішення: Переведемо окремо цілу та дробову частини числа до двійкової системи числення.

.

З'єднуючи цілу та дробову частини, отримаємо

Так як двійкова, вісімкова та шістнадцяткова системи числення пов'язані один з одним через ступеня 2, то перетворення між ними можна виконувати більш простим способом.

1. Для переведення з шістнадцяткової (вісімкової) системи числення в двійкову достатньо двійковим кодом записати шістнадцяткові (вісімкові) коди цифр зошитами (тріадами).

2. Зворотний переклад із двійкового коду проводиться у зворотному порядку: двійкове число розбивається вліво та вправо від коми на зошити для наступного запису цифр у шістнадцятковому поданні та на тріади – для запису їх значень вісімковими цифрами.

3. При переході з вісімкової системи числення в шістнадцяткову та назад використовується допоміжний, двійковий код числа.

приклад. Перевести число у вісімкову, шістнадцяткову системи числення.

Рішення:

приклад. Перевести число в двійкову систему числення.

Рішення:

Розглянемо способи переведення чисел з однієї системи числення до іншої.

а) Переклад двійкового числа до десяткового.

Необхідно скласти двійки у ступенях, що відповідають позиціям, де у двійковому стоять одиниці. Наприклад:

Візьмемо число 20. У двійковій системі має такий вигляд: 10100.

Отже (вважаємо зліва направо, рахуючи від 4 до 0; число в нульовому ступені завжди дорівнює одиниці)

10100 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 20

16+0+4+0+0 = 20.

б) Переведення десяткового числа до двійкового.

Необхідно ділити його на два, записуючи залишок праворуч наліво:

20/2 = 10, залишок 0

10/2 = 5, залишок 0

5/2=2, залишок 1

2/2=1, залишок 0

1/2=0, залишок 1

В результаті одержуємо: 10100 = 20

в) Переведення шістнадцяткового числа до десяткового.

У шістнадцятковій системі номер позиції цифри в числі відповідає ступеню, в який треба звести число 16:

8A = 8 * 16 + 10 (0A) = 138

Наостанок наведемо алгоритм переведення в двійкову та з двійкової системи, пропонований Л. Радюком.

Нехай А(цд) – ціле десяткове число. Запишемо його у вигляді суми ступенів основи 2 з двійковими коефіцієнтами. У його записи в розгорнутій формі будуть відсутні негативні ступені підстави (числа 2):

A(цд) = a(n-1) * 2^(n-1) + a(n-2) * 2^(n-2) + … + a(1) * 2^1 + a(0) * 2^0.

На першому кроці розділимо число А(цд) на основу двійкової системи, тобто на 2. Частка від поділу дорівнюватиме:

a(n-1) * 2^(n-2) + a(n-2) * 2^(n-3) + … + a(1), а залишок дорівнює a(0).

На другому кроці ціле приватне знову розділимо на 2, залишок від розподілу тепер дорівнює a(1).

Якщо продовжувати цей процес розподілу, то після n-го кроку отримаємо послідовність залишків:

a(0), a(1),…, a(n-1).

Легко помітити, що їхня послідовність збігається зі зворотною послідовністю цифр цілого двійкового числа, записаного в згорнутій формі:

A(2) = a(n-1)…a(1)a(0).

Таким чином, достатньо записати залишки у зворотній послідовності, щоб отримати потрібне двійкове число.

Тоді сам алгоритм буде наступним:

1. Послідовно виконувати розподіл вихідного цілого десяткового числа та одержуваних цілих приватних на основу системи (на 2) доти, доки не вийде приватний, менший дільник, тобто менше 2.

2. Записати отримані залишки у зворотній послідовності, а зліва додати останнє приватне.

Для переведення чисел з вісімкової та шістнадцяткової систем числення в двійкову необхідно цифри числа перетворити на групи двійкових цифр. Для переведення з вісімкової системи в двійкову кожну цифру числа треба перетворити на групу з трьох двійкових цифр тріаду, а при перетворенні шістнадцяткового числа на групу з чотирьох цифр зошит.

ВИСНОВОК

Підбиваючи підсумки роботи, можна зробити такі висновки.

Позиційна система числення полягає у використанні обмеженої кількості цифр, натомість позиція кожної цифри в числі забезпечує значущість (вага) цієї цифри. Позиція цифри в числі математичною мовою називається розрядом.

Основа позиційної системи числення це кількість різних знаків або символів (цифр), що використовуються для відображення чисел у цій системі.

Для того щоб двійкові числа, що відрізняються досить значною довжиною, було легше сприймати та відображати, їх стискають у вісімкову та шістнадцяткову системи числення.

У комп'ютерних технологіях всі види інформації кодуються тільки цифрами або, точніше, числами, які подаються в двійковій системі числення способу представлення будь-яких чисел за допомогою двох знаків (цифр) за принципом позицій.

1. Порядковий рахунок у різних системах числення.

У сучасному житті ми використовуємо позиційні системи числення, тобто системи, у яких число, що позначається цифрою, залежить від положення цифри запису числа. Тому надалі ми говоритимемо лише про них, опускаючи термін «позиційні».

Щоб навчитися переводити числа з однієї системи до іншої, зрозуміємо, як відбувається послідовний запис чисел з прикладу десяткової системи.

Оскільки ми маємо десяткову систему числення, ми маємо 10 символів (цифр) для побудови чисел. Починаємо порядковий рахунок: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри закінчились. Ми збільшуємо розрядність числа і обнулюємо молодший розряд: 10. Потім знову збільшуємо молодший розряд, доки не закінчаться всі цифри: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Збільшуємо старший розряд на 1 і обнулюємо молодший: 20. Коли ми використовуємо всі цифри для обох розрядів (отримаємо число 99), знову збільшуємо розрядність числа і обнулюємо розряди: 100. І так далі.

Спробуємо зробити те саме в 2-й, 3-й і 5-й системах (введемо позначення для 2-ї системи, для 3-ї і т.д.):

Якщо система числення має основу більше 10, нам доведеться вводити додаткові символи, прийнято вводити літери латинського алфавіту. Наприклад, для 12-річної системи крім десяти цифр нам знадобляться дві літери ( і ):

2.Перевод з десяткової системи числення до будь-якої іншої.

Щоб перевести ціле позитивне десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно це число поділити на основу. Отримане приватне знову розділити на основу, і далі до тих пір, поки приватна не виявиться меншою за основу. В результаті записати в один рядок останнє приватне та всі залишки, починаючи з останнього.

приклад 1.Перекладемо десяткове число 46 двійкову систему числення.

приклад 2.Переведемо десяткове число 672 у вісімкову систему числення.

приклад 3.Перекладемо десяткове число 934 в шістнадцяткову систему числення.

3. Переклад із будь-якої системи числення до десяткової.

Щоб навчитися переводити числа з будь-якої іншої системи в десяткову, проаналізуємо звичний нам запис десяткового числа.
Наприклад, десяткове число 325 - це 5 одиниць, 2 десятки та 3 сотні, тобто.

Так само і в інших системах числення, тільки множити будемо не на 10, 100 і ін., а на ступеня заснування системи числення. Наприклад візьмемо число 1201 у трійковій системі числення. Пронумеруємо розряди праворуч наліво починаючи з нуля і представимо наше число як суму творів цифри на трійку в міру розряду числа:

Це десятковий запис нашого числа, тобто.

приклад 4.Переведемо до десяткової системи числення восьмеричне число 511.

Приклад 5.Переведемо до десяткової системи числення шістнадцяткове число 1151.

4. Переведення з двійкової системи до системи з основою «ступінь двійки» (4, 8, 16 тощо).

Для перетворення двійкового числа на число з підставою «ступінь двійки» необхідно двійкову послідовність розбити на групи за кількістю цифр рівною мірою праворуч наліво і кожну групу замінити відповідною цифрою нової системи числення.

Наприклад, Переведемо двійкове число у вісімкову систему. Для цього розіб'ємо його на групи по 3 символи починаючи праворуч (т.к. ), а потім скористаємось таблицею відповідності та замінимо кожну групу на нову цифру:

Таблицю відповідності ми навчилися будувати у п.1.

Тобто.

Приклад 6.Перекладемо двійкове число в шістнадцяткову систему.

5.Переклад із системи з основою «ступінь двійки» (4, 8, 16 і т.д.) у двійкову.

Цей переклад аналогічний до попереднього, виконаного у зворотний бік: кожну цифру ми замінюємо групою цифр у двійковій системі з таблиці відповідності.

Приклад 7.Перекладемо шістнадцяткове число С3A6 двійкову систему числення.

І тому кожну цифру числа замінимо групою з 4 цифр (т.к. ) з таблиці відповідності, доповнивши за необхідності групу нулями спочатку:

З 16 або 8 до 2

Наприклад:

а) Перекласти 305.4 8 "2" с.с.

б) Перекласти 7B2.E 16 "2" с.с.

16А 16 =1 0110 1010 2345 8 =11 100 101 2

З 2 до 16 або 8

Наприклад:

а) Перекласти 1101111001.1101 2 "8" с.с.

б) Перекласти 111111111011.100111 2 "16" с.с.

1000101010010101 2 = 1000 1010 1001 0101 = 8A95 16 = 1 000 101 010 010 101 = 105 225 8

З 16 до 8 і назад

Переведення з вісімкової до шістнадцяткової системи і назад здійснюється через двійкову систему за допомогою тріад і зошит.

Наприклад:

Перекласти 175.24 8 "16" с.с.

Результат: 175.24 8 = 7D.5 16 .

З 10 до будь-якої с.с.

Наприклад:

а) Перекласти 181 10 "8" с.с.

Результат: 181 10 = 265 8

б) Перекласти 622 10 "16" с.с.

Результат: 622 10 = 26E 16

Переклад правильних дробів
Для переведення правильного десяткового дробу в іншу систему цей дріб треба послідовно множити на підставу тієї системи, в яку вона переводиться. При цьому множаться лише дробові частини. Дріб у новій системі записується у вигляді цілих частин творів, починаючи з першого.

Наприклад:

Перекласти 0.3125 10 "8" пн.с.

Результат: 0.3125 10 = 0.24 8

Зауваження.Кінцевого десяткового дробу в іншій системі числення може відповідати нескінченний (іноді періодичний) дріб. У цьому випадку кількість знаків у поданні дробу у новій системі береться залежно від необхідної точності.

Наприклад:

Перекласти 0.65 10 "2" пн.с. Точність 6 знаків.

Результат: 0.65 10 0.10(1001) 2

Для переведення неправильного десяткового дробу в систему числення з десятковою основоюнеобхідно окремо перевести цілу частину та окремо дробову.

Наприклад:

Перекласти 23.125 10 "2" с.с.

Таким чином: 2310 = 101112; 0.125 10 = 0.001 2 .
Результат: 23.125 10 = 10111.001 2 .

Слід зазначити, що цілі числа залишаються цілими, а правильні дроби - дробами у системі числення.

З 2, 8 або 16 до 10

Наприклад:

a)10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 - 3 = 173.625 10

б) Перекласти 703.04 8 "10" с.с.

703.04 8 = 7 8 2 + 0 8 1 + 3 8 0 + 0 8 -1 + 4 8 -2 = 451.0625 10

в) Перекласти B2E.4 16 "10" с.с.

B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862.25 10

Схема переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Aрифметичні операції у позиційних системах числення

Розглянемо основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення та поділ. Правила виконання цих операцій у десятковій системі добре відомі - це додавання, віднімання, множення стовпчиком та розподіл кутом. Ці правила застосовні і для всіх інших позиційних систем числення. Тільки таблицями складання та множення треба користуватися особливими кожної системи.

Додавання

При додаванні цифри сумуються за розрядами, і якщо при цьому виникає надлишок, то він переноситься вліво

При додаванні двійкових чисел у кожному розряді проводиться додавання цифр доданків і перенесення із сусіднього молодшого розряду, якщо він є. При цьому необхідно враховувати, що 1+1 дають нуль у даному розряді та одиницю перенесення до наступного.

Наприклад:

Виконати складання двійкових чисел:
а) X = 1101, Y = 101;

Результат 1101+101=10010.

б) X = 1101, Y = 101, Z = 111;

Результат 1101+101+111=11001.

Таблиця додавання в 8-ій системі числення

Таблиця додавання в 16-ій системі числення

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

приклад.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

приклад.Число перевести до десяткової системи числення.

3. Для переведення шістнадцяткового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 16, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися та блицьою ступенів числа 16:

Таблиця 6. Ступені числа 16

приклад.Число перевести до десяткової системи числення.

4. Для переведення десяткового числа в двійкову систему його необхідно послідовно ділити на 2 доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний 1. Число в двійковій системі записується як послідовність останнього результату поділу і залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести в двійкову систему числення.

5. Для переведення десяткового числа у вісімкову систему його необхідно послідовно ділити на 8 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 7. Число у вісімковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести у вісімкову систему числення.

6. Для переведення десяткового числа в шістнадцяткову систему його необхідно послідовно ділити на 16 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 15. Число в шістнадцятковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести в шістнадцяткову систему числення.