Первісна та інтеграл завдання еге. Методична розробка з алгебри (11 клас) на тему: Первісна у завданнях ЄДІ з математики

Привіт, друзі! У цій статті розглянемо завдання на першорядну. Ці завдання входять до ЄДІ з математики. Незважаючи на те, що самі розділи - диференціювання та інтегрування досить ємні в курсі алгебри і вимагають відповідального підходу до розуміння, але самі завдання, які входять до відкритого банку завдань з математики і будуть на ЄДІ надзвичайно прості та вирішуються в одну-дві дії.

Важливо зрозуміти саме суть первісної і, зокрема, геометричний зміст інтеграла. Розглянемо коротко теоретичні засади.

Геометричний зміст інтегралу

Стисло про інтеграл можна сказати так: інтеграл – це площа.

Визначення: Нехай на координатній площині подано графік позитивної функції f, заданої на відрізку . Підграфіком (або криволінійною трапецією) називається фігура, обмежена графіком функції f, прямими х = а і х = b і віссю абсцис.

Визначення: Нехай дано позитивну функцію f, визначену на кінцевому відрізку . Інтегралом від функції f на відрізку називається площа її підграфіку.

Як сказано F′(x) = f(x).Який можемо зробити висновок?

Він простий. Нам потрібно визначити скільки є точок на даному графіку, в яких F′(x) = 0. Ми знаємо, що в тих точках, де дотична до графіка функції паралельна осі ох. Покажемо ці точки на інтервалі [-2; 4]:

Це точки екстремуму цієї функції F(x). Їх десять.

Відповідь: 10

323078. На малюнку зображено графік деякої функції y = f (x) (два промені із загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть F(8) – F(2), де F(x) – одна з первісних функцій f(x).

Ще раз запишемо теорему Ньютона-Лейбніца:Нехай f дана функція, F її довільна первісна. Тоді

А це, як уже сказано, є площа підграфіка функції.

Таким чином, завдання зводиться до знаходження площі трапеції (інтервал від 2 до 8):

Її не складно обчислити за клітинами. Отримуємо 7. Знак позитивний, тому що фігура розташована вище за осі ох (або в позитивній півплощині осі оу).

Ще в даному випадку можна було сказати так: різницю значень первісних у точках є площа фігури.

Відповідь: 7

323079. На малюнку зображено графік деякої функції y = f(x). Функція F (x) = x 3 +30x 2 +302x-1,875 - одна з первісних функцій y = f (x). Знайдіть площу зафарбованої фігури.

Як сказано про геометричному сенсі інтеграла це площа фігури обмеженої графіком функції f (x), прямими х = а і х = b і віссю ox.

Теорема (Ньютона-Лейбніца):

Таким чином, завдання зводиться до обчислення певного інтеграла цієї функції на інтервалі від –11 до –9, або іншими словами нам необхідно знайти різницю значень первісних обчислених у зазначених точках:

Відповідь: 6

323080. На малюнку зображено графік деякої функції y = f(x).

Функція F (x) = -x 3 -27x 2 -240x - 8 - одна з первісних функцій f (x). Знайдіть площу зафарбованої фігури.

Теорема (Ньютона-Лейбніца):

Завдання зводиться до обчислення певного інтеграла цієї функції на інтервалі від –10 до –8:

Відповідь: 4 можете подивитись .

Похідні та правила диференціювання ще є в. Знати їх потрібно обов'язково, не лише для вирішення таких завдань.

Також можете переглянути довідкову інформацію на сайті та .

Подивіться невеликий ролик, це уривок із фільму «Невидима сторона». Можна сказати, що це фільм про навчання, милосердя, про важливість нібито «випадкових» зустрічей у нашому житті... Але цих слів буде недостатньо, рекомендую подивитися сам фільм, дуже рекомендую.

Успіхів вам!

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(9)-F(5), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(9)-F(5), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=9 та x=5. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 4 і 3 та висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Відповідь

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=F(x) — однієї з першорядних певної функції f(x) , визначеної на інтервалі (-5; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку [-3; 4].

Рішення

Відповідно до визначення первісної виконується рівність: F"(x)=f(x). Тому рівняння f(x)=0 можна записати як F"(x)=0. Оскільки малюнку зображено графік функції y=F(x), треба знайти ті точки проміжку [-3; 4], у яких похідна функції F(x) дорівнює нулю. З малюнка видно, що це будуть абсциси екстремальних точок (максимум або мінімум) графіка F(x). Їх на зазначеному проміжку рівно 7 (чотири точки мінімуму та три точки максимуму).

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(5)-F(0), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(5)-F(0), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=5 та x=0. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 5 та 3 і висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=F(x) — однієї з першорядних певної функції f(x), визначеної на інтервалі (-5; 4). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку (-3; 3].

Рішення

Відповідно до визначення первісної виконується рівність: F"(x)=f(x). Тому рівняння f(x)=0 можна записати як F"(x)=0. Оскільки малюнку зображено графік функції y=F(x), треба знайти ті точки проміжку [-3; 3], у яких похідна функції F(x) дорівнює нулю.

З малюнка видно, що це будуть абсциси екстремальних точок (максимум або мінімум) графіка F(x). Їх на зазначеному проміжку рівно 5 (дві точки мінімуму та три точки максимуму).

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік деякої функції y = f (x). Функція F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна з першорядних функцій f(x).

Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Рішення

Заштрихована фігура є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком функції y=f(x), прямими y=0, x=1 та x=3. За формулою Ньютона-Лейбніца її площа S дорівнює різниці F(3)-F(1), де F(x) — вказана в умові первісна функція f(x). Тому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Первісна функції

Умова

На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна з першорядних функцій f(x). Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Файл до заняття 23

Знаходження найбільшого та найменшого значенняфункції на відрізку

Завдання 1.Знайдіть найбільше значення функції y=x 5 +20x 3 −65x на відрізку [− 4; 0]. Відповідь: 44

Завдання 2.Знайдіть найбільше значення функції y = на відрізку [−38; -3]. Відповідь: -54
Завдання 3.Знайдіть найменше значення функції y = на відрізку.
Відповідь: -6

Додатково.Знайдіть найменше значення функціїy = e 2 x − 2 e x + 8на відрізку [−   2 ;   1 ] . Відповідь: 7

Завдання 4.Знайдіть найбільше значення функції y=15x−3sinx+5 на відрізку [− π/2; 0]. Відповідь: 5

Додатково.Знайдіть найбільше значення функції y=59x−56sinx+42 на відрізку [− π/2; 0]. Відповідь: 42

Завдання 5. Знайдіть найменше значення функції y=13cosx+17x+21 на відрізку . Відповідь: 34

Завдання 6. Знайдіть найбільше значення функції y=25x−25tgx+41 на відрізку . Відповідь: 41

Завдання 7.Знайдіть найменше значення функції y = 3x -ln (x +3) 3 на відрізку [−2,5; 0]. Відповідь: -6
Додатково.Знайдіть точку мінімуму функції y = 2x -ln (x +8) 2 . Відповідь: -7

Завдання 8.Знайдіть точку мінімуму функції y = (1-2x) cosx + 2sinx +7 на відрізку Відповідь: 0,5

Додатково. Знайдіть точку максимуму функції y=(x+5) 2 ⋅e 2 − x .

Первісна.

ПервоподібноюфункцієюF(x)для функціїf(x)називається функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.F " ( x )= f ( x ).

Будь-яка безперервна на деякій множині функція має на цій множині первісну.

приклад.Функція F (x )= x 3 є первісної функції f (x )= 3x 2 так як (x 3 )"= 3x 2 . Функції F 1 (x )= x 3 + 5 і F 2 (x )= x 3 - 7 також є первісними функціями f (x ). Будь-яка функція виду F (x )= x 3 +с, де з– довільне число, є первісною функцією f (x ).

Кожна функція може мати нескінченно багато первісних, які відрізняються на постійний доданок.

Завдання 9.На малюнку зображено графік y=F(x) однією з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (−7; 8). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку . Відповідь:1

Завдання 10.На малюнку зображено графік функції y = F (x) - однієї з першорядних деякої функції f (x), визначеної на інтервалі (-2; 4). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння f(x) = 0 на відрізку [−1; 3]. Відповідь: 6

Додатково.

1 . На малюнку зображено графік y=F(x) однією з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (−7; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку [− 5; 2]. Відповідь: 3

2 . На малюнку зображено графік функції y = F (x ) та однієї з першорядних деякої функції f (x ), визначеної на інтервалі (-2; 4). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння f(x) = 0на відрізку [−1; 3]. Відповідь: 7.

Завдання 11. На малюнку зображено графік y=F(x) однією з першорідних деякої функції f(x) і відзначено вісім точок на осі абсцис: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 . У скільки з цих точок функція f(x) негативна?

Рішення:Т.к f(x)= F`(x), то функція f(x) негативна, якщоF(x) зменшується і функціяf(x) позитивна, якщоF(x) Зростає. По малюнку визначимо, скільки точок потрапили на проміжок зменшенняF(x). Це точки х1, х4, х8.

Отже, таких точок 3. Відповідь: 3

Завдання 12.На малюнку зображено графік y=F(x) однієї з першорідних деякої функції f(x) і відзначено десять точок на осі абсцис: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 , х 9 , х 10 . У скільки з цих точок функція f(x) позитивна? Відповідь:6

Криволінійна трапеція

Нехай на відрізку [а; в] задана безперервна функція, яка не змінює на ньому знака. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком [а; в] та прямими х=а та х=b називаютькриволінійною трапецією .

Якщо функція безперервна і невід'ємнавідрізку[а; в], аF - її первісна на цьому відрізку, то площаS відповідної криволінійної трапеції дорівнює прирощенню первісної на цьому відрізку[а; в].

S = F ( b )- F ( a )

Завдання 13.На малюнку зображено графік деякої функції y = f (x ) (два промені із загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть F(8) − F(2), де F(x) - одна з первісних функцій f(x). Відповідь:7

Рішення:Різниця значень первісної в точках 8 і 2 дорівнює площі виділеної на малюнку трапеції ABCD. Тому

S = F (b) - F (a) = Відповідь: 7.

Завдання 14.На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x) (два промені із загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть F(− 1)−F(− 8), де F(x) - одна з первісних функцій f(x). Відповідь: 20

Кожна функція може мати нескінченно багато первісних, які відрізняються на постійний доданок. Сукупність всіх первісних даної безперервної функції називається невизначеним інтегралом від цієї функції та позначається.

ЯкщоF(x)- деяка первісна дана функція, то =F(x) + C,деC- Довільна постійна.

Процес знаходження невизначеного інтеграла називається інтегруванням цієї функції, або взяттям інтеграла від цієї функції.

ПлощаS криволінійної трапеції дорівнює прирощенню первісної на відрізку[а; в].

S=F(b)-F(a)=

Завдання 15.На малюнку зображено графік функції y = f(x). Функція F (x) = x 3 +30x 2 +302x - одна з первісних функцій y = f(x). Знайдіть площу зафарбованої фігури. Відповідь: 6

Завдання 16. На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 - одна з первісних функцій f(x). Знайдіть площу зафарбованої фігури. Відповідь: 592

Завдання 17.На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=− x 3 −92x 2 −6x+2 - одна з первісних функцій f(x). Знайдіть площу зафарбованої фігури. Відповідь: 263

Муніципальний автономний загальноосвітній заклад

«Середня загальноосвітня школа №56 з поглибленим вивченням математики» міста Магнітогорська

Методична розробка уроку

з математики

Первісні та певний інтеграл на ЄДІ. Огляд завдань ЄДІ на тему «Первоподібна»)

для учнів 11 класу

(Узагальнюючий урок)

Філімонова Тетяна Михайлівна

Магнітогорськ 2018

Анотація

Заняття призначене для учнів 11 класу. Тема уроку «Перетворна та певний інтеграл на ЄДІ.Огляд завдань ЄДІ на тему "Первообразна". Етап навчання з цієї теми - завершальний. Мотивація вивчення даної теми забезпечується за рахунок застосування ІКТ, використання різних видів завдань, залучення завдань ФІПІ та завдань сайту Вирішу ЄДІ. Пріоритетна мета на уроці застосування здобутих знань, відпрацювання умінь, вирішення завдань з ЄДІ.

Пояснювальна записка

Методична розробка є розробкою конкретного уроку з математики з використанням засобів ІКТ. Актуальність розробки полягає в тому, що учні вирішують завдання знаходження площі фігури різними методами. Різні способи вирішення одного завдання, наочність, історичні відомості та наявність міжпредметних зв'язків сприяють розвитку пізнавального інтересу до математики, усвідомлення значення математики у повсякденному житті людини.

У процесі виконання тесту учні повторюють теоретичні відомості про первинну та інтеграл, що допоможе їм систематизувати теорію з цієї теми, підготуватися до майбутнього іспиту.

Конспект уроку

Тип уроку: узагальнюючий урок.

Цілі:

Освітні:

Формування навчально-пізнавальної та інформаційної компетенцій за допомогою узагальнення, систематизації знань на тему «Первісна.Інтеграл».

Розвиваючі:

Формування інформаційної, загальнокультурної компетенцій через розвиток пізнавальної активності, інтересу до предмета, творчих здібностей учнів, розширення світогляду, розвиток математичної мови.

Виховні:

Формування комунікативної компетенції та компетенції особистісного самовдосконалення, через роботу над комунікативними навичками, вмінням працювати у співпраці, над вихованням таких особистісних якостей, як організованість, дисциплінованість.

Обладнання:ПК, проектор, екран.

Хід уроку

I. Організаційний момент:

Здрастуйте, хлопці! Я рада вітати вас на уроці.Цялина нашого уроку - узагальнити, систематизувати знання на тему «Первообразна. Інтеграл», підготуватися до майбутнього ЄДІ.

II . Перевірка домашнього завдання:

Знайти площу фігури, обмеженою лініямиy= x2 , у=. Рішення підготовлено на слайді.

На дошці заздалегідь підготовлено завдання виведення формули обсягу кулі.

2 особи по черзі виходять до дошки коротко пояснюють рішення, яке

Решта у цей час перевіряють.

I II . Розминка.

Кожному учневі лунає тест.

Заповнені випробування зібрати.

Розбір завдань проводиться фронтально за виведеними завданнями на екрані.

I V . Математична естафета.

Тепер у дорогу! Підйом до «Піку знань» буде нелегким, можуть бути і завали, і обвали, і замети. Але є й привали, де на вас чекають не лише завдання. Щоб просунутися наперед, треба показати знання.

Учні на кожну парту одержують аркуші із завданнями на тему «Первообразна».

1. Значення первісноїF( x) функціїf( x)=11 x+5 у точці 0 дорівнює 6. ЗнайдітьF(-3).

2. Значення первісноїF( x) функціїf( x)=8 cosxу точці -π дорівнює 13. ЗнайдітьF( π /6).

3. Значення первісної функціїF( x) функціїf( x)=6 у точці 0 дорівнює -18. ЗнайдітьF(ln3).

4. На малюнку зображено графік первісноїy= F( x) функціїf( x) і вісім точок на осі абсцис: , , …, . У скільки з цих точок функціяf( x) Позитивна?

5. На малюнку зображено графік первісної у=F( x) функціїf( x) і вісім точок на осі абсцис: , , , …,. У скільки з цих точок функціяf(x)негативна?

V . Привал.

«Щаслива випадковість випадає лише частку підготовлених умів» (Луї Пастер).

Зачитуються відомості з інтегрального обчислення. Демонструються газети, підготовлені учнями з історії інтегрального числення. Газети присвячені Ньютону та Лейбніцу.

VI. Найважче сходження.

Наступне завдання передбачається виконувати у письмовій формі, тому учні працюють у зошитах.

Завдання. Скільки способами можна знайти площу фігури, обмеженою лініями (слайд)

Хто має пропозиції? (фігура складається з двох криволінійних трапецій та прямокутника) (вибирайте спосіб розв'язання, слайд)

Після обговорення цієї проблеми на слайді з'являється запис

1 спосіб: S = S1 +S2 +S

2 спосіб: S = S1 +SABCD-SOCD

Двоє учнів вирішують біля дошки з наступним поясненням рішення, інші учні працюють у зошитах, обравши одне із способів решения.

Висновок (Роблять учні): ми знайшли два способи вирішення цього завдання, отримавши один і той же результат. Обговорити якийсь спосіб простіше.

Всі дуже втомилися, але чим ближче до мети, тим завдання стають дедалі легшими.

VШ. Підсумок уроку (слайди)

«Мислення починається з подиву», - зауважив 2500 років тому Аристотель. Наш співвітчизник Сухомлинський вважав, що «почуття здивування – могутнє джерело бажання знати; від подиву до знань – один крок». А математика – чудовий предмет для подиву.

Інтеграли використовуються при:

вирішення завдань з галузі фізики;

рішенні економічних завдань (на оптимізацію роботи фірми в умовах конкуренції, розрахунок про прибутковість споживчого кредиту);

рішенні соціально - демографічних завдань (математична модель населення Землі та інших.).

IX . Домашнє завдання. (Слайд)

Завдання складене вчителем на сайті «Вирішу ЄДІ».

X . Виставлення відміток.

Список літератури

Віленкін Н.Я. та ін. Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. В. Ч.2. (Профільний рівень). – К.: Мнемозіна, 2009. – 264 с.

Александрова Л.А. Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. Самостійні роботи. – К.: Мнемозіна, 2009. – 100 с.

3. Шипова Т.А. Алгебра та початки аналізу: Похідна. Визначений інтеграл. Тести. – М.: Школа-Прес, 1996. – 64 с.

4. Сайт metaschool.ru розроблення уроків.

5. Сайт Вирішу ЄДІ, каталог завдань, первісна.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Первісна у ЄДІ з математики завдання №7 10-11 клас Курганська Л.В. МОБУ «ЗОШ №4», м. Пойківський Нафтеюганський район

1. На малюнку зображено графік деякої функції (два промені із загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть, де - одна з першорядних функцій

2. На малюнку зображено графік деякої функції (два промені із загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть, де - одна з першорядних функцій

3. На малюнку зображено графік деякої функції. Функція - одна з першорядних функцій. Знайдіть площу зафарбованої фігури.

4. На малюнку зображено графік деякої функції. Функція - одна з першорядних функцій. Знайдіть площу зафарбованої фігури.

5. На малюнку зображено графік функції y = F(x) - однієї з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (−3;5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку [−2;4].

6. На малюнку зображено графік функції y = F(x) - однієї з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (−3;5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку [−2;5].

7.Функція f(x) визначена за всіх дійсних х. На малюнку зображено графік її похідної. Знайдіть значення виразу f(3) - f(6) .

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Про оформлення розв'язків задач ЄДІ з математики групи С.

У статті докладно роз'яснюються правила оформлення завдань групи С Єдиного Державного Іспиту з математики.

Розв'язання задач ЄДІ з математики

Цей відкритий урок було проведено у рамках Ювілею нашої школи. Завдання ЄДІ до уроку готували самі учні, причому дані завдання мали бути пов'язані з ювілеєм рідної школи, з самим м. Середньоколи...

Завдання з відкритого банку завдань ЄДІ з математики (з відповідями)

Даний матеріал зручно використовувати вчителям та учням 10-11 класів для підготовки до ЄДІ з математики.

Авторський посібник "ПРАКТИКО-ОРІЄНТУВАНІ ЗАВДАННЯ У ЗАВДАННЯХ ЄДІ З МАТЕМАТИКИ". Видавництво БДУ м.Улан-Уде

Починаючи з 2015 року, у завданнях ЄДІ з математики профільного рівня постало нове практико-орієнтоване завдання №17, так зване «банківське» завдання. У цих завданнях у...