Послідовність натуральних. Числа

1 Визначення

2 Приклади

3 Операції над послідовностями

4 Підпослідовності

• 4.1 Приклади

  4.2 Властивості

5 Гранична точка послідовності

6 Межа послідовності

7 Деякі види послідовностей

• 7.1 Обмежені та необмежені послідовності

  • 7.1.1 Критерій обмеженості числової послідовності

    7.1.2 Властивості обмежених послідовностей

7.2 Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності

• 7.2.1 Властивості нескінченно малих послідовностей

7.3 Сходні та розбіжні послідовності

• 7.3.1 Властивості послідовностей, що сходяться

7.4 Монотонні послідовності

7.5 Фундаментальні послідовності

Числова послідовність- це послідовністьелементів числового простору.

Числові послідовності є одним з основних об'єктів розгляду математичний аналіз.

Визначення

Нехай безліч X- це чи безліч речових чисел, чи безліч комплексних чисел. Тоді послідовність елементів множини Xназивається числовою послідовністю.

Приклади

Операції над послідовностями

на безлічівсіх послідовностей елементів множини Xможна визначити арифметичніта інші операціїякщо такі визначені на безлічі X. Такі операції зазвичай визначають природним чином, тобто поелементно.

Наприклад, так визначаються арифметичні операції для числових послідовностей.

Сумою x n) та ( y nz n) така, що z n = x n + y n .

Різниця числових послідовностей ( x n) та ( y n) називається числова послідовність ( z n) така, що z n = x n − y n .

Твором числових послідовностей x nі y nназивається числова послідовність ( z n) така, що .

Приватним числової послідовності x nта числової послідовності y n, всі елементи якої відмінні від нуля, називається числова послідовність . Якщо у послідовності y nна позиції все ж таки є нульовий елемент, то результат поділу на таку послідовність все одно може бути визначений, як послідовність .

Звичайно, арифметичні операції можуть бути визначені не тільки на множині числових послідовностей, але і на будь-яких множинах послідовностей елементів множин, на яких визначені арифметичні операції, будь то поляабо навіть кільця.

Підпослідовності

Підпослідовність послідовності ( x n) - це послідовність , де ( k n) - Зростаюча послідовність елементів множини натуральних чисел.

Іншими словами, підпослідовність виходить із послідовності видаленням кінцевого чи лічильного числа елементів.

Приклади

Послідовність простих чиселє підпослідовністю послідовності натуральних чисел.

Послідовність натуральних чисел, кратних 12 , є підпослідовністю послідовності парнихнатуральних чисел.

Властивості

Будь-яка послідовність є своєю підпослідовністю.

Підпослідовність послідовності, що сходить, сходиться до того ж межі, що і вихідна послідовність.

Якщо всі підпослідовності деякої вихідної послідовності сходяться, їх межі рівні.

Будь-яка підпослідовність нескінченно великої послідовності також є нескінченно великою.

З будь-якої необмежену числову послідовність можна виділити нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.

З будь-якої числової послідовності можна виділити або послідовність, що сходить, або нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.

Гранична точка послідовності

Основна стаття: Гранична точка

Гранична точка послідовності - це точка, у будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності. Для схожих числових послідовностей гранична точка збігається з межею.

Межа послідовності

Основна стаття: Межа послідовності

Межа послідовності - це об'єкт, якого члени послідовності наближаються зі зростанням номера. Так у довільному топологічному просторімежею послідовності називається елемент, у будь-якій околиціякого лежать усі члени послідовності, починаючи з деякого. Зокрема для числових послідовностей межа - це число, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності починаючи з деякого.

Часткова межа послідовності - це межа однієї з її підпослідовностей. У схожих числових послідовностей він завжди збігається зі звичайною межею.

Верхня межа послідовності - Це найбільша гранична точка цієї послідовності.

Нижня межа послідовності - Це найменша гранична точка цієї послідовності.

Деякі види послідовностей

Стаціонарна послідовність - це послідовність, усі члени якої, починаючи з деякого, рівні.

(x n) стаціонарна

Обмежені та необмежені послідовності

У припущенні про лінійної впорядкованостібезлічі Xелементів послідовності можна запровадити поняття обмежених і необмежених послідовністю.

Обмежена зверху послідовність Xвсі члени якої не перевищують деякого елемента з цієї множини. Цей елемент називається верхньою гранню даної послідовності.

(x n) обмежена зверху

Обмежена знизу послідовність - це послідовність елементів множини X, для якої в цій множині знайдеться елемент, що не перевищує всіх її членів. Цей елемент називається нижньою гранню даної послідовності.

(x n) обмежена знизу

Обмежена послідовність (обмежена з обох сторін послідовність ) - це послідовність, обмежена і згори, і знизу.

(x n) обмежена

Необмежена послідовність - це послідовність, яка є обмеженою.

(x n) необмежена

Критерій обмеженості числової послідовності

Числова послідовність є обмеженою тоді і лише тоді, коли існує таке число, що модулівсіх членів послідовності не перевищують його.

(x n) обмежена

Властивості обмежених послідовностей

Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності

Нескінченна мала послідовність - це послідовність, межаякої дорівнює нулю.

Нескінченно велика послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює нескінченності.

Властивості нескінченно малих послідовностей

Нескінченно малі послідовності відрізняються цілим рядом чудових властивостей, які активно використовуються в математичний аналіз, а також у суміжних з ним та більш загальних дисциплінах.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо ( x n) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, то існує послідовність (1 / x n), яка є нескінченно малою. Якщо ж ( x n) все ж таки містить нульові елементи, то послідовність (1 / x n n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (α n) - нескінченно мала послідовність, що не містить нульових членів, то існує послідовність (1/α n), яка є нескінченно великою. Якщо ж (α n) все ж таки містить нульові елементи, то послідовність (1 / α n) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, І все одно буде нескінченно великий.

Сходні та розбіжні послідовності

Сходова послідовність - це послідовність елементів множини X, що має межау цій множині.

Розбіжна послідовність - це послідовність, яка не є схожою.

Властивості послідовностей, що сходяться

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність елементів, що сходяться хаусдорфового просторумає лише одну межу.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Послідовність сходиться тоді і лише тоді, коли вона є обмеженою і при цьому її верхня та нижня межізбігаються.

Якщо послідовність ( x n) сходиться, але не є нескінченно малою, то, починаючи з деякого номера, визначено послідовність (1 / x n), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.

Якщо всі елементи деякої послідовності, починаючи з деякого номера, лежать на відрізку між відповідними елементами двох інших, що сходяться до однієї і тієї ж межі послідовностей, то ця послідовність також сходить до такої ж межі.

Будь-яку послідовність ( x n) можна уявити у вигляді ( x n) = (a + α n), де a- межа послідовності ( x n), а α n- Деяка нескінченно мала послідовність.

Будь-яка послідовність, що сходить фундаментальної. При цьому фундаментальна числова послідовність завжди сходиться (як будь-яка фундаментальна послідовність елементів повного простору).

Монотонні послідовності

Основна стаття:

Монотонна послідовність - це незростаюча, або незнижена послідовність. При цьому передбачається, що на множині, з якої беруться елементи послідовності, введено відношення порядку.

Фундаментальні послідовності

Основна стаття:

Фундаментальна послідовність (послідовність, що сходить у собі , послідовність Коші ) - це послідовність елементів метричного простору, в якій для будь-якого наперед заданої відстані знайдеться такий елемент, відстань від якого до будь-якого з наступних елементів не перевищує заданого. Для числових послідовностей поняття фундаментальної і послідовностей, що сходяться, еквівалентні, проте в загальному випадку це не так.

Послідовність Числовий ряд Математика

Сходящих рядів Числовийряд - нескінченна послідовністьчисел сполучена знаком... потік подій Потік подій- послідовністьподій які наступають у випадкові... -ва: 1. F(x) визначена на всій числовийпрямий R; 2.F(x) не зменшується, тобто. ...

Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують у повсякденному житті для підрахунку предметів, тобто. для обчислення їх кількості та порядку.

Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів чи вказівки порядкового номера будь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.

Натуральні числа- Це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чином.Наприклад, 1,2,3,4,5... -перші натуральні числа.

Найменше натуральне число- один. Найбільшого натурального числа немає. При рахунку число нуль не використовують, тому нуль натуральне число.

Натуральний ряд чисел- Це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

У натуральному ряду кожне число більше за попереднє на одиницю.

Скільки чисел у натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа немає.

Десяткової тому що 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної так як значення цифри залежить від місця у числі, тобто. від розряду, де її записано.

Класи натуральних чисел.

Будь-яке натуральне число можна написати за допомогою 10-ти арабських цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для читання натуральних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри справа – це клас одиниць, 3 наступні – це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів татак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.

Порівняння натуральних чисел.

З 2-х натуральних чисел менше число, яке за рахунку називається раніше. Наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше за друге, це записують так:386 > 99 .

Таблиця розрядів та класів чисел.

Натуральне число є кількісною характеристикою однієї незмінної множини, однак, на практиці кількість предметів постійно змінюється, наприклад, поголів'я худоби в деякому господарстві. Понад те, найпростіша, а й найважливіша послідовність відразу виникає у процесі рахунку – це послідовність натуральних чисел: 1, 2, 3, ….

Якщо зміна кількості предметів у певній сукупності зафіксовано у вигляді деякої послідовності натуральних чисел (членів послідовності), тут природним чином виникає ще одна послідовність – послідовність номерів, наприклад

У зв'язку з цим виникає проблема позначення членів послідовності. Позначення кожного члена особливою літерою вкрай незручно з таких причин. По-перше, послідовність може містити дуже велику, або навіть нескінченну кількість членів. По-друге, різні літери приховують той факт, що члени послідовності відносяться до однієї сукупності, хоч і мінливої ​​кількості елементів. Нарешті, у цьому випадку не буде відображено номери членів у послідовності.

Ці причини змушують позначати члени послідовності однією літерою та розрізняти їх за індексом. Наприклад, послідовність, що складається з десяти членів, можна позначити буквою а: а 1 , а 2 , а 3 , …, а 10 . Той факт, що послідовність є нескінченною, виражається трьома крапками, як би необмежено подовжує цю послідовність: а 1 , а 2 , а 3 , … Іноді послідовність починають нумерувати з нуля: а 0 , а 1 , а 2 , а 3 , …

Деякі послідовності можуть сприйматися як випадкові набори чисел, оскільки не відомий або взагалі відсутній закон формування членів послідовності. Проте особливу увагу привертають послідовності, котрим такий закон відомий.

Для вказівки закону формування членів послідовності найчастіше використовуються два способи. Перший полягає в наступному. Задається перший член, а потім вказується спосіб, згідно з яким за допомогою останнього вже відомого члена виходить наступний. Для запису закону використовується член послідовності з невизначеним номером, наприклад, а kі наступний за ним член а k +1, після чого записується формула, що їх зв'язує.

Найбільш відомими і важливими прикладами можуть бути арифметична і геометрична прогресії. Арифметична прогресія визначається формулою а k +1 = а k + r(або а k +1 = а k - r). Члени арифметичної прогресії або поступово ростуть (драбинкою), або поступово зменшуються (теж драбинкою). Величина rназивається різницею прогресії, оскільки а k +1 – а k = r. Прикладами арифметичних прогресій із натуральними членами є

а) натуральні числа ( а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 1);

б) нескінченна послідовність 1, 3, 5, 7, … ( а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 2);

в) кінцева послідовність 15, 12, 9, 6, 3 ( а 1 = 15 ;а k +1 = а k–3 ).

Геометрична прогресія визначається формулою b k +1 = b k ∙q. Величина qназивається знаменником геометричної прогресії, оскільки b k +1: b k = q. Геометричні прогресії з натуральними членами та знаменником, що перевершує одиницю, ростуть і ростуть швидко, навіть лавиноподібно. Прикладами геометричних прогресій із натуральними членами є

а) нескінченна послідовність 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

б) нескінченна послідовність 3, 12, 48, 192, 768, ... ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Другий спосіб вказівки закону визначення членів послідовності полягає у вказівці формули, що дозволяє обчислити член послідовності з невизначеним номером (загальний член), наприклад, а k, за допомогою номера k.

Члени арифметичної та геометричної прогресій можна обчислювати і цим способом. Оскільки арифметична прогресія визначається формулою а k +1 = а k + rлегко зрозуміти, як виражається член а kза допомогою номера k:

а 1- Визначено довільно;

а 2 = а 1 + r= а 1 + 1∙r;

а 3 = а 2 + r = а 1 + r + r = а 1 + 2∙r;

а 4 = а 3 + r = а 1 + 2∙r + r = а 1 + 3∙r;

…………………………………

а k = а 1 + (k–1)∙r– підсумкова формула.

Для геометричної прогресії аналогічним способом виводиться формула загального члена: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Крім арифметичної та геометричної прогресій у такий же спосіб можна визначити інші послідовності, що мають особливий характер зміни. Як приклад наведемо послідовність квадратів натуральних чисел: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Існують складніші способи утворення послідовностей, наприклад, одна будується за допомогою іншої. Особливе значення для арифметики має геометрична прогресія, яка визначається параметрами b 1 = 1, q= 10, тобто послідовність ступенів десятки: 1 = 10 0 , 10 = 10 1 , 10 2 , 10 3 , …, 10 k , … Вона використовується для представлення натуральних чисел у позиційній системі числення. При цьому для кожного натурального числа nвиникає послідовність, що складається з цифр, за допомогою яких записується це число: а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0. Цифра а kвказує скільки доданків типу 10 kмістить число n.

Поняття послідовності підводить до найважливішим для математики понять величини та функції. Величина - це числова характеристика якогось предмета або явища, що змінюється. Її зміна сприймається як послідовність чисел. Існування залежності між самими членами та його номерами, і навіть її вираження з допомогою формул впритул підводить до поняття функції.

Найважливішим математичним відкриттям, яке використовується практично кожним членом розвиненого суспільства, є позиційна система числення. Вона дозволила вирішити основну проблему рахунку, що полягає у вмінні називати дедалі нові числа, використовуючи позначення (цифри) лише кількох перших чисел.

Позиційна система числення зазвичай пов'язана з числом десять, але на тих самих принципах можна побудувати й інші системи, наприклад, двійкову. При побудові десяткової позиційної системи числення вводяться десять арабських цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. З допомогою може бути записано число, що виражає кількість предметів будь-якого кінцевого множини. Для цього використовується спеціальний алгоритм, тобто чітко визначена послідовність елементарних дій.

Перераховані предмети об'єднуються у групи з десять, що відповідає поділу на десять із залишком. У результаті утворюються дві множини – одиниць та десятків. Десятки знову групуються по десять за сотні. Зрозуміло, що число десятків (позначимо його через а 1) обов'язково менше десяти, і, отже, а 1можна позначити цифрою. Далі сотні групуються в тисячі, тисячі - в десятки тисяч і т. Д. Поки всі предмети не будуть згруповані. Побудова числа завершується тим, що ліворуч записуються отримані цифри від великих індексів до менших. Цифрі а kвідповідають кількість груп предметів по 10 k. Підсумковий запис числа складається з кінцевої послідовності цифр а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0. Відповідне число дорівнює виразу

а n · 10 n + а n – 1 · 10 n – 1 + … + а 2 · 10 2 + а 1 · 10 1 + а 0 · 10 0.

Слово «позиційна» у назві системи числення пов'язане з тим, що цифра змінює свій зміст залежно від своєї позиції запису числа. Остання цифра визначає кількість одиниць, передостання – число десятків тощо.

Зазначимо, що алгоритм для отримання запису чисел у системі числення з будь-якою основою N: полягає у послідовному угрупуванні предметів по Nштук. При записі числа потрібно використовувати Nцифр.

Вида y= f(x), xПро N, де N- множина натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливими є три: аналітичний, описовий і рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:

y n=f(n).

приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий Метод завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, йдеться про стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….

Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману у цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: y n= 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - на ім'я італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекурентно дуже легко, а аналітично – дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних тільки натуральних чисел, міститься квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність – окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.

Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.

Отже, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Згідно з характерною властивістю, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають, відповідно, значення -14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, її різниця дорівнює –17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне й те число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - Зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q

Одне з очевидних властивостей геометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

b n= b 1 q n– 1 .

Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

нехай S n –сума її членів, тобто.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетворення виразу S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,

Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.

При q= 1 формулу можна виводити окремо, очевидно, що у разі S n= a 1 n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів. Справді, оскільки

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

числова послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричне чисел aі bє число

В іншому випадку послідовність називається розбіжною.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале позитивне число. Розглядається різниця

Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що й потрібно було довести.

Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Найпоширеніші послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.

Теорема 5. Якщо послідовності ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.

Ганна Чугайнова

Розглянемо ряд натуральних чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Якщо замінити кожне натуральне число nу цьому ряду деяким числом a n, слідуючи деякому закону, то отримаємо новий ряд чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

коротко позначений і званий числовою послідовністю. Величина a nназивається загальним членом числової послідовності. Зазвичай числова послідовність задається деякою формулою a n = f(n) що дозволяє знайти будь-який член послідовності за його номером n; ця формула називається формулою загального члена. Зауважимо, що задати числову послідовність формулою загального члена який завжди можливо; іноді послідовність задається шляхом опису її членів.

За визначенням, послідовність завжди містить безліч елементів: будь-які два різних її елементи відрізняються, принаймні, своїми номерами, яких нескінченно багато.

Числова послідовність є окремим випадком функції. Послідовність є функцією, визначеною на безлічі натуральних чисел і значення, що приймає, в безлічі дійсних чисел, тобто функцією виду f : N  R.

Послідовність
називається зростаючою(спадаючою), якщо для будь-кого n  N
Такі послідовності називаються суворо монотонними.

Іноді як номери зручно використовувати не всі натуральні числа, а лише деякі з них (наприклад, натуральні числа, починаючи з деякого натурального числа n 0). Для нумерації також можливе використання не тільки натуральних, а й інших чисел, наприклад, n= 0, 1, 2,  (тут як ще один номер до безлічі натуральних чисел доданий нуль). У таких випадках, задаючи послідовність, вказують, які значення набувають номери n.

Якщо у певній послідовності для будь-кого n  N
то послідовність називається невпадаючою(незростаючою). Такі послідовності називаються монотонними.

Приклад 1 . Числова послідовність 1, 2, 3, 4, 5, … є рядом натуральних чисел і має спільний член a n = n.

Приклад 2 . Числова послідовність 2, 4, 6, 8, 10 … є рядом парних чисел і має спільний член a n = 2n.

Приклад 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... - Чисельна послідовність наближених значень з точністю, що збільшується.

В останньому прикладі неможливо дати формулу загального члена послідовності.

Приклад 4 . Записати перших 5 членів числової послідовності за її спільним членом
. Для обчислення a 1 потрібно у формулу для загального члена a nзамість nпідставити 1, для обчислення a 2 − 2 і т. д. Тоді маємо:

Тест 6 . Загальним членом послідовності 1, 2, 6, 24, 120,  є:

1)

2)

3)

4)

Тест 7 .
є:

1)

2)

3)

4)

Тест 8 . Загальним членом послідовності
є:

1)

2)

3)

4)

Межа числової послідовності

Розглянемо числову послідовність, загальний член якої наближається до деякого числа Азі збільшенням порядкового номера n. І тут кажуть, що числова послідовність має межу. Це поняття має суворіше визначення.

Число Аназивається межею числової послідовності
:

(1)

якщо для будь-якого  > 0 знайдеться таке число n 0 = n 0 (), що залежить від , що
при n > n 0 .

Це визначення означає, що Ає межа числової послідовності, якщо її загальний член необмежено наближається до Апри зростанні n. Геометрично це означає, що для будь-якого  > 0 можна знайти таке число n 0 , що, починаючи з n > n 0 , всі члени послідовності розташовані всередині інтервалу ( А – , А+ ). Послідовність, що має межу, називається схожій; в іншому випадку - розходиться.

Числова послідовність може мати лише одну межу (кінцеву або нескінченну) певного знака.

Приклад 5 . Гармонійна послідовність має межею число 0. Справді, для будь-якого інтервалу (–; +) як номер N 0 можна взяти якесь ціле число, більше . Тоді для всіх n > n 0 >маємо

Приклад 6 . Послідовність 2, 5, 2, 5,  є розбіжною. Справді, ніякий інтервал довжини, меншої, наприклад, одиниці, може містити всіх членів послідовності, починаючи з деякого номера.

Послідовність називається обмеженоюякщо існує таке число М, що
для всіх n. Будь-яка послідовність обмежена. Будь-яка монотонна та обмежена послідовність має межу. Будь-яка послідовність, що сходить, має єдину межу.

Приклад 7 . Послідовність
є зростаючою та обмеженою. Вона має межу
=е.

Число eназивається числом Ейлераі приблизно дорівнює 2718 28.

Тест 9 . Послідовність 1, 4, 9, 16,  є:

1) сходиться;

2) розбіжності;

3) обмеженою;

Тест 10 . Послідовність
є:

1) сходиться;

2) розбіжності;

3) обмеженою;

4) арифметичною прогресією;

5) геометричною прогресією.

Тест 11 . Послідовність не є:

1) сходиться;

2) розбіжності;

3) обмеженою;

4) гармонійною.

Тест 12 . Межа послідовності, заданої спільним членом
дорівнює.