Послідовність визначення та основні характеристики. Числова послідовність
Вступ………………………………………………………………………………3
1.Теоретична частина……………………………………………………………….4
Основні поняття та терміни…………………………………………………....4
1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6
1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6
1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6
1.1.3.Безкінечно великі і нескінченно малі послідовності…….7
1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8
1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його свойства..…9
1.2 Межа послідовності………………………………………………….11
1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15
1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17
1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17
1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19
1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19
1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21
1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22
1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23
2. Власні дослідження…………………………………………………….28
Заключение……………………………………………………………………….30
Список використаної литературы…………………………………………....31
Вступ.
Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається в завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, завдання математичних олімпіад, вступних іспитів у Вищі Навчальні Заклади та на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностей з іншими галузями знань.
Мета дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність.
1. Розглянути послідовність;
2. Розглянути її властивості;
3. Розглянути аналітичне завдання послідовності;
4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань.
5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи.
1. Теоретична частина.
Основні поняття та терміни.
Визначення. Числова послідовність – функція виду y = f(x), x N, де N – безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності.
Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε.
Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть
.Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.
Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.
Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d називають арифметичною прогресією, а число d - різницею арифметичної прогресії.
Таким чином, арифметична прогресія – це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями
a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q.
Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями
b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...).
1.1 Види послідовностей.
1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності.
Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M;
Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М;
Наприклад:
1.1.2 Монотонність послідовностей.
Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);
Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі. Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими. Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні. 1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності. Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля. Послідовність an називається нескінченно малою, якщо Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0. Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0 Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0. Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності. Послідовність an називається нескінченно великою, якщо ℓimn→0 an=∞. Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞. Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей. Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю. Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю. Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність. Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність. Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена. Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю. Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі. Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою. Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий. 1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості. Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині. Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою. Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю. Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності. Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться. Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою. Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться. Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться. Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить. Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться. Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі. Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней. Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої. Нехай X (\displaystyle X)- це чи безліч дійсних чисел R (\displaystyle \mathbb (R) )або безліч комплексних чисел C (\displaystyle \mathbb (C) ). Тоді послідовність ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))елементів множини X (\displaystyle X)називається числовою послідовністю. Підпослідовність
послідовності (x n) (\displaystyle (x_(n)))- це послідовність (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), де (n k) (\displaystyle (n_(k)))- Зростаюча послідовність елементів множини натуральних чисел. Іншими словами, підпослідовність виходить із послідовності видаленням кінцевого чи лічильного числа елементів. Гранична точка послідовності
- це точка, у будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності. Для схожих числових послідовностей гранична точка збігається з межею. Межа послідовності
- це об'єкт, якого члени послідовності наближаються зі зростанням номера. Так у довільному топологічному просторі межею послідовності називається елемент, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності, починаючи з деякого. Зокрема, для числових послідовностей межа - це число, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності починаючи з деякого. Фундаментальна послідовність
(послідовність, що сходить у собі
, послідовність Коші
) - це послідовність елементів метричного простору, в якій для будь-якого наперед заданої відстані знайдеться такий елемент, відстань від якого до будь-якого з наступних за ним елементів не перевищує заданого. Для числових послідовностей поняття фундаментальної і послідовностей, що сходяться, еквівалентні, проте в загальному випадку це не так. Математика - наука, що будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися. Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей». Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. До того ж вона може бути тільки одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу до магазину, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інший порядок. Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це значення на числової прямий, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так: х 1, х 2, х 3, … х n … Звідси визначення послідовності – функція натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини. Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n… Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються із цифр, причому кожен наступний член ряду, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад: х 1 - перший член послідовності; х 2 - другий член послідовності; х 3 - третій член; х n - енний член. У практичних методах послідовність задається загальною формулою, де є деяка змінна. Наприклад: Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так: Варто не забувати, що при загальному записі послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д. Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це низка чисел, у якому різниця між сусідніми членами стала. Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового ряду d = 4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду» Рішення: а 1 = 15 (за умовою) - перший член прогресії (числового ряду). а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії. а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член. а 4 = 23 + 4 = 27 - четвертий член. Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511. Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n . Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд. 1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися. Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)! Тоді послідовність буде виглядати так: а 2 = 1х2х3 = 6; а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д. Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1 а 3 = - 1/8 тощо. Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток. Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції: Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, отже, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так: Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо: А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять. З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань. Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до більш складної теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі. Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей? ∀ - квантор загальності, що замінює фрази "для всіх", "для всього" і т.п. ∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел. Довга вертикальна паличка, наступна за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо. Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос. Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, хай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції: Якщо підставляти різні значення «ікс» (щоразу збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб: Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків. Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 . Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1. Розділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 . Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски: Виходить наступне вираз: Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не дорівнюватиме 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна. Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи підходить він? Адже всі люди помиляються. Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями. Припустимо, що є певна точка а, її околиця в обидві сторони на числової прямої дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно. Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою? Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε. З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь. Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази: Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу. Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю. За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування певного номера та довести наявність межі послідовності. На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі. Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його в квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що і потрібно було довести. Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання. Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, що послідовність, що складається лише з двох цифр, що циклічно повторюються, не може мати межі. Та ж історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають під час обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Однак слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межу послідовностей знайти допоможе повторно перевіряти своє рішення. Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю». Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (незменшуюча послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність). Але легше розуміти таке на прикладах. Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність. А якщо взяти x n = 1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність. Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу. Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна. Межа послідовності, що сходить, - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися у певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається. Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі. Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, яка не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної). Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться. Межа послідовності, що сходить, у багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль). Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться. Сума, різниця, добуток двох послідовностей, що сходяться - також послідовність, що сходить. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено! Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції. По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж. По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для поділу: межа приватного двох послідовностей дорівнює частці їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо. Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному: Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та посидючості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин. Числовою послідовністю
називається числова функція, визначена на множині натуральних чисел
. Якщо функцію задати на безлічі натуральних чисел Задають послідовність зазвичай або перерахуванням її елементів або вказівкою закону, за яким обчислюється елемент з номером приклад.Послідовність Зазвичай послідовності позначаються так: і т.п., де в дужках вказується її формула приклад.Послідовність Безліч всіх елементів послідовності Нехай З уммойпослідовностей Р азністюцих послідовностей називають послідовність Якщо Творомпослідовностей Якщо Сума, різниця, твір та приватна послідовність приклад.Розглянемо послідовності Якщо викреслити деякі елементи послідовності Послідовність Кажуть що послідовність Число приклад. Покажемо, що Іншими словами Послідовність Щодо нескінченно малих справедливі твердження: Сума двох нескінченно малих є нескінченно малою; Твір нескінченно малої на обмежену величину є нескінченно малою. Теорема
.Для того щоб послідовність Основні властивості послідовностей, що сходяться: Властивості 3. і 4. узагальнюються на випадок будь-якого числа послідовностей, що сходяться. Зазначимо, що при обчисленні межі дробу, чисельник і знаменник якого є лінійними комбінаціями ступенів Послідовність Усі такі послідовності називають монотонними. Теорема
.
Якщо послідовність Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n , то кажуть, що задана числова послідовність x 1 , x 2 , … x n , … Число x 1 називають членом послідовності з номером 1
або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2
або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n. Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули. Завдання послідовності за допомогою формули загального члена послідовності- Це завдання послідовності x 1 , x 2 , … x n , … за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n . приклад 1 . Числова послідовність 1, 4, 9, … n 2 , … задана за допомогою формули загального члена x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули. x 1 , x 2 , … x n , … називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена. Іншими словами, для всіх n x n + 1 >x n Приклад 3 . Послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, … n, … є зростаючою послідовністю. Визначення 2. Числову послідовність x 1 , x 2 , … x n , … називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена. Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність x n + 1 < x n Приклад 4 . Послідовність задана формулою є спадною послідовністю. Приклад 5 . Числова послідовність 1, - 1, 1, - 1, … задана формулою x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, … не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю. Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями. Визначення 4. Числову послідовність x 1 , x 2 , … x n , … називають обмеженою зверху,якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M. Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність Визначення 5. Числову послідовність x 1 , x 2 , … x n , … називають обмеженою знизу,якщо існує таке число m, кожен член цієї послідовності більшечисла m. Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність Визначення 6. Числову послідовність x 1 , x 2 , … x n , … називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу. Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність m< x n < M Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями. Приклад 6 . Числова послідовність 1, 4, 9, … n 2 , … задана формулою x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … , обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху. Приклад 7 . ПослідовністьПриклади
Операції над послідовностями
Підпослідовності
Приклади
Властивості
Межа послідовності
Фундаментальні послідовності
Що таке послідовності і де їхня межа?
Як будується числова послідовність?
Арифметична прогресія як частина послідовностей
Види послідовностей
Визначення межі послідовності
Загальне позначення межі послідовностей
Невизначеність та визначеність межі
Що таке околиця?
Теореми
Доказ послідовностей
А може, його нема?
Монотонна послідовність
Межа схожої та обмеженої послідовності
Межа монотонної послідовності
Різні дії з межами
Властивості величин послідовностей
, то безліч значень функції буде лічильним і кожному номеру 
ставиться у відповідність число 
. У цьому випадку кажуть, що задано числова послідовність. Число називають елементамиабо членами послідовності, а число 
- загальним або 
-М Членом послідовності. Кожен елемент 
має наступний елемент 
. Це пояснює вживання терміна "послідовність".
, тобто. зазначенням її формули 
‑го члена 
.
може бути задана формулою:
.
-го члена.
‑це послідовність
позначається 
.
і 
‑ дві послідовності.
і 
називають послідовність 
, де 
, тобто.
, де 
, тобто.
і
‑
постійні, то послідовність
,
називають лінійною комбінацією
послідовностей 
і 
, тобто.
і 
називають послідовність з 
-м членом 
, тобто. 
.
, то можна визначити приватне
.
і 
називаються їх алгебраїчнимикомпозиціями.
і 
де. Тоді 
, тобто. послідовність 
має всі елементи, що дорівнюють нулю.
,
, тобто. всі елементи твору та приватного рівні 
.
так, щоб залишилося безліч елементів, то отримаємо іншу послідовність, звану підпослідовністюпослідовності 
. Якщо викреслити кілька перших елементів послідовності 
, то нову послідовність називають залишком.
обмеженазверху(знизу), якщо безліч 
обмежено зверху (знизу). Послідовність називають обмеженоюякщо вона обмежена зверху і знизу. Послідовність обмежена тоді й тільки тоді, коли обмежений її залишок.Сходові послідовності
сходиться, якщо існує число 
таке, що для будь-кого 
існує таке 
, що для будь-кого 
, виконується нерівність: 
.
називають межею послідовності
. При цьому записують 
або 
.
.
. Задамо будь-яке число 
. Нерівність 
виконується для 
, такого, що 
, що визначення збіжності виконується для числа 
. Значить, 
.
означає, що всі члени послідовності 
із досить великими номерами мало відрізняється від числа 
, тобто. починаючи з деякого номера 
(при) елементи послідовності знаходяться в інтервалі 
, який називається 
околиці точки 
.
, межа якої дорівнює нулю ( 
, або 
при 
) називається нескінченно малою.
мала межу, необхідно і достатньо щоб 
, де 
- Постійна; 
– нескінченно мала
.
, межа дробу дорівнює межі відносини старших членів (тобто членів, що містять найбільші ступені 
чисельника та знаменника).
називається:
монотонно зростає і обмежена зверху, вона сходиться і її межа дорівнює її точної верхньої грані; якщо послідовність зменшується і обмежена знизу, вона сходиться до своєї точної нижньої грані.
Обмежені та необмежені послідовності
