Побудова прямих паралельних даної в заданих точках. Уроки за програмою компас
У будь-якому конструкторському курсі навчання вчать використовувати тонкі допоміжні лінії при створенні креслень. Раніше їх наносили на кульмані, а потім витирали із готового документа. Зараз використовують електронні програми для креслення, але потреба допоміжних ліній навіть не обговорюється. Хоча в Компасі 3D з ними працювати навіть простіше, ніж на класичному кульмані. Допоміжні лінії застосовують формування потрібних зв'язків, розмітки креслення, створення певних кордонів.
Програма дозволяє створювати допоміжні прямі декількома способами, знову ж таки, це дуже зручно, оскільки часом застосовується одні, а в іншій ситуації інший спосіб нанесення допоміжних ліній.
1. Створення прямої лінії, використовуючи дві точки.
Один із найпопулярніших способів. Для активації необхідно відкрити головне меню Інструменти – Геометрія – Допоміжні прямі – Допоміжна пряма.
Або можна натиснути на панелі Геометрія-допоміжна пряма.
Задамо нашу лінію, клацнувши лівою кнопкою на аркуші, так задавши першу точку, потім вкажемо кінцеву точку лінії. При цьому програма сама сформує потрібний кут нахилу, для створюваної прямої лінії. Однак, ви можете змінити кут, ввівши свої значення у віконці знизу, після чого достатньо натиснути Enter.
Допоміжну лінію сформовано, тепер необхідно натиснути на знайомий значок Перервати команду, розташований у панелі властивостей. Втім, активувати цю команду, завершивши роботу з лінією можна і простим правим кліком мишки, а потім вибором відповідного пункту у меню.
Використовуючи базову точку, можна створити нескінченну кількість прямих ліній, що йдуть під будь-якими кутами. До речі, якщо у вас є координати або з координатною сіткою працювати зручніше, ви завжди можете задати потрібні значення в меню знизу. Ви помістите пряму лінію, без жодних підгонок на аркуші. Варто звернути увагу на групу Режими, в ній є два важливі перемикачі. Перший активний при стандартному запуску Не ставити точки перетину, а другий можете вибрати самі - Ставити точки перетину. Використовуючи це налаштування, ви можете автоматично ставити точки на будь-яких перетинах, без додаткових опцій та ручного проставлення.
Однак тут необхідно вказати стиль Допоміжна. До речі, щоб видалити всі допоміжні елементи, із готового креслення достатньо активувати пункт в основному меню Редактор-Видалити-Допоміжні криві та крапки.Роботу з тчками на кривих ми докладно розглянули у уроці №3.
2.Наносимо горизонтальну пряму
Можна побудувати допоміжні лінії за допомогою горизонтальних прямих. Відкриємо вже знайоме меню Інструменти-Геометрія-Допоміжні прямі-Горизонтальна пряма.
Швидший варіант, використовуючи компактну панель, вибрати Геометрія -Горизонтальна пряма.Однак, на базовій панелі не буде видно на екрані, щоб виправити положення, натисніть кнопку допоміжних прямих та утримуйте її деякий час.
Залишилося за допомогою клацання лівою кнопкою вказати необхідну точку, через яку і пропустимо нашу пряму лінію. Ви можете створити будь-яку кількість горизонтальних ліній. Для завершення роботи достатньо натиснути Перервати командув панелі властивостей або в меню, що випадає, по правій клавіші миші.
Також слід запам'ятати, що горизонтальна пряма лінія завжди паралельна поточній осі абсцис. Однак при установці горизонтальних прямих, з використанням поверненої системи координат, вони будуть не горизонтальними вже на аркуші.
3. Наносимо вертикальну пряму лінію.
Загальний механізм виклику механізму нанесення ліній абсолютно ідентичний вище описаному, за винятком вибору Вертикальна пряма.
Втім, тут слід пам'ятати кілька важливих речей. Вертикальна пряма, що створюється, завжди паралельна тільки діючій осі координат, тут випадок ідентичний з горизонтальною прямою лінією. Тому, якщо у вас змінена система координат, вертикальні прямі лінії не будуть паралельними до аркуша.
4. Створюємо паралельну пряму лінію.
Побудувати паралельну пряму лінію можна лише за наявності будь-якого об'єкта на аркуші. Саме цим лініям ми створимо паралель. Причому як об'єкти для прив'язки може виступати абсолютно будь-який об'єкт, від прямих і допоміжних ліній, до граней багатокутних об'єктів. Отже, давайте в рамках уроку, за основну візьмемо горизонтальну пряму, яка йде від початку координат на нашому аркуші.
Виклик паралельної прямої лінії ідентичний, відкрийте Інструменти – Геометрія – Допоміжні прямі – Паралельна пряма.
Або використовуйте компактну панель, тут потрібно викликати Геометрія-паралельна пряма.
Тепер зазначимо базовий об'єкт, до якого і проведемо паралельну лінію. Як об'єкт, як домовилися виступає горизонтальна пряма лінія, виберіть її мишею. Потім необхідно задати відстань, на якій буде знаходитись наша паралельна лінія. Внизу можна вказати числове значення, наприклад 30 мм, або відтягніть пряму мишею на потрібну відстань.
При заданні відстані числами система запропонує дві фантомні лінії, на однаковій відстані. Це можна вимкнути, якщо у властивостях Кількість прямих - Дві пряміприбрати активацію, перевівши її у створення однієї прямої лінії. Для фіксації створеної лінії достатньо вибрати активний фантом, за допомогою миші та натиснути кнопку створити об'єкт. Коли потрібно створити обидві лінії, натисніть ще раз створити об'єкт, а потім перервіть команду.
Коли необхідно побудувати нову паралельну лінію, але біля іншого об'єкта достатньо натиснути на кнопку Вказати заново. Тепер, можна вказувати новий об'єкт і будувати лінію, описаним у цьому розділі уроку.
Ось, власне і все, в уроці ми розкрили основи створення допоміжних прямих ліній.
Паралельні прямі. Визначення
Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Паралельність прямих і b позначають так: а||b. На малюнку 1 зображені прямі a та b, перпендикулярні до прямої с. Такі прямі і b не перетинаються, т. е. вони паралельні.
Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку (рис. 2,а) відрізки АВ та СD паралельні (АВ||СО) а відрізки МN та СD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 2, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 2, в).
Ознаки паралельності двох прямих
Пряма з називається січною відношенням до прямих а і b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 3). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на малюнку 3 позначені цифрами.
Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:
навхрест лежачі кути: 3 і 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.
Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.
Теорема.Якщо при перетині двох прямих січною навхрест кути рівні, то прямі паралельні.
Доведення.Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні: ∠1=∠2 (рис. 4, а).
Покажемо, що а||b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 4 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні. Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі. Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 4, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН1 рівний відрізку AH, як показано на малюнку 4, в, і проведемо відрізок ОН1. Трикутники ВОНА і ОН1В рівні по двох сторонах і куті між ними (АО=ВО. АН=ВН1 ∠1=∠2), тому ∠3=∠4 і ∠15=∠16. З рівності ∠3=∠4 випливає, що точка Н1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, Про і Н1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5=∠6 випливає, що кут 6 – прямий (так як кут 5 – прямий). Значить, прямі а і b перпендикулярні до прямої НН1 тому вони паралельні. Теорему доведено.
Теорема.Якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
Доведення.Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1=∠2 (рис. 5). Оскільки кути 2 та 3 - вертикальні, то ∠2=∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1=∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Теорема.Якщо при перетині двох прямих січної сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то прямі паралельні.
Доведення.Нехай при перетині прямих а і b січучою із сума односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1+∠4=180° (див. рис. 5). Оскільки кути 3 і 4 - суміжні, то ∠3+∠4=180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Практичні способи побудови паралельних прямих
Ознаки паралельності прямих є основою способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, докладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М виявилася на стороні косинця, і проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами альфа і бета, рівні.
Ще є спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.
Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром).
Особливе місце в історії математики займає п'ятий постулат Евкліда (аксіома про паралельні прямі). Довгий час математики безуспішно намагалися вивести п'ятий постулат з решти постулатів Евкліда і лише у середині XIX століттязавдяки дослідженням М. І. Лобачевського, Б. Ріманаі Я. Бойяїстало ясно, що п'ятий постулат не може бути виведений з інших, а система аксіом, запропонована Евклідом, не єдина можлива.
Аксіома паралельних прямих
Ще древні греки придумали простий спосіб: як провести циркулем і лінійкою через точку А, що лежить поза даною прямою l, іншу пряму m, що не перетинає пряму l. Але чи єдине вирішення цього завдання? Або через точку А можна провести кілька різних прямих, що не перетинають вихідну пряму m?
Евклид, мабуть, перший серед еллінів зрозумів, що відповідь це питання не можна отримати, з інших властивостей прямих і точок – тих, що він сформулював як аксіом і постулатів. Потрібно ввести додатковий постулат про єдиність прямої m – і назвати цю пряму паралельною!
А чи можливі інші формулювання постулату про паралельні прямі – не сумісні з постулатом Евкліда? Наприклад, можна припустити існування декількох різних прямих, що не перетинають цю пряму l і проходять через загальну точку А. Чи приведе таке припущення до логічного протиріччя чи ні? Якщо ні, то можливі інші геометрії, крім евклідової!
Першу неевклідову геометрію винайшли у 1820-і роки одразу три талановиті математики: німець Карл Гаусс, російський Микола Лобачевський та угорець Янош Бойяї. Російський математик виявився найсміливішим і завзятим із трьох відкривачів. Він перший опублікував свою книгу із пророкуванням чудових властивостей неевклідових фігур. Наприклад, на площині Лобачевського сума внутрішніх кутів трикутника завжди менша за 180 градусів. Вона набуває різних значень для різних трикутників; при цьому два подібні трикутники обов'язково рівні!
Наприкінці 19 століття геометри Клейн та Пуанкаре винайшли досить прості моделі поверхонь, на яких втілюється геометрія Лобачевського. Ще раніше Ріман зауважив, що на звичайній сфері втілено третю можливу геометрію (проективну): у ній «паралельних» прямих зовсім немає, а сума внутрішніх кутів трикутника завжди більша, ніж 180 градусів.
До початку 20 століття вважалося, що неевклідові геометрії можуть бути корисні лише всередині математичної науки. Але в 1910-х роках Ейнштейн створив Загальну Теорію Відносності: вона виявилася чотиривимірним втіленням неевклідової геометрії Лобачевського. З того часу фізики вірять, що кожна несуперечлива математична конструкція втілена десь у Природі. Можливо, так воно і є.
Історична довідка
У стародавні століття, буквально 2500 років тому, у відомій школі Піфагора грецьке слово «паралелос» почали вживати як геометричний термін, хоча визначення паралельних прямих у ті часи ще не знали. Але історичні факти говорять про те, що давньогрецький вчений Евклід у третьому столітті до нашої ери, у своїх книгах все ж таки, розкрив зміст такого поняття, як паралельні прямі.
Як вам уже відомо, з пройденого матеріалу в попередніх класах, термін «паралелос» у перекладі з грецької мови позначає поруч, що йде або проведений один біля одного.
У математиці позначення паралельних прямих існує спеціальний знак. Щоправда, який завжди знак паралельності мав теперішній вигляд. Так, наприклад, давньогрецький математик Папп у третьому столітті нашої ери для позначення паралельності користувався знаком «=». І лише у вісімнадцятому столітті завдяки Вільяму Оутреду для позначення паралельних прямих стали використовувати знак «//». Якщо є, наприклад, паралельні а і в, то на листі їх слід записувати як а//в
А ось знак "=" у загальне звернення ввів Рекорд і його стали використовувати як знак рівності.
Паралельні прямі у побуті та повсякденному житті
З паралельними прямими ми часто зустрічаємося в навколишньому житті, хоча, як правило, рідко на цьому акцентуємо свою увагу. На уроках музики, відкриваючи нотний зошит, одразу ж неозброєним поглядом ми бачимо лінії нотного табору. Але паралельні лінії ви можете побачити не тільки в нотних зошитах та збірниках пісень, але й уважно придивіться до музичних інструментів. Адже струни гітари, арфи чи органу також розташовані паралельно.
Піднявши на вулиці очі вгору, ви бачите електричні проводи, що паралельно проходять. Опинившись у метро чи залізниці, також не складно помітити, що рейки розташовані паралельно один до одного.
Паралельні лінії можна зустріти всюди. Вони нам постійно зустрічаються у побуті, живописі. Без них не обійтися і в архітектурі, тому що в будівництві суворо враховується поняття паралельності.
Якщо ви уважно подивіться на зображення, то відразу помітите в цих архітектурних спорудах присутність паралельних прямих. Можливо, вони служать так довго і залишаються гарними завдяки тому, що архітектори та інженери під час створення цих культових будівель використовували паралельні прямі.
А чи замислювалися ви колись над тим, чому в лініях електропередач, дроти розташовуються паралельно? І уявіть собі, щоб було, якби вони не були б паралельними та перетиналися чи стикалися один з одним. А це призвело б до поганих наслідків, за яких могло статися замикання, перебоїв та відсутності електрики. А що могло статися з поїздом, якби рейки не були б паралельними? Про це навіть страшно подумати.
Вам усім добре відомо, що паралельні прямі ніколи не перетинаються. Але якщо ви довго дивитися в далечінь, в нескінченність, то в результаті можете побачити, як паралельні прямі перетинаються. І тут ми з вами зіштовхнулися з ілюзією зору. Можливо, лише завдяки таким ілюзіям та зоровим спотворенням і з'явився живопис.
Домашнє завдання
1. Назвіть свої приклади, де ви у повсякденному житті, у побуті чи природі стикаєтеся з моментами чи фактами паралельності.
2. Які знаєте способи, завдяки яким можна накреслити паралельні прямі? Назвіть ці методи.
3. Накресліть паралельні прямі у зошиті способами, які вам відомі.
4. За яких умов прямі, можна назвати паралельними?
Запитання:
1. Які прямі називаються паралельними?
2. Які практичні способи побудови паралельних прямих існують?
В основі способів побудови паралельних прямих за допомогою різних інструментів є ознаки паралельності прямих.
Побудова паралельних прямих за допомогою циркуля та лінійки
Розглянемо принцип побудови паралельної прямої, що проходить через задану точку, за допомогою циркуля та лінійки.
Нехай дана пряма та деяка точка А, яка не належить даній прямій.
Необхідно побудувати пряму, що проходить через задану точку $А$ паралельно даній прямій.
На практиці часто потрібно побудувати дві або більше паралельних прямих без даної прямої точки. У такому випадку необхідно накреслити пряму довільно і відзначити будь-яку точку, яка не лежатиме на даній прямій.
Розглянемо етапи побудови паралельної прямої:
Насправді також застосовують метод побудови паралельних прямих з допомогою креслярського косинця і лінійки.
Побудова паралельних прямих за допомогою косинця та лінійки
Для побудови прямої, яка проходитиме через точку М паралельно даній прямій а, необхідно:
- Кутник прикласти до прямої $а$ діагоналлю (дивіться малюнок), а до його більшого катету прикласти лінійку.
- Пересунути косинець по лінійці доти, поки ця точка $М$ не опиниться на діагоналі косинця.
- Провести через точку $М$ шукану пряму $b$.
Ми отримали пряму, що проходить через задану точку $М$, паралельну даній прямій $а$:
$a \parallel b$, тобто $M \in b$.
Паралельність прямих $а$ і $b$ видно з рівності відповідних кутів, які позначені малюнку буквами $\alpha$ і $\beta$.
Побудова паралельної прямої, що віддалена на задану відстань від даної прямої
У разі необхідності побудови прямої, паралельної заданої прямої та віддаленої від неї на заданій відстані можна скористатися лінійкою та косинцем.
Нехай дана пряма $MN$ та відстань $а$.
- Зазначимо на заданій прямій $MN$ довільну точку та назвемо її $В$.
- Через точку $В$ проведемо пряму, перпендикулярну до прямої $MN$, і назвемо її $АВ$.
- На прямій $АВ$ від точки $В$ відкладемо відрізок $ВС=а$.
- За допомогою косинця та лінійки проведемо пряму $CD$ через точку $С$, яка і буде паралельною заданою прямою $АВ$.
Якщо відкласти на прямий $АВ$ від точки $В$ відрізок $ВС=а$ в іншу сторону, то отримаємо ще одну паралельну пряму до заданої, що віддалена від неї на задану відстань $а$.
Інші способи побудови паралельних прямих
Ще одним способом побудови паралельних прямих є побудова за допомогою рейсшини. Найчастіше цей спосіб використовують у креслярській практиці.
При виконанні столярних робіт для розмітки та побудови паралельних прямих використовується спеціальний креслярський інструмент – малка – дві дерев'яні планки, які скріплюються шарніром.
Уроки з програми КОМПАС.
Урок №4. Допоміжні прямі в Компасі 3D.
Конструктори при розробці креслень на кульмані завжди використовують тонкі лінії, їх аналогом у компасі 3D виступають допоміжні прямі. Вони необхідні попередніх побудов і завдання проекційних зв'язків між видами. Під час друку допоміжні прямі Допоміжна, Змінити його неможливо.
Існує кілька способів побудови допоміжних прямих. У цьому уроці розглянемо деякі з цих способів.
1. Довільна пряма за двома точками.
В основному меню програми послідовно натискаємо команди Інструменти-геометрія-допоміжні прямі-допоміжна пряма.
Або в компактній панелі натискаємо кнопки Геометрія-допоміжна пряма.
Клацанням лівої кнопки миші вказуємо першу базову точку (наприклад, початок координат). Тепер вказуємо другу точку, якою пройде пряма. Кут нахилу між прямою та віссю абсцис поточної системи координат, визначиться автоматично. Можна вводити кут через панель властивостей. Наприклад, введіть кут 45º і натисніть клавішу Enter.
Для завершення побудови необхідно натиснути на значок "Перервати команду"панелі властивостей. Цю команду можна здійснити через контекстне меню, яке викликається клацанням правої клавіші миші.
Подібним чином через базову точку можна побудувати скільки завгодно довільних прямих під будь-яким кутом. Ви вже напевно звернули увагу, що координати точок можна вводити з клавіатури використовуючи панель властивостей. Крім того, в панелі властивостей є група Режими, в якій є два перемикачі: "Не ставити точки перетину"(активний за умовчанням) та «Ставити точки перетину». Якщо потрібно відзначити точки перетину прямої з іншими об'єктами активуйте перемикач «Ставити точки перетину», тепер система автоматично проставить точки перетину з усіма графічними об'єктами в поточному вигляді.
Стиль точок буде- Допоміжна. Для видалення всіх допоміжних елементів скористайтесь командами головного меню Редактор-Видалити-Допоміжні криві та крапки.Як відзначити точки перетину не з усіма, а лише з деякими об'єктами, описано в уроці №3.
2.Горизонтальна пряма.
Для побудови горизонтальної прямої викликаються команди Інструменти-Геометрія-Допоміжні прямі-Горизонтальна пряма.
Або через компактну панель, натисканням кнопок: Геометрія-горизонтальна пряма.Інструментальна панель для побудови допоміжних прямих, вся на екрані не видно. Щоб її побачити, натисніть кнопку допоміжних прямих, активну на момент побудови, і утримуйте кілька секунд.
Тепер достатньо, клацнувши ліву клавішу миші вказати точку, через яку пройде горизонтальна пряма. Одночасно можна побудувати скільки завгодно прямих. Для завершення побудови необхідно натиснути кнопку "Перервати команду"на панелі властивостей.
Необхідно пам'ятати, що горизонтальна пряма паралельна осі абсцис поточної системи координат. Горизонтальні, побудовані в системі координат, повернутої щодо абсолютної системи, не будуть паралельні горизонтальним сторонам аркуша.
3. Вертикальна пряма.
Побудова аналогічна до побудови горизонтальних прямих, тому розберетеся самостійно.
Необхідно пам'ятати, що вертикальна пряма паралельна осі ординат поточної системи координат. Вертикальні, побудовані в системі координат, повернутої щодо абсолютної системи, не будуть паралельні вертикальним сторонам листа.
4. Паралельна пряма.
Для побудови паралельної прямої нам знадобиться об'єкт паралельно якому вона пройде. Як такі об'єкти можуть виступати: допоміжні прямі, відрізки, ланок ланок, сторони багатокутників, розмірні лінії тощо. Давайте побудуємо паралельну пряму для горизонтальної прямої, яка проходить через початок координат.
Викликаємо команди Інструменти-Геометрія-Допоміжні прямі-Паралельна пряма.
Побудова прямої, паралельної заданої площини, заснована на
наступному положенні, відомому з геометрії: пряма паралельна площині,
якщо ця пряма паралельна будь-якій прямій у площині.
Через задану точку у просторі можна провести незліченне
безліч прямих ліній, паралельних заданій площині: Для отримання
єдиного рішення потрібна якась додаткова умова.
Наприклад, через точку (рис. 180) потрібно провести пряму,
паралельну площині, заданій трикутником ABC, та площині проекцій!
(Додаткова умова).
Очевидно, пряма, що шукається, повинна бути паралельна лінії перетину
обох площин, тобто. повинна бути паралельна горизонтальному сліду
площині заданої трикутником ABC. Для визначення напряму цього
сліду можна скористатися горизонталлю площини, заданої трикутником
ABC. На рис. 180 проведена горизонталь DC і потім через точку M проведено
пряма, паралельна цій горизонталі.
Поставимо зворотне завдання: через задану точку провести площину,
паралельну заданій прямій лінії. Площини, що проходять через деяку
точку А паралельно деякої прямої ВС, утворюють пучок площин, віссю
якого є пряма, що проходить через точку А паралельно прямий НД.
Для отримання єдиного рішення потрібне якесь додаткове
Наприклад, треба провести площину, паралельну прямій CD, не через
точку, а через пряму АВ (рис. 181). Прямі АВ і CD - схрещуються. Якщо
через одну з двох прямих, що схрещуються, потрібно провести площину,
паралель-
Рис. 180 Мал. 181
ну іншу, то завдання має єдине рішення. Через точку В
проведена пряма, паралельна до прямої CD; прямі АВ та BE визначають
площину, паралельну до прямої CD.
Як встановити, чи паралельна дана пряма цієї площини?
Можна спробувати провести в цій площині деяку пряму паралельно
даної прямої. Якщо таку пряму в площині не вдається збудувати, то
задані пряма та площина не паралельні між собою.
Можна спробувати знайти також точку перетину даної прямої з даної
площиною. Якщо така точка не може бути знайдена, то задана пряма і
площина взаємно паралельна.
§ 28. Побудова взаємно паралельних площин
Нехай дається точка К, якою треба провести площину,
паралельну деякій площині, заданій прямими AF і BF, що перетинаються.
Очевидно, якщо через точку К провести прямі СК та DK, відповідно
паралельні прямим AF і BF, то площина, що визначається прямими СК та DK,
виявиться паралельною заданій площині.
Інший приклад побудови дано на рис. 183 праворуч. Через точку A
проведено пл. паралельно пл. а. Спочатку через точку А проведено пряму,
свідомо паралельна пл. . Це горизонталь із проекціями "" та "",
причому A"N"\h" o. Таk
Рис. 182 Мал. 183
як точка N є фронтальним слідом горизонталі AN, то через цю
точку пройде слід f"o% f"o, а через Х - слід h"o ||h"o. Площини
і взаємно паралельні, тому що їх однойменні сліди, що перетинаються, взаємно
паралельні.
На рис. 184 зображено дві паралельні між собою площини - одна
га них задана трикутником ЛОМ, інша - паралельними прямими DE і FG.
Чим же встановлюється паралельність цих площин? Тим, що у площині,
заданою прямими DE і FG, виявилося можливим провести дві перетинаються
прямі KN і КМ, відповідно паралельні пересічним АС і
НД іншої площини.
Звичайно, можна було б спробувати знайти точку перетину хоча б
прямий DE із площиною трикутника ABC. Невдача підтвердила б
паралельність площин.
ПИТАННЯ ДО §§ 27-28
1. На чому заснована побудова прямої лінії, яка має бути
паралельна до деякої площини?
2. Як провести площину через пряму паралельно заданій прямій?
3. Чим визначається взаємна паралельність двох площин?
4. Як провести через точку площину, паралельну заданій площині?
5. Як перевірити на кресленні, чи паралельні одна одній задані
