Застосування теорії ймовірностей у військовій справі. Теорія ймовірності: виникнення та розвиток
Оновлено 09.12.2009
Невеликий екскурс в історію застосування теорії ймовірності на практиці.
Аж до кінця 18 століття прикладна статистика, без якої немислимий державний облік і контроль, і тому існувала здавна, мала елементарний, суто арифметичний характер. Теорія ймовірностей залишалася суто академічною дисципліною, і як порівняно складних її “додатків” виступали лише азартні гри. Поліпшення технології виробництва гральних кісток у 18 столітті стимулювало розвиток теорії ймовірності. Гравці, самі того не бажаючи, почали масово ставити відтворювані досліди, оскільки кістки стали однаковими, стандартними. Так виник приклад того, що згодом буде названо "статистичним експериментом" - досвід, який можна повторювати необмежену кількість разів у однакових умовах.
У 19 і 20 століттях теорія ймовірностей проникає спершу в науку (астрономію, фізику, біологію), потім у практику (сільське господарство, промисловість, медицину), і нарешті, після винаходу комп'ютерів, у повсякденне життя будь-якої людини, яка користується сучасними засобами отримання та передачі інформації. Простежимо основні етапи.
1.Астрономія.
Саме для використання в астрономії був розроблений знаменитий "метод найменших квадратів" (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Головним завданням, для вирішення якої він був спочатку використаний, став розрахунок орбіт комет, який доводилося робити за малою кількістю спостережень. Зрозуміло, що надійне визначення типу орбіти (еліпс чи гіпербола) і точний розрахунок її параметрів виявляється важким, оскільки орбіта спостерігається лише на невеликій ділянці. Метод виявився ефективним, універсальним і викликав бурхливі суперечки про пріоритет. Його стали використовувати в геодезії та картографії. Зараз, коли мистецтво ручних розрахунків втрачено, важко уявити, що з складанні карт світового океану в 1880-х роках в Англії методом найменших квадратів було чисельно вирішено систему, що з приблизно 6000 рівнянь із кількома сотнями невідомих.
У другій половині 19 століття була в роботах Максвелла, Больцмана і Гіббса розвинута статистична механіка, яка описувала стан розряджених систем, що містять величезну кількість частинок (порядку числа Авогадро). Якщо раніше поняття розподілу випадкової величини було переважно пов'язане з розподілом помилок вимірювання, то тепер розподіленими виявилися різні величини - швидкості, енергії, довжини вільного пробігу.
3. Біометрія.
У 1870-1900 роках бельгієць Кетле та англійці Френсіс Гальтон і Карл Пірсон заснували новий науковий напрямок - біометрію, в якій вперше стала систематично та кількісно вивчатися невизначена мінливість живих організмів та успадкування кількісних ознак. У науковий обіг були введені нові поняття – регресії та кореляції.
Отже, до початку 20 століття основні додатки теорії ймовірності пов'язані з науковими дослідженнями. Впровадження у практику – сільське господарство, промисловість, медицину відбулося у 20 столітті.
4.Сільське господарство.
На початку 20 століття Англії було поставлено завдання кількісного порівняння ефективності різних методів ведення сільського господарства. Для вирішення цього завдання було розвинуто теорію планування експериментів, дисперсійний аналіз. Основна заслуга у розвитку вже чисто практичного використання статистики належить серу Рональду Фішеру, астроному(!) за освітою, а надалі фермеру, статистику, генетику, президенту англійського Королівського товариства. Сучасна математична статистика, придатна для широкого застосування на практиці, була розвинена в Англії (Карл Пірсон, Стьюдент, Фішер). Стьюдент уперше вирішив завдання оцінки невідомого параметра розподілу без використання байєсівського підходу.
5.Промисловість. Введення методів статистичного контролю з виробництва (контрольні карти Шухарта). Скорочення необхідної кількості випробувань якості продукції. Математичні методи виявляються настільки важливими, що й стали засекречивать. Так, книга з описом нової методики, що дозволяла скоротити кількість випробувань (“Послідовний аналіз” Вальда), була видана тільки після закінчення Другої світової війни у 1947 році.
6.Медицина. Широке застосування статистичних методів у медицині розпочалося порівняно недавно (друга половина 20 століття). Розвиток ефективних методів лікування (антибіотики, інсулін, ефективна анестезія, штучний кровообіг) зажадав достовірних методів оцінки їхньої ефективності. Виникло нове поняття "Доказова медицина". Почав розвиватися більш формальний, кількісний підхід до терапії багатьох захворювань - запровадження протоколів, guide lines.
З середини 1980-х років виник новий і найважливіший фактор, що революціонізував всі додатки теорії ймовірностей - можливість широкого використання швидких та доступних комп'ютерів. Відчути всю величезність перевороту можна, якщо врахувати, що один(!)сучасний персональний комп'ютер перевершує по швидкодії та пам'яті всі(!) комп'ютери СРСР і США, що були до 1968 року, часу, коли вже були здійснені проекти, пов'язані з будівництвом атомних електростанцій , політ на Місяць, створення термоядерної бомби. Зараз методом прямого експериментування можна отримувати результати, які раніше були недоступні - thinking of unthinkable.
7. Біоінформатика. Починаючи з 1980-х років кількість відомих послідовностей білків та нуклеїнових кислот стрімко зростає. Обсяг накопиченої інформації такий, що тільки комп'ютерний аналіз цих даних може розв'язувати завдання щодо вилучення інформації.
8. Розпізнавання образів.
Неволіна Катерина Миколаївна Єкатеринбург УрДЕУ Керівник – Книш А. А. Практичне застосування теорії ймовірностей. Актуальність. Теорія ймовірностей одна із розділів математики, вивчає випадкові події, випадкові величини, їх властивості та операції з них. Методи теорії ймовірностей все ширше знаходять своє застосування у різних галузях науки і техніки, а також у звичайному житті. Особливість даного розділу науки полягає у розгляді таких явищ, у яких є невизначеність. У статті мені хотілося б розглянути приклади деяких завдань, що демонструють практичне застосування теорії ймовірностей. Завдання з економічним змістом. 1. Одна з фірм збирається укласти контракт на постачання товару із мережею магазинів. За умови, що конкурент фірми не стане одночасно претендувати на укладання контракту, ймовірність укладання контракту оцінюється в 0,85, інакше ймовірність отримання контракту становить 0,6. За оцінками експертів компанії ймовірність того, що конкурент висуне свої пропозиції щодо укладання контракту, дорівнює 0,55. Чому дорівнює ймовірність укладання договору цієї фірми? . Це завдання вирішується за допомогою формули повної ймовірності. 2. Економіст-аналітик умовно поділяє економічну ситуацію в країні на «хорошу», «посередню» та «погану» та оцінює їх ймовірності для даного моменту часу в 0,2; 0,7 та 0,15 відповідно. Деякий індекс економічного стану зростає з ймовірністю 0,65 коли ситуація «хороша»; з ймовірністю 0,35, коли ситуація середня, і з ймовірністю 0,1, коли ситуація "погана". Нехай зараз індекс економічного стану зріс. Чому дорівнює ймовірність того, що економіка країни на підйомі? . Завдання вирішується за допомогою формули Байєса. 3. Банк видає 9 кредитів. Імовірність неповернення кредиту дорівнює 0,2 кожному за позичальника. Якою є ймовірність того, що троє позичальників не виплатять кредит? Завдання вирішується за допомогою формули Бернуллі. 5. Деталь вважається придатною при відхиленні Х лінійного розміру в абсолютному вираженні менше 1 мм. Відхилення Х є величиною, розподіленою за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням 0.35 . Знайти кількість бракованих деталей в одній партії вироблених деталей (розмір партії 1000 шт.), Вартість втрат від шлюбу при собівартості партії 15 млн. руб., Дохід від реалізації придатних деталей, що залишилися, і економічні втрати при ринковій ціні 19 000 руб. за одиницю продукції. Розглянемо розв'язання цієї задачі. Т.к. Х – відхилення лінійного розміру абсолютному вираженні, то математичне очікування М(Х)=а=0. Підставивши у формулу P X 2 значення 0.35 і 1, отримаємо P. Таким чином, у партії із 1000 деталей придатними будуть 995 деталей. За собівартості партії 15 млн. руб. собівартість кожної деталі складе у середньому 15 000 руб. Вартість втрат від шлюбу становитимуть 75 000 рублів. Дохід від реалізації придатних деталей за ринковою ціною становитиме 995 19000 = 18,905 млн. руб. У зв'язку з неможливістю реалізувати частину продукції економічні втрати становитимуть 5∙19000=95000 крб. Методи теорії ймовірностей також використовуються у ставках на спорт. За допомогою теорії ймовірностей стало можливим передбачати та оцінювати результати різних матчів, а також виявляти продуктивність окремо взятого гравця. Так, наприклад, якщо ми розглядаємо баскетбол, то як продуктивність гравця можна розглядати ймовірність його попадання в кільце з різних точок. Наведемо приклади завдань. 1. На змаганнях з баскетболу центровий гравець команди «N» кидає м'яч у кільце. За кожен забитий м'яч команда отримує 2 очки. Знайти ймовірність того, що за цей кидок центровим команда не отримає жодного очка (0 очок потрібно лише за промах). 2. Дві рівносильні баскетбольні команди грають у баскетбол. Що ймовірніше: вести рахунок одну чверть із двох або дві чверті з чотирьох (рівний рахунок до уваги не береться)? Це завдання вирішується за допомогою формули Бернуллі. Отже, знаходження закономірностей у випадкових явищах це завдання теорій ймовірності. Теорія ймовірності - це інструмент вивчення не видимих і багатозначних взаємозв'язків різних явищ у численних галузях науки, техніки та економіки. Теорія ймовірності дає можливість правильно порахувати коливання попиту, пропозиції, цін та інших економічних показників. Теорія ймовірності є частиною базової науки як статистика та прикладна інформатика. Оскільки без теорії ймовірностей неспроможна працювати жодна прикладна програма, і комп'ютер загалом. І в теорії ігор вона теж є основною. Список використаних джерел: 1. Вентцель Е. С. Теорія ймовірностей [Електрон. ресурс]: Навч. допомога. - Москва. - Вища школа, 1999. - 576 c. – Режим доступу: http://sernam.ru/book_tp.php 2. Методичні вказівки для студентів щодо проведення практичних робіт з дисципліни «Математика» [Електрон. ресурс]. – Мончегорськ, 2013. – Режим доступу: http://www.studfiles.ru/preview/3829108/ 3. Хуснутдінов, Р. Ш. Математика для економістів у прикладах та завданнях [Електрон. ресурс]: навч. посібник / Р. Ш. Хуснутдінов, В. А. Жіхарєв. - Санкт-Петербург: Лань, 2012. - 656 с. - Режим доступу: https://e.lanbook.com/book/4233
Зміст
Вступ 3
1. Історія виникнення 4
2. Виникнення класичного визначення ймовірності 9
3. Предмет теорії ймовірності 11
4. Основні поняття теорії ймовірності 13
5. Застосування теорії ймовірностей у світі 15
6. Імовірність та повітряний транспорт 19 Висновок 20
Список літератури 21
Вступ
Випадок, випадковість – з ними ми зустрічаємося повсякденно: випадкова зустріч, випадкова поломка, випадкова знахідка, випадкова помилка. Цей ряд можна продовжувати нескінченно. Здавалося б, тут немає місця для математики, але й тут наука виявила цікаві закономірності - вони дозволяють людині впевнено почуватися під час зустрічі з випадковими подіями.
Теорію ймовірностей можна з'ясувати, як розділ математики, у якому вивчаються закономірності властиві випадковим подіям. Методи теорії ймовірностей широко застосовуються під час математичної обробки результатів вимірювань, а також у багатьох завданнях економіки, статистики, страхової справи, масового обслуговування. Звідси не важко здогадатися, що і в авіації теорія ймовірностей знаходить широке застосування.
Моя майбутня дисертаційна робота буде пов'язана із супутниковою навігацією. Не тільки в супутниковій навігації, а й у традиційних засобах навігації, теорія ймовірностей набула дуже широкого застосування, тому що через ймовірність кількісно виражається більшість експлуатаційно-технічних характеристик радіотехнічних засобів.
1. Історія виникнення
Наразі вже важко встановити, хто вперше поставив питання, хай і в недосконалій формі, про можливість кількісного виміру можливості появи випадкової події. Ясно одне, що більш-менш задовільна відповідь на це питання зажадав тривалого часу і значних зусиль низки поколінь видатних дослідників. Протягом тривалого періоду дослідники обмежувалися розглядом різноманітних ігор, особливо ігор кістки, оскільки вивчення дозволяє обмежуватися простими і прозорими математичними моделями. Однак слід зауважити, що багато хто чудово розуміли те, що пізніше було сформульовано Християном Гюйгенсом: «...я вважаю, що при уважному вивченні предмета читач помітить, що має справу не тільки з грою, але що тут закладаються основи дуже цікавої та глибокої теорії ».
Ми побачимо, що при подальшому прогресі теорії ймовірностей глибокі міркування як природничо, так і загальнофілософського характеру грали велику роль. Ця тенденція продовжується і в наші дні: ми постійно спостерігаємо, як питання практики – наукової, виробничої, оборонної – висувають перед теорією ймовірностей нові проблеми та призводять до необхідності розширення арсеналу ідей, понять та методів дослідження.
Розвиток теорії ймовірностей, і з нею розвиток поняття ймовірності, можна розбити наступні етапи.
1. Передісторія теорії ймовірностей. У цей період, початок якого втрачається у століттях, ставилися і вирішувалися елементарні завдання, які будуть віднесені до теорії ймовірностей. Жодних спеціальних методів у цей період не виникає. Цей період закінчується роботами Кардано, Пачолі, Тарталья та ін.
Імовірнісні уявлення ми зустрічаємося ще в античності. У Демокріта, Лукреція Кара та інших античних вчених і мислителів ми маємо глибокі передбачення про будову матерії з безладним рухом дрібних частинок (молекул), міркування про рівноможливі наслідки тощо. Ще в давнину робилися спроби збору та аналіз деяких статистичних матеріалів – все це (а також інші прояви уваги до випадкових явищ) створювало ґрунт для вироблення нових наукових понять, у тому числі й поняття ймовірності. Але антична наука не дійшла виділення цього поняття.
У філософії питання про випадкове, необхідне і можливе завжди було одним з основних. Філософська розробка цих проблем також вплинула формування поняття ймовірності. У цілому в середньовіччі спостерігається лише розрізнені спроби роздумати ймовірні міркування.
У роботах Пачолі, Тарталья і Кардано вже робиться спроба виділити нове поняття – ставлення шансів – при вирішенні низки специфічних завдань, передусім комбінаторних.
2. Виникнення теорії ймовірності як науки. На середину XVII в. ймовірнісні питання та проблеми, що виникають у статистичній практиці, у практиці страхових товариств, при обробці результатів спостереження та в інших галузях, привернули увагу вчених, оскільки вони стали актуальними питаннями. Насамперед цей період пов'язаний з іменами Паскаля, Ферма та Гюйгенса. У цей період виробляються специфічні поняття, такі як математичне очікування та ймовірність (як відношення шансів), встановлюються та використовуються перші властивості ймовірності: теореми складання та множення ймовірностей. У цей час теорема ймовірностей знаходить застосування у страховій справі, демографії, в оцінці помилок спостереження, широко використовуючи у своїй поняття ймовірності.
3. Наступний період починається з появи роботи Бернуллі «Мистецтво припущень» (1713), в якій в перші була доведена перша гранична теорема - найпростіший випадок закону великих чисел. До цього періоду, який тривав до середини XIX ст., Належать роботи Муавра, Лапласа, Гаусса та ін. У центрі уваги в цей час стоять граничні теореми. Теорія ймовірностей починає широко застосовуватися у різних галузях природознавства. І хоча у період починають застосовуватися різні поняття ймовірності (геометрична ймовірність, статистична ймовірність), панівне становище займає класичне визначення ймовірності.
4. Наступний період розвитку теорії ймовірностей пов'язаний насамперед з Петербурзькою математичною школою. За два століття розвитку теорії ймовірностей головними її досягненнями були граничні теореми, але не з'ясовано межі їх застосування та можливості подальшого узагальнення. Поряд з успіхами були виявлені і суттєві недоліки в її обґрунтуванні, це виражено недостатньо чітке уявлення про ймовірність. Теоретично ймовірності створилося становище, коли її розвиток вимагало уточнення основних положень, посилення самих методів дослідження.
Це було здійснено російською математичною школою на чолі з Чебишевим. Серед її найбільших представників Маркова та Ляпунова.
У цей період до теорії ймовірностей входять оцінки наближень граничних теорем, а так само відбувається розширення класу випадкових величин, що підкоряються граничним теорем. Саме тоді теорії ймовірностей починають розглядати деякі залежні випадкові величини (ланцюга Маркова). Теоретично ймовірності виникають нові поняття, як «теорія характеристичних функцій», «теорія моментів» та ін. У цей час створюється статистична фізика. Але це використання імовірнісних методів і понять у фізику йшло у досить великому відриві від досягнень теорії ймовірностей. Імовірності, що застосовуються у фізиці, були не тими самими, як у математиці. Існуючі поняття ймовірності не задовольняли потреб природничих наук і в результаті почали виникати різні трактування ймовірності, які були важко зведені одного визначення.
Розвиток теорії ймовірностей на початку ХІХ ст. Привело до необхідності перегляду та уточнення її логічних засад, насамперед поняття ймовірності. Це вимагало розвитку фізики та застосування в ній ймовірнісних понять та апарату теорії ймовірностей; відчувалося незадоволення класичного обґрунтування лапласівського типу.
5. Сучасний період розвитку теорії ймовірностей розпочався із встановлення аксіоматики (аксіоматика – система аксіом якоїсь науки). Цього в першу чергу вимагала практика, оскільки для успішного застосування теорії ймовірностей у фізиці, біології та інших галузях науки, а також у техніці та військовій справі необхідно було уточнити та привести у струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, що тісно пов'язана з теорією множин. Це зумовило широту досліджень з теорії ймовірностей.
Перші роботи цього періоду пов'язані з іменами Бернштейна, Мізеса, Борелі. Остаточне встановлення аксіоматики відбулося у 30-ті роки XX ст. Аналіз тенденцій розвитку теорії ймовірностей дозволив Колмогорову створити загальноприйняту аксіоматику. У імовірнісних дослідженнях аналогії з теорією множин почали відігравати істотну роль. Ідеї метричної теорії функцій дедалі глибше стали проникати у теорію ймовірностей. Виникла потреба в аксіоматизації теорії ймовірностей виходячи з теоретико-множинних уявлень. Така аксіоматика і була створена Колмогоровим і сприяла з того що теорія ймовірностей остаточно зміцнилася як повноправна математична наука.
У цей час поняття ймовірності проникає майже всі у всі сфери людської діяльності. Виникають різні визначення ймовірності. Різноманітність визначень основних понять – суттєва риса сучасної науки. Сучасні визначення в науці - це виклад концепцій, точок зору, яких може бути багато для будь-якого фундаментального поняття, і всі вони відображають якусь істотну сторону поняття, що визначається. Це стосується і поняття ймовірності.
2. Виникнення класичного визначення ймовірності
Поняття ймовірності грає величезну роль сучасної науці, а цим є істотним елементом сучасного світогляду загалом, сучасної філософії. Все це породжує увагу та інтерес до розвитку поняття ймовірності, що тісно пов'язане із загальним рухом науки. На поняття ймовірності справили значний вплив досягнення багатьох наук, але це поняття своєю чергою змушувало їх уточнювати підхід до вивчення світу.
Освіта основних математичних понять представляє важливі етапи у процесі математичного розвитку. До кінця XVII століття наука так і не підійшла до введення класичного визначення ймовірності, а продовжувала оперувати тільки з кількістю шансів, що сприяють тому чи іншому дослідників, що цікавить подію. Окремі спроби, які були відзначені у Кардано та у пізніших дослідників, не призвели до ясного розуміння значення цього нововведення та залишилися стороннім тілом у завершених роботах. Однак, у тридцятих роках XVIII століття класичне поняття ймовірності стало загальновживаним і ніхто з вчених цих років не міг би обмежитися лише підрахунком кількості шансів, що сприяють події. Введення класичного визначення ймовірності відбулося не в результаті одноразової дії, а зайняло тривалий проміжок часу, протягом якого відбувалося безперервне вдосконалення формулювання, перехід від окремих завдань до загального випадку.
Уважне вивчення, показує, що ще в книзі X. Гюйгенса «Про розрахунки в азартних іграх» (1657) немає поняття ймовірності як числа, укладеного між 0 і 1 і рівного відношенню числа сприятливих подій шансів до всіх можливих. А в трактаті Я. Бернуллі «Мистецтво припущень» (1713) поняття це запроваджено, хоч і в далеко недосконалій формі, але, що особливо важливо, широко використовується.
А. Муавр сприйняв класичне визначення ймовірності, дане Бернуллі, і ймовірність події визначив майже точно так, як це робимо ми тепер. Він писав: «Отже, ми будуємо дріб, чисельник якої буде число випадків появи події, а знаменник - число всіх випадків, у яких може з'явитися чи з'явитися, такий дріб виражатиме дійсну ймовірність його появи».
3. Предмет теорії ймовірностей
Спостережені нами події (яви) можна поділити на такі три види: достовірні, неможливі і випадкові.
Достовірною називають подію, яка обов'язково відбудеться, якщо буде здійснено певну сукупність умов S. Наприклад, якщо в посудині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20°, то подія «вода в посудині знаходиться в рідкому стані» є достовірною. У цьому прикладі задані атмосферний тиск та температура води складають сукупність умов S.
Неможливим називають подію, яка явно не станеться, якщо буде здійснено сукупність умов S. Наприклад, подія «вода в посудині знаходиться в твердому стані» явно не станеться, якщо буде здійснено сукупність умов попереднього прикладу.
Випадковою називають подію, яка при здійсненні сукупності умов S може або відбутися або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, вона може впасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія «при киданні монети випала «герб» - випадкова. Кожна випадкова подія, зокрема випадання «герба», є наслідком дії багатьох випадкових причин (у нашому прикладі: сила, з якої кинута монета, форма монети та багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат всіх цих причин, оскільки їхня кількість дуже велика і закони їх дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою завдання передбачити, станеться поодинока подія чи ні, - вона просто не може це зробити.
По-іншому ситуація, якщо розглядаються випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих же умов S, тобто якщо йдеться про масові однорідні випадкові події. Виявляється, що досить велика кількість однорідних випадкових подій незалежно від їхньої конкретної природи підпорядковується певним закономірностям, а саме ймовірнісним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.
Отже, предметом теорії ймовірностей вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
4. Основні поняття теорії ймовірностей
Кожна наука, що розвиває загальну теорію якогось кола явищ, містить низку основних понять, на яких вона базується. Такі основні поняття існують і теоретично ймовірностей. У якості виступають: подія, ймовірність події, частота події чи статистична ймовірність і випадкова величина.
Випадковими подіями називають такі події, які можуть статися або не відбутися при здійсненні сукупності умов, пов'язаних з можливістю появи даних подій.
Випадкові події позначають літерами A, B, C,... . Кожне здійснення аналізованої сукупності називається випробуванням. Число випробувань може необмежено зростати. Відношення числа m наступів даної випадкової події A в цій серії випробувань до загального числа n випробувань цієї серії називається частотою появи події A в даній серії випробувань (або просто частотою події А) і позначається Р * (А). Отже, P*(A)=m/n.
Частота випадкової події завжди укладена між нулем та одиницею: 0 ? P * (A)? 1.
Масові випадкові події мають властивість стійкості частоти: спостерігаються в різних серіях однорідних випробувань (з досить великою кількістю випробувань у кожній серії) значення частоти даної випадкової події коливаються від серії до серії в досить тісних межах.
Саме ця обставина дозволяє при вивченні випадкових подій застосовувати математичні методи, приписуючи кожній масовій випадковій події його ймовірність, за яку приймається те (взагалі заздалегідь невідоме) число, біля якого коливається частота події, що спостерігається.
Імовірність випадкової події А позначається через Р(А). Імовірність випадкової події, як та її частота, укладена між нулем і одиницею: 0 ? P(A)? 1 .
Випадкова величина – це величина, що характеризує результат проведеної операції і яка може приймати різні значення при різних операціях, якими б однорідними були умови їх здійснення.
5. Застосування теорії ймовірностей у світі
Почати по праву слід зі статистичної фізики. Сучасне природознавство виходить із уявлення, за яким усі явища природи носять статистичний характері і закони можуть отримати точне формулювання лише термінах теорії ймовірностей. Статистична фізика стала основою всієї сучасної фізики, а теорія імовірностей її математичним апаратом. У статистичній фізиці розглядаються завдання, які описують явища, що визначаються поведінка великої кількості частинок. Статистична фізика дуже успішно застосовується в різних розділах фізики. У молекулярній фізиці з її допомогою пояснюють теплові явища, в електромагнетизмі – діелектричні, провідні та магнітні властивості тіл, в оптиці вона дозволила створити теорію теплового випромінювання, молекулярного розсіювання світла. Останніми роками коло додатків статистичної фізики продовжує розширюватись.
Статистичні уявлення дозволили швидко оформити математичне вивчення явищ ядерної фізики. Поява радіофізики та вивчення питань передачі радіо сигналів не лише посилили значення статистичних концепцій, а й призвели до прогресу самої математичної науки – появи теорії інформації.
Розуміння природи хімічних реакцій, динамічної рівноваги також неможливе без статистичних уявлень. Вся фізична хімія, її математичний апарат та пропоновані нею моделі є статистичними.
Обробка результатів спостережень, які завжди супроводжуються і випадковими помилками спостережень, і випадковими для спостерігача змінами за умов проведення експерименту, ще ХІХ столітті призвела дослідників до створення теорії помилок спостережень, і це теорія повністю спирається на статистичні уявлення.
Астрономія у низці своїх розділів використовує статистичний апарат. Зоряна астрономія, дослідження розподілу матерії у просторі, вивчення потоків космічних частинок, розподіл на поверхні сонця сонячних плям (центрів сонячної активності) та багато іншого потребує використання статистичних уявлень.
Біологи помітили, що розкид розмірів органів живих істот одного й того ж виду чудово укладається у загальні теоретико-імовірнісні закони. Знамениті закони Менделя, які започаткували сучасну генетику, вимагають вероятностно- статистичних міркувань. Вивчення таких значних проблем біології, як передача збудження, влаштування пам'яті, передача спадкових властивостей, питання розселення тварин на території, взаємини хижака та жертви потребують гарного знання теорії ймовірностей та математичної статистики.
Гуманітарні науки поєднують дуже різноманітні за характером дисципліни – від мовознавства та літератури до психології та економіки. Статистичні методи все більш значною мірою починають залучатися до історичних досліджень, особливо в археології. Статистичний підхід використовується для розшифровування написів мовою давніх народів. Ідеї, які керували Ж. Шампольоном під час розшифровкистародавнього ієрогліфічного листа, є в основі своєї статистики. Мистецтво шифрування та дешифрування ґрунтується на використанні статистичних закономірностей мови. Інші напрями пов'язані з вивченням повторюваності слів і літер, розподілу наголосів у словах, обчисленням інформативності мови конкретних письменників та поетом. Статистичні методи використовуються для встановлення авторства та викриття літературних підробок. Наприклад,авторство М.А. Шолохова за романом «Тихий Дон»було встановлено із залученням імовірнісно-статистичних методів. Виявлення частоти появи звуків мови в усному та письмовому мовленні дозволяє ставити питання про оптимальне кодування букв даної мови для передачі інформації. Частота використання букв визначає співвідношення кількості знаків у набірній друкарській касі. Розташування літер на каретці друкарської машини та на клавіатурі комп'ютера визначається статистичним вивченням частоти поєднань літер у даній мові.
Багато проблем педагогіки та психології також вимагають залучення імовірнісно-статистичного апарату. Питання економіки що неспроможні не цікавити суспільство, оскільки із нею пов'язані всі аспекти її розвитку. Без статистичного аналізу неможливо передбачити зміну кількості населення, його потреб, характеру зайнятості, зміни масового попиту, без цього неможливо планувати господарську діяльність.
Безпосередньо пов'язані з імовірнісно-статистичними методами питання перевірки якості виробів. Найчастіше виготовлення виробу займає набагато менше часу, ніж перевірка його якості. Тому немає можливості перевірити якість кожного виробу. Тому доводиться судити про якість партії щодо порівняно невеликої частини вибірки. Статистичні методи використовуються і тоді, коли випробування якості виробів призводить до їх псування або загибелі.
Питання, пов'язані із сільським господарством, вже давно вирішуються із широким використанням статистичних методів. Виведення нових порід тварин, нових сортів рослин, порівняння врожайності – ось далеко не повний перелік завдань, які вирішуються статистичними методами.
Можна без перебільшення сказати, що статистичними методами сьогодні пронизане все наше життя. У відомому творі поета-матеріаліста Лукреція Кара «Про природу речей» є яскравий і поетичний опис явища броунівського руху порошин:
«Ось подивися: щоразу, коли сонячне світло проникає
У наші житла і морок прорізає своїми променями,
Безліч маленьких тіл у порожнечі, ти побачиш, мелькаючи,
Мечуться туди-сюди в променистому сяйві світла;
Начебто у вічній боротьбі вони б'ються у битвах і битвах.
У бою кидаються раптом по загонах, не знаючи спокою.
Або сходячись, або нарізно безперервно знову розлітаючись.
Можеш із цього ти усвідомити собі, як невпинно
Спочатку речей у порожнечі неосяжної бентежаться.
Так про великі речі допомагають скласти поняття
Невеликі речі, шляхи намічаючи для з досягнення,
Крім того, тому звернути тобі треба увагу
На метушні в тілах, що мелькають у сонячному світлі,
Що з неї пізнаєш ти матерії та рух»
Перша можливість експериментального дослідження співвідношень між безладним рухом окремих частинок і закономірним рухом їх великих сукупностей з'явилася, коли 1827 року ботанік Р. Броун відкрив явище, яке з його імені названо «броунівським рухом». Броун спостерігав під мікроскопом зважений у воді квітковий пилок. На свій подив він виявив, що зважені у воді частинки знаходяться в безперервному безладному русі, який не вдається припинити при ретельному старанні усунути якісь зовнішні впливи. Незабаром було виявлено, що ця загальна властивість будь-яких досить дрібних частинок, зважених у рідині. Броунівський рух – класичний приклад випадкового процесу.
6. Імовірність та повітряний транспорт
У попередньому розділі ми розглянули застосування теорії ймовірності та статистики у різних галузях науки. У цьому розділі я хотіла б навести приклади застосування теорії ймовірностей на повітряному транспорті.
Повітряний транспорт - поняття, що включає як повітряні судна, так і необхідну для їх експлуатації інфраструктуру: аеропорти, диспетчерські та технічні служби. Як відомо, здійснення польоту - це результат спільної роботи безлічі служб аеропорту, які у своїй діяльності використовують різні галузі науки і практично у всіх цих областях має місце теорія ймовірності. Я хотіла б навести приклад з області навігації, де теорія ймовірності також широко застосовується.
У зв'язку з розвитком супутникових систем навігації, посадки та зв'язку були введені нові показники надійності як цілісність, безперервність та готовність системи. Всі ці показники надійності кількісно виражаються через можливість.
Цілісність-ступінь довіри до інформації, що отримується від радіотехнічної системи та застосовується надалі повітряним судном. Імовірність цілісності дорівнює добутку ймовірності відмови на ймовірність невиявлення відмови і повинна дорівнювати або менше 10 -7 на годину польоту.
Безперервність обслуговування - це здатність повної системи виконувати свою функцію без переривання режиму роботи при виконанні запланованої операції. Вона має бути не менше 10 -4 .
Готовність-це здатність системи виконувати свої функції на початок виконання операції. Вона повинна бути не менше 0,99.
Висновок
Імовірнісні ідеї стимулюють у наші дні розвиток всього комплексу знань, починаючи від наук про не живу природу і закінчуючи науками про суспільство. Прогрес сучасного природознавства невіддільний від використання та розвитку імовірнісних ідей та методів. В наш час важко назвати якусь область досліджень, де б не застосовувалися імовірнісні методи.
Список літератури
1. Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей: Підручник для вишів. М.: Вища школа, 2006;
2. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. Навч. посібник для вузів. М: Вища школа, 1998;
3. Гнєденко Б.В. Нарис з теорії ймовірностей. М.: Едиторіал УРСС, 2009;
4. Майстров Л.Є. Розвиток теорії ймовірностей. М.: Наука, 1980;
5. Майстров Л.Є. Теорія імовірності. Історичний нарис. М: Наука, 1967 р.
6. Соболєв Є.В. Організація радіотехнічного забезпечення польотів (частина 1). Санкт-Петербург, 2008;
7.
http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Федеральне державне освітнє
бюджетна установа вищої професійної освіти
"ФІНАНСОВИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ПРИ УРЯДІ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ»
Факультет: Фінанси та кредит
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни «Теорія ймовірності та математична статистика»
Студентка: Коханська О.Ю.
Курс: 2 № групи: ЗСПЗ-ЕК201
Викладач: Бутковський О.Я.
Володимир 2014
1. На складі є 20 приладів, з яких два несправні. При надсиланні споживачеві перевіряється справність приладів.
Знайти ймовірність того, що три перші перевірені прилади виявляться справними.
Випробування (досвід) полягає у виборі навмання 3 приладів зі складу, на якому є 20 приладів (з яких 18 справні та 2 несправні).
Елементарною подією (вихід випробування) є отриманий набір з трьох приладів.
Нехай подія А полягає в тому, що три перші перевірені прилади виявляться справними.
Число результатів, що сприяють появі події А (вибір трьох справних приладів):
Відповідь: ймовірність того, що три перші перевірені прилади виявляться справними, дорівнює 0,716.
2. У друкарні є п'ять плоскодрукарських машин. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює зараз, дорівнює 0,9.
Знайти ймовірність того, що зараз працює:
а) дві машини;
б) хоча б одна машина
а) Р = 0.9 - ймовірність того, що 1 машина працює
тобто. ймовірність роботи 2 машин: p = 0,9 * 0,9 = 0,81 => 81%
б) Оскільки події «машина працює» і «машина не працює» (в даний момент) протилежні, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
Звідси ймовірність того, що машина зараз не працює, дорівнює
Шукана ймовірність
Р(А)= 1-q5=1-(0,1)5=1-0,00001=0,99999=99%
Оскільки отримана ймовірність дуже близька до одиниці, то, на підставі слідства з принципу практичної неможливості малоймовірних подій, ми маємо право зробити висновок, що зараз працює хоча б одна з машин.
Відповідь: а) ймовірність того, що зараз працює дві машини = 81%
б) ймовірність того, що в даний момент працює хоча б одна машина = 99%
3. При випуску телевізорів кількість екземплярів найвищої якості становить 80%. Випущено 400 телевізорів.
а) ймовірність того, що 300 із випущених телевізорів найвищої якості;
б) межі, у яких із ймовірністю 0,9907 укладено частку телевізорів найвищої якості.
У цьому ми маємо справу з незалежними випробуваннями, кожне з яких полягає у дослідженні якості випущеного телевізора. Число випробувань у нашому випадку.
Подія полягає в тому, що випущений телевізор найвищої якості.
а) Обчислити ймовірність появи події рівно 300 разів у 400 випробуваннях за формулою Бернуллі важко через громіздкість обчислень. Шукану ймовірність можна вирахувати, використовуючи асимптотичну (наближену) формулу Муавра - Лапласа.
Скористаємося локальною теоремою Муавра - Лапласа: якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань постійна та відмінна від 0 і 1, а кількість незалежних випробувань досить велика, то ймовірність обчислюється за наближеною формулою
Де - ймовірність настання події у кожному з випробувань,
Імовірність ненастання події у кожному з випробувань,
Функція Гауса.
Отже, подія полягає в тому, що випущений телевізор найвищої якості; ймовірність настання події у кожному із випробувань; ймовірність ненастання події у кожному із випробувань; кількість випробувань.
Значить ймовірність того, що із 400 випущених телевізорів 300 найвищої якості:
По таблиці значень функції Гауса знаходимо: .
Отже, .
б) Скористаємося наслідком інтегральної теореми Муавра - Лапласа: якщо ймовірність р настання події А кожному з випробувань постійна і відмінна від 0 і 1, а число незалежних випробувань досить велике, то ймовірність заданого відхилення відносної частоти (частини) появи події А його ймовірності обчислюється за наближеною формулою
Де р - ймовірність настання події А в кожному з випробувань,
q - ймовірність ненастання події А в кожному із випробувань,
п – число випробувань, – задане відхилення.
Функція Лапласа.
ймовірність випадковий величина очікування
У нашому випадку; ; кількість випробувань.
Знайдемо відхилення, при якому, тобто через наслідки інтегральної теореми Муавра - Лапласа
Отже, знайдемо з виразу
По таблиці значень функції Лапласа знаходимо: .
Отже
Значить з ймовірністю 0,9907 очікується відхилення відносної частоти появи події від.
Отже, межі, у яких із ймовірністю 0,9907 укладено частку телевізорів вищої якості: .
Іншими словами, з ймовірністю 0,9907 частка телевізорів найвищої якості становить від 74,8 до 85,2%.
Відповідь: а) ймовірність того, що 300 із випущених телевізорів вищої якості дорівнює 0,0022;
б) межі, в яких із ймовірністю 0,9907 укладено частку телевізорів найвищої якості від 74,8% до 85,2%.
4. У партії із восьми деталей шість стандартних. Навмання відбирають дві деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти її математичне очікування, дисперсію та функцію розподілу.
Дискретна випадкова величина – число стандартних деталей серед відібраних деталей – має такі можливі значення: , .
Знайдемо ймовірності цих можливих значень.
Шуканий закон розподілу дискретної випадкової величини, відповідно, матиме вигляд:
Випробування (досвід) полягає у випадковому виборі двох деталей із партії, що містить 8 деталей (6 стандартних та 2 нестандартних).
Елементарною подією (вихід випробування) є отриманий набір з 2 деталей.
Число всіх можливих результатів випробування:
Число результатів, що сприяють тому, що кількість стандартних деталей серед відібраних деталей (тобто серед відібраних деталей 0 стандартних та 2 нестандартних деталей):
Скориставшись класичним визначенням ймовірності, отримуємо:
Число результатів, що сприяють тому, що кількість стандартних деталей серед відібраних деталей (тобто серед відібраних деталей 1 стандартна та 1 нестандартна):
Скориставшись класичним визначенням ймовірності, отримуємо:
Число результатів, що сприяють тому, що кількість стандартних деталей серед відібраних деталей (тобто серед відібраних деталей 2 стандартних і 0 нестандартних деталей):
Скориставшись класичним визначенням ймовірності, отримуємо:
Сума ймовірностей
Таким чином, шуканий закон розподілу дискретної випадкової величини має вигляд:
Знайдемо математичне очікування та функцію розподілу випадкової величини.
Математичне очікування дискретної випадкової величини:
Дисперсія дискретної випадкової величини Х:
Функція розподілу імовірностей (інтегральна функція розподілу) випадкової величини задається формулою.
При побудові функції отримуватимемо її аналітичне вираз кожному проміжку розбиття числової прямої точками, відповідними значенням заданої випадкової величини, використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій:
a) для, оскільки в даному випадку ми маємо справу з ймовірністю неможливої події (зокрема для);
b) для (зокрема);
c) для (зокрема);
Узагальнюючи отримані дані, можна записати:
Відповідь: ; ; ;
1. Зі 1560 співробітників підприємства за схемою власне-випадкової безповторної вибірки відібрано 100 осіб для отримання статистичних даних про перебування на лікарняному листку протягом року. Отримані дані представлені у таблиці.
а) ймовірність того, що середня кількість днів перебування на лікарняному листі серед співробітників підприємства відрізняється від їх середньої кількості у вибірці не більше ніж на один день (за абсолютною величиною);
б) межі, в яких із ймовірністю 0,95 укладено частку всіх співробітників, які перебувають на лікарняному листі не більше семи днів;
в) обсяг безповторної вибірки, у якому ті самі межі частки (див. п. б)) можна гарантувати з ймовірністю 0,98.
а) Виберемо число лікарняних, у кожному з інтервалів (середина інтервалу). У початковому інтервалі приймемо значення 2 дні. Зрештою 12 днів, в інших середину інтервалу.
Вибіркова середня дорівнює:
Вибіркова дисперсія:
знайдемо значення t із співвідношення
Значення Ф(t) взяті із відповідних таблиць.
б) У вибірці частка таких співробітників дорівнює:
Вважаючи генеральну сукупність набагато більшою, порівняно зі 100 маємо для необхідної величини:
Тоді шукані межі:
в) Обсяг для даного виду вибірки та даної ймовірності (t=2,33):
Відповідь: а) ймовірність того, що середня кількість днів перебування на лікарняному листі серед співробітників підприємства відрізняється від їхньої середньої кількості у вибірці не більше ніж на один день, дорівнює 0,999;
б) межі, в яких із ймовірністю 0,95 укладено частку всіх співробітників, які перебувають на лікарняному листку не більше семи днів від 47,3% до 66,7%;
в) обсяг безповторної вибірки з ймовірністю 0,98 дорівнює 141 співробітнику.
3. Розподіл 110 зразків полімерних композиційних матеріалів за вмістом у них нафтошламів Х (%) та водопоглинання Y (%) представлено в таблиці.
Необхідно:
1. Обчислити групові середні, побудувати емпіричні лінії регресії.
2. Припускаючи, що між змінними Х та Y існує лінійна кореляційна залежність:
а) знайти рівняння прямих регресії, побудувати їх графіки на одному кресленні з емпіричними лініями регресії та дати змістовну інтерпретацію отриманих рівнянь;
б) обчислити коефіцієнт кореляції; на рівні важливості? = 0,05 оцінити його значущість і зробити висновок про тісноту та напрям зв'язку між змінними Х та Y;
в) використовуючи відповідне рівняння регресії, оцінити середній відсоток водопоглинання у зразках, що містять 35% нафтошламів.
1). Обчислимо групові середні значення:
У таблиці записана функціональна залежність між і xi, або кореляційна залежність у х.
Побудуємо емпіричні лінії регресії:
2). Припускаючи, що між змінними X та Y існує лінійна кореляційна залежність:
а) знайдемо рівняння прямих регресій.
Випадкова величина Х - вміст нафтошламів, %
Випадкова величина Y – вміст водопоглинання, %.
Знайдемо підступність:
Обчислимо коефіцієнт регресії у по х і складемо рівняння цієї залежності:
у = 1,117 х + 8,792
Обчислимо коефіцієнт регресії х по у і складемо рівняння відповідної залежності:
х = 0,797 у -3,744
Побудуємо графіки прямих регресій на одному кресленні з емпіричними лініями регресії:
б) Обчислимо коефіцієнт кореляції:
Тобто. зв'язок між змінними Х і Y (ступенем автоматизації виробництва та зростанням продуктивності праці) прямий, тісний.
Оцінимо значущість коефіцієнта кореляції за критерієм Стьюдента:
Розрахункове значення критерію Стьюдента більше табличного
tтабл.(?=0,05; k=108) = 1,6591, отже коефіцієнт кореляції є значним.
в) Визначимо, використовуючи рівняння регресії у по х, середній відсоток водопоглинання у зразках, що містять 35% нафтошламів:
у = 1,117 * 35 + 8,792 = 47,887
Тобто. середній відсоток водопоглинання у зразках, що містять 35% нафтошламів, становитиме 47,9%.
Розміщено на Allbest.ur
...Подібні документи
Поняття теорії ймовірностей та математичної статистики, застосування їх на практиці. Визначення випадкової величини. Види та приклади випадкових величин. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Закони розподілу безперервної випадкової величини.
реферат, доданий 25.10.2015
Імовірність потрапляння випадкової величини Х заданий інтервал. Побудова графіка функції розподілу випадкової величини. Визначення ймовірності того, що навмання взятий виріб відповідає стандарту. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
контрольна робота , доданий 24.01.2013
Безперервна випадкова величина та функція розподілу. Математичне очікування безперервної випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення. Крива розподілу для безперервної випадкової величини. Поняття однофакторного дисперсійного аналізу.
контрольна робота , доданий 03.01.2012
Визначення ймовірності попадання на ціль за формулою Бернуллі. Закон та багатокутник розподілу випадкової величини. Побудова функції розподілу, графіка. Математичне очікування, дисперсія, середнє відхилення випадкової величини.
контрольна робота , доданий 26.02.2012
Використання формули Бернуллі знаходження ймовірності походження події. Побудова графіка дискретної випадкової величини. Математичне очікування та властивості інтегральної функції розподілу. Функція розподілу безперервної випадкової величини.
контрольна робота , доданий 29.01.2014
Випадкові величини. Функція та щільність розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Сингулярні випадкові величини. Математичне очікування випадкової величини. Нерівність Чебишева. Моменти, кумулянти та характеристична функція.
реферат, доданий 03.12.2007
Математичне очікування випадкової величини. Властивості математичного очікування, дисперсія випадкової величини, суми. Функція від випадкових величин, її математичне очікування. Коефіцієнт кореляції, види збіжності послідовності випадкових величин.
лекція, доданий 17.12.2010
Розв'язання задач щодо визначення ймовірності подій, ряду та функції розподілу за допомогою формули множення ймовірностей. Знаходження константи, математичного опису та дисперсії безперервної випадкової величини з функції розподілу випадкової величини.
контрольна робота , доданий 07.09.2010
Поняття та сутність багатовимірної випадкової величини, її відмінність від одномірної та застосування для вирішення статистичних завдань. Особливості умовної ймовірності, розрахунок та визначення суми всіх ймовірностей. Математичний закон розподілу подій.
презентація , додано 01.11.2013
Дискретні випадкові величини та його розподілу. Формула повної ймовірності та формула Байєса. Загальні характеристики математичного очікування. Дисперсія випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини. Класичне визначення імовірностей.
Визначення.Теорія ймовірностей – це наука, яка вивчає закономірності у випадкових явищах.
Визначення.Випадкове явище - це таке явище, яке при неодноразовому випробуванні протікає щоразу по-різному.
Визначення.Досвід – діяльність людини чи процес, випробування.
Визначення.Подія – результат досвіду.
Визначення.Предметом теорії ймовірностей є випадкові явища та специфічні закономірності масових випадкових явищ.
Класифікація подій:
- Подія називається достовірним якщо в результаті досвіду воно обов'язково відбудеться.
приклад.Шкільний урок обов'язково закінчиться.
- Подія називається неможливим якщо за заданих умов воно ніколи не відбудеться.
приклад.Якщо в ланцюзі немає електричного струму, лампа не загориться.
- Подія називається випадковим або неможливим якщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.
приклад.Подія – скласти іспит.
- Подія називається рівноможливим якщо умови появи однакові і немає підстав стверджувати, що в результаті досвіду одна з них має шанс з'явитися більше, ніж інша.
приклад.Випадання герба або решки під час кидка монети.
- Події називаються спільними якщо поява одного з них не виключає можливостей появи іншого.
приклад.При пострілі, промах та переліт – події спільні.
- Подія називається несумісним якщо поява одного з них виключає можливість появи іншого.
приклад.При одному пострілі потрапляння та промах – події не спільні.
- Дві несумісні події називаються протилежними якщо в результаті досвіду одне з них обов'язково відбудеться.
приклад.При складанні іспиту, події «склав іспит» та «не склав іспит», називаються протилежними.
Позначення: - нормальна подія; - протилежна подія.
- Декілька подій утворюють повну групу несумісних подій якщо в результаті досвіду настане тільки одне з них.
приклад.При складанні іспиту можливо: «не склав іспит», «склав на 3», «склав на 4», - повна група несумісних подій.
Правила суми та твори.
Визначення.Сумою двох творів a і b називають подію c , яка полягає у появі події a або події b або обох одночасно.
Суму подій називають об'єднанням подій (Поява хоча б однієї з подій).
Якщо в задачі за змістом очевидно, що має з'явитися a АБО b , то кажуть, що знаходять суму.
Визначення.Добутком подій a і b називають подію c , що полягає в одночасному появі подій a і b .
Твором називають перетин двох подій.
Якщо у завданні кажуть, що знаходять a І b , Отже знаходять твір.
приклад.При двох пострілах:
- якщо потрібно знайти попадання хоча б один раз, то знаходять суму.
- якщо потрібно знайти попадання двічі, то знаходять твір.
Імовірність. Властивість імовірності.
Визначення.Частотою деякої події називають число рівне відношенню числа дослідів, в якому подія з'явилася до всіх вироблених дослідів.
Позначення: r() – частота події.
приклад.Підкидаючи монету 15 разів, і у своїй герб випаде 10 разів, тоді частота появи герба: r()=.
Визначення.При нескінченно великій кількості дослідів, частота події стає рівна ймовірності події.
Визначення класичної ймовірності. Імовірністю події називають відношення числа сприятливих появі цієї події випадків до всіх єдино можливих і рівноможливих випадків.
Позначення: , де P - ймовірність,
m – кількість випадків, що сприяють появі події.
n – загальна кількість можливих і рівноможливих випадків.
приклад. У змаганнях із бігу беруть участь 60 студентів ЧІЕПу. Кожен має номер. Знайти ймовірність того, що номер студента, який виграв забіг, не містить цифри 5.
Властивості ймовірності:
- значення ймовірності не негативне і укладено між значеннями 0 та 1.
- ймовірність дорівнює 0, тоді і лише тоді, коли це ймовірність неможливої події.
- ймовірність дорівнює 1, тоді й лише тоді, коли це ймовірність достовірної події.
- ймовірність однієї й тієї ж події незмінно, залежить від кількості проведених дослідів і змінюється лише тоді, коли зміняться умови проведення досвіду.
Визначення геометричної ймовірності. Геометричною ймовірністю називають відношення частини області, потрапляння в якій обраної точки необхідно знайти у всій області, потрапляння в якій у цій точці є рівноможливим.
Область може бути мірою площі довжини чи обсягу.
приклад.Знайти ймовірність попадання деякої точки на ділянку довжиною 10 км, якщо необхідно, щоб вона потрапила поблизу кінців відрізка, не далі ніж на 1 км від кожного.
Зауваження.
Якщо заходи області s і S мають різні одиниці виміру за умовою завдання, то для розв'язання необхідно s та S надати єдиної розмірності.
З'єднання. Елементи комбінаторики.
Визначення.Об'єднання елементів різних груп, які відрізняються порядком елементів або хоча б одним елементом називають сполуками.
З'єднання бувають:
Розміщення
Поєднання
Перестановки
Визначення.Розміщеннями з n - елементів по m разів, називають з'єднання, що відрізняється один від одного, хоча б одним елементом і порядком розташування елементів.
Визначення.Поєднаннями з n елементів по m називається з'єднання, що складається з одних і тих же елементів, що відрізняються хоча б одним елементом.
Визначення.Перестановками з n елементів називають з'єднання, що складаються з одних і тих же елементів, що відрізняється один від одного тільки порядком розташування елементів.
приклад.
1) Скільки способами можна скласти автоколону з 5 автомобілів.
2) Скільки способами можна призначити в класі 3х чергових, якщо всього людина в класі 25.
Так як порядок елементів не важливий і групи сполук відрізняються кількістю елементів, то обчислимо число поєднань з 25 по 3 елементів.
методів.
3) Скількими способами цифр 1,2,3,4,5,6 можна скласти 4х значне число. Отже, т.к. з'єднання відрізняються порядком розташування і хоча б одним елементом, то обчислимо розміщення з 6 елементів 4.
Приклад використання елементів комбінаторики, на обчислення ймовірності.
У партії із n виробів – m – бракованих. Довільним чином вибираємо l-виробів. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться рівно k – шлюбів.
приклад.
У магазин на склад привезли 10 холодильників із них 4-3хкамерних, решта – 2хкамерні.
Знайти ймовірність того, що серед обраних довільним чином 5 пагорбів – 3 будуть 3-х камерними.
Основні теореми теорії ймовірностей.
Теорема 1.
Імовірність суми 2х несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Слідство.
1) якщо подія утворює повну групу несумісних подій, сума їх ймовірностей дорівнює 1.
2) сума ймовірностей 2х протилежних подій дорівнює 1.
Теорема 2.
Імовірність твору 2-х незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей.
Визначення.Подія A називається незалежною від події У, якщо ймовірність появи події А залежить від цього станеться подія У чи ні.
Визначення. 2 події називаються незалежними, якщо ймовірність настання одного з них залежить від появи або появи другої.
Визначення.Вірогідність події У обчислену за умови, що подія А мала місце, називають умовною ймовірністю.
Теорема 3.
Імовірність твору 2х незалежних подій дорівнює ймовірності появи однієї події на умовну ймовірність другої при тому, що перша подія сталася.
приклад.
У бібліотеці є 12 підручників з математики. З них, 2 підручники з елементарної математики, 5 – з теорії ймовірностей, інші – з вищої математики. Вибираємо довільним чином 2 підручники. Знайти ймовірність того, що вони обидва поп елементарної математики.
Теорема 4. Імовірність появи події хоча б 1 раз.
Імовірність появи хоча б однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій і різниці між першим і твором ймовірностей протилежних даним подій.
Нехай тоді
Слідство.
Якщо ймовірність появи кожного з події , однакова і дорівнює p, тоді ймовірність того, що з'явиться хоча б одна з даних подій
N – кількість зроблених дослідів.
приклад.
Виробляють 3 постріли по мішені. Імовірність влучення при першому пострілі 0,7, при другому – 0,8, при третьому – 0,9. визначити ймовірність того, що при трьох незалежних пострілах у ціль буде:
А) 0 влучень;
Б) 1 влучення;
В) 2 влучення;
Г) 3 влучення;
Д) хоча б одне влучення.
Теорема 5. Формула ймовірності.
Нехай подія А може виникнути разом з однією з гіпотез, тоді можливість того, що подія А сталося, знаходять за формулою:
та . Наводимо до спільного знаменника.
Т.о. виграти одну партію з 2х у рівносильного супротивника вірогідніше, ніж виграти 2 партії з 4х.
