Приклади динамічних систем теорії випадкових. Динамічні системи та їх властивості

На різноманіттях та їх підмножинах. Тісно пов'язані з теорією диференціальних рівнянь, оскільки звичайне диференціальне рівняння задає однопараметричну групу диффеоморфизмов свого фазового простору.

Цю область вивчення часто називають просто "Динамічні системи", "Теорія систем", або довша як "Теорія математичних динамічних систем".

Шаблон:Системи

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Теорія груп Лі
• Теорія диференціальних рівнянь

Дивитись що таке "Теорія динамічних систем" в інших словниках:

МЕТРИЧНА ТЕОРІЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ- те саме, що ергодична теорія... Математична енциклопедія

ЕНТРОПІЙНА ТЕОРІЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ- розділ ергодичної теорії, тісно пов'язаний з теорією ймовірності і теорією інформації. Природа зв'язку в загальних рисах така. Нехай (Tt) динамічний. система (зазвичай вимірний потік чи каскад)з фазовим простором Wі інваріантним заходом Нехай … Математична енциклопедія

Кафедра нелінійних динамічних систем та процесів управління ВМК МДУ- Кафедра Нелінійних Динамічних Систем та Процесів Управління факультету Обчислювальної математики та кібернетики МДУ ім. М. В. Ломоносова (ПДСіПУ ВМК МДУ). Завідувач кафедри (з 1989 року) – лауреат Ленінської, Державних (СРСР та РФ), … … Вікіпедія

Теорія катастроф (математика)- Теорія катастроф розділ математики, що включає теорію біфуркацій диференціальних рівнянь (динамічних систем) і теорію особливостей гладких відображень. Терміни «катастрофа» та «теорія катастроф» були запроваджені Рене Томом (René Thom) та… … Вікіпедія

Теорія біфуркацій- динамічних систем це теорія, що вивчає зміни якісної картини розбиття фазового простору в залежності від зміни параметра (або кількох параметрів). Зміст 1 Огляд 2 Біфуркація рівноваг … Вікіпедія

Теорія лінійних стаціонарних систем- розділ теорії динамічних систем, що вивчає поведінку та динамічні властивості лінійних стаціонарних систем (ЛСС). Широко використовується в процесі управління технічними системами, цифрової обробки сигналів та інших галузях інженерної справи.

Теорія випадкових матриць- Теорія випадкових матриць розділ математичної статистики, що вивчає властивості ансамблів матриць, елементи яких розподілені випадковим чином. Як правило, задається закон розподілу елементів. При цьому вивчається статистика власних ... Вікіпедія

Теорія вузлів- Теорія вузлів вивчення вкладень одновимірних різноманітностей у тривимірний евклідовий простір або у сферу. У ширшому значенні предметом теорії вузлів є вкладення сфер у різноманіття і взагалі вкладення різноманіття. Зміст 1… … Вікіпедія

Теорія Колмогорова- Теорія Колмогорова Арнольда Мозера, або теорія КАМ названа на честь її творців, А. Н. Колмогорова, В. І. Арнольда та Ю. Мозера, гілка теорії динамічних систем, що вивчає малі обурення майже ... Вікіпедія

Теорія катастроф (значення)- Теорія катастроф: Теорія катастроф розділ математики, що включає теорію біфуркацій диференціальних рівнянь (динамічних систем) і теорію особливостей гладких відображень. Катастрофізм (теорія катастроф) система… … Вікіпедія

Книги

• Синхронізація динамічних систем, . У цій книзі робиться спроба систематичного викладу фактів і результатів, що відносяться до галузі науки і техніки-синхронізації динамічних систем, що швидко розвивається. Книга… Купити за 735 руб
• Теорія динамічних систем, Г. А. Степаньянц. Ця книга присвячена викладу основ загальної теорії динамічних систем, створеної працями низки видатних вітчизняних та зарубіжних математиків. Знайомство з цією теорією дозволяє…

Концепція системи, основні характеристики системи.

Система –це сукупність елементів, що у взаємодії і пов'язані певної структурою.

Базовий блок будь-якої системи – складові її елементи, кожен елемент характеризується набором станів, де він може бути.

Схема функціонування елемента системи:

Для багатьох систем характерний принцип зворотного зв'язку – вихідний сигнал можна використовуватиме корекції управління.

S(t) – стан елемента на момент t.

U(t) – керування елементом у момент t.

a(t) – зовнішнє середовище елемента на момент t.

E(t) – випадкові впливу елемента на момент t.

Y(t) – вихідний сигнал елемента на момент t.

У загальному випадку опис функціонування елемента системи здійснюється за допомогою системи диференціальних або різницевих рівнянь такого виду:

Y(t) = f(S(t), S(t-1), …, U(t), U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t), E(t-1), ...)

(Y(t) = g(S(t), a(t), E(t)) (1)

Приклади структури системи:

лінійна (послідовна):

ієрархічна (деревоподібна):

радіальна (зіркоподібна):

стільникова або матрична:

багатозв'язкова - з довільною структурою.

При аналізі динамічних систем розглянемо рішення наступних задач:

Завдання спостереження - полягає у визначенні стану системи в момент часу S(t) за даними вихідних величин (про їхню поведінку) у майбутньому.

Знайти S(t) , знаючи,
для системи із дискретним часом.

для систем із безперервним часом.

Завдання ідентифікації – у визначенні поточного стану S(t) за даними поведінці вихідних величин у минулому.

3. Завдання прогнозування – визначення майбутніх станів за даними точних і

минулих значень.

Знайти S(t+1), S(t+2),… знаючи

Завдання пошуку управління – знайти керуючу послідовність U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, яка наводить систему із стану S(t) = X у стан S(S) = Y.

Завдання синтезу максимального управління – полягає у певній оптимальній послідовності керуючих впливів U*(t), що вирішує задачу 4 і максимальну цільову функцію або функціональну:

F(S(t)), t = 0,1,2,...

Типи систем:

За наявності випадкових факторів:

Детерміновані

Стохастичні – впливом випадкових чинників не можна нехтувати.

2. За врахуванням фактору часу:

Системи з безперервним часом

Системи з дискретним часом

3. За впливом минулих періодів:

Марківські системи – для вирішення 1 та 2 завдань потрібна інформація лише за безпосередньо попередній або наступний період. Для Марківської систем рівняння (1) набуває вигляду: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E( t), E(t-1)) = 0

Немарківська.

Деякі загальні властивості систем:

причинність - можливість передбачати наслідки деяких наслідків у майбутньому. Частина. Випадок: зумовленість системи означає, що у сутності такі стану, котрим вся майбутня еволюція системи то, можливо обчислена з урахуванням попередніх спостережень.

керованість – у тому, що підходящим вибором вхідного впливу U можна домогтися будь-якого вхідного сигналу Y.

стійкість – система є стійкою, якщо за досить малих змін умов її функціонування поведінка системи значно зміниться.

інерційність – виникнення запізнювань у системі під час реакції (запізнювання) зміну управління та (або) довкілля.

адаптивність – здатність системи змінювати поведінки та (або) свою структуру у відповідь на зміну зовнішнього середовища.

Детерміновані динамічні системи із дискретним часом.

Багато програм в економіці вимагають моделювання систем у часі.

Стан системи на момент часу t описується мірним вектором X(t).

X(t) = ….. , X(t) R n (R – безліч усіх дійсних чисел)

t

Еволюція системи згодом описується функцією

G (X 0 , t, ), де

X 0 - Початковий стан системи;

t – час;

- Вектор параметрів.

Функція g(*) називають також перехідною функцією

Функція g(*) – це правило, що описує поточний стан як функцію від часу, початкових умов та параметрів.

Наприклад: X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

Функція g(*) зазвичай не відома. Зазвичай вона задана неявно як розв'язання системи різницевих рівнянь.

Різнинне рівняння або система рівнянь - це рівняння в наступній формі: F (t, X t, X t +1, …, X t + m, ) = 0 (1), де

X t - Стан системи в момент часу t.

Рішення рівняння (1) – це послідовність векторів

X t = X 0 , X 1 ,…,

Зазвичай передбачається, що рівняння (1) можна вирішити аналітично щодо X t + m та переписати у формі так званих рівнянь – станів:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …, X t+m-1 , )(2)

Наприклад:

X t +2 = X t + X t +1 /2 + t

Будь-яку систему представляють у формі (2) чи завжди можна?

Різнисне рівняння (2)називається лінійним, якщо F(*) є лінійною фуекцією змінних станів (не обов'язково лінійно щодо )

У рівняннях (1) та (2) величина m називається порядком системиперестав бути серйозним обмеженням, оскільки системи вищого порядку шляхом запровадження додаткових змінних і рівнянь.

Приклад: X t = f (X t -1 , Y t -1) - Система 2-го порядку

Введемо Y t = X t -1

X t = f(X t -1 , Y t -1)

Таким чином, ми розглядатимемо лише системи 1-го порядку наступного виду:

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

Рівняння (3) називається автономним, якщо t не входить до нього окремим аргументом.

Приклад:

Розглянемо динаміку основних фондів для підприємства

K t - Вартість основних фондів підприємства в період t.

- норма амортизації, тобто % основних фондів, які вилучили для підприємства протягом року.

I t = Інвестиції в основні фонди.

K t +1 = (1 - )K t + I t - рівняння 1-го порядку, лінійне, якщо I t = I, тоді

K t +1 = (1 - )K t + I – рівняння автономне

Якщо I t = I(t) – неавтономне (залежить від t)

Рішення рівняння (3) – це послідовність векторів стану (X t ), що задовольняють рівняння (3) всім можливих станів. Ця послідовність називається траєкторією системи. Рівняння (3) показує, як стан системи змінюється від періоду до періоду, а траєкторія системи дає її еволюцію як функцію початкових умов та стану зовнішнього середовища .

Якщо відомо початковий стан X 0 легко отримати послідовність рішень шляхом ітеративного застосування відносини (3), отримаємо перехідну функцію наступним чином:

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 = f (0, X 0 , ) = g (0, X 0 , )

X 2 = f(1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t - 1, X 0, ),) = g (t, X 0 , )

Якщо f (*) однозначна, всюди визначена функція, існує унікальне рішення рівняння (3) для будь-якого X 0 .

Якщо функція має вигляд f (t, X t , ) = / X t - не всюди визначена.

Якщо f (*) безперервна диференціальна функція, то рішення також буде гладким щодо та X 0

Отримане рішення залежить від початкового стану X0.

Завдання з граничною умовою складається з рівняння (3) та граничної умови, що задається у формулі:

X s = X s (4)

Якщо рівнянні (4) – S = 0 , воно називається початковим станом.

Рівняння (3) має багато розв'язків, а рівняння (3) + (4) – система – єдине рішення, тому розрізняють загальне та приватне рішення різницевого рівняння (3):

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t , ))) , де параметр е індексує приватне рішення.

X t – розмір вкладу на момент t

Z - % я ставка

X t +1 = X t (1 + z); X 0 = …

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 = X 1 (1 + z) = X 0 (1 + z) 2 = g (X 0, t, z), де t = 2

Якщо можна знайти загальне рішення системи (3). у нас буде повна інформація про поведінку системи з часом, легко визначити, як система реагує на зміну параметрів.

На жаль, загальне рішення існує лише певних класів l – го порядку (зокрема для лінійних систем)

Автономні системи

Поведінка автономних систем задається різницевим рівнянням

X t +1 = f (X t , ) (1)

Автономні системи моделюють ситуації, де структура системи залишається незмінною з часом. Це дозволяє використовувати для аналізу графічний метод.

X t = 1 = f (t, X t )

X t = X t +1 - X t = f (t, X t, ) - X t = d (t, X t, ) (2)

Функція d (*) показує, наскільки зміниться стан системи від періоду до періоду. У кожній точці X t можна порівняти вектор X t у відповідному рівнянні (2) Функція d (*) у цьому контексті називається векторним полем

X 0 / t = 0

Для автономних систем
і

В автономних системах всі системи, що потрапили будь-коли в т. Х 0 згодом випливають однією і тією ж траєкторією. У неавтономних системах поведінка залежить і від того, коли система потрапила до т. х 0.

За початкової умови Х 0 для автономних систем застосуємо рівняння (1):

двічі послідовно застосована.

У наведеній вище системі f t означає результат t-кратного ітеративного застосування функції f () до свого аргументу. Функція f t показує, куди перейде система за періодів t з початкового стану.

X t – куди перейде система із т. х 0 за t періодів часу.

Функція ft іноді називається потоком системи.

Стійкі стани. Періодичні рівноваги. Стабільність.

З часом система переходить до сталого стану. Тому нас цікавитиме асимптотична поведінка системи при t → ∞.

Розглянемо систему

Отже, якщо
існує, то
.

Точка Х, яка задовольняє рівняння
називається нерухомою точкою відображення
.

Крапка називається у тих динамічних систем стійким станом чи стаціонарним станом.

Нерухомі точки широко використовуються вивчення довгострокового поведінки динамічних систем.

якщо
, то 1 або 0

Теорія стійкості Ляпунова

Крапка називається стабільною за Ляпуновим, якщо для будь-якого числа
існує така кількість ,
, що з умови
для всіх
.

–довжина вектор на площині.

-Рівноважний стан.

-норма вектора Х.

Крапка буде стабільною за Ляпуновим у тому випадку, коли система один раз потрапивши в околицю точки. і надалі залишиться на околиці .

Крапка називається асимптотично стійкою за Ляпуновим якщо:

Для асимптотично стійких систем з часом система підходить все ближче і ближче до свого рівноважного стану.

Система поводиться так:

-Потік системи

–куди перейде система через кроки

Періодичним рішенням динамічної системи
називається рішення у формі
де р - період системи або період траєкторії.

Таким чином, періодичне рішення є нерухомою точкою відображення.
.

Нерухома точка

Перевіримо, чи є нерухома точка
:

будь-яка точка є нерухомою.

Скалярні лінійні системи

Скалярні лінійні системи мають форму:
(1)

-Рівняння, піддане в момент t.

Якщо у рівнянні (1)
, то
, то воно називається однорідним.

Однорідні лінійні системи

Для скалярних систем зручно аналізувати поведінку системи з допомогою фазової діаграми. Фазова діаграма – це графік залежності

Випадок 1. 0

Є аналітично стабільною

-лінійна, якщо а = 1, під 450 - кут нахилу.

Для 0

Випадок 2. -1

Затухаючі коливання

Випадок 3. а>1

Випадок 4. а<-1

Випадок 5. а = 1

Випадок 6. а = 0

Випадок 7. а = -1 x t+1 = -x t

Якщо
, то

, то

Загальне рішення однорідних лінійних систем має вигляд:

При
,
,

Неоднорідні лінійні системи першого порядку

(1)

-Управління

При аналізі неоднорідних систем значної ролі грає принцип «суперпозиції».

Він полягає в тому, що загальне рішення рівняння (1) може бути записане у формі рівняння:

(2)

де – загальне рішення однорідного рівняння (1):
і називається комплементарною функцією.

- Будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння (1).

Автономне рівняння (1)

1.

2.

Доведення:

Якщо - Рішення рівняння (1), то
.

Якщо – інше рішення рівняння (1), то

Розглянемо функцію
і перевіримо, чи є розв'язком рівняння (1).

2. [Необхідність] Ми показали, що якщо ми почнемо з будь-якого рішення і додамо до нього
, ми отримаємо рішення рівняння (1). Виникає питання, чи ми отримаємо подібним чином усі рішення рівняння (1). Доведемо, що це справді так:

Нехай у нас є два рішення (1), і :

Позначимо

- однорідне,
z t = ca t

-= ca t
=+ca t

Автономні лінійні системи

Х t +1 = ax t +U (3)

=+ (2)

= ca t

= a + U
=

=+ ca t

Якщо

Якщо

У випадку, коли
з часом система досягає стану →та відповідним підбором рівняння U ми зможемо досягти будь-якого стану. Система (3) називається у разі керованої.

Якщо
, то з часом система прийме необмежені значення незалежно від рівняння і, отже, буде некерованою.

Загальне рішення (3) має вигляд:

(4)

Розглянемо граничну умову x s = x s:

(5)

Неавтономні лінійні системи

X t +1 = ax t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

Якщо
, то

Якщо
, то

Припустимо, послідовність Ut є обмеженою, тобто. U t ≤ для будь-якого.

Тоді – прикордонне значення.

ЕКОНОМІЧНІ ДОДАТКИ ТЕОРІЇ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ

Павутиноподібна модель ринкової рівноваги.

Основні припущення моделі:

лінійний характер кривої попиту

лінійний характер кривої речення

рівність кривої попиту та пропозиції

де d 0 , d 1 >0

Пропозиція:

, де S 1 >0, S 0 ≤0 (оскільки за ціною 0 ніхто нічого не випускає).

Рівновага:

d 0 -d 1 P t =S 0 +S 1 P t-1

d 1 P t =d 0 -S 0 –S 1 P t-1 │:d 1

P t =
(*)

Для того, щоб ціни з часом сходилися до рівноважної ціни, необхідно, щоб ставлення абоS 1 d 1
в системі будуть коливання, що розходяться.

на графіку крива

пропозиції крутіші, ніж крива попиту.

d 1 p * = d 0 -S 0 -S 1 p *

Для більш раціональної поведінки виробники у своїх рішеннях повинні враховувати не тільки поточну, а й майбутню кон'юнктуру ринку. Таким чином, для нормального функціонування ринку важливою є здатність економічних агентів формувати очікування майбутнього (робити прогнози).

Динаміка цін фінансових ринках.

S – пропозиція нерухомості

D – попит на нерухомість

P t - Вартість акцій в момент t.

d t – дисиденті на момент t.

r-відсоткова ставка за депозитними рахунками.

- Очікувана вартість акцій у момент t+1.

Арбітражем називається ситуація, що дозволяє отримати інвестору негайний прибуток без ризику за рахунок купівлі активу за низькою ціною та його негайного перепродажу за вищою ціною.

Вважається, що ринок є ефективним, якщо на ньому відсутні можливості для арбітражу.

Скористаємося принципом відсутності арбітражу, щоб отримати балансове співвідношення вартості акцій.

(1)

На прикладі Харківської нерухомості:

P t = 30 тис. дол.

Dt = 2 тис.дол. на рік – плата за здачу житла

-Очікувана ціна на квартиру в наступному періоді.

= 33-2 = 31 тис. дол.

МЕХАНІЗМИ ФОРМУВАННЯ ОЧІКУВАНЬ

1. Модель адаптивних очікувань

=
, де 0≤≤1

0
=

1
=

- метод експонентного згладжування (2)

(1)

(2)

Припустимо, що d t =d=const для будь-якого t

0

Спільне рішення:
, де Р 0 - Початкова вартість акцій.

a<1,
a t P 0
0

фундаментальну вартість акцій.

a t P 0 – спекулятивна складова

2. Модель раціональних очікувань

Недолік – низька швидкість навчання учасників ринку. Це відкриває можливість інтертепорального арбітражу, тобто. спекуляції на прогнозованих змінах курсу акцій у наступних періодах.

Щоб усунути цю логічну суперечність, у 1970-х було запропоновано модель раціональних очікувань (Р. Лукас).

Суть моделі – у середньому ринок неспроможна систематично помилятися щодо оцінки курсу активів. Щодо нашої моделі це означає таке: інвестори не повинні систематично помилятися в оцінці вартості акцій.

- несмещенность оцінки, тобто.
- є незміщеною оцінкою P t +1; або
= P t +1 + E t

E t – помилка оцінювання

Розглянемо екстремальний варіант моделі раціональних очікувань (модель з повним передбаченням), де помилка оцінювання дорівнює 0.

З моделі з повним передбаченням припустимо, що E t =0, тобто.
= P t +1

Розглянемо динаміку цін на акції моделі з повним передбаченням.

Умова арбітражу:

(1+r) Pt = dt

(1+r) Pt=dtPt+1

=P t+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t є нестабільною, P t →, оскільки (1+r) >, якщо тільки не починаємо рух із нерухомої точки:

Якщо P t = , то P t + k =

d = 0, P t +1 = (1 + r) Pt

У моделі повного передбачення очікування інвесторів грають роль пророцтва, що самовиражається, ціни на активи можуть необмежено зростати, т.к. інвестори вважають, що вони зростатимуть. Таким чином, у такій моделі спекулятивний компонент вартості акцій домінує над її фундаментальним значенням.

Динамічні та статистичні теорії

Одне з головних завдань будь-якої наукової теорії полягає в тому, щоб за станом системи передбачити її майбутнє або відновити минуле стан. Проте, оскільки стан системи можна описувати по-різному (пп. 3.4.1, 3.4.2, 3.5.3), відрізняється характер предсказаний. У цьому відношенні всі теорії можна поділити на два класи: динамічніі статистичні. У динамічній теорії стан системи визначається значеннями фізичних величин, що характеризують її. Відповідно, динамічна теорія дозволяє прогнозувати значення фізичних величин, що характеризують систему.

Історично перша наукова теорія – класична механіка – теорія динамічна. Вона стала взірцем, яким крилися інші розділи класичного природознавства: термодинаміка, електродинаміка, теорія відносності, теорія хімічної будови, систематика живих істот… Сформувалося переконання, що динамічні теорії несуть найбільш фундаментальне знання.

Теорія, у якій стан системи визначається завданням ймовірностейтих чи інших значень фізичних величин відноситься до статистичних теорій.

Статистична теорія дозволяє пророкувати лише ймовірності тих чи інших значень фізичних величин, що характеризують систему.

Перші статистичні теорії стали виникати в XIX столітті: молекулярно-кінетична теорія і, ширше, статистична механіка у фізиці, дарвінівська теорія еволюції (заснована на уявленнях про невизначену, тобто випадкову мінливість), менделівська генетика. Більшість же чинних статистичних теорій з'явилися вже в XX столітті. Зі статистичними теоріями до природознавства увійшло фундаментальне поняття флуктуації.

Флуктуація – це випадкове відхилення характеристик системи
від найбільш ймовірного чи середнього значення.

Причини флуктуацій можуть бути різними. Наприклад, блакитний колір піднебіння, зрештою, зумовлений тим, що кількість молекул повітря в заданому обсязі не завжди: воно постійно коливається навколо середнього значення. Причина - безладний тепловий рух молекул: у якийсь момент більше молекул покине даний обсяг, ніж влетить до нього ззовні, а наступного моменту - навпаки. Нульові коливання полів у фізичному вакуумі (п. 3.3.4) - це також флуктуації, але квантового походження. У біології флуктуації ховаються за термінами "невизначена мінливість", "мутації"; тут їх основна причина - вплив безлічі факторів, що не враховуються. Поняття флуктуації фактично використовується і в соціальних науках, коли йдеться про суб'єктивні фактори суспільних процесів, роль особистості в історії тощо.

Динамічні теорії не враховують (і допускають можливості) флуктуацій; статистичні – допускають, враховують і навіть виводять на передній план.

Сторінка 42 з 42

Динамічні та статистичні закони

Наука виходить із визнання того, що все існуюче у світі виникає і знищується закономірно, внаслідок дії певних причин, що всі природні, соціальні та психічні явища пов'язані між собою причинно-наслідковими зв'язками, а безпричинних явищ не буває. Така позиція називається детермінізмом на противагу індетермінізму, що заперечує об'єктивну причинну обумовленість явищ природи, суспільства та людської психіки.

У сучасній фізиці ідея детермінізму виявляється у визнанні існування об'єктивних фізичних закономірностей. Відкриття цих закономірностей – суттєвих, повторюваних зв'язків між предметами і явищами – завдання науки, як і, як і формулювання в вигляді законів науки, які наші знання природних закономірностях.

Проте, як свідчить історія науки, ніяке наукове знання, жодна наукова теорія що неспроможні відобразити світ довкола себе, його окремі фрагменти повністю, без спрощень і огрублень дійсності. Те саме стосується і законів науки. Вони можуть лише більшою чи меншою мірою наближатися до адекватного відображення об'єктивних закономірностей, але спотворення під час цього процесу неминучі. Тому для науки дуже важливо, яку форму мають її закони, наскільки вони відповідають природним закономірностям.

Фізика знає два типи фізичних законів (теорій) - динамічні та статистичні закони.

Динамічний закон- Це фізичний закон, що відображає об'єктивну закономірність у формі однозначного зв'язку фізичних величин, що виражаються кількісно.

Динамічна теорія -фізична теорія, що становить сукупність динамічних законів.

Історично першою і найпростішою теорією такого роду стала класична механіка Ньютона. Вона претендувала опис механічного руху, тобто. переміщення в просторі з часом будь-яких тіл або частин тіл один щодо одного з будь-якою точністю. Про механіку Ньютона, як і про електродинаміку Максвелла, що є ще однією динамічною теорією, ми говорили вище. Іншими динамічними теоріями є механіка суцільних середовищ, термодинаміка та загальна теорія відносності (теорія гравітації).

Довгий час вважалося, що жодних інших законів, окрім динамічних, просто не існує. Це було з установкою класичної науки на механістичність і метафізичність, з прагненням побудувати будь-які наукові теорії на зразок механіки Ньютона. Уявлення у тому, що це об'єктивні закономірності повинні висловлювати однозначну зв'язок фізичних об'єктів, залишалося непорушним.

Така позиція, пов'язана із запереченням випадковостей будь-якого роду, з абсолютизацією динамічних закономірностей та законів, називається механічним детермінізмом. Формулювання цієї вимоги у твердій формі зазвичай пов'язують з ім'ям П'єра Лапласа. Згідно з проголошеним Лапласом принципом, всі явища в природі зумовлені «залізною» необхідністю. Випадковому як об'єктивній категорії немає місця у намальованій Лапласом картині світу. Лише обмеженість наших пізнавальних здібностей змушує розглядати окремі події у світі як випадкові. З цих причин, а також відзначаючи роль Лапласа, класичний механічний детермінізм називають ще жорстким, або лапласовським, детермінізмом.

Необхідність відмовитися від класичного детермінізму у фізиці стала очевидною по тому, як з'ясувалося, що динамічні закони не універсальні і єдині. Понад те, виявилося, що з описі руху окремих макроскопічних тіл, яке завжди вважалося сферою дії динамічних законів, здійснення ідеального класичного детермінізму практично неможливе.

Крім того, початкові параметри будь-яких механічних систем неможливо фіксувати з абсолютною точністю, тому точність передбачення зменшується. Для кожної механічної системи існує певний критичний час, починаючи з якого неможливо точно передбачити її поведінку.

Безперечно, що лапласовський детермінізм з певним ступенем точності відображає реальний рух тіл, і в цьому відношенні його не можна вважати хибним. Але ми маємо визнати, що жорсткий механічний детермінізм дуже сильно огрубує реальні природні процеси. Реальна дійсність набагато різноманітніша, а жорсткий детермінізм відбиває лише окремі її сторони. Ми маємо постійно пам'ятати про це і не допускати абсолютизації класичного детермінізму.

У ХІХ ст. у фізиці було сформульовано закони, передбачення яких є певними, лише ймовірними. Вони отримали назву статистичних законів.

Уявлення про закони та закономірності особливого типу, в яких зв'язки між величинами, що входять в теорію, неоднозначні, вперше ввів Максвелл в 1859 при побудові статистичної механіки - першої фундаментальної теорії нового типу. Він першим зрозумів, що при розгляді систем, що складаються з величезної кількості частинок (у даному випадку – молекули газу в посудині), треба ставити завдання інакше, ніж у механіці Ньютона. І тому Максвелл ввів у фізику поняття ймовірності, вироблене раніше математиками під час аналізу випадкових явищ, зокрема азартних ігор.

При киданні гральної кістки, як ми знаємо, може випасти будь-яке число очок від 1 до 6. Передбачити, скільки очок випаде при даному кидку кістки, не можна. Ми можемо підрахувати лише можливість випадання будь-якого числа очок. У цьому випадку вона дорівнюватиме 1/6. Ця можливість має об'єктивний характер, оскільки висловлює об'єктивні відносини дійсності. Справді, якщо ми кинемо кістку, якась сторона з певною кількістю очок випаде обов'язково. Це такий самий суворий причинно-наслідковий зв'язок, як і той, що відбивається динамічними законами, але має іншу форму, оскільки показує ймовірність, а чи не однозначність події.

Проблема в тому, що для виявлення таких закономірностей зазвичай потрібна не одинична подія, а цикл подібних подій. У разі ми можемо отримати статистичні середні значення. Так, якщо кинути кістку 300 разів, то середня кількість випадання будь-якого значення дорівнюватиме 300? 1/6 = 50 разів. При цьому абсолютно байдуже, кидати ту саму кістку або одночасно кинути 300 однакових кісток.

Статистичні закони, на відміну динамічних законів, відбивають однозначну зв'язок не фізичних величин, а статистичний розподіл цих величин. Результат, зміна стану, що визначається основі відповідних рівнянь, також виражається не значеннями фізичних величин, а ймовірностями цих значень всередині заданих інтервалів. Але це такий самий однозначний результат, як і в динамічних теоріях. Адже статистичні теорії, як і динамічні теорії, виражають необхідні зв'язки в природі, а вони не можуть бути виражені інакше, як через однозначний зв'язок станів. Розрізняється лише спосіб фіксації цих станів.

На рівні статистичних законів та закономірностей ми також стикаємося з причинністю. Але це інша, глибша форма детермінізму. На відміну від жорсткого класичного детермінізму він може бути названий імовірнісним (сучасним) детермінізмом. Ці закони менше огрублюють дійсність, мають менш сильні гносеологічні передумови, тому здатні враховувати і відбивати ті випадковості, які у світі.

Сьогодні будь-який відомий у природі процес більш точно описується статистичними законами. Але остаточно це стало зрозуміло після створення квантової механіки - статистичної теорії, що описує явища атомарного масштабу, тобто рух елементарних частинок і систем, що складаються з них. Тоді було з'ясовано принципову неможливість динамічного опису цих процесів.

Динамічна система- множина елементів, для якого задана функціональна залежність між часом і положенням у фазовому просторі кожного елемента системи. [ ] Дана математична абстракція дозволяє вивчати та описувати еволюцію систем у часі.

Стан динамічної системи будь-якої миті часу описується безліччю дійсних чисел (чи векторів), відповідним певній точці у просторі станів . Еволюція динамічної системи визначається детермінованою функцією, тобто через заданий інтервал часу система прийме конкретний стан, що залежить від поточного.

Вступ

Динамічна система є таку математичну модель якогось об'єкта, процесу чи явища, у якій нехтують «флуктуаціями та іншими статистичними явищами».

Динамічна система також може бути представлена ​​як система, що володіє станом. При такому підході динамічна система описує (в цілому) динаміку деякого процесу, а саме: процес переходу системи з одного стану в інший. Фазовий простір системи – сукупність всіх допустимих станів динамічної системи. Таким чином, динамічна система характеризується своїм початковим станом та законом, за яким система переходить з початкового стану до іншого.

Розрізняють системи з дискретнимчасом і системи з безперервнимчасом.

У системах з дискретним часом, які традиційно називаються каскадами, поведінка системи (або, що те ж саме, траєкторія системи у фазовому просторі) описується послідовністюстанів. У системах з безперервним часом, які традиційно називаються потоками, стан системи визначено для кожногомоменту часу на речовій або комплексній осі. Каскади та потоки є основним предметом розгляду у символічній та топологічній динаміці.

Динамічна система (як з дискретним, так і з безперервним часом) часто описується автономною системою диференціальних рівнянь, заданою в деякій області та задовольняє там умов теореми існування та єдиності рішення диференціального рівняння. Положенням рівноваги динамічної системи відповідають спеціальні точки диференціального рівняння, а замкнуті фазові криві - його періодичним рішенням.

Основний зміст теорії динамічних систем – це дослідження кривих, що визначаються диференціальними рівняннями. Сюди входить розбиття фазового простору на траєкторії та дослідження граничної поведінки цих траєкторій: пошук та класифікація положень рівноваги, виділення притягуючих ( атрактори) та відштовхувальних ( репелери) множин (різноманітностей). Найважливіші поняття теорії динамічних систем - стійкість станів рівноваги (тобто. здатність системи при малих змінах початкових умов скільки завгодно довго залишатися біля положення рівноваги або на заданому різноманітті) і грубість (тобто збереження властивостей при малих змінах самої математичної моделі; груба система- це така, якісний характер рухів якої не змінюється за досить малої зміни параметрів»).

Залучення вероятностно-статистических уявлень в ергодичної теорії динамічних систем призводить до поняття динамічної системи інваріантним заходом.

Сучасна теорія динамічних систем є збірною назвою для досліджень, де широко використовуються та ефективним чином поєднуються методи з різних розділів математики: топології та алгебри, алгебраїчної геометрії та теорії міри, теорії диференціальних форм, теорії особливостей та катастроф.

Методи теорії динамічних систем потрібні в інших розділах природознавства, таких як нерівноважна термодинаміка, теорія динамічного хаосу, синергетика.

Визначення

Нехай X (\displaystyle X)- довільне гладке різноманіття.

Динамічною системою, заданої на гладкому різноманітті X (\displaystyle X), називається відображення g: R × X → X (\displaystyle g\colon R\times X\to X), що записується у параметричному вигляді g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), де t ∈ R , x ∈ X (\displaystyle t\in R,x\in X)яке є диференційованим відображенням, причому g 0 (\displaystyle g^(0))- тотожне відображення простору X (\displaystyle X). У разі стаціонарних оборотних систем однопараметричне сімейство ( g t: t ∈ R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\))утворює групу перетворень топологічного простору X (\displaystyle X), а значить, зокрема, для будь-яких t 1 , t 2 ∈ R (\displaystyle t_(1),t_(2)\in R)виконується тотожність g t 1 ∘ g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

З диференційованості відображення g (\displaystyle g)слід, що функція g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0)))є диференційованою функцією часу, її графік розташований у розширеному фазовому просторі R × X (\displaystyle R\times X)і називається інтегральною траєкторією(кривий) динамічної системи. Його проекція на простір X (\displaystyle X), що має назву фазового простору , називається фазовою траєкторією(кривий) динамічної системи.

Завдання стаціонарної динамічної системи еквівалентне розбиття фазового простору на фазові траєкторії. Завдання динамічної системи у випадку еквівалентно розбиттю розширеного фазового простору на інтегральні траєкторії.

Способи завдання динамічних систем

Для завдання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір X (\displaystyle X), безліч моментів часу T (\displaystyle T)і деяке правилоописує рух точок фазового простору з часом. Безліч моментів часу T (\displaystyle T)може бути як інтервалом речової прямої (тоді кажуть, що час безперервно), так і безліччю цілих або натуральних чисел ( дискретнечас). У другому випадку "рух" точки фазового простору більше нагадує миттєві "стрибки" з однієї точки в іншу: траєкторія такої системи є не гладкою кривою, а просто безліччю точок, і називається зазвичай орбітою. Тим не менш, незважаючи на зовнішню різницю, між системами з безперервним і дискретним часом є тісний зв'язок: багато властивостей є загальними для цих класів систем або легко переносяться з одного на інший.

Фазові потоки

Нехай фазовий простір X (\displaystyle X)є багатовимірним простір або область в ньому, а час безперервно. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x (\displaystyle x)фазового простору Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v (x) (\displaystyle v(x)). Тоді траєкторія точки буде вирішенням автономного диференціального рівняння d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x))з початковою умовою x(0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком автономного диференціального рівняння.

Каскади

Нехай X (\displaystyle X)- довільна безліч, і f: X → X (\displaystyle f\colon X\to X)- деяке відображення множини X (\displaystyle X)на себе. Розглянемо ітерацію цього відображення, тобто результати його багаторазового застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему із фазовим простором X (\displaystyle X)і безліччю моментів часу T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ). Справді, вважатимемо, що довільна точка x 0 ∈ X (\displaystyle x_(0)\in X)за час 1 (\displaystyle 1)переходить у крапку x 1 = f (x 0) ∈ X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\in X). Тоді за час 2 (\displaystyle 2)ця точка перейде в точку x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0))))і т.д.

Якщо відображення f (\displaystyle f)оборотно, можна визначити і зворотні ітерації: x − 1 = f − 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x − 2 = f − 1 (f − 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0))))і т. д. Тим самим отримуємо систему з безліччю моментів часу T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z) ).

Приклади

• Система диференціальних рівнянь

задає динамічну систему з безперервним часом, яка називається «гармонічним осцилятором». Її фазовим простором є площина (x, v) (\displaystyle (x,v)), де v (\displaystyle v)- швидкість точки x (\displaystyle x). Гармонійний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси – наприклад, поведінка вантажу на пружині. Його фазовими кривими є еліпси із центром у нулі.

Питання теорії динамічних систем

Маючи якесь завдання динамічної системи, які завжди можна знайти і описати її траєкторії у вигляді. Тому зазвичай розглядаються простіші (але не менш змістовні) питання про загальну поведінку системи. Наприклад:

1. Чи є у системи замкнуті фазові криві, тобто чи може вона повернутися до початкового стану під час еволюції?
2. Як влаштовані інваріантні різноманіття системи (часткою яких є замкнуті траєкторії)?
3. Як влаштований атрактор системи, тобто безліч у фазовому просторі, якого прагне «більшість» траєкторій?
4. Як поводяться траєкторії, випущені з близьких точок - залишаються вони близькими чи йдуть з часом на значну відстань?
Посилання