Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини. Дискретна випадкова величина та її числові характеристики

Випадковою величиною називається змінна, яка може набувати тих чи інших значень в залежності від різних обставин, і в свою чергу, випадкова величина називається дискретний , якщо безліч її значень звісно чи счётно.

Крім дискретних випадкових величин, існують також безперервні випадкові величини.

Розглянемо докладніше поняття випадкової величини. На практиці часто зустрічаються величини, які можуть набувати деяких значень, але не можна достовірно передбачити, яке саме значення кожна з них прийме в досвіді, явищі, спостереженні, що розглядається. Наприклад, кількість хлопчиків, які народяться в Москві найближчого дня, може бути різною. Воно може бути рівним нулю (не народиться жодного хлопчика: народяться всі дівчатка або взагалі не буде новонароджених), одному, двом і так далі до деякого кінцевого числа n. До подібних величин належать: маса коренеплоду цукрових буряків на ділянці, дальність польоту артилерійського снаряда, кількість бракованих деталей у партії тощо. Такі величини називатимемо випадковими. Вони характеризують усі можливі результати досвіду чи спостереження з кількісного боку.

Прикладами дискретних випадкових величин з кінцевим числом значень можуть служити кількість дітей, що народилися, протягом дня в населеному пункті, кількість пасажирів автобуса, кількість пасажирів, перевезених московським метро за добу і т.п.

Число значень дискретної випадкової величини може бути і нескінченним, але лічильним безліччю. Але в будь-якому випадку їх можна в якомусь порядку пронумерувати, або, точніше, встановити взаємно-однозначну відповідність між значеннями випадкової величини та натуральними числами 1, 2, 3, ..., n.

Увага: нове, дуже важливе поняття теорії ймовірностей закон розподілу . Нехай Xможе приймати nзначень: . Вважатимемо, що вони всі різні (інакше однакові повинні бути об'єднані) і розташовані в порядку, що зростає. Для повної характеристики дискретної випадкової величини мають бути задані як її значення, а й ймовірності , З якими випадкова величина набуває кожного із значень, тобто. .

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається будь-яке правило (функція, таблиця) p(x), що дозволяє знаходити ймовірності всіляких подій, пов'язаних із випадковою величиною (наприклад, ймовірність того, що вона приклад якесь значення або потрапить до якогось інтервалу).

Найбільш просто та зручно закон розподілу дискретної випадкової величини задавати у вигляді наступної таблиці:

Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини. У верхньому рядку ряду розподілу перераховані у порядку зростання всі можливі значення дискретної випадкової величини (ікси), а в нижній - ймовірності цих значень ( p).

Події є несумісними та єдино можливими: вони утворюють повну систему подій. Тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

.

приклад 1.У студентській групі організовано лотерею. Розігрується дві речі вартістю по 1000 руб. та одна вартістю по 3000 руб. Скласти закон розподілу суми чистого виграшу для студента, який придбав один квиток за 100 руб. Усього продано 50 квитків.

Рішення. Випадкова величина, що цікавить нас Xможе приймати три значення: - 100 руб. (якщо студент не виграє, а фактично програє 100 руб., Сплачені ним за квиток), 900 руб. та 2900 руб. (Фактичний виграш зменшується на 100 руб. - На вартість квитка). Першому результату сприяють 47 випадків із 50, другому - 2, а третьому - один. Тому їхні ймовірності такі: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Закон розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд

Функція розподілу дискретної випадкової величини: побудова

Ряд розподілу може бути побудований тільки для дискретної випадкової величини (для недискретної він не може бути побудований хоча б тому, що безліч можливих значень такої випадкової величини нечисленна, їх не можна перерахувати у верхньому рядку таблиці).

Найбільш загальною формою закону розподілу, придатною всім випадкових величин (як дискретних, і недискретних), є функція розподілу.

Функцією розподілу дискретної випадкової величиниабо інтегральною функцієюназивається функція , Що визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.

Функція розподілу будь-якої дискретної випадкової величини є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини, і дорівнюють ймовірності цих значень.

приклад 2.Дискретна випадкова величина X- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Постояти її функцію розподілу.

Рішення. Ряд розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд:

Функція розподілу F(x) має 6 стрибків, рівних за величиною 1/6 (на малюнку внизу).

приклад 3.В урні 6 білих куль і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль - дискретна випадкова величина X. Скласти відповідний їй закон розподілу.

Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності найпростіше обчислити правилу множення ймовірностей. Отримуємо наступний закон розподілу дискретної випадкової величини:

приклад 4.Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини - числа попадань у ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,1.

Рішення. Дискретна випадкова величина Xможе приймати п'ять різних значень: 1, 2, 3, 4, 5. Відповідні їм ймовірності знайдемо за формулі Бернуллі . При

n = 4 ,

p = 1,1 ,

q = 1 - p = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

отримуємо

Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд

Якщо ймовірність значень дискретної випадкової величини можна визначити за формулою Бернуллі, то випадкова величина має біномний розподіл .

Якщо кількість випробувань досить велика, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія, що цікавить, настане саме mраз, підпорядковується закону розподілу Пуассона .

Функція розподілу дискретної випадкової величини: обчислення

Щоб обчислити функцію розподілу дискретної випадкової величини F(х), потрібно скласти ймовірності всіх тих значень, які менші або рівні граничному значенню х.

Приклад 5.У таблиці дані щодо залежності кількості розірваних протягом року шлюбів від тривалості шлюбу. Знайти ймовірність того, що черговий розірваний шлюб мав тривалість меншу, ніж 5 років.

Рішення. Імовірності обчислені шляхом розподілу числа відповідних розірваних шлюбів на загальне число 6010. Ймовірність того, що черговий розірваний шлюб був тривалістю 5 років, дорівнює 0,056. Імовірність, що тривалість чергового розірваного шлюбу менша чи дорівнює 5 років, дорівнює 0,186. Ми отримали її, додавши до значення F(x) для шлюбів із тривалістю по 4 роки включно ймовірність для шлюбів із тривалістю у 5 років.

Зв'язок закону розподілу дискретної випадкової величини з математичним очікуванням та дисперсією

Часто не всі значення дискретної випадкової величини відомі, але відомі деякі значення або ймовірності з ряду, а також математичне очікування та (або) дисперсія випадкової величини, яким присвячено окремий урок.

Наведемо тут деякі формули з цього уроку, які можуть допомогти при складанні закону розподілу дискретної випадкової величини і розберемо приклади вирішення таких завдань.

Математичне очікування дискретної випадкової величини - сума творів всіх можливих значень на ймовірності цих значень:

(1)

Формула дсперсії дискретної випадкової величини за визначенням:

Часто для обчислень зручніша наступна формула дисперсії:

, (2)

де .

Приклад 6.Дискретна випадкова величина Xможе набувати лише два значення. Найменше значення вона набуває з ймовірністю p= 0,6. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини X, якщо відомо, що її математичне очікування та дисперсія.

Рішення. Імовірність того, що випадкова величина набуде більшого значення x2 , що дорівнює 1 − 0,6 = 4 . Використовуючи формулу (1) математичного очікування, складемо рівняння, в якому невідомі значення нашої дискретної випадкової величини:

Використовуючи формулу (2) дисперсії, складемо інше рівняння, в якому невідомі - значення дискретної випадкової величини:

Систему із двох отриманих рівнянь

вирішуємо шляхом підстановки. З першого рівняння отримуємо

Підставивши цей вираз у друге рівняння, після нескладних перетворень отримаємо квадратне рівняння

,

яке має два корені: 7/5 та −1 . Перший корінь не відповідає умовам завдання, оскільки x2 < x 1 . Таким чином, значення, які може набувати дискретна випадкова величина Xза умовами нашого прикладу, рівні x1 = −1 і x2 = 2 .

Можна виділити закони розподілу дискретних випадкових величин, що найчастіше зустрічаються:

• Біноміальний закон розподілу
• Пуасонівський закон розподілу
• Геометричний закон розподілу
• Гіпергеометричний закон розподілу

Для даних розподілів дискретних випадкових величин розрахунок ймовірностей їх значень, а також числових характеристик (математичне очікування, дисперсія тощо) здійснюється за певними формулами. Тому дуже важливо знати ці типи розподілів та їх основні властивості.

1. Біноміальний закон розподілу.

Дискретна випадкова величина $X$ підпорядкована біноміальному закону розподілу ймовірностей, якщо вона набуває значення $0,\ 1,\ 2,\ dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Фактично, випадкова величина $X$ - це кількість появи події $A$ у $n$ незалежних випробувань. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування $ M \ left (X \ right) = np $, дисперсія $ D \ left (X \ right) = np \ left (1-p \ right) $.

приклад . У сім'ї двоє дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчинки рівними $0,5$, знайти закон розподілу випадкової величини $xi $ - числа хлопчиків у сім'ї.

Нехай випадкова величина $ xi $ - число хлопчиків у сім'ї. Значення, які може приймати $ xi: 0, 1, 2 $. Імовірності цих значень можна знайти за формулою $P\left(\xi =k\right) = C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$, де $n =2$ - кількість незалежних випробувань, $p=0,5$ - ймовірність появи події у серії з $n$ випробувань. Отримуємо:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5) ^ 2 = 0,25;

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5 = 0,5;

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5) ^ 2 = 0,25.

Тоді закон розподілу випадкової величини $\xi$ є відповідністю між значеннями $0,\1,\2$ та їх ймовірностями, тобто:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Сума ймовірностей у законі розподілу має дорівнювати $1$, тобто $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 $.

Математичне очікування $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсія $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, середнє квадратичне відхилення $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 ) \ approx 0,707 $.

2. Закон розподілу Пуассона.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може набувати лише цілі невід'ємні значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Зауваження. Особливість цього розподілу полягає в тому, що ми на підставі досвідчених даних знаходимо оцінки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, якщо отримані оцінки близькі між собою, то у нас є підстави стверджувати, що випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона.

приклад . Прикладами випадкових величин, підпорядкованих закону розподілу Пуассона, може бути: кількість автомашин, які будуть обслужені завтра автозаправною станцією; число бракованих виробів у виробленій продукції.

приклад . Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$, що дорівнює кількості пошкоджених виробів; чому дорівнює $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $.

Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість пошкоджених виробів. Така випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона з параметром $ lambda = np = 500 cdot 0,002 = 1 $. Імовірності значень дорівнюють $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування і дисперсія рівним між собою і рівні параметру $ lambda $, тобто $ M left (X right) = D left (X right) = lambda = 1 $.

3. Геометричний закон розподілу.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки натуральні значення $1,\2,\dots,\n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\right)) ^ (k-1), k = 1, 2, 3, dots $, то кажуть, що така випадкова величина $ X $ підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Фактично, геометричне розподілу є випробування Бернуллі до першого успіху.

приклад . Прикладами випадкових величин, що мають геометричний розподіл, можуть бути: число пострілів до першого влучення в ціль; кількість випробувань приладу до першої відмови; число кидань монети до першого випадання орла тощо.

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, підпорядкованої геометричному розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^ 2 $.

приклад . На шляху руху риби до місця нересту знаходиться $4$ шлюзу. Можливість проходу риби через кожен шлюз $p=3/5$. Побудувати низку розподілу випадкової величини $X$ - число шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Знайти $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right), \ \ sigma \ left (X \ right) $.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Така випадкова величина підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Значення, які може набувати випадкова величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Імовірності цих значень обчислюються за формулою: $P\left(X=k\right)=pq^(k-1)$, де: $ p=2/5$ - можливість затримання риби через шлюз, $q=1-p=3/5$ - можливість проходу риби через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over (5)) = 0,4;

$ P \ left (X = 2 \ right) = ((2) \ over (5)) \ cdot ((3) \ over (5)) = ((6) \ over (25)) = 0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5)) \ cdot ((9) \ over (25)) = ((18) \ over (125)) = 0,144;

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3) \ over (5)) \ right)) ^ 4 = ((27) \ over (125)) = 0,216.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Математичне очікування:

$M\left(Xright)=sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1cdot 0,4+2cdot 0,24+3cdot 0,144+4cdot 0,216=2,176.$

Дисперсія:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$ + \ 0,216 \ cdot ( \ left (4-2,176 \ right)) ^ 2 \ approx 1,377. $

Середнє квадратичне відхилення:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Гіпергеометричний закон розподілу.

Якщо $N$ об'єктів, серед яких $m$ об'єктів мають задану властивість. Випадковим чином без повернення витягують $n$ об'єктів, серед яких виявилося $k$ об'єктів, що мають задану властивість. Гіпергеометричний розподіл дає можливість оцінити ймовірність того, що рівно $k$ об'єктів у вибірці мають задану властивість. Нехай випадкова величина $X$ - кількість об'єктів у вибірці, що мають задану властивість. Тоді ймовірність значень випадкової величини $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Зауваження. Статистична функція Гіпергеомет майстра функцій $f_x$ пакета Excel дає можливість визначити ймовірність того, що певна кількість випробувань буде успішною.

$f_x\to $ статистичні$\to $ ГІПЕРГЕОМЕТ$\to $ ОК. Відобразиться діалогове вікно, яке потрібно заповнити. В графі Число_успіхів_у_вибірцівказуємо значення $k$. Розмір_вибіркидорівнює $n$. В графі Число_успіхів_в_сукупностівказуємо значення $m$. Розмір_сукупностідорівнює $N$.

Математичне очікування і дисперсія дискретної випадкової величини $X$, підпорядкованої геометричному закону розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left(1) -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

приклад . У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити трьох фахівців Для підвищення кваліфікації, відбираючи їх у випадковому порядку.

а) Складіть ряд розподілу числа фахівців із вищою фінансовою освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації;

б) Знайдіть числові показники цього розподілу.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість фахівців із вищою фінансовою освітою серед трьох відібраних. Значення, які може набувати $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Дана випадкова величина $X$ розподілена за гіпергеометричним розподілом з параметрами: $N=8$ - розмір сукупності, $m=5$ - кількість успіхів у сукупності, $n=3$ - розмір вибірки, $k=0,\ 1, \ 2, \ 3 $ - кількість успіхів у вибірці. Тоді ймовірності $P\left(X=k\right)$ можна розрахувати за формулою: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \over C_( N) ^ (n)) $. Маємо:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0,179.$

Тоді ряд розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Розрахуємо числові характеристики випадкової величини $X$ за загальними формулами гіпергеометричного розподілу.

$M\left(Xright)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\approx 0,7085.$

Визначення 1

Випадкова величина $Х$ називається дискретною (перервною), якщо безліч її значень нескінченне чи кінцеве, але лічильне.

Іншими словами, величина називається дискретною, якщо її значення можна занумерувати.

Описати випадкову величину можна за допомогою закону розподілу.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а у другому рядку відповідні ймовірності цих значень:

Малюнок 1.

де $ р1 + р2 + ... + Рn = 1 $.

Дана таблиця є поряд розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходиться і його сума дорівнюватиме $1$.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ можна уявити графічно, навіщо у системі координат (прямокутної) будують ламану лінію, яка послідовно з'єднує точки з координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Лінію, яку отримали багатокутником розподілу.

Малюнок 2.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути представлений аналітично (за допомогою формули):

$ P (X = xi) = \ varphi (xi), i = 1,2,3 ... n $.

Дії над дискретними ймовірностями

При вирішенні багатьох завдань теорії ймовірності необхідно проводити операції множення дискретної випадкової величини на константу, додавання двох випадкових величин, їх множення, піднесення до ступеня. У цих випадках необхідно дотримуватись таких правил над випадковими дискретними величинами:

Визначення 3

множеннямдискретної випадкової величини $X$ на константу $K$ називається дискретна випадкова величина $Y=KX,$ яка обумовлена ​​рівностями: $y_i=Kx_i, \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)= p_i, \ \ i = \ overline (1, \ n).

Визначення 4

Дві випадкові величини $x$ і $y$ називаються незалежнимиякщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення набула друга величина.

Визначення 5

Сумоюдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=X+Y,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij)\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Визначення 6

множеннямдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=XY,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right)=P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Візьмемо до уваги, що деякі твори $x_(i\\\\)y_j$ можуть бути рівними між собою. У такому разі ймовірність додавання твору дорівнює сумі відповідних ймовірностей.

Наприклад, якщо $x_2\y_3=x_5\y_7,\$то ймовірність $x_2y_3$ (або теж саме $x_5y_7$) дорівнюватиме $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказане вище стосується також суми. Якщо $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то ймовірність $x_1+\ y_2$ (або теж саме $x_4+\ y_6$) дорівнюватиме $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусні випадкові величини $X$ і $Y$ задані законами розподілу:

Малюнок 3.

Де $p_1+p_2+p_3=1, \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тоді закон розподілу суми $X+Y$ матиме вигляд

Малюнок 4.

А закон розподілу твору $XY$ матиме вигляд

Малюнок 5.

Фунція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Геометрично функція розподілу пояснюється як ймовірність того, що випадкова величина $Х$ набуває значення, яке на числовій прямій зображується точкою, що лежить зліва від точки $х$.

На цій сторінці ми зібрали коротку теорію та приклади вирішення навчальних завдань, у яких дискретна випадкова величина вже задана своїм рядом розподілу (табличний вигляд) та потрібно її дослідити: знайти числові характеристики, побудувати графіки тощо. Приклади на відомі види розподілу ви можете знайти за посиланнями:

Коротка теорія про ДСВ

Дискретна випадкова величина визначається своїм рядом розподілу: переліком значень $x_i$, які вона може приймати, і відповідних ймовірностей $p_i=P(X=x_i)$. Кількість значень випадкової величини може бути кінцевою або лічильною. Для визначеності розглядатимемо випадок $i=\overline(1,n)$. Тоді табличне подання дискретної випадкової величини має вигляд:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ hline \end(array) $ $

При цьому виконується умова нормування: сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати одиниці

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Графічно ряд розподілу можна уявити полігоном розподілу(або багатокутником розподілу). І тому на площині відкладаються точки з координатами $(x_i,p_i)$ і з'єднуються по порядку ламаною лінією. Детальні приклади ви знайдете.

Числові характеристики ДСВ

Математичне очікування:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Дисперсія:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Середнє квадратичне відхилення:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Коефіцієнт варіації:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Мода: значення $Mo=x_k$ з найбільшою ймовірністю $p_k=\max_i(p_i)$.

Ви можете використовувати онлайн-калькулятори для обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.

Функція розподілу ДСВ

По ряду розподілу можна скласти функцію розподілудискретної випадкової величини $ F (x) = P (X \ x x) $. Ця функція задає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення менше деякого числа $x$. Приклади побудови з детальними обчисленнями та графіками ви знайдете у прикладах нижче.

Приклади вирішених завдань

Завдання 1.Дискретна випадкова величина задана поруч розподілу:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Побудувати багатокутник розподілу та функцію розподілу $F(x)$. Обчислити: $M[X], D[X], \sigma[X]$, а також коефіцієнт варіації, асиметрії, ексцесу, моду та медіану.

Завдання 2.Даний закон розподілу дискретної випадкової величини Х. Потрібно:
а) визначити математичне очікування М(х), дисперсію D(х) та середнє квадратичне відхилення (х) випадкової величини Х; б) побудувати графік цього розподілу.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Завдання 3.Для випадкової величини Х з цим рядом розподілу
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) знайдіть $р_1$ і $р_2$ те щоб $М(Х)=0,5$
Б) після цього обчисліть математичне очікування та дисперсію випадкової величини $Х$ та побудуйте графік її функції розподілу

Завдання 4.Дискретна СВ $X$ може набувати лише двох значень: $x_1$ і $x_2$, причому $x_1 \lt x_2$. Відомі ймовірність $P$ можливого значення, математичне очікування $M(x)$ та дисперсія $D(x)$. Знайти: 1) Закон розподілу цієї випадкової величини; 2) Функцію розподілу СВ $ X $; 3) Побудувати графік $F(x)$.
$ P = 0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Завдання 5.Випадкова величина Х приймає три значення: 2, 4 і 6. Знайти ймовірності цих значень, якщо $ M (X) = 4,2 $, $ D (X) = 1,96 $.

Завдання 6.Дано ряд розподілу дискретної с.в. $Х$. Знайти числові характеристики положення та розсіювання с.в. $Х$. Знайти в.о. та дисперсію с.в. $Y=X/2-2$, не записуючи низки розподілу с.в. $Y$, перевірити результат за допомогою функції, що виробляє.
Побудувати функцію розподілу С.В. $Х$.
x 8 12 18 24 30 30
p 0,3 0,1 0,3 0,2 0,1 0

Завдання 7.Розподіл дискретної випадкової величини $Х$ задан наступною таблицею (рядом розподілу):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Визначити недостатнє значення у таблиці розподілу. Обчислити основні числові характеристики розподілу $M_x, D_x, \sigma_x$. Знайти та побудувати функцію розподілу $F(x)$. Визначити ймовірність того, що випадкова величина $Х$ прийме значення:
А) більше ніж 6,
Б) менше ніж 12,
В) не більше ніж 9.

Завдання 8.У задачі потрібно знайти: а) математичне очікування; б) дисперсію; в) середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X за заданим законом її розподілу, заданим таблично (у першому рядку таблиці вказані можливі значення, у другому рядку – ймовірність можливих значень).

Завдання 9.Встановлено закон розподілу дискретної випадкової величини $X$ (у першому рядку вказані можливі значення $x_i$, у другому рядку – ймовірності можливих значень $p_i$).
Знайти:
А) математичне очікування $M(X)$, дисперсію $D(X)$ та середнє квадратичне відхилення $\sigma(X)$;
Б) скласти функцію розподілу випадкової величини $F(x)$ та побудувати її графік;
В) обчислити ймовірність потрапляння випадкової величини $X$ в інтервал $x_2 \lt X \lt x_4$, користуючись складеною функцією розподілу $F(x)$;
Г) скласти закон розподілу величини $ Y = 100-2X $;
Д) обчислити математичне очікування та дисперсію складеної випадкової величини $Y$ двома способами, тобто. користуючись
властивістю математичного очікування та дисперсії, а також безпосередньо за законом розподілу випадкової величини $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Завдання 10.Дискретна випадкова величина задана в таблиці. Обчислити її початкові та центральні моменти до 4 порядку включно. Знайти ймовірності подій $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини.

Випадковийназивають величину, що приймає в результаті випробувань ті чи інші можливі значення, наперед невідомі та залежать від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Zі т. д. або великими літерами латинського алфавіту з правим нижнім індексом , а значення, які можуть набувати випадкові величини - відповідними малими літерами латинського алфавіту x, y, zі т.д.

Поняття випадкової величини тісно пов'язане із поняттям випадкової події. Зв'язок із випадковою подієюполягає в тому, що прийняття випадковою величиною деякого числового значення є випадковою подією, що характеризується ймовірністю .

Насправді зустрічаються два основних типи випадкових величин:

1. Дискретні випадкові величини;

2. Безперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається числова функція випадкових подій.

Наприклад, випадковою величиною є кількість очок, що випали під час кидання гральної кістки, або зростання випадково обраного з навчальної групи студента.

Дискретними випадковими величинаминазиваються випадкові величини, що приймають лише віддалені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Закон розподілу(функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Розглянемо основні числові характеристики дискретних випадкових величин.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається всяке співвідношення , встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини відповідними їм ймовірностями .

Закон розподілу випадкової величини може бути поданий у вигляді таблиці:

Сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці, тобто.

Закон розподілу можна зобразити графічно: осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат - ймовірності цих значень; отримані точки з'єднують відрізками. Побудована ламана називається багатокутником розподілу.

приклад. Мисливець, що має 4 патрони, стріляє по дичині до першого влучення або витрачання всіх патронів. Імовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,7, при кожному наступному пострілі зменшується на 0,1. Скласти закон розподілу числа набоїв, витрачених мисливцем.

Рішення.Оскільки мисливець, маючи 4 патрони, може зробити чотири постріли, то випадкова величина X- число патронів, витрачених мисливцем, може набувати значень 1, 2, 3, 4. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “попадання при i -ом пострілі”, ;

- “Промах при i -ом пострілі”, причому події і - попарно незалежні.

Відповідно до умови завдання маємо:

,

По теоремі множення для незалежних подій та теоремі складання для несумісних подій знаходимо:

(Мисливець потрапив у ціль з першого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з другого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з третього пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з четвертого пострілу або промахнувся всі чотири рази).

Перевірка: - Правильно.

Таким чином, закон розподілу випадкової величини Xмає вигляд:

приклад.Робочий обслуговує три верстати. Імовірність того, що протягом години перший верстат не потребуватиме регулювання – 0,9, другий – 0,8, третій – 0,7. Скласти закон розподілу числа верстатів, які протягом години вимагатимуть регулювання.

Рішення.Випадкова величина X- Число верстатів, які протягом години вимагають регулювання, може приймати значення 0,1, 2, 3. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “i- ий верстат протягом години вимагатиме регулювання”, ;

- “i- ий верстат протягом години не вимагатиме регулювання”, .

За умовою завдання маємо:

, .