Ознака зростання та зменшення функції приклади. Ознаки локального зростання та зменшення функції
Нехай f безперервна на відрізку та диференційована у внутрішніх точках цього відрізка. Тоді існує внутрішня точка з цього відрізка, така, що стосується графіка функції, проведена в точці з абсцисою с, паралельна хорді АВ, де A(а;f(x)) і B(b;f(x)). Або: на гладкій дузі АВ завжди є точка с, в якій дотична паралельна хорді, що з'єднує кінці дуги.
Нехай f безперервна на відрізку та диференційована у внутрішніх точках цього відрізка. Тоді існує внутрішня точка з цього відрізка, така, що
Наслідок 1:якщо функція f безперервна на відрізку , та її похідна дорівнює нулю усередині цього відрізка, то функція f постійна на відрізку .
Наслідок 2: Якщо функції f і g безперервні на відрізку і мають однакові похідні всередині цього відрізка, вони відрізняються постійним доданком.
2. Достатня ознака зростання функції:
Якщо f[/](x)>0 у кожній точці інтервалу I, то функція f зростає на інтервалі I.
3. Достатня ознака зменшення функції:
Якщо f[/](x)
Доведемо ці ознаки за формулою Лагранжа:
Візьмемо два будь-які числа та з інтервалу. Нехай. За формулою Лагранжа є число, таке, що.
Число c належить інтервалу I, оскільки точки і належать до цього інтервалу. Якщо f[/](x)>0 для, то f[/](с) >0 і тому - це випливає з формули (1), так як ->0. Цим доведено зростання функцій f на інтервалі I. Якщо ж f[/](x) 0. Доведено зменшення функції f на інтервалі I.
Приклад 1. знайдіть проміжки зростання та зменшення функції
2. Знайдемо похідну функції та її критичні точки: або
3. Зазначимо на числовій осі точки екстремумів і знайдемо проміжки зростання та зменшення функції
Відповідь: - функція зростає
Функція зменшується
Приклад 2. Дослідіть на зростання (зменшення) функцію:
2. Знайдемо похідну та точки екстремумів функції:
3. Зазначимо критичну точку на числовій осі та знайдемо проміжки зростання (зменшення) функції:
Відповідь: - функція зменшується
Функція зростає
ІІ. Критичні точки. Ознаки знаходження максимуму та мінімуму функції.
1. Критичні точки
Визначення: критичні точки функції - це внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю чи немає.
№1. Знайдіть критичні точки функції f: а) g(x) =
Відповідь: , де; де б) g(x) =
2. Ознаки знаходження максимуму та мінімуму функції.
Ознака максимуму функцій:
Якщо функція f безперервна в точці х0, а f[/](x)>0 на інтервалі (а;х0) та f[/](x)
Або: якщо в точці х0 похідна змінює знак із плюсу на мінус, то х0 є точка максимуму.
Доведення:
Похідна f[/](x)>0 на інтервалі (а;х0), а функція безперервна в точці х0, отже функція f зростає на проміжку (a; х0], і тому f(x)
На проміжку [х0;в) функція зменшується, і тому f(x)
Ознаки мінімуму функції:
Якщо функція f безперервна в точці х0, а f[/](x) 0 на інтервалі (х0;в), точка х0 є точкою мінімуму функції f.
Або: якщо у точці х0 похідна змінює знак з мінусу на плюс, то х0 є точка мінімуму.
Доведення:
Похідна f[/](x) f (x0) для всіх х з інтервалу (а; х0).
На проміжку [х0;в) функція f зростає, і тому f(x) >f(x0) для всіх інтервалу (а;в), тобто х0 є точка мінімуму f.
ІІІ. Друга похідна. Ознаки опуклості та увігнутості.
Нехай і в точці є друга похідна. Тоді, якщо точка є точкою мінімуму, а якщо, то точка є точкою максимуму функції.
Якщо, то опуклість спрямована вниз. Якщо, то опуклість спрямована вгору.
IV. Похилі асимптоти
Визначення: Пряма є похилою асимптотою графіка функції, де і
Рівняння похилої асимптоти
Вертикальні асимптоти рівняння похилої асимптоти
V. План дослідження функції
1. Знайдемо область визначення функції.
2. Дослідити функцію на парність (непарність).
3. Знайти точки перетину графіка з осями координат та визначити інтервали знаковості функції.
4. Знайти похідну.
5. Знайти точки екстремуму функції та інтервали зростання та спадання функції.
6. Скласти таблицю.
7. Знайти другу похідну.
8. Знайти точки перегину графіка функції та встановити інтервали опуклості та увігнутості цього графіка.
9. Знайти асимптоти графіка функції, якщо це потрібно.
10. Побудувати ескіз графіка цієї функції.
11. Знайти безліч значень функції.
VI. Приклади дослідження функції
2). Про парність функції говорити не можна.
5) Знайдемо точки екстремуму функції та інтервали зростання та спадання функції:
Функція зростає
Функція зменшується
6) Складемо таблицю х
7) Знайдемо другу похідну
8) Знайдемо точки перегину: або
Випуклість вгору
Випуклість вниз
9) Знайдемо похилі асимптоти не існує. похилих асимптот немає.
10) Графік
; х = 2 - вертикальна асимптота
2). Про парність функції говорити не можна
3) Знайдемо точки перетину графіка з віссю ОХ.
Знайдемо точки перетину графіка із віссю ОУ.
4) Знайдемо похідну функції:
5) Знайдемо точки екстремуму функції та точки зростання та спадання функції:
Функція зростає
Функція зменшується
6) Складемо таблицю х
7) Знайдемо другу похідну:
8) Знайдемо точки перегину: точок перегину немає
Випуклість вниз
Випуклість вгору
Рівняння похилої асимптоти
10) Графік
Вертикальна асимптота
2) про парність функції говорити не можна
Крапок перетину з віссю OX немає.
Не існує. Таких точок немає.
4) Знайдемо похідну:
Функція зменшується
Функція зростає
6) Складемо таблицю:
7) Побудуємо графік функції:
Вертикальна асимптота
2) - про парність функції говорити не можна
3) Знайдемо точки перетину графіка з віссю OX.
Знайдемо точки перетину графіка із віссю OY.
4) Знайдемо похідну:
5) Знайдемо точки екстремуму функції та інтервали зростання та спадання функції.
Критичних точок немає.
Крапок max і min немає.
6) Складемо таблицю:
↘ 7) Знайдемо другу похідну:
8) Знайдемо точки перегину графіка функції та встановимо інтервали опуклості та увігнутості:
Точок перегину немає.
Випуклість вгору
Випуклість вниз
9) Знайдемо похилі асимптоти:
Рівняння горизонтальної асимптоти, тому що k = 0.
10) Побудуємо графік функції:
; - вертикальні асимптоти
2) - функція непарна, оскільки. Графік симетричний щодо початку координат.
3) Знайдемо точки перетину графіка з віссю OX.
Знайдемо точки перетину графіка із віссю OY.
4) Знайдемо похідну:
5) Знайдемо точки екстремуму та інтервали зростання та зменшення функції:
Нема рішення.
Функція зменшується
Функція зростає
6) Складемо таблицю:
↘ Не існує.
↗ 7) Знайдемо похилі асимптоти:
Похилих асимптот немає.
8) Знайдемо другу похідну:
9) Знайдемо точки перегину: або
Випуклість вниз
Випуклість вгору
10) Побудуємо графік
VII. Історична довідка.
Зовсім іншим був кінець життєвого шляху іншого творця математичного аналізу - Готфріда Вільгельма Лей - Бніца (1646 - 1716). Але про все по порядку.
Його предки були вихідцями з Польщі та носили прізвище Любениць. Після переселення в Лейпциг прізвище їх почало вимовлятися на німецький лад. Цікаво відзначити, що і сама назва цього міста теж слов'янська, воно означає >. Лейбніц народився в сім'ї професора філософії Лейпцизького університету. а в 17 - без матері.У шкільні роки Лейбніц вражав своїх вчителів вмінням складати вірші латинською та грецькою мовами, захопленістю філософією та математикою. : легко запам'ятовував складні речі і гірше - прості, не міг довго робити обчислення, але тяжів до узагальнень і абстракцій, і така пам'ять і склад мислення збереглися у Лейбніца на все життя.
У 15 років Лейбніц - студент філософського факультету Лейпцизького університету. Цей факультет був підготовчим для юридичного та богословського. Закінчивши із блиском філософський, а потім юридичний факультет, 20-річний Лейбніц не зміг отримати бажаної посади у рідному місті. Консервативні порядки в університеті ставили матеріальні перепони отримання докторського ступеня. Він їде до Нюрнберга і в тамтешньому університеті з небувалим успіхом захищає юридичну дисертацію на ступінь доктора. Надзвичайний талант молодого вченого був помічений. Його запрошує на дипломатичну службу курфюрст (князь, який має право вибору короля) міста Майнца, а пізніше – ганноверський герцог.
Перебуваючи у справах курфюрста у Парижі, Лейбніц зустрічається з багатьма відомими вченими. Обговорення різних проблем пробуджують у ньому інтерес до математики. Пізніше у листі до І. Бернуллі він згадував: >. Після закінчення університету - тета (1666) Лейбніц опублікував філософсько-математичну роботу, так що, говорячи про своє, він мав на увазі непоінформованість про останні досягнення математики. Щоб познайомитися з новими результатами та ідеями, що виникли на той час у математиці, він звертається за допомогою до Гюйгенса. Той радить йому уважно вивчити ряд робіт, і Лейбніц із завидною запопадливістю береться за справу: вивчає праці Сен-Вінцента та Валліса, Декарта та Паскаля, займається власними дослідженнями.
Але коли він у дипломатичних справах потрапляє до Лондона і повідомляє про свої результати англійським математикам, то з подивом дізнається, що багато з цих результатів їм уже відомі з рукопису Ньютона, що зберігається в Королівському суспільстві. Лейбніц через секретаря цього товариства Ольденбурга (1615 – 1677) пише Ньютону про свої роботи. У тому листі він просить Ньютона повідомити його результати. У відповідь він отримує (знову через Ольденбург) два листи, в яких Ньютон роз'яснює операції диференціювання та інтегрування за допомогою рядів.
Лейбніц не поспішав оприлюднити свої результати в галузі нового обчислення, можливо, очікуючи на публікації Ньютона. Але в 1683 р. Чирнгауз друкує статтю про квадратур кривих алгебри. У ній не згадується ім'я Лейбніца, хоча у вирішенні цих питань Чирнгауз багатьом йому був зобов'язаний. Щоб зберегти пальму першості у цій галузі, Лейбніц наступного року друкує статтю >, а ще через рік - >. У першій їх містилися основи диференціального обчислення, у другій - інтегрального.
В основу нової науки він поклав поняття диференціалу. Зараз диференціал df(x0) функції y=f(x) у точці х0 задається формулою df(xo) = f"(xo)dx, де f"(xb) - похідна, обчислена в точці хо, їх - збільшення аргументу. У Лейбніца дифферен - ціал визначається як один з катетів характеристичного трикутника, про який йшлося у попередньому розділі (п. 9). З малюнка 46 видно, що це визначення еквівалентні.
Лейбніц дає правила обчислення диференціала суми, різниці, твору, частки, ступеня, вирішує диференціальні рівняння. Інтеграл він визначає як суму диференціалів, підкреслюючи взаємну зворотність операцій диференціювання та інтегрування: >. Звідки випливають властивості інтегралів і способи їх обчислення. У наступних статтях Лейбніц розвинув новий аналіз. Він довів, що будь-яка інтегрована функція є обмеженою (необхідна умова інтегрованості), розробив алгоритм обчислення деяких типів інтегралів, зокрема спосіб інтегрування раціональних функцій. Значення цього способу неможливо переоцінити, оскільки за допомогою різних підстановок до інтегралів від раціональних функцій зводиться маса найрізноманітніших інтегралів. Зупинимося на цьому способі докладніше.
Для графічного вирішення завдання інтегрування довільних функцій Лейбніц придумав (1693) механічний прилад - інтегратор. Якщо переміщувати один штифт цього приладу за графіком функції, інший викреслює графік первісної.
Розробленими Лейбніцем алгоритмами і позначеннями ми користуємося й досі, як і більшістю введених ним математичних термінів: функція, змінна, постійна, координати, абсцису, алгоритм, диференціал та ін. надав їм Лейбніц.
На початку наступного століття розгорілася бурхлива дискусія щодо пріоритету винаходу аналізу. Приводом до неї послужила рецензія (1704) Лейбніца на роботу Ньютона, де він вказав на ідейну спільність трактування нескінченно малої у Ньютона і Фабрі. Таке порівняння великого англійця з маловідомим французьким математиком Он-ре Фабрі (1607 - 1688) викликало обурення англійських учених. (А Лейбніц не мав ніяких задніх думок; просто книга Фабрі була однією з небагатьох, яка допомогла йому в паризький період ліквідувати.) Вони побачили в цьому приниження заслуг Ньютона, і почалося. У цій суперечці права Ньютона відстоювали англійські вчені, а Лейбніца – континентальні. Підтримка Лейбніца більшістю континентальних математиків пояснювалася тим, що його позначення виявилися настільки досконалими, а саме вчення настільки доступним, що одразу знайшли прихильників серед багатьох вчених Європи, що буває вкрай рідко з появою нової теорії.
Очевидно, саме цю суперечку мав на увазі чудовий російський поет Валерій Брюсов, коли писав такі рядки:
О Лейбніц, о мудрець, творець віщих книг! Ти вище світу був, як давні пророки. Твій вік, дивуючись тобі, пророцтв не досяг І з лестощами змішував шалені докори.
Насправді ж претензії обох сторін були безпідставними. Обидва вчені незалежно прийшли до створення диференціального та інтегрального обчислень, та й підходи у них були зовсім різні. Ньютон використовував апарат статечних рядів, а Лейбніц - поняття диференціала. Спір, що розгорівся, привів до того, що англійські математики ігнорували все, що походило від Лейбніца та його школи, а континентальні - роботи англійців. Оскільки континенті спиралися більш досконалу, ніж ньютонівська, символіку Лейбніца і вчені були об'єднані загальними ідеями, опублікованими і доступними кожному, то континентальні математики в посленьютоновский період далеко пішли вперед проти англійськими.
Однак у долі Лейбніца ворожнеча між англійськими та континентальними математиками зіграла фатальну роль. Герцог, у якого він служив бібліотекарем, істориком та біо - графом, ставши (1714) англійським королем, поїхав до Лондона. По - слідувати за ним Лейбніц не міг через зіпсовані відносини з англійськими математиками. До того ж герцог був незадоволений своїм історіографом, вважаючи, що він недостатньо приділяє уваги своїм прямим прямим службовим обов'язкам. Лейбницю довелося залишитися і працювати в бібліотеці герцога. Немилість новоспеченого англійського короля призвела до того, що оточення вченого сильно порідшало. Через два роки він помер, який проводився в останню путь тільки секретарем і могильниками. Образлива несправедливість долі стосовно великого вченого, яким було зроблено дуже багато.
Незважаючи на величезну зайнятість зі складання історії герцогського будинку, що перетворилася на історію Західної Європи, та інші обов'язки, що відволікають від науки, Лейбніц залишив безліч робіт з математики, філософії, біології, теорії пізнання, політики, права, мовознавства. Будучи всебічно талановитим ученим, він зробив неоціненний внесок у кожну з цих областей. Ідеї в нього сипалися як з рогу достатку: кожен лист, будь-яка замітка або стаття містили щось принципово нове в галузі науки, що іноді розглядає подальший її розвиток. Багато чого було зроблено за його безпосередньої участі. У Берліні він організував наукове суспільство, перетворене згодом на берлінську АН, і став першим його президентом. Він був першим іноземним членом Паризької АН. Лейбніц неодноразово зустрічався в Берліні з Петром I, для якого розробив ряд проектів розвитку освіти і державного правління Росії, а також створення Петербурзької АН.
Але найбільш вагомим виявився його внесок у математику. Вступивши в неї, він зміг повністю її перетворити. Після його робіт і праць його найближчих сподвижників як з'явився математичний аналіз, а й вся математика вступила у нову епоху.
Дуже важливу інформацію про поведінку функції надають проміжки зростання та спадання. Їх знаходження є частиною процесу дослідження функції та побудови графіка. До того ж точкам екстремуму, в яких відбувається зміна зі зростання на спадання або з зменшення на зростання, приділяється особлива увага при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на деякому інтервалі.
У цій статті дамо необхідні визначення, сформулюємо достатню ознаку зростання та зменшення функції на інтервалі та достатні умови існування екстремуму, застосуємо всю цю теорію до вирішення прикладів та завдань.
Навігація на сторінці.
Зростання та зменшення функції на інтервалі.
Визначення зростаючої функції.
Функція y=f(x) зростає на інтервалі X якщо для будь-яких і 
виконується нерівність. Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.
Визначення спадної функції.
Функція y=f(x) зменшується на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність 
. Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.
ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a;b) , тобто при x = a і x = b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X .
Наприклад, з властивостей основних елементарних функцій знаємо, що y=sinx визначено і безперервна всім дійсних значень аргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .
Крапки екстремуму, екстремуми функції.
Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.
Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.
Під околицею точки розуміють інтервал 
, де - Досить мале позитивне число.
Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.
Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значенням функції.
На першому малюнку найбільше значення функції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x = b, яка не є точкою максимуму.
Достатні умови зростання та зменшення функції.
На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.
Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:
- якщо похідна функції y=f(x) позитивна для будь-якого x з інтервалу X, то функція зростає на X;
- якщо похідна функції y=f(x) негативна будь-якого x з інтервалу X , то функція зменшується на X .
Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:
Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.
приклад.
Знайти проміжки зростання та зменшення функції .
Рішення.
На першому кроці потрібно знайти область визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .
Переходимо до знаходження похідної функції: 
Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2 а знаменник звертається в нуль при x = 0 . Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі. 
Таким чином, 
і 
.
У точці x=2 функція визначена і безперервна, тому її слід додати до проміжку зростання і до проміжку спадання. У точці x=0 функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються.
Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів.
Відповідь:
Функція зростає при 
, зменшується на інтервалі (0; 2] .
Достатні умови екстремуму функції.
Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох ознак екстремуму, звичайно, якщо функція задовольняє їхні умови. Найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.
Перша достатня умова екстремуму.
Нехай функція y=f(x) диференційована в околиці точки, а в самій точці безперервна.
Іншими словами:
Алгоритм знаходження точок екстремуму за першою ознакою екстремуму функції.
- Знаходимо область визначення функції.
- Знаходимо похідну функції області визначення.
- Визначаємо нулі чисельника, нулі знаменника похідної та точки області визначення, в яких похідна не існує (усі перераховані точки називають точками можливого екстремуму, проходячи через ці точки, похідна може змінювати свій знак).
- Ці точки розбивають область визначення функції проміжки, у яких похідна зберігає знак. Визначаємо знаки похідної кожному з інтервалів (наприклад, обчислюючи значення похідної функції у будь-якій точці окремо взятого інтервалу).
- Вибираємо точки, в яких функція безперервна і, проходячи через які, похідна змінює знак – вони є точками екстремуму.
Занадто багато слів, розглянемо краще кілька прикладів знаходження точок екстремуму та екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму функції.
приклад.
Знайти екстремуми функції.
Рішення.
Областю визначення функції є безліч дійсних чисел, крім x=2 .
Знаходимо похідну: 
Нулями чисельника є точки x = -1 і x = 5 знаменник звертається в нуль при x = 2 . Відзначаємо ці точки на числовій осі 
Визначаємо знаки похідної кожному інтервалі, при цьому обчислимо значення похідної у кожній з точок кожного інтервалу, наприклад, у точках x=-2, x=0, x=3 і x=6 .
Отже, на інтервалі похідна є позитивною (на малюнку ставимо знак плюс над цим інтервалом). Аналогічно 
Тому над другим інтервалом ставимо мінус, над третім – мінус, над четвертим – плюс.
Залишилося вибрати точки, у яких функція безперервна та її похідна змінює знак. Це і є точки екстремуму.
У точці x=-1 функція безперервна і похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, за першою ознакою екстремуму, x=-1 – точка максимуму, їй відповідає максимум функції 
.
У точці x=5 функція безперервна і похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, x=-1 – точка мінімуму, їй відповідає мінімум функції 
.
Графічні ілюстрації.
Відповідь:
ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: перша достатня ознака екстремуму не вимагає диференційності функції у самій точці .
приклад.
Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції 
.
Рішення.
Областю визначення функції є вся безліч дійсних чисел. Саму функцію можна записати у вигляді: 
Знайдемо похідну функції: 
У точці x=0 похідна немає, оскільки значення односторонніх меж при прагненні аргументу до нуля не збігаються: 
У цей час, вихідна функція є безперервною у точці x=0 (дивіться розділ дослідження функції на безперервність): 
Знайдемо значення аргументу, при якому похідна звертається до нуля: 
Зазначимо всі отримані точки на числовій прямій і визначимо похідний знак на кожному з інтервалів. Для цього обчислимо значення похідної у довільних точках кожного інтервалу, наприклад, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Тобто, 
Таким чином, за першою ознакою екстремуму, точками мінімуму є 
, точками максимуму є 
.
Обчислюємо відповідні мінімуми функції 
Обчислюємо відповідні максимуми функції 
Графічні ілюстрації.
Відповідь:
.
Друга ознака екстремуму функції.
Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .
1°. Відомо, що постійна функція має у кожній точці відрізка похідну, рівну нулю. У повних курсах аналізу доводиться протилежне, що функція f(x) постійна на відрізку [а, b], якщо у кожній точці відрізка її похідна f "(х) дорівнює нулю.
Ілюструємо це геометрично. Якщо f "(x) = 0у кожній з точок відрізка [а, b],то щодо графіку функції y=f(x) укожної з точок х (а ≤ х ≤ b)паралельна осі Ох.При переході хвід одного значення до його наступних значень точка М.графіка функції, що є точкою дотику дотичної, зсувається вправо, але залишається на напрямі дотичної, проведеної вточці М,оскільки дотична у своїй переході не змінює свого напрями. Внаслідок цього на відрізку [а, b]
графік функції y=f(x)звертається у пряму MN,паралельну осі Ох,а значення функції, що дорівнює f(а), залишається незмінним.
2°. Якщо у проміжку a
Позитивні значення. Внаслідок цього його межа – похідна f"(х) -позитивна або дорівнює нулю
f "(x) ≥ 0
Якщо у проміжку а<хфункція y=f(x)спадна, то при збільшенні хкожне наступне значення функції менше попереднього. Тому для кожного даного значення x у той час, коли приріст Δxпозитивно, збільшення Δyнегативно, ставлення Δy/Δxприймає лише негативні значення та при прагненні Δxнанівець має своєю межею негативне число чи нуль, тобто.
f "(x) ≤ 0.
Оскільки значення похідної f "(х)дорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку функції y = f(x):
f"(x) = tgφ,
і у зростаючої функції f "(x) = tgφ ≥ 0, Що стосується графіка зростаючої функції утворює з віссю Охгострий кут або паралельна осі Ох(чорт. 106). У спадної функції f"(х) = tgφ ≤ 0, що стосується графіка утворює з віссю Охтупий кут або паралельна осі Ох(чорт.).
У проміжку a
Точки графіка зростаючої (чи спадної) функції, у яких дотична паралельна осі Ox,є окремими точками тому, що абсциси їх становлять відрізка. На біса. та чорт. такими точками є Рі Р1.
3°. У повних курсах аналізу доводяться такі достатні ознаки зростання та зменшення функції:
функція f(x) зростає (або зменшується) у проміжку a
1) похідна f "(х) не негативна (або не позитивна) у проміжку а<х
f "(x) ≥ 0 (або f "(x) ≤ 0)
2) у цьому проміжку не існує відрізка a 1 ≤ x ≤ b 1 (а<а 1 .
4°. приклад. Визначити проміжки зростання та зменшення функції: у = х 3 - х 2 - 8х + 2.
Рішення. Щоб застосувати ознаки зростання та зменшення функції, знайдемо похідну даної функції та визначимо значення х,при яких вона позитивна чи негативна:
у" = Зх 2 - 2х - 8.
Розкладемо тричлен другого ступеня на множники, оскільки набагато легше судити про знак твору за знаками множників, ніж про знак суми за знаками доданків.
Коріння тричлена:
|
у" = 3 (х + 4/3) (х-2).
Множник x + 4/3 від'ємний при х< - 4/3 и положителен при х> - 4/3. Множник х - 2 від'ємний при х< 2 и положителен при х> 2. Знак твору буде той чи інший залежно від розташування точки хна осі Охщодо точок -4/3 та 2.
Крапки -4/3 та 2 поділяють всю вісь на три проміжки;
1) - ∞
Щоб визначити знак похідної у кожному проміжку, складемо таблицю:
| № проміжку | Характеристика проміжку | Знак x+4/3 | Знак x-2 | Знак f '(x) | Ця функція |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | зростає | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | зменшується | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | зростає |
Отже, ця функція зростає у проміжках
- ∞
Графік цієї функції представлений на рис.
5°.Функція у = х 3(чорт.) має похідну у = 3х 2яка позитивна за будь-якого значення х,відмінному від нуля. При х = 0похідна у" = 0. Функція у = х 3зростає у проміжку - ∞
Максимум та мінімум функції
Завдання знайти найбільших і найменших значень величин мають значення у техніці і, як зрозуміло з прикладів, зводяться до пошуку максимуму і мінімуму функції.
Визначення. 1. Функція f(x) має при х = максимум, якщо її значення при х = с більше, ніж при будь-якому іншому значенні х, взятому в деякій околиці точки х = с.
2. Функція f(x) має при x= з мінімум, якщо її значення при х=з менше, ніж за будь-якого іншого значення х, взятому в деякій околиці точки х=с.
Терміни "максимум" і "мінімум" поєднуються в один загальний для них термін "екстремум".
Значення аргументу, що дає максимум (або мінімум) функції, називається точкою максимуму (мінімуму), або точкою екстремуму.
Функція може мати максимум, наприклад функція y = 60x-2х 2(чорт. 111), або тільки мінімум, наприклад, функція у = 2х +72/x(чорт. 112), або мати
максимум і мінімум, як, наприклад, функція у = х 3 - - х 2 - 8х +2(чорт. 108). Функція може мати кілька максимумів і мінімумів (рис. 113), причому в цьому випадку максимуми та мінімуми чергуються. Функція може мати ні максимуму, ні мінімуму. Наприклад, функції у = х 3 , y = ctgx, y = a xне мають ні максимуму, ні мінімуму, тому що при зростанні хвід - ∞ до +∞ перша та третя функції зростають, а друга тільки зменшується.
Максимум (мінімум) функції може бути найбільшим (найменшим) значенням її. Так, зображена на рис. 113 функція має у точці с.значення, більше максимумів з 1 М 1і з 3 М 2, а в точці з 0значення, менше мінімуму з 2 м 1, і c 4 m 2, мінімум c 4 m 2більше максимуму з 1 М 1. Максимум (мінімум) функції в даній точці взагалі є найбільшим (найменшим) значенням функції в порівнянні з її значеннями в точках, що лежать зліва і праворуч від точки екстремуму лише у достатній близькості до неї.
Хід уроку:
Діяльність вчителяДіяльність учнів
Ресурси
2 хв
I. Організаційний момент.
Вітає учнів,перевіряє готовність до уроку, бажає успіху.
Осмислюють поставлену мету.
Зошити
5 хв
ІІ. Перевірка домашнього завдання:нбх. вирішувати невирішені завдання, пояснити.
Демонструють свої знання.
Таблиці
10 хвилин
ІІ. Вивчення нової теми
Якщо похідна цієї функції є позитивною для всіх значень х в інтервалі ( а;в), тобто. f"(x) > 0, то функція у цьому інтервалі зростає.
Якщо похідна цієї функції негативна всім значень хв інтервалі( а;в), тобто. f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Порядок знаходження проміжків монотонності:
Знайти область визначення функції.
Знайти першу похідну функції.
Знайти критичні точки, дослідити знак першої похідної у проміжках, куди знайдені критичні точки ділять область визначення функції.
Знайти проміжки монотонності функцій.
Досліджуємо знак похідної отриманих проміжках, рішення представимо як таблиці.
Достатня умова існування максимуму полягає у зміні похідної знака при переході через критичну точку з "+" на "-", а для мінімуму з "-" на "+". Якщо при переході через критичну точку зміни похідного знака не відбувається, то в даній точці екстремуму немає.
Розглянемо кілька прикладів дослідження функції на зростання та зменшення.
Знайдіть проміжки зростання та зменшення функції
1) f(x) = 3-0,5x,
2) f(x) = - x2+2x-3,
3) f(x) = 4x-5,
4) f(x) = 5x 2-3x+1.
(-∞;1)-зростає, (1;+∞)-зменшується
(-∞;+∞)-зростає
(-∞;0,3)-зростає, (0,3;+∞)-зменшується
(-∞;+∞)-зменшується
Демонструють вміння.
Постери
Формули
Підручник
хв
IV. Закріплення знаньРобота з підручником № 258, № 261
f). 2. Знайти f "( x).3. Знайти стаціонарні точки, тобто. точки, де f"( x) = 0 або f"( x) не існує.
(Виробна дорівнює 0 в нулях чисельника, похідна не існує в нулях знаменника)
4. Розташувати Д( f) і ці точки на координатній прямій.
5. Визначити знаки похідної кожному з інтервалів
6. Застосувати ознаки. 7. Записати відповідь.
3 хв
V. Підсумок уроку.самооцінка учнями результатів своєї навчальної діяльності.Проводить рефлексію.
Що нового дізналися на уроці?
Чи були вам цікаві моменти?
На стікерах записують свою думку щодо уроку.
Картки
2 хв
VI.Домашня робота. Пояснює особливості домашньої роботи №259, №257
записують у щоденниках.
Щоденник
Ознаки локального зростання та зменшення функції.
Одне з основних завдань дослідження функції - це знаходження проміжків її зростання та спадання. Таке дослідження легко провести за допомогою похідної. Сформулюємо відповідні твердження.
Достатня ознака зростання функції.
Якщо f'(х) > 0 у кожній точці інтервалу I, функція f зростає на I.
Достатня ознака зменшення функції.
Якщо f'(х)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказ цих ознак проводиться виходячи з формули Лагранжа (див. п. 19). Візьмемо два будь-які числа х 1 та x 2 з інтервалу. Нехай x 1
(1)
Число з належить інтервалу I, оскільки точки х 1 та x 2 належать I. Якщо f"(x)>0 для х∈I то f'(с)>0, і тому F(x 1 )
Наочний сенс ознак зрозумілий з фізичних міркувань (розглянемо для певності ознака зростання).
Нехай точка, що рухається по осі ординат в момент часу t має ординату y = f(t). Тоді швидкість цієї точки на момент часу t дорівнює f"(t) (див.Миттєва швидкість ). Якщо f’ (t)>0 у кожний момент часу з проміжку t, то точка рухається у позитивному напрямку осі ординат, тобто якщо t 1
Зауваження 1.
Якщо функція f неперервна в якомусь із кінців проміжку зростання (зменшення), то цю точку приєднують до цього проміжку.
Примітка 2.
Для вирішення нерівностей f"(х)>0 і f"(х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Необхідні та достатні умови існування екстремуму функції у точці.
Необхідна умова екстремуму
Функція g(x) у точці має екстремум(максимум або мінімум), якщо функція визначена у двосторонній околиці точки та для всіх точок x деякої області: , виконано відповідно нерівність
(у разі максимуму) або (у разі мінімуму).
Екстремум функції перебувати з умови: якщо похідна існує, тобто. Прирівнюємо першу похідну функції до нуля.
Достатня умова екстремуму
1) Перша достатня умова:
а) f(x) безперервна функція і визначена в деякій околиці точки такої, що перша похідна в даній точці дорівнює нулю або не існує.
б) f(x) має кінцеву похідну в околиці завдання та безперервності функції
в) похідна зберігає певний знак праворуч від точки і зліва від цієї точки, тоді точку можна охарактеризувати наступним чином
Ця умова не дуже зручна, тому що потрібно перевіряти безліч умов і запам'ятовувати таблицю, проте якщо нічого не сказано про похідні вищі порядки, це єдиний спосіб знайти екстремум функції.
2) Друга достатня умова
Якщо функція g(x) має другий похідний причому в деякій точці перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна відмінно від нуля. Тоді точка екстремум функції g(x), причому якщо то точка є максимумом; Якщо точка є мінімумом.
