Похідна первісної цієї функції дорівнює. Первісна функції та загальний вигляд

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Елементи змісту

Похідна, дотична, первісна, графіки функцій та похідних.

ПохіднаНехай функція \(f(x)\) визначена в околицях точки \(x_0\).

Похідної функції \(f\) у точці \(x_0\)називається межа

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

якщо ця межа існує.

Похідна функції у точці характеризує швидкість зміни цієї функції у цій точці.

Таблиця похідних

Правила диференціювання\(f\) та \(g\) - функції, що залежать від змінної \(x\); (c) - число.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)" = f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - похідна складної функції

Геометричний зміст похідної Рівняння прямої- не паралельної осі (Oy) можна записати у вигляді (y = kx + b). Коефіцієнт \(k\) у цьому рівнянні називають кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута нахилуцієї прямої.

Кут нахилу прямий- кут між позитивним напрямом осі \(Ox\) і даною прямий, що відраховується у напрямку позитивних кутів (тобто, у напрямку найменшого повороту від осі \(Ox\) до осі \(Oy\)).

Похідна функції \(f(x)\) у точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в даній точці: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Якщо \(f"(x_0)=0\), то щодо графіка функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) паралельна осі \(Ox\).

Рівняння дотичної

Рівняння щодо графіку функції \(f(x)\) у точці \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Монотонність функціїЯкщо похідна функції позитивна у всіх точках проміжку, то функція зростає цьому проміжку.

Якщо похідна функції негативна у всіх точках проміжку, то функція зменшується у цьому проміжку.

Точки мінімуму, максимуму та перегину позитивногона негативнеу цій точці, то (x_0) - точка максимуму функції (f).

Якщо функція \(f\) безперервна в точці \(x_0\), а значення похідної цієї функції \(f"\) змінюється з негативногона позитивнеу цій точці, то (x_0) - точка мінімуму функції (f).

Точки, в яких похідна \(f"\) дорівнює нулю або немає називаються критичними точкамифункції (f).

Внутрішні точки області визначення функції \(f(x)\), у яких \(f"(x)=0\) можуть бути точками мінімуму, максимуму або перегину.

Фізичний зміст похідноїЯкщо матеріальна точка рухається прямолінійно та її координата змінюється залежно від часу за законом \(x=x(t)\), то швидкість цієї точки дорівнює похідній координати за часом:

Прискорення матеріальної точки на рівні похідної швидкості цієї точки за часом:

\(a(t)=v"(t).\)

Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику менший за нуль.

Рішення

Нехай x_0 - абсцис точки на графіку функції y = -12x ^ 2 + bx-10, через яку проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Отримуємо систему рівнянь \begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(9)-F(5), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(9)-F(5), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=9 та x=5. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 4 і 3 та висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-4; 10). Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Рішення

Як відомо, функція f(x) зменшується на тих проміжках, у кожній точці яких похідна f"(x) менша за нуль. Враховуючи, що треба знаходити довжину найбільшого з них природно по малюнку виділяються три такі проміжки: (-4; -2) (0; 3);(5; 9).

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідну функцію f(x), визначену на інтервалі (-8; 7). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать проміжку [-6; -2].

Рішення

З графіка видно, що похідна f"(x) функції f(x) змінює знак з плюсу на мінус (саме в таких точках буде максимум) рівно в одній точці (між -5 і -4) з проміжку [-6; -2 ] Тому на проміжку [-6;-2] рівно одна точка максимуму.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких похідна функції f(x) дорівнює 0 .

Рішення

Рівність похідної нулю в точці означає, що дотична до графіка функції, проведена в цій точці, паралельна осі Ox. Тому знаходимо такі точки, у яких дотична до графіка функції паралельна осі Ox. На цьому графіку такими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 5 .

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

Рішення

Кутовий коефіцієнт прямий до графіка функції y=-x^2+5x-7 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=-2x+5, отже, y"(x_0)=-2x_0+5. Кутовий коефіцієнт прямої y=-3x+4, вказаної в умові, дорівнює -3.Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, тому знаходимо таке значення x_0, що =-2x_0 +5=-3.

Отримуємо: x_0 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік функції y = f (x) і відзначені точки -6, -1, 1, 4 на осі абсцис. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Файл для заняття 29.

Похідна. Застосування похідної. Первісна.

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х 0 дорівнює похідної функції у точці х 0. .

Тобто. похідна функції в точці х 0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в точці (х 0; f (x 0)).

Завдання 1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x x 0 .

Відповідь: 0,25

Завдання 2. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: 0,6

Завдання 3. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: -0,25

Завдання 4. На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 . Відповідь: -0,2.

Механічний сенс похідний.

v ( t 0 ) = x’ ( t 0 )

швидкість – це похідна координати по часу. Аналогічно, прискорення - це похідна швидкості за часом :

a = v’ ( t ).

Завдання 5 . Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=12 t 2 +4 t+27, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах на секунду) у час t=2 з. Відповідь: 52

Завдання 6. Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із закономx (t) = 16   t 3 + t 2 − 8   t + 180, де x- відстань від точки відліку в метрах,t- час у секундах, виміряне з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 42 м/с? Відповідь: 1

Достатня ознака зростання (зменшення) функції

1. Якщо f `(x) у кожній точці інтервалу (, то функція зростає на (.).

2. Якщо f `(x) у кожній точці інтервалу (, то функція зменшується на (.).

Необхідна умова екстремуму

Якщо точка х 0 є точкою екстремуму функції і в цій точці існує похідна f `( x 0 )=0

Достатня умова екстремуму

Якщо f `( x 0 x 0 значення похідної змінює знак з "+" на "-", то x 0 є точкою максимуму функції.

Якщо f `( x 0 ) = 0 і при переході через точку x 0 значення похідної змінює знак з «-» на «+», то x 0 є точкою мінімуму функції.

Завдання 7.На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-7; 10) Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(x)на відрізку [-3; 8].

Рішення.Точки мінімуму відповідають точкам зміни похідної знака з мінуса на плюс. На відрізку [-3; 8] функція має одну точку мінімуму x= 4. Отже, така точка 1. Відповідь: 1.

Завдання 8. На малюнку зображено графік диференційованої функції y=f(x) і відзначено сім точок на осі абсцис: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. У скільки з цих точок похідна функції f(x) негативна? Відповідь: 3

Завдання 9. На малюнку зображено графік диференційованої функції y=f(x), визначеної на інтервалі (− 11 ; − 1). Знайдіть точку з відрізка [− 7 ; − 2], в якій похідна функції f(x) дорівнює 0. Відповідь: -4

Завдання 10. На малюнку зображено графік функції y=f′(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (2 ; 13). Знайдіть точку максимуму функції f(x). Відповідь: 9

Завдання 11. На малюнку зображено графік y=f′(x) похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 3; 8). У якій точці відрізка [−2; 3] функція f(x) набуває найменшого значення? Відповідь: -2

Завдання 12.На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 2 ; 11). Знайдіть абсцис точки, в якій дотична до графіка функції y=f(x) паралельна осі абсцис або збігається з нею Відповідь: 3

Завдання 13.На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідну функцію f(x), визначену на інтервалі (− 4 ; 6). або збігається з нею Відповідь: 5

Завдання 14. На малюнку зображено графік y=f "(x) - похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (− 4 ; 13). Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції y=f(x) паралельна до прямої y=− 2x−10 або збігається з нею Відповідь: 5

Завдання 15.Пряма y=5x-8 є дотичною до графіка функції 4x2-15x+c. Знайдіть c. O твет: 17.

Первісна

Первоподібною функцією F(x) для функції f(x) називається функція, похідна якою дорівнює вихідній функції. F " ( x )= f ( x ).

Завдання 16.На малюнку зображено графік y=F (x) однією з первісних деякої функції f(x), Визначеної на інтервалі (1; 13). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння f (x) = 0 на відрізку. Відповідь: 4

Завдання 17.На малюнку зображено графік y=F(x) однієї з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (−7;8). Використовуючи малюнок, визначте кількість розв'язків рівняння f(x)=0 на відрізку . Відповідь:1

Завдання 18. На малюнку зображено графік y=F(x) однієї з першорядних деякої функції f(x) і відзначено вісім точок на осі абсцис: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. У скільки з цих точок функція f(x) негативна? Відповідь: 3

Завдання 19.На малюнку зображено графік деякої функції y=f(x). Функція F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 - одна з первісних функцій f(x). Знайдіть площу зафарбованої фігури. Відповідь: 592

Алгоритм знаходження точок екстремуму

Знайти область визначення функції.

Знайти похідну функції f "( x)

Знайти точки, в яких f "( x) = 0.

Позначити на числовій прямій область визначення функції і всі похідні нулі.

Визначити знак похіднийдля кожного проміжку. (Для цього підставляємо "зручне" значення x з цього проміжку в f "( x)).

Визначити за знаками похідної ділянки зростання та спадання функції та зробити висновки про наявність або відсутність екстремуму та його характер ( max абоmin ) у кожній з цих точок.

Завдання 20.Знайдіть точку максимуму функції y=(2x−1)cosx−2sinx+5, що належить проміжку (0 ; π/2). Відповідь: 0,5

Завдання 21.Знайдіть точку максимуму функціїy =.Відповідь: 6

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку

Завдання 22.Знайдіть найменше значення функції y = x −6x +1 на відрізку. Відповідь: -31

Завдання 23.Знайдіть найменше значення функції y=8cosx+30x/π+19 на відрізку [− 2π/3; 0]. Відповідь: -5

Додатково. 1.Знайдіть точку максимуму функції y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 .

2. Знайдіть найбільше значення функції y=х 5 -5х 3 -20х на відрізку [− 9 ; 1]. Відповідь:48

Сьогодні ми говоритимемо про дослідження функцій. Математика влаштована так само, як і звичайний будинок: спочатку закладається фундамент, а потім вже шар за шаром викладається цегла. Роль фундаменту в математиці грає функція (відповідність між двома множинами). Після введення поняття функції її починають досліджувати як об'єкт аналогічно до того, як це було зроблено з числами.

Насправді, у житті ми теж часто користуємося не лише об'єктами, а й відповідністю між ними, відносинами між об'єктами. Як приклад можна навести книги про кохання (кохання – це ставлення між людьми).

Після дослідження функції математики починають досліджувати безлічі функцій, потім простору функцій тощо. Але ми сьогодні поговоримо про первинний аналіз функції.

Що таке функція? Функція – це відповідність між множинами. На цьому уроці ми говоритимемо про числові функції, тобто про відповідності між числовими множинами. Також ми поговоримо про локальну властивість функції (поведінка функції в даній конкретній точці) і глобальну (властивість, пов'язану з усією областю визначення функції). Похідна – це опис локальних властивостей функцій, а інтеграл – опис глобальних.

Наприклад, є дві різні функції, але у точці їх графіки збігаються (див. рис. 1). Але в чому ж різниця між поведінкою функцій на околиці цієї точки? Про це й йтиметься.

Рис. 1. Перетин графіків двох різних функцій

За графіком функції можна легко визначити її властивості: монотонність (функція зростаюча або спадна), парність (непарність) і періодичність (див. рис. 2).

Рис. 2. Характеристики функцій

Всі ці показники є математичними. А ось похідну часто використовують у житті. Найчастіше, коли ми описуємо якийсь процес за допомогою графіка, нас цікавить динаміка цього процесу, тобто не значення функції в конкретній точці, а як функція поводитиметься надалі (вона зростатиме чи спадатиме?). Наприклад, коли ми хочемо проаналізувати зростання цін або порівняти ціни за різні періоди часу (абсолютні значення могли змінитися, а динаміка залишилася тією самою) (див. рис. 3).

Рис. 3. Динаміка цін на золото

Похідна допомагає з'ясувати, як функція поводитиметься в околиці даної точки.

Варто уточнити, що у школі найчастіше похідну функції шукають по всій області визначення. Це з тим, що досліджувані функції є «хорошими», тобто їх поведінка передбачувано по всій осі. Але взагалі похідна – локальна характеристика функції.

Наприклад, при перегляді фотографій з різною витримкою може бути кілька варіантів:

1. машини стоять і люди знаходяться кожний на своєму місці (див. рис. 4);
2. змащена картинка, видно хто куди прямує (див. рис. 5).

Рис. 4. Фотографія з витримкою з

Рис. 5. Фотографія з витримкою з

Другий варіант – це наочна ілюстрація похідної (розмиття картинки).

У точці функція набуває конкретного значення, і у ньому практично не можна зробити якісь висновки про її поведінку. А якщо розглянути околицю цієї точки, то вже можна сказати, з якого боку вона менша (з якої більше) і зробити висновок, зростає вона чи зменшується. Тобто коли витримка маленька, бачимо значення функції у точці, і коли розглядаємо затримку кадру - ми можемо проаналізувати поведінка функції (див. рис. 6).

Рис. 6. Аналогія між похідною та фотографією

У повсякденному житті ми часто аналізуємо ситуацію подібно до аналізу функцій в математиці. Наприклад, кажучи, що на вулиці теплішає (холодає), ми не вказуємо конкретну температуру в даний момент, а маємо на увазі, що незабаром температура підвищиться (зменшиться). Це аналогічно до обчислення похідної (див. рис. 7).

Рис. 7. Аналіз зміни температури

Введемо точне визначення похідної.

Похідної функціїу точціназивається межа при відношенні збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу (за умови що ця межа існує):

Оскільки ми хочемо запровадити таке поняття, як швидкість зміни функції (основне слово - швидкість), то можна провести паралель із фізикою. Миттєва швидкість - векторна фізична величина, що дорівнює відношенню переміщення до інтервалу часу, за який це переміщення відбулося, якщо інтервал часу прагне нуля:

Миттєва швидкість, м/с; - переміщення тіла, м (при); - інтервал часу, що прагне до нуля, с.

Але важливо уточнити, що коли ми говорили про температуру, ми вказували лише якісну характеристику процесу, але не говорили про швидкість зміни температури. Похідна враховує швидкість зміни функції. Функції можуть зростати по-різному. Наприклад, парабола () зростає швидше, ніж логарифм () (див. мал. 8).

Рис. 8. Швидкість зростання графіків функцій та

Саме порівняння швидкості зростання (зменшення) функції ми вводимо конкретну характеристику функції - похідну. Проводячи аналогію між похідною та швидкістю руху будь-якого предмета (швидкість - це відношення пройденого шляху до часу, або зміна координати за одиницю часу), можна сказати, що в межі похідна - це відношення зміни функції (тобто шляху, який пройшла точка) , якби вона рухалася за графіком функції) до збільшення аргументу (час, протягом якого було виконано переміщення) (див. рис. 9). У цьому полягає механічний (фізичний) зміст похідної.

Рис. 9. Аналогія між швидкістю та похідною

Похідна – це локальна властивість функції. Важливо розрізняти обчислення похідної по всій області визначення і конкретному ділянці, оскільки функція одному проміжку могла бути квадратичною, іншому - лінійної тощо. Але це все одна функція, і в різних точках така функція матиме різні похідні значення.

Для більшості функцій, заданих аналітично (конкретною формулою), ми маємо таблицю похідних (див. рис. 10). Це аналог таблиці множення, тобто є основні функції, для яких похідні вже пораховані (можна довести, що вони мають саме такий вид), а далі є деякі правила (див. рис. 11) (аналоги множення або поділу в стовпчик), допомогою яких можна обчислювати похідні складних функцій, похідні твори тощо. Таким чином, практично для всіх функцій, виражених через відомі нам функції, ми можемо описати поведінку функції по всій області визначення.

Рис. 10. Таблиця похідних

Рис. 11. Правила диференціювання

Але все ж таки визначення похідної, яке ми дали раніше, точкове. Для узагальнення похідної у точці всю область визначення функції треба довести, що у кожній точці значення похідної збігатися зі значеннями однієї й тієї функції.

Якщо уявити таку функцію, яка не записується аналітично, то на околиці кожної точки ми можемо уявити її у вигляді лінійної функції. Похідну лінійну функцію на околиці деякої точки легко порахувати. Якщо ми представляємо функцію лінійно, вона збігається зі своєю дотичною (див. рис. 12).

Рис. 12. Подання функції у кожній точці у вигляді лінійної функції

З прямокутного трикутника знаємо, що тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. Отже, геометричний зміст похідної у тому, що похідна - це тангенс кута нахилу дотичної у цій точці (див. рис. 13).

Рис. 13. Геометричний зміст похідної

Говорячи про похідну як про швидкість, можна сказати, що якщо функція зменшується, то її похідна негативна, і навпаки, якщо функція зростає, її похідна позитивна. З іншого боку, ми визначили похідну як кут тангенсу нахилу дотичної. Це також легко пояснити. Якщо функція зростає, то дотична утворює гострий кут, а тангенс гострого кута позитивний. Отже, похідна є позитивною. Як бачимо, фізичний та геометричний зміст похідної збіглися.

Прискорення – це швидкість зміни швидкості (тобто похідна швидкості). З іншого боку, швидкість – це похідна переміщення. Виходить, що прискорення – це друга похідна від переміщення (див. рис. 14).

Рис. 14. Застосування похідної у фізиці

Похідна – це засіб вивчення властивостей функції.

Похідна застосовується на вирішення завдань оптимізацію. Цьому є пояснення. Так як похідна показує зростання функції, то з її допомогою можна знайти локальні максимуми та мінімуми функції. Знаючи, що на одній ділянці функція зростала, а потім почала зменшуватися, ми припускаємо, що в деякій точці існує локальний максимум. Аналогічно, якщо функція зменшувалась, а потім почала зростати, в деякій точці існує локальний мінімум (див. рис. 15).

Рис. 15. Локальні мінімуми та максимуми функції

На практиці це може застосовуватися для знаходження, наприклад, максимального прибутку за заданих умов. Для цього потрібно знайти точку, де буде локальний максимум. Якщо ж нам потрібно визначити мінімальні витрати, то відповідно потрібно визначити точку, в якій знаходиться локальний мінімум (див. рис. 16).

Рис. 16. Знаходження максимального прибутку та мінімальних витрат

У школі вирішується багато завдань оптимізацію. Розглянемо одну із них.

Яким має бути прямокутний паркан фіксованої довжини, щоб він огороджував максимальну площу (див. рис. 17)?

Рис. 17. Завдання на оптимізацію

Виявляється, що паркан має бути квадратним.

Таких завдань, коли один параметр зафіксовано, а другий потрібно оптимізувати, досить багато. Той параметр, який зафіксовано – це наші дані завдання (наприклад, матеріал для забору). А є параметр, який ми хочемо отримати мінімальним чи максимальним (наприклад, максимальну площу, мінімальний розмір). Тобто утворюється пара «ресурс – ефект». Є певний ресурс, який спочатку заданий, і деякий ефект, який хочемо отримати.

Перейдемо тепер до глобальних властивостей функції. Розглянемо найпростіший випадок інтеграла. Візьмемо ряд чисел: . Ряд - це теж функція (натурального аргументу), у кожного числа є свій порядковий номер та значення. .

Запишемо формулу для знаходження суми цього ряду:

Сума до певного значення буде значенням інтеграла.

Наприклад, для :

Тобто інтеграл – це фактично сума (у разі сума значень функції).

Більшість учнів інтеграл асоціюється з площею. Спробуємо пов'язати приклад із сумою ряду та площею. Перепишемо цей ряд як лінійної функції: .

Тоді сумою цього ряду буде сума площ частин під графіком (у разі трапецій) (див. рис. 18).

Рис. 18. Площа під графіком функції

Сума площ дорівнює площі суми (якщо частини, на які розбито фігуру, не перетинаються). Отже, інтеграл – це площа під графіком функції. Таким чином, знайшовши інтеграл, ми можемо знайти площу якоїсь частини площини. Наприклад, можна знайти площу під графіком .

Якщо хочемо суворо запровадити визначення інтеграла через площу фігури під функцією, то розбивати саму фігуру потрібно дуже маленькі шматочки. Не завжди так зручно вважати площу, як у разі лінійної функції. Візьмемо, наприклад, функцію . Якщо лінійно наблизити функцію (як ми пропонували робити у випадку з похідною), ми так само, як і в попередньому прикладі, отримаємо розбиття всієї площі на суму площ трапецій (див. рис. 19).

Тоді в сумі це і є інтеграл, тобто площа під графіком функції.

Рис. 19. Площа під графіком функції

Але як же рахувати цю площу (інтеграл)? Для відомих функцій існує таблиця інтегралів (аналогічно таблиці похідних). Але в загальному випадку ми наближаємо функцію відрізками і вважаємо суму площ трапецій під цими відрізками. Зменшуючи відрізки, одержуємо значення інтеграла.

На відміну від похідної, коли «хорошої» функції завжди виходить «хороша» похідна, у разі інтеграла це негаразд. Наприклад, для такої простої функції, як порахувати інтеграл і уявити його як аналітичних функцій ми можемо (див. рис. 20).

Обчислення інтеграла – це непросте завдання, і тому існування такої простої формули Ньютона-Лейбніца (див. рис. 20), яка дозволяє швидко обчислювати значення інтеграла, якщо ми знаємо його вигляд, суттєво полегшує підрахунки. В іншому випадку щоразу обчислювати граничну площу було б складно.

Рис. 20. Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення інтегралів

Тому до основних методів обчислення належать:

1. таблиця інтегралів тих функцій, які ми можемо порахувати (див. рис. 21);
2. властивості інтеграла, що дозволяють обчислювати різні комбінації табличних функцій (див. рис. 22);
3. формула Ньютона-Лейбніца (якщо ми порахуємо значення в крайній правій точці і віднімемо значення в крайній лівій точці, то отримаємо площу) (див. рис. 20).

Рис. 21. Таблиця інтегралів

Рис. 22. Властивості певного інтегралу

У школі формула Ньютона-Лейбніца не виводиться, хоча це не складно зробити, якщо визначити інтеграл як площу під графіком.

Докладніше про виведення формули Ньютона-Лейбніца:

Щоб краще зрозуміти різницю між локальними і глобальними властивостями функції, можна розглянути приклад стрільби по мішеням. Якщо взяти кілька пострілів навколо (жоден не потрапив до центру) та обчислити середнє, то вийде практично (див. рис. 23). Хоча насправді стрілець міг потрапляти весь час вище або нижче за мішеню, а середнє все одно вийде близько до .

Рис. 23. Стрілянина за мішенями

Можна навести приклад із фізики – центр тяжіння. Однакова маса з однаковим центром тяжіння може бути розподілена по-різному (див. рис. 24).

Рис. 24. Варіанти розподілу маси з однаковим центром тяжіння

Як ще один приклад можна навести середню температуру по лікарні. Якщо у когось температура, а у когось, то в середньому виходить і здається, що не так сильно хворіють пацієнти.

Якщо говорити про зв'язок похідної (локальна характеристика) та інтеграла (глобальна характеристика), то інтуїтивно зрозуміло, що це взаємозворотні поняття. Насправді, так і є. Якщо взяти похідну від інтеграла чи інтеграл від похідної, то отримаємо вихідну функцію. Щоб це пояснити, розглянемо рух тіла. Ми вже знаємо, що швидкість – похідна від переміщення. Спробуємо виконати зворотну операцію. Для цього висловимо переміщення через швидкість та час:

І якщо подивимося на графік (швидкість змінюється лінійно), то побачимо, що шлях – це твір швидкості на якийсь час. З іншого боку, це площа під графіком (рис. 25).

Рис. 25. Зв'язок між похідною та інтегралом

Якщо обчислити інтеграл від швидкості, то вийде значення на шляху. А швидкість - це похідна від шляху.

Отже, похідна та інтеграл – взаємозворотні функції. Цьому є суворий доказ.

Рис. 26. Зв'язок похідного та інтегралу

Але для того, щоб аналізувати, розуміти, про що йдеться, і працювати з операціями диференціювання (обчислення похідної) та інтегрування (обчислення інтеграла), сказаного на даному уроці та матеріалів з основних уроків буде достатньо.

Коли нам потрібно знайти будинок на вул. Невська, а ми вийшли навпроти будинку, то ми йдемо вліво або вправо від цього будинку, щоб зрозуміти, як йде нумерація.