Протилежні сторони чотирикутника попарно рівні. Н.Нікітін Геометрія

ЧОТИРИКУТНИКИ.

§43. ПАРАЛЕЛОГРАМ.

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках АВDС та ЕFNМ (чорт. 224) ВD || АС та АВ || CD;
ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм АВDС (чорт. 225), у якому АВ | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі АВСС діагональ СВ. Доведемо, що /\ САВ = /\ СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; / АВС = / ВСD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АВ і СD і січній СВ; / АСВ = / СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD і січній CB (§ 38).

Звідси /\ САВ = /\ СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і АВD.

Наслідки. 1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

/ А = / D, це випливає з рівності трикутників САВ та СDВ.
Аналогічно та / З = / Ст.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

АВ = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма в точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай ВС та AD - діагоналі паралелограма AВDС (чорт. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = ОВ.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад /\ AОВ та /\ СОD.

У цих трикутниках АВ = СD як протилежні сторони паралелограма;
/ 1 = / 2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних АВ і СD і січній AD;
/ 3 = / 4 з тієї ж причини, оскільки АВ | СD і СВ – їхня січна (§ 38).

Звідси слідує що /\ AОВ = /\ СОD. На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = ОВ.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до одного боку паралелограма, дорівнює 2 d .

Довести самостійно.

3. Ознаки паралелограма.

Теорема. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику AВСС (чорт. 227) АВ = СD і АС = ВD. Доведемо, що за цієї умови АВ || СD та АС || ВD, тобто чотирикутник АВDC – паралелограм.
З'єднаємо відрізком якісь дві протилежні вершини цього - чотирикутника, наприклад С і В. Чотирьохкутник АВСС розбився на два рівні трикутники: /\ СAВ та /\ СDВ. Справді, сторона СВ вони загальна, АВ = СD і АС = ВD за умовою. Таким чином, три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого, тому /\ СAВ = /\ СDВ.

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, тому
/ 1 = / 2 та / 3 = / 4.

Кути 1-ї та 2-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих АВ і СD прямий СВ. Отже, АВ | СD.

Так само кути 3-ї та 4-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих СА і ВD прямий СВ, отже, СА || ВD (§ 35).

Таким чином, протилежні сторони чотирикутника АВDС попарно паралельні, отже він паралелограм, що і потрібно довести.

Теорема 2. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику АВDС АВ = СD та АВ || СD. Доведемо, що за цих умов чотирикутник АВDС-паралелограм (чорт. 228).

З'єднаємо відрізком СВ вершини С і В. Внаслідок паралельності прямих АВ і СD кути 1 і 2, як кути внутрішні навхрест лежать, рівні (§ 38).
Тоді трикутник САВ дорівнює трикутнику СDВ, оскільки сторона СВ у них загальна,
АВ = СD за умовою теореми та / 1 = / 2 за доведеним. З рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4, оскільки вони лежать проти рівних сторін у рівних трикутниках.

Але кути 3 і 4 - це внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині прямих АС і ВD прямий СВ, отже, АС || ВD (§ 35), тобто чотирикутник
АВDС-паралелограм.

Вправи.

1. Довести, що й діагоналі чотирикутника у точці їх взаємного перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.

2. Довести, що чотирикутник, у якого сума внутрішніх кутів, що належать до кожної з двох сусідніх сторін, дорівнює 2 dє паралелограм.

3. Побудувати паралелограм по обидва боки і кут між ними:

а) використовуючи паралельність протилежних сторін паралелограма;
б) використовуючи рівність протилежних сторін паралелограма.

4. Побудувати паралелограм з двох суміжних сторін і діагоналі.

5. Побудувати паралелограм за двома його діагоналями та кутом між ними.

6. Побудувати паралелограм з його боку та двом діагоналям.

Чотирикутник ABCD називається фігура, яка складається з чотирьох точок А, В, С, D по три, що не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків AB, BC, CD та AD, що з'єднують ці точки.

На малюнках зображено чотирикутники.

Точки А, В, С та D називаються вершинами чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD та AD - сторонами. Вершини А і С, В та D називаються протилежними вершинами. Сторони AB та CD, BC та AD називаються протилежними сторонами.

Чотирикутники бувають опуклі(на малюнку - лівий) та невипуклі(на малюнку – правий).

Кожна діагональ опуклого чотирикутникаподіляє його на два трикутники(діагональ АС поділяє ABCD на два трикутники ABC та ACD; діагональ BD - на BCD та BAD). У невипуклого чотирикутникатільки одна з діагоналей поділяє його на два трикутники(діагональ AC поділяє ABCD на два трикутники ABC і ACD; діагональ BD - не поділяє).

Розглянемо основні види чотирикутників, їх властивості, формули площі:

Паралелограм

Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Властивості:

Ознаки паралелограма:

1. Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
2. Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник – паралелограмм.
3. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник – паралелограмм.

Площа паралелограма:

Трапеція

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Підставаминазиваються паралельні сторони, а дві інші сторони - бічними сторонами.

Середньою лінією Трапеція називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.

ТЕОРЕМА.

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Площа трапеції:

Ромб

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості:

Площа ромба:

Прямокутник

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути рівні.

Властивості:

Ознака прямокутника:

Якщо паралелограмі діагоналі рівні, цей паралелограм – прямокутник.

Площа прямокутника:

Квадрат

Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості:

Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба (прямокутник є паралелограмом, тому і квадрат є паралелограмом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом).

Площа квадрата:

Теорема 1. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику AВСС (рис. 227) АВ = СD і АС = ВD. Доведемо, що за цієї умови АВ || СD та АС || ВD, тобто чотирикутник АВDC – паралелограм.

З'єднаємо відрізком якісь дві протилежні вершини цього чотирикутника, наприклад С і В. Чотирьохкутник ABDС розбився на два рівні трикутники: \(\Delta\)СAВ і \(\Delta\)СDВ. Справді, сторона СВ вони загальна, AB = СD і АС = ВD за умовою. Таким чином, три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого, тому \(\Delta\)СAВ = \(\Delta\)СDВ.

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, тому

∠1 = ∠2 та ∠3 = ∠4.

Кути 1-ї та 2-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих AB і СD прямий СВ. Отже, AB || СD.

Так само кути 3-ї і 4-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих CA і ВD прямої СВ, отже, CA || ВD.

Таким чином, протилежні сторони чотирикутника ABDС попарно паралельні, отже, він - паралелограм, що потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику ABDС AB = СD та AB || СD. Доведемо, що за цих умов чотирикутник ABDС – паралелограм (рис. 228).

З'єднаємо відрізком СВ вершини С і В. Внаслідок паралельності прямих AB і СD кути 1 і 2, як кути внутрішні навхрест лежать, рівні.

Тоді трикутник СAB дорівнює трикутнику СDВ, оскільки сторона СВ у них загальна,

AB = СD за умовою теореми та ∠1 = ∠2 за доведеним.

З рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4, оскільки вони лежать проти рівних сторін у рівних трикутниках.

Але кути 3 і 4 - це внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині прямих АС і ВD прямий СВ, отже, АС || ВD, тобто. чотирикутник ABDС - паралелограм.

Теорема 3. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо в ньому дві діагоналі AC і BD, які перетинатимуться в точці О і діляться цією точкою навпіл.

Трикутники \(\Delta\)AOB і \(\Delta\)COD дорівнюють між собою за першою ознакою рівності трикутників (AO = OC, BO = OD за умовою, ∠AOB = ∠COD - як вертикальні кути.)

Отже, AB = CD та ∠1 = ∠2. З рівності кутів 1 та 2 маємо, що AB || CD.

Тоді маємо, що у чотирикутнику ABCD сторони AB = CD та AB || CD, і за першою ознакою паралелограма чотирикутник ABCD буде паралелограмом.

Ознаки паралелограма коротко:

1. Протилежні сторони попарно рівні
2. Протилежні сторони рівні та паралельні
3. Діагоналі перетинаються і в точці перетину діляться навпіл