Прямий та зворотний логічний висновок. Прямий нечіткий логічний висновок

- Міркування, в якому здійснюється перехід за правилами від висловлювання або системи висловлювань до висловлювання або системи висловлювань. До логічного висновку зазвичай пред'являються (разом або окремо) такі вимоги: 1) правила переходу повинні відтворювати відношення "дотримання логічного" (Ту чи іншу його різновид); 2) переходи у логічному висновку повинні здійснюватися на основі обліку лише синтаксичних характеристик висловлювань чи систем висловлювань.
У сучасній логіці поняття логічного висновку визначається формальних систем, у яких висловлювання представлені формулами. Зазвичай виділяють три основні типи формальних систем: аксіоматичні обчислення, обчислення натурального висновку, обчислення секвенцій. Стандартне визначення логічного висновку (з множини формул Г) для аксіоматичного обчислення Sтаке: логічний висновок у Sз безлічі формул Г є така послідовність Α 1 ...А n формул мови обчислення S, що для кожної A і(1 ≤i≤n) виконується принаймні одна з наступних трьох умов: 1) A іє формула із Р; 2) A іє аксіома обчислення S; 3) A іє формула, що виходить із попередньої їй у послідовності А 1 ...А nформули або з попередніх їй у цій послідовності формул за одним із правил виведення обчислення S.Якщо α є логічний висновок у Sз безлічі формул Г, то формули Г називаються посилками a, a сам висновок α називається висновком в Sз посилок Р; якщо при цьому Ає остання формула α, то α називається логічним висновком Sформули Аз посилок Г.Запис «Г ⊦ s A» означає, що існує логічний висновок Sформули Аз посилок Г. Логічний висновок Sз порожньої множини формул називається доказом у S.Запис «⊦ s A » означає, що існує доказ у Sформули А.Формула Аназивається доведеною в S, якщо ⊦A . Як приклад розглянемо аксіоматичне обчислення S 1 зі стандартним визначенням висновку, що є варіантом класичної "логіки висловлювань". Алфавіт цього обчислення містить тільки змінні змінні р 1 , р 2 , ... , р n , ..., логічні зв'язки ⊃, ⌉ та круглі дужки. Визначення формули у цій мові звичайне. Аксіоми S 1 – це формули наступних шести видів (і лише ці формули):
I. ( A⊃A),
ІІ. (( A⊃B)⊃((B⊃C)⊃(A⊃C))),
ІІІ. (( A⊃(B⊃З))⊃(B⊃(A⊃З))),
IV. ( A⊃(⌉B))⊃(B⊃(⌉A))),
V. ((⌉(⌉A)⊃ А),
VI. (((( A⊃B)⊃A)⊃A).
Єдине правило обчислення S 1 модус поненс: А⊃B⊦B.
Визначення логічного висновку для S 1 є очевидною конкретизацією визначення, даного вище. Наступна послідовність формул Ф1– Ф6 є логічним висновком у S 1 формули ((p 1 ⊃p 2) ⊃р 2) із посилок (p 1).
Ф1. (( p 1 ⊃p 2) ⊃(p 1 ⊃p 2),
Ф2. (((( p 1 ⊃p 2) ⊃(p 1 ⊃p 2)) ⊃(p 1 ⊃((p 1 ⊃p 2) ⊃p 2))),
Ф3. ( p 1 ⊃((p 1 ⊃p 2) ⊃p 2)),
Ф4. p 1 ,
Ф5. (( p 1 ⊃p 2) ⊃p 2).
Аналіз: Ф1 є аксіома виду 1, Ф2 є аксіома виду III, ФЗ отримана за правилом модус поненс із Ф1 та Ф2, Ф4 є посилка, Ф5 отримана за правилом модус поненс із Ф4 та ФЗ. Отже, ( p 1 )⊦ s1 (( p 1 ⊃p 2) ⊃p 2). Розглянувши послідовність формул Φ1, Φ2 Ф3, переконуємось, що ⊦ s1 (p 1 ⊃p 2) ⊃p 2)) .
У ряді випадків логічний висновок визначається так, що використання деяких правил накладаються обмеження. Напр., в аксіоматичних обчисленнях, що є варіантами класичної "логіки предикатів" першого порядку і які містять серед правил виведення тільки модус поненс і правило узагальнення, логічний висновок часто визначається так, що на використання правила узагальнення накладається обмеження: будь-яке застосування правил узагальнення в α таке, що змінна, за якою проводиться узагальнення у цьому застосуванні правила узагальнення, не входить в жодну посилку, що передує α нижній формулі цього застосування правила узагальнення. Мета цього обмеження забезпечити низку корисних з погляду логіки властивостей виведення (напр., виконання для простих форм "дедукції теореми" ). Існують визначення логічного висновку (як для аксіоматичних, так і для обчислень інших типів), які (1) задають логічний висновок не тільки з багатьох посилок, але допускають інші форми організації посилок (напр., списки або послідовності), (2) структурують висновок як лінійно, але, напр., у вигляді дерева, (3) мають явно виражений індуктивний характер; при цьому індуктивне визначення висновку може вестися як за однією змінною (напр., за довжиною виведення), так і за декількома змінними (напр., за довжиною логічного висновку та за кількістю його посилок), (4) містять формалізацію залежності між формулами в логічному висновку, та інші визначення логічного висновку, обумовлені іншими способами формалізації та аксіоматизації класичних і некласичних систем логіки. Про деякі з них див.

Логічне та психологічне

Прагматизм та логіка. Індуктивні та дедуктивні міркування

Лінійне впорядкування.

Лінійні схеми. Різниця між істинністю та валідністю

Умовні судження

Деревоподібні діаграми. Заперечення. Тенденція підтвердження. Дозволяючі та зобов'язуючі фігури силогізму

Комбінаторне міркування

Силогістичне міркування

Кругові діаграми перевірки валідності міркувань. Вербальні правила перевірки валідності ув'язнення. Силлогізми у повсякденному житті Поширені помилки у силогістичних міркуваннях. Диз'юнктивні (розділові) судження

Ймовірні міркування

Міркування у повсякденному житті Міркування за допомогою схем

Використання алгоритму

Короткий підсумок глави

Терміни для запам'ятовування

Дискусія схилялася на користь опонента Джоан. За кивками слухачів та їх схвальним «підтакуванням» можна було зрозуміти, що Джоан зміцнює свої позиції і поступово переконує аудиторію, тоді як її опонент із кожною своєю реплікою, здавалося, втрачав підтримку. І це не дивно: його попередили, що Джоан вивчала логіку і знала, як змусити людей повірити будь-що. Скоро вона переконає всіх, що війна була виправданою і що все хибне виявилося істинним. Якщо так і далі піде, їй, мабуть, вдасться змусити всіх повірити, що день – це ніч. Звичайно, це було несправедливо, але чого ще можна очікувати від людини, яка навчалася мистецтву логічних міркувань?

Цей вигаданий сюжет ґрунтується на реальному випадку з життя. Я була присутня на дискусії, під час якої один із сперечаних звинувачував другого в шахрайстві, яке нібито полягало у застосуванні логічних міркувань. У той момент ці звинувачення здалися мені досить смішними, тому що я звикла вважати логічні міркування важливою навичкою критичного мислення - навичкою, необхідною для того, щоб робити правильні висновки, маючи справу зі складною інформацією, особливо якщо вона впливає на емоції. Опонент, який програв суперечку (158:), вважав логічні міркування чимось на кшталт фокусу. Чим би ми не вважали логічні міркування – трюком, навичкою чи стратегією – вони залишаються найкращим способом вирішити, кому і чому слід вірити.

Логічне та психологічне

Весь фокус у тому, щоб правильно міркувати. Це не так просто і не виходить само собою.

Каейн (Kahane, 1980, р. 3)

Здатність міркуватичасто вважають характерною ознакою людини як виду. Простіше кажучи, міркування пояснюють нам, «що з чого випливає». Розмірковуючи, ми звертаємося до наших знань про одне або кілька взаємопов'язаних тверджень, які ми вважаємо істинними, і з їх допомогою визначаємо, чи є інше твердження, яке називається укладанням. Висновок- це переконання, яке виводиться шляхом міркувань із інших тверджень. Здатність вміло міркувати - це навичка критичного мислення, яка є невід'ємною частиною таких наук, як математика, юриспруденція, а також при прогнозуванні, діагностиці та майже в усіх інших сферах життєдіяльності людини, які тільки можна собі уявити. Практично неможливо уявити жодної наукової чи життєвої ситуації, у якій здатність вміло міркувати у відсутності величезного значення.

У багатьох визначеннях терміна критичне мисленнялогічні міркування приймаються як центральне поняття. Це видно з визначення, яке прийняли за головне директори шкіл США, які оцінювали різні визначення на конкурсі, що складався з трьох етапів. Процедура, якою вони скористалися для вибору визначення критичного мислення, називається дельфійським методом- за допомогою цього методу досягається згода між експертами у будь-якій галузі. Директори погодилися, що «критичне мислення - це... пов'язані між собою патерни логічних міркувань» (Stahl & Stahl, 1991, p. 84).

Прагматизм та логіка

Розмірковуючи логічно, ми дотримуємося ряду правил, які вказують, як «належить» виводити висновки. Логіка- це розділ філософії, в якому у явному вигляді сформульовані правила виведення валідних (тобто обґрунтованих) висновків. Закони логіки встановлюють норми, якими ми оцінюємо якість чиїхось міркувань (Garnham & Oakhill, 1994). Згідно з логікою, висновок є валідним,якщо воно неминуче випливає з інших тверджень, які вважаються визнаними фактами. Фактичні судження називаються посилками.Висновки, які не узгоджуються із законами логіки, називаються алогічними.Хоча

ми дотримуємося думки, що здатність до розумного, логічного мислення є унікальною і властива лише людям, ми надто часто приходимо до неправильних, чи алогічних висновків. Це призвело до того, що М. Хант (Hunt, 1982) оцінив логічні здібності «єдиної на світі логічно мислячої тварини» як «незадовільні» (р. 121).

Психологів, які вивчають міркування, цікавить питання, як люди обробляють інформацію під час вирішення логічних завдань. Справа в тому, що психологічні процеси, що відбуваються при повсякденному мисленні, часто не є логічними. У класичній статті про зв'язок між логікою та мисленням Хенле (Henle, 1962) зауважила, що при повсякденному мисленні люди зазвичай не дотримуються формальних правил логіки, вони використовують свої власні недосконалі правила. Якби ми хоча б час від часу не дотримувалися логіки, ми не змогли б розуміти один одного, «стежити за чужими думками, приходити до загальних рішень і працювати разом» (Henle, 1962, р. 374). Для доказу цього спробуйте вирішити завдання, запропоноване Хенле однією з її занять:

Група жінок обговорювала проблеми домашнього господарства Місіс Шивере розбила кригу відчуження, заявивши: «Я така рада, що ми обговорюємо ці проблеми. Дуже важливо говорити про те, що в тебе на думці. Ми стільки часу проводимо на кухні, що, звичайно, домашні проблеми весь час крутяться у нас в голові. Тому дуже важливо говорити про них. (Чи слід зі сказаного, що важливо говорити про домашні проблеми? Наведіть свої міркування.) (Р. 370)

Перш ніж продовжити читання, дайте відповідь: чи вірним буде висновок, що місіс Шивере має рацію, коли говорить про важливість обговорення проблем домашнього господарства? Поясніть, будь ласка, свою відповідь.

Коли Хенле (Henle, 1962) запропонувала це завдання аспірантам, вона виявила, що з них дійшли хибної (з погляду законів логіки) відповіді, тоді як інші дійшли вірного висновку, але неправильно його обгрунтували. Розглянемо відповідь, дану одним із учасників її експерименту: «Ні. Важливо говорити тільки про думки, які тебе турбують, а це не той випадок» (р. 370). У чому помилка цього учасника? Замість того, щоб вирішити, чи випливає цей висновок логічно зі сказаного раніше, він додав свою власну думку про те, які речі важливо обговорювати. Таким чином, відповідь, неправильна з погляду стандартних законів формальної логіки, правильна з точки зору законів, встановлених цим аспірантом для себе. Розглянемо тепер іншу відповідь: «Так. Це має значення безпосередньо для того, хто говорить і, можливо, для когось із тих, хто слухає, тому що людям важливо вилити свою душу. Але тільки з цієї причини, за винятком тих випадків, коли співрозмовники дізнаються щось нове та цінне для себе» (р. 370). Цей учасник дав правильну відповідь, але міркування його були помилковими. Він, як і перший, додав свою власну думку щодо проблеми замість того, щоб виводити висновок виключно на основі отриманої інформації. Хенле назвала таку ситуацію невмінням підійти до вирішення логічного завдання.

Складається враження, що з повсякденному використанні міркувань ми визначаємо істинність укладання виключно з урахуванням наданої нам інформації. Натомість ми змінюємо дані нам твердження згідно з власними переконаннями, а потім перевіряємо, чи слід висновок із змін

них суджень. Ми діємо згідно з деякою суб'єктивною логікою, в якій користуємося своїми особистими уявленнями про світ для формулювання висновків з питання, що нас цікавить.

Психологи і філософи були спантеличені, виявивши, що при вирішенні одних формальних чи неформальних завдань більшість людей міркує, начебто користуючись законами логіки, але при вирішенні інших завдань мало вказує на використання цих законів. Інакше кажучи, логічність чи алогічність наших міркувань залежить від типу розв'язуваного завдання. Саймон та Каплан (Simon & Caplan, 1989) не знайшли в цьому нічого дивного. Вони стверджують, що «розумна поведінка адаптивна (відрізняється пристосовністю) і, отже, має набувати разюче різноманітних форм у різних умовах» (р. 38).

Слово прагматичнийописує щось, що має практичне значення. У реальному житті люди є причини міркувати логічно,але іноді закони логіки суперечать ситуації, наслідкам та загальноприйнятим причинам і правилам виведення висновків. Як продемонстрували у наведеному вище прикладі учасники експерименту Хенле (Henle, 1962), у реальному житті, визначаючи, чи випливає висновок із посилок, ми додаємо до запропонованих нам фактів власні думки та знання. Це прагматичний чи практичний підхід до завдань логічного мислення, який застосовується у більшості повсякденних ситуацій. Цю думку я поясню у подальших розділах цього розділу.

За допомогою нечітких множин можна формально визначити неточні та багатозначні поняття, такі як "висока температура" або "велике місто". Для формулювання визначення нечіткої множини необхідно задати так звану область міркувань. Наприклад, коли ми оцінюємо швидкість автомобіля, ми обмежимося діапазоном X = , де Vmax – максимальна швидкість, яку може розвинути автомобіль. Необхідно пам'ятати, що X – чітка множина.

Основні поняття

Де

- функція приналежності нечіткої множини A. Ця функція приписує кожному елементу x ступінь його приналежності нечіткої множини.

Продовживши попередній приклад, розглянемо три неточні формулювання:
- «Мала швидкість автомобіля»;
- «Середня швидкість автомобіля»;
- "Велика швидкість автомобіля".
На малюнку представлені нечіткі множини, що відповідають наведеним формулюванням, за допомогою функцій приналежності.


У фіксованій точці X = 40 км/год. функція приналежності нечіткої множини «мала швидкість автомобіля» набуває значення 0,5. Таке ж значення набуває функція приналежності нечіткої множини «середня швидкість автомобіля», тоді як для множини «велика швидкість автомобіля» значення функції в цій точці дорівнює 0.

Функція T двох змінних T: x -> називається T-нормою, якщо:
- є не зростаючою щодо обох аргументів: T(a, c)< T(b, d) для a < b, c < d;
- є комутативною: T(a, b) = T(b, a);
- задовольняє умову зв'язності: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c));
- задовольняє граничним умовам: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.

Прямий нечіткий висновок

Основним правилом виведення у традиційній логіці є правило modus ponens, згідно з яким ми судимо про істинність висловлювання B за істинністю висловлювань A і A -> B. Наприклад, якщо A - висловлювання «Степан - космонавт», B - висловлювання «Степан літає в космос» , Якщо істинні висловлювання «Степан - космонавт» і «Якщо Степан - космнавт, він літає в космос», то істинно і вислів «Степан літає в космос».

Однак, на відміну від традиційної логіки, головним інструментом нечіткої логіки буде не правило modus ponens, а так зване композиційне правило виведення, дуже окремим випадком якого є правило modus ponens.

Припустимо, що є крива y=f(x) і встановлено значення x=a. Тоді з того, що y=f(x) та x=a, ми можемо зробити висновок, що y=b=f(a).


Узагальним тепер цей процес, припустивши, що a - інтервал, а f(x) - функція, значення якої є інтервали. У цьому випадку, щоб знайти інтервал y=b, що відповідає інтервалу a, ми спочатку побудуємо безліч a" з основою a і знайдемо його перетин I з кривою, значення якої суть інтервали. Потім спроектуємо це перетин на вісь OY і отримаємо бажане значення y в вигляді інтервалу b. Таким чином, з того, що y=f(x) і x=A - нечітке підмножина осі OX, ми отримуємо значення y у вигляді нечіткого підмножини осі OY OY.

Нехай U і V - дві універсальні множини з базовими змінними u і v, відповідно. Нехай A і F - нечіткі підмножини множин U і U x V. Тоді композиційне правило висновку стверджує, що з нечітких множин A і F випливає нечітка множина B = A * F.

Нехай A і B - нечіткі висловлювання і m(A), m(B) - відповідні функції приналежності. Тоді імплікації A -> B відповідатиме деяка функція приналежності m(A -> B). За аналогією з традиційною логікою, можна припустити, що

Тоді

Однак це не єдине узагальнення оператора імплікації, існують і інші.

Реалізація

Імплікація буде представлена ​​у вигляді декартової матриці, кожен елемент якої розраховується за допомогою обраного оператора імплікації (у даному прикладі - функції Геделя):

1. def compute_impl (set1, set2):
2. """
   Computing implication
   """
3. relation = ()
4. for i in set1.items():
5. relation[i] = ()
6. for j in set2.items():
7. v1 = set1.value(i)
8. v2 = set2.value(j)
9. relation[i][j] = impl(v1, v2)
10. return relation

1. def conclusion (set, relation):
2. """
   Conclusion
   """
3. conl_set =
4. for i in relation:
5. l =
6. for j in relation[i]:
7. v_set = set.value(i)
8. v_impl = relation[i][j]
9. l.append(t_norm(v_set, v_impl))
10. value = max(l)
11. conl_set.append((i, value))
12. return conl_set

Джерела

• Рутковська Д., Пілінський М., Рутковський Л. Нейронні мережі, генетичні алгоритми та нечіткі системи: Пер. з польськ. І. Д. Рудінського. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2006. – 452 с.: іл.
• Zadeh L. A. Fuzzy Sets, Information and Control, 1965, vol. 8, s. 338-353

Висновок на знаннях

Експертна система (ЕС) – це комп'ютерна система, яка емулює здатність експерта прийняття рішень. ЕС включає два основні компоненти - базу знань (БЗ) та машину логічного висновку.

Основи знань.Знання – це виявлені закономірності предметної області (ПрО) (принципи, зв'язку, закони), дозволяють вирішувати завдання у цій галузі.

Знання, що існує у вигляді заздалегідь відомих фактів, називають екстенсивним знанням (екстенсіоналом), а базу даних – екстенсійною базою.

Знання, яке виводиться з екстенсивного знання за допомогою правил, називають інтенсивним знанням (інтенсіоналом), а базу даних – інтенсивною. Інтенсивна форма дозволяє виразити дані у компактній формі, уникнути надмірності даних.

База знань (knowledge base) – це особливий база даних, розроблена керувати знаннями (їх збиранням, зберіганням, пошуком і видачей). Система бази знань – це комп'ютерна система, складовими якої є:

1. База даних, що містить основні факти.

2. База даних, що містить правила, що дозволяють робити висновки з бази даних фактів.

3. Система управління – програмне забезпечення, яке підтримує основні функції СУБД, і навіть управління процесом виведення у базі даних правил, оперують із базою даних фактів.

Можна стверджувати, що представлення інформації у базі даних притаманний пасивний аспект: таблиця, заповнена даними пам'ять. У основі знань підкреслюється активний аспект представлення. Операція знати стає активною операцією, що дозволяє як запам'ятовувати, а й у вигляді логічного висновку отримувати нові знання. Ця можливість збільшує користь, що приноситься базою даних при визначенні, контролі та інтерпретації підтримуваних нею даних.

Для зберігання даних використовуються бази даних, зберігання знань – бази знань. Для баз даних характерний великий обсяг і відносно невелика питома вартість інформації. Для баз знань – невеликий обсяг, але винятково дорогі інформаційні масиви. Найбільш важливий параметр баз знань - якість знань, що містяться. Найкращі бази знань включають найактуальнішу та достовірну інформацію, мають досконалі системи пошуку, а також ретельно продуману структуру та формат знань.

У мові Пролог бази знань описуються у вигляді конкретних фактів, і навіть правил і процедур логічного вывода. Достовірність узагальнених відомостей залежить від наявності необхідних фактів та достовірності даних у базах знань.

Бази знань можуть використовуватись для створення експертних систем. Головна мета цих систем – допомогти менш досвідченим людям знайти існуючий опис способу вирішення будь-якої проблеми з предметної галузі.

Моделі представлення знань. Існує безліч різноманітних моделей уявлення знань для різних предметних областей. Більшість з них може бути зведена до таких класів:

1. Формальні логічні моделі.

2. Продукційні моделі.

3. Семантичні мережі.

4. Фрейми.

Формальні логічні моделіФормування логічних висновків - це формальний термін, що використовується для позначення міркувань, які не спираються на семантику (у них не враховується зміст слів). Найраніша система формальної логіки – Арістотельова логіка заснована на понятті силогізму. Силогізми мають дві посилкита одне висновокщо випливає з посилок. Приклад силогізму: посилка 1 - всі люди смертні; посилка 2 – Сократ – людина. Висновок - Сократ смертний.

Більш загальним способом логічного висновку є логіка предикатів;цей спосіб може вимагати багатьох правил виведення, що мають обмежене застосування (модус поненс, модус толленс, правило злиття, ланцюгове правило і т.д.). У програмах штучного інтелекту (ІІ), призначених для доказу теорем, застосовується правило - резолюція(див. мову PROLOG), проте при вирішенні деяких завдань воно може виявитися неефективним, тому найпоширенішим способом логічного висновку є застосування правил продукції.

Механізм виведення здійснює дедуктивний перебір фактів, які стосуються правила за принципом зверху – вниз ліворуч – праворуч чи зворотний висновок шляхом пошуку у глибину.

Для логічної моделі характерна строгість формального апарату отримання рішення. Однак повний послідовний перебір всіх можливих рішень може призводити до комбінаторних вибухів, у результаті поставлені завдання можуть вирішуватися неприпустимо великий час. Модель застосовується у невеликих дослідницьких системах, оскільки пред'являє високі вимоги та обмеження до предметної області.

Продукційні моделі. Визначення. Модель представлення знань правилами виду ЯКЩО (умова) - ТО(Дія)” називається продукційною. Під умовою ( антецедентом) розуміється деяке речення, яким здійснюється пошук у основі знань, а під впливом ( консеквентом) – дія, що виконується за успішного результату пошуку. Продукційна модель є найпоширенішою у системах, заснованих на знаннях. Відмінні риси продукційних систем:

- Простота додавання, модифікації та анулювання знань;

- Простота і точність механізму використання знань зважаючи на однорідність останніх і використання єдиного синтаксису опису знань.

Прямий та зворотний логічний висновок.

Визначення.Спосіб отримання логічного висновку в продукційній системі, при якому попередньо записані в РП дані доповнюються шляхом застосування правил з БП, називається прямим висновком (ще одне визначення - проведення міркувань від фактів до висновків, що випливають із цих фактів).

Визначення.Спосіб отримання логічного висновку в продукційній системі, при якому на підставі фактів, що вимагають підтвердження щодо використання як висновку, досліджується можливість застосування правила, придатного для підтвердження, називається зворотним висновком.

Щоб візуально уявити хід прямого і зворотного висновку через простір завдань, у якому проміжні стани відповідають проміжним гіпотезам при зворотному логічному висновку або проміжним висновкам при прямому виведенні табл. наведено відомості про їх характерні особливості

Прямий нечіткий логічний висновок

• Алгоритми

Вступ

За допомогою нечітких множин можна формально визначити неточні та багатозначні поняття, такі як "висока температура" або "велике місто". Для формулювання визначення нечіткої множини необхідно задати так звану область міркувань. Наприклад, коли ми оцінюємо швидкість автомобіля, ми обмежимося діапазоном X = , де Vmax – максимальна швидкість, яку може розвинути автомобіль. Необхідно пам'ятати, що X – чітка множина.

Основні поняття

Де

- функція приналежності нечіткої множини A. Ця функція приписує кожному елементу x ступінь його приналежності нечіткої множини.

Продовживши попередній приклад, розглянемо три неточні формулювання:
- «Мала швидкість автомобіля»;
- «Середня швидкість автомобіля»;
- "Велика швидкість автомобіля".
На малюнку представлені нечіткі множини, що відповідають наведеним формулюванням, за допомогою функцій приналежності.


У фіксованій точці X = 40 км/год. функція приналежності нечіткої множини «мала швидкість автомобіля» набуває значення 0,5. Таке ж значення набуває функція приналежності нечіткої множини «середня швидкість автомобіля», тоді як для множини «велика швидкість автомобіля» значення функції в цій точці дорівнює 0.

Функція T двох змінних T: x -> називається T-нормою, якщо:
- є не зростаючою щодо обох аргументів: T(a, c)< T(b, d) для a < b, c < d;
- є комутативною: T(a, b) = T(b, a);
- задовольняє умову зв'язності: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c));
- задовольняє граничним умовам: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.

Прямий нечіткий висновок

Основним правилом виведення у традиційній логіці є правило modus ponens, згідно з яким ми судимо про істинність висловлювання B за істинністю висловлювань A і A -> B. Наприклад, якщо A - висловлювання «Степан - космонавт», B - висловлювання «Степан літає в космос» , Якщо істинні висловлювання «Степан - космонавт» і «Якщо Степан - космнавт, він літає в космос», то істинно і вислів «Степан літає в космос».

Однак, на відміну від традиційної логіки, головним інструментом нечіткої логіки буде не правило modus ponens, а так зване композиційне правило виведення, дуже окремим випадком якого є правило modus ponens.

Припустимо, що є крива y=f(x) і встановлено значення x=a. Тоді з того, що y=f(x) та x=a, ми можемо зробити висновок, що y=b=f(a).


Узагальним тепер цей процес, припустивши, що a - інтервал, а f(x) - функція, значення якої є інтервали. У цьому випадку, щоб знайти інтервал y=b, що відповідає інтервалу a, ми спочатку побудуємо безліч a" з основою a і знайдемо його перетин I з кривою, значення якої суть інтервали. Потім спроектуємо це перетин на вісь OY і отримаємо бажане значення y в вигляді інтервалу b. Таким чином, з того, що y=f(x) і x=A - нечітке підмножина осі OX, ми отримуємо значення y у вигляді нечіткого підмножини осі OY OY.

Нехай U і V - дві універсальні множини з базовими змінними u і v, відповідно. Нехай A і F - нечіткі підмножини множин U і U x V. Тоді композиційне правило висновку стверджує, що з нечітких множин A і F випливає нечітка множина B = A * F.

Нехай A і B - нечіткі висловлювання і m(A), m(B) - відповідні функції приналежності. Тоді імплікації A -> B відповідатиме деяка функція приналежності m(A -> B). За аналогією з традиційною логікою, можна припустити, що

Тоді

Однак це не єдине узагальнення оператора імплікації, існують і інші.

Реалізація

Імплікація буде представлена ​​у вигляді декартової матриці, кожен елемент якої розраховується за допомогою обраного оператора імплікації (у даному прикладі - функції Геделя):

1. def compute_impl (set1, set2):
2. """
   Computing implication
   """
3. relation = ()
4. for i in set1.items():
5. relation[i] = ()
6. for j in set2.items():
7. v1 = set1.value(i)
8. v2 = set2.value(j)
9. relation[i][j] = impl(v1, v2)
10. return relation

1. def conclusion (set, relation):
2. """
   Conclusion
   """
3. conl_set =
4. for i in relation:
5. l =
6. for j in relation[i]:
7. v_set = set.value(i)
8. v_impl = relation[i][j]
9. l.append(t_norm(v_set, v_impl))
10. value = max(l)
11. conl_set.append((i, value))
12. return conl_set

Джерела

• Рутковська Д., Пілінський М., Рутковський Л. Нейронні мережі, генетичні алгоритми та нечіткі системи: Пер. з польськ. І. Д. Рудінського. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2006. – 452 с.: іл.
• Zadeh L. A. Fuzzy Sets, Information and Control, 1965, vol. 8, s. 338-353