Раціональні числа становлять. Що таке раціональні числа? Які бувають ще

Ця стаття присвячена вивченню теми "Раціональні числа". Нижче наведено визначення раціональних чисел, наведено приклади, розказано про те, як визначити, чи є число раціональним, чи ні.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Раціональні числа. Визначення

Перш ніж дати дефініцію раціональних чисел пригадаємо, які ще є безліч чисел, і як вони пов'язані між собою.

Натуральні числа, разом із протилежними їм і числом нуль утворюють безліч цілих чисел. Своєю чергою, сукупність цілих дробових чисел утворює безліч раціональних чисел.

Визначення 1. Раціональні числа

Раціональні числа - числа, які можна представити у вигляді позитивного звичайного дробу a b негативного звичайного дробу - a b або числа нуль.

Таким чином, можна залишити ряд властивостей раціональних чисел:

1. Будь-яке натуральне число є раціональним числом. Вочевидь, кожне натуральне число n можна як дробу 1 n .
2. Будь-яке ціле число, включаючи число 0 є раціональним числом. Дійсно, будь-яке ціле позитивне і ціле негативне число легко представляється у вигляді відповідно позитивного або негативного звичайного дробу. Наприклад, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Будь-який позитивний або негативний звичайний дріб a b є раціональним числом. Це слід безпосередньо з цього вище визначення.
4. Будь-яке змішане число є раціональним. Дійсно, адже змішане число можна уявити у вигляді звичайного неправильного дробу.
5. Будь-який кінцевий або періодичний десятковий дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Тому кожен періодичний або кінцевий десятковий дріб є раціональним числом.
6. Нескінченні та неперіодичні десяткові дроби не є раціональними числами. Їх неможливо уявити у формі звичайних дробів.

Наведемо приклади раціональних чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 є натуральними, позитивними та цілими. Справді, це раціональні числа. Числа - 2 , - 358 , - 936 є цілі негативні числа, і вони також раціональні відповідно до визначення. Звичайні дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 є прикладами раціональних чисел.

Наведене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротше. Ще раз дамо відповідь на запитання, що таке раціональне число.

Визначення 2. Раціональні числа

Раціональні числа – це такі числа, які можна представити у вигляді дробу ± z n , де z – ціле число, n – натуральне число.

Можна показати, що це визначення рівносильне попередньому визначенню раціональних чисел. Щоб зробити це, пригадаємо, що риса дробу дорівнює знаку поділу. З урахуванням правил і властивостей поділу цілих чисел можна записати такі справедливі нерівності:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Таким чином, можна записати:

z n = z n , при і z > 0 0 , при і z = 0 - z n , при і z< 0

Власне, цей запис і є доказом. Наведемо приклади раціональних чисел, виходячи з другому визначенні. Розглянемо числа - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 та - 1 3 5 . Всі ці числа є раціональними, тому що їх можна записати у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10 000 , 8 5 .

Наведемо ще одну еквівалентну форму визначення раціональних чисел.

Визначення 3. Раціональні числа

Раціональне число - це таке число, яке можна записати у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Дане визначення безпосередньо випливає з першого визначення цього пункту.

Підіб'ємо підсумок і сформулюємо резюме за цим пунктом:

1. Позитивні та негативні дробові та цілі числа становлять безліч раціональних чисел.
2. Кожне раціональне число можна у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник - натуральним числом.
3. Кожне раціональне число можна також подати у вигляді десяткового дробу: кінцевого або нескінченного періодичного.

Який із чисел є раціональним?

Як ми вже з'ясували, будь-яке натуральне число, ціле число, правильний і неправильний звичайний дріб, періодичний і кінцевий десятковий дріб є раціональними числами. Озброївшись цими знаннями можна легко визначити, чи є якесь число раціональним.

Однак на практиці часто доводиться мати справу не з числами, а з числовими виразами, які містять коріння, ступеня та логарифми. У деяких випадках відповідь на запитання "Чи раціонально число?" є далеко не очевидним. Розглянемо методи відповіді це питання.

Якщо число задано у вигляді виразу, що містить лише раціональні числа та арифметичні дії між ними, то результат виразу – раціональне число.

Наприклад, значення виразу 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) є раціональним числом і дорівнює 18 .

Таким чином, спрощення складного числового виразу дозволяє визначити, чи раціонально задане їм число.

Тепер розберемося зі знаком кореня.

Виявляється, що число m n , задане у вигляді кореня ступеня n від числа m раціонально лише тоді, коли m є n -ою ступенем якогось натурального числа.

Звернемося, наприклад. Число 2 не є раціональним. Тоді як 9,81 - раціональні числа. 9 та 81 - повні квадрати чисел 3 та 9 відповідно. Числа 199 , 28 , 15 1 є раціональними числами, оскільки числа під знаком кореня є повними квадратами будь-яких натуральних чисел.

Тепер візьмемо складніший випадок. Чи є раціональним число 243 5? Якщо звести 3 в п'яту ступінь, виходить 243 тому вихідне вираз можна переписати так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Отже, це число раціонально. Тепер візьмемо число 1215. Це число нераціонально, тому що не існує натурального числа, зведення якого на п'яту ступінь дасть 121 .

Для того, щоб дізнатися, чи є логарифм якогось числа a на підставі b раціональним числом, необхідно застосувати метод від протилежного. Наприклад, дізнаємося, чи раціонально число log 2 5 . Припустимо, що це число раціонально. Якщо це так, то його можна записати у вигляді звичайного дробу log 2 5 = m n. За властивостями логарифму та властивостями ступеня справедливі наступні рівності:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, остання рівність неможлива так як у лівій та правій частинах знаходяться відповідно непарне та парне числа. Отже, зроблене припущення є невірним, і число log 2 5 не є раціональним числом.

Варто зазначити, що при визначенні раціональності та ірраціональності чисел не варто приймати раптових рішень. Наприклад, результат твору ірраціональних чисел який завжди є ірраціональним числом. Наочний приклад: 2 · 2 = 2.

Також існують ірраціональні числа, зведення яких у ірраціональний ступінь дає раціональне число. У ступеня виду 2 log 2 3 основа та показник ступеня є ірраціональними числами. Однак саме число раціональне: 2 log 2 3 = 3 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

)- це числа з позитивним або негативним знаком (цілі та дробові) і нуль. Точніше поняття раціональних чисел, звучить так:

Раціональне число- Число, яке представляється звичайним дробом m/n, де чисельник m- Цілі числа, а знаменник n- натуральні числа, наприклад 2/3.

Нескінченні неперіодичні дроби НЕ входять до множини раціональних чисел.

a/b, де a∈ Z (aналежить цілим числам), b∈ N (bналежить натуральним числам).

Використання раціональних чисел у реальному житті.

У реальному житті безліч раціональних чисел використовується для рахунку частин деяких цілих об'єктів, що діляться, наприклад, Торти або інші продукти, що розрізаються на частини перед вживанням, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об'єктів.

Властивості раціональних чисел.

Основні властивості раціональних чисел.

1. Упорядкованість aі bє правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одно і лише одне з трьох відносин: «<», «>» чи «=». Це правило - правило впорядкуванняі формулюють його ось так:

• 2 позитивні числа a=m a /n aі b = m b / n bпов'язані тим самим ставленням, як і 2 цілих числа m a⋅ n bі m b⋅ n a;
• 2 негативні числа aі bпов'язані одним ставленням, що і 2 позитивні числа |b|і |a|;
• коли aпозитивно, а b- негативно, то a>b.

∀ a,b∈ Q (a ∨ a>b∨ a = b)

2. Операція додавання. Для всіх раціональних чисел aі bє правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому саме число c- це сумачисел aі bта її позначають як (a+b) підсумовування.

Правило підсумовуваннявиглядає так:

m a/n a +m b/n b = (m a⋅ n b +m b⋅ a)/(n a⋅ b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел aі bє правило множення, воно ставить їм у відповідність певне раціональне число c. Число c називають творомчисел aі bі позначають (a⋅b), а процес знаходження цього числа називають множення.

Правило множеннявиглядає так: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивність відносин порядку.Для будь-яких трьох раціональних чисел a, bі cякщо aменше bі bменше c, то aменше c, а якщо aодно bі bодно c, то aодно c.

∀ a, b, c∈ Q (a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Комутативність складання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Асоціативність складання. Порядок складання 3-х раціональних чисел не впливає результат.

∀ a, b, c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наявність нуля. Існує раціональне число 0, воно зберігає будь-яке інше раціональне число при складанні.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Наявність протилежних чисел. У будь-якого раціонального числа є протилежне раціональне число, за їх складання виходить 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Асоціативність множення. Порядок перемноження 3-х раціональних чисел немає впливу результат.

∀ a, b, c∈ Q (a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Наявність одиниці. Є раціональне число 1, воно зберігає будь-яке інше раціональне число у процесі множення.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Наявність зворотних чисел. Будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, має зворотне раціональне число, помноживши на яке отримаємо 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Дистрибутивність множення щодо складання. Операція множення пов'язана зі складанням за допомогою розподільчого закону:

∀ a, b, c∈ Q (a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Зв'язок відносин порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціонального нерівності додають те саме раціональне число.

∀ a, b, c∈ Q a ⇒ a+c

15. Зв'язок відносин порядку з операцією множення. Ліву та праву частини раціональної нерівності можна помножити на однакову невід'ємну раціональну кількість.

∀ a, b, c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, легко взяти стільки одиниць, що їх сума буде більшою a.

Визначення раціональних чисел

До раціональних чисел відносяться:

• Натуральні числа, які можна як звичайну дріб. Наприклад, $7=\frac(7)(1)$.
• Цілі числа, включаючи число нуль, які можна подати як позитивний або негативний звичайний дріб, або як нуль. Наприклад, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-frac(23)(1)$.
• Звичайні дроби (позитивні чи негативні).
• Змішані числа, які можна як неправильну звичайну дріб. Наприклад, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ і $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Кінцевий десятковий дріб і нескінченний періодичний дріб, який можна представити як звичайний дріб. Наприклад, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Зауваження 1

Зауважимо, що нескінченна неперіодична десяткова дріб не належить до раціональних чисел, т.к. її не можна уявити як звичайний дріб.

Приклад 1

Натуральні числа $7, 670, 21\456$ є раціональними.

Цілі числа $76, -76, 0, -555 \ 666 $ - раціональні.

Звичайні дроби $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – раціональні числа .

Таким чином, раціональні числа поділяються на позитивні та негативні. Число нуль є раціональним, але не відноситься ні до позитивних, ні до негативних раціональних чисел.

Сформулюємо коротше визначення раціональних чисел.

Визначення 3

Раціональниминазивають числа, які можуть бути представлені у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Можна зробити такі висновки:

• позитивні та негативні цілі та дробові числа відносяться до безлічі раціональних чисел;
• раціональні числа можуть бути представлені у вигляді дробу, у якого цілий чисельник і натуральний знаменник і який є раціональним числом;
• раціональні числа можуть бути представлені у вигляді будь-якого періодичного десяткового дробу, який є раціональним числом.

Як визначити, чи є число раціональним

1. Число задано у вигляді числового виразу, який складається лише з раціональних чисел та знаків арифметичних операцій. У разі значенням висловлювання буде раціональне число.
2. Квадратний корінь із натурального числа – раціональне число лише в тому випадку, коли під коренем стоїть число, яке є повним квадратом деякого натурального числа. Наприклад, $\sqrt(9)$ і $\sqrt(121)$ – раціональні числа, оскільки $9=3^2$ і $121=11^2$.
3. Корінь $n$-ого ступеня з цілого числа – раціональне число тільки в тому випадку, коли число під знаком кореня є $n$-им ступенем якогось цілого числа. Наприклад, $ \ sqrt (8) $ - раціональне число, т.к. $ 8 = 2 ^ 3 $.

На числовій осі раціональні числа розташовуються всюди щільно: між кожними двома раціональними числами, які не рівні один одному, можна розмістити хоча б одне раціональне число (отже, і безліч раціональних чисел). У той же час, безліч раціональних чисел характеризується лічильною потужністю (тобто всі елементи множини можна пронумерувати). Стародавні греки довели, що є числа, які неможливо записати як дріб. Вони показали, що немає таке раціональне число, квадрат якого дорівнює $2$. Тоді раціональних чисел виявилося замало висловлювання всіх величин, що й призвело надалі появи речовинних чисел. Багато раціональних чисел, на відміну від дійсних чисел, є нульмерним.

Раціональні числа

Чверть

1. Упорядкованість. aі bіснує правило, що дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне і лише одне із трьох відносин: «< », « >» або «=». Це правило називається правилом упорядкуванняі формулюється наступним чином: два невід'ємних числа і пов'язані тим самим ставленням, що і два цілі числа і ; два непозитивні числа aі bпов'язані тим самим ставленням, як і два неотрицательных числа і ; якщо ж раптом aневід'ємно, а b- негативно, то a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Підсумовування дробів

2. Операція складання.Для будь-яких раціональних чисел aі bіснує так зване правило підсумовування c. При цьому саме число cназивається сумоючисел aі bі позначається , а процес відшукання такого числа називається підсумовуванням. Правило підсумовування має такий вигляд: .
3. Операція множення.Для будь-яких раціональних чисел aі bіснує так зване правило множення, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c. При цьому саме число cназивається творомчисел aі bі позначається, а процес відшукання такого числа також називається множенням. Правило множення має такий вигляд: .
4. Транзитивність відносин порядку.Для будь-якої трійки раціональних чисел a , bі cякщо aменше bі bменше c, то aменше c, а якщо aодно bі bодно c, то aодно c. 6435">Комутативність складання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
5. Асоціативність складання.Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
6. Наявність нуля.Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число під час підсумовування.
7. Наявність протилежних чисел.Будь-яке раціональне число має протилежне раціональне число при сумуванні з яким дає 0.
8. Комутативність множення.Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.
9. Асоціативність множення.Порядок перемноження трьох раціональних чисел впливає результат.
10. Наявність одиниці.Існує раціональне число 1, яке зберігає інше раціональне число при множенні.
11. Наявність зворотних чисел.Будь-яке раціональне число має обернене раціональне число, при множенні на яке дає 1.
12. Дистрибутивність множення щодо складання.Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільчого закону:
13. Зв'язок відносин порядку з операцією складання.До лівої і правої частин раціонального нерівності можна додавати те саме раціональне число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Аксіома Архімеда.Яке б не було раціональне число a, можна взяти стільки одиниць, що їх сума перевищить a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Додаткові властивості

Всі інші властивості, притаманні раціональним числам, не виділяють в основні, тому що вони, взагалі кажучи, не спираються безпосередньо на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені виходячи з наведених основних властивостей або безпосередньо за визначенням деякого математичного об'єкта. Таких додаткових властивостей дуже багато. Тут має сенс навести лише деякі з них.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Рахунковість множини

Нумерація раціональних чисел

Щоб оцінити кількість раціональних чисел, потрібно знайти потужність їхньої множини. Легко довести, що безліч раціональних чисел лічимо. Для цього достатньо навести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних та натуральних чисел.

Найпростіший з таких алгоритмів має такий вигляд. Складається нескінченна таблиця звичайних дробів, на кожній i-й рядку в кожному j-ом стовпці якої розташовується дріб. Для певності вважається, що рядки та стовпці цієї таблиці нумеруються з одиниці. Осередки таблиці позначаються , де i- номер рядка таблиці, в якій розташовується комірка, а j- Номер стовпця.

Отримана таблиця обходиться «змійкою» за формальним алгоритмом.

Ці правила проглядаються зверху вниз і наступне положення вибирається за першим збігом.

У процесі такого обходу кожному новому раціональному числу ставиться у відповідність чергове натуральне число. Т. е. дробу 1/1 ставиться у відповідність число 1, дробу 2/1 - число 2, і т. д. Потрібно відзначити, що нумеруються тільки нескоротні дроби. Формальною ознакою нескоротності є рівність одиниці найбільшого загального дільника чисельника та знаменника дробу.

Наслідуючи цей алгоритм, можна занумерувати всі позитивні раціональні числа. Це означає, що багато позитивних раціональних чисел лічимо. Легко встановити біекцію між множинами позитивних і негативних раціональних чисел, просто поставивши у відповідність кожному раціональному числу протилежне йому. Т. о. безліч негативних раціональних чисел теж лічимо. Їх об'єднання також лічимо за якістю лічильних множин. Багато ж раціональних чисел теж лічимо як поєднання лічильної множини з кінцевим.

Твердження про рахунковість безлічі раціональних чисел може викликати деяке здивування, тому що на перший погляд складається враження, що воно набагато ширше за безліч натуральних чисел. Насправді, це не так і натуральних чисел вистачає, щоб занумерувати всі раціональні.

Недостатність раціональних чисел

Гіпотенуза такого трикутника не виражається жодним раціональним числом

Раціональними числами виду 1/ nпри великих nможна вимірювати як завгодно малі величини. Цей факт створює оманливе враження, що раціональними числами можна виміряти взагалі будь-які геометричні відстані. Легко показати, що це не так.

Примітки

Література

• І.Кушнір. Довідник математики для школярів. – Київ: АСТАРТА, 1998. – 520 с.
• П. С. Александров. Введення в теорію множин та загальну топологію. - М: глав. ред. фіз.-мат. літ. вид. "Наука", 1977
• І. Л. Хмельницький. Введення в теорію систем алгебри

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

У цьому вся пункті ми дамо кілька визначень раціональних чисел. Незважаючи на відмінності у формулюваннях, всі ці визначення мають єдиний зміст: раціональні числа поєднують цілі числа та дробові числа, подібно до того, як цілі числа поєднують натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль. Іншими словами, раціональні числа узагальнюють цілі та дробові числа.

Почнемо з визначення раціональних чисел, що сприймається найбільш природно.

Визначення.

Раціональні числа– це числа, які можна записати у вигляді позитивного звичайного дробу, негативного звичайного дробу чи числа нуль.

З озвученого визначення випливає, що раціональним числом є:

· Будь-яке натуральне число n. Справді, можна уявити будь-яке натуральне число у вигляді звичайного дробу, наприклад, 3=3/1 .

· Будь-яке ціле число, зокрема, число нуль. Насправді, будь-яке ціле число можна записати у вигляді або позитивного звичайного дробу, або у вигляді негативного звичайного дробу, або як нуль. Наприклад, 26=26/1 , .

· Будь-який звичайний дріб (позитивний або негативний). Це безпосередньо затверджується наведеним визначенням раціональних чисел.

· Будь-яке змішане число. Дійсно, завжди можна уявити змішане число у вигляді неправильного звичайного дробу. Наприклад, в.

· Будь-який кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб. Це так через те, що зазначені десяткові дроби перетворюються на звичайні дроби. Наприклад, а 0,(3)=1/3 .

Також зрозуміло, що будь-яка нескінченна неперіодична десяткова дріб не є раціональним числом, так як вона не може бути представлена ​​у вигляді звичайного дробу.

Тепер ми можемо легко привести приклади раціональних чисел. Числа 4 ,903 , 100 321 - Це раціональні числа, оскільки вони натуральні. Цілі числа 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 також є прикладами раціональних чисел. Звичайні дроби 4/9 , 99/3 , - Це також приклади раціональних чисел. Раціональними числами є числа.

З наведених прикладів видно, що є і позитивні і негативні раціональні числа, а раціональне число нуль перестав бути ні позитивним, ні негативним.

Озвучене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротшою формою.

Визначення.

Раціональними числаминазивають числа, які можна записати у вигляді дробу z/n, де z- ціле число, а n- натуральне число.

Доведемо, що це визначення раціональних чисел рівносильне попередньому визначенню. Ми знаємо, що можна розглядати межу дробу як знак розподілу, тоді з властивостей розподілу цілих чисел і правил розподілу цілих чисел слід справедливість наступних рівностей. Таким чином, що є доказом.

Наведемо приклади раціональних чисел, виходячи з даному визначенні. Числа −5 , 0 , 3 , і є раціональними числами, так як вони можуть бути записані у вигляді дробів з цілим чисельником та натуральним знаменником виду та відповідно.

Визначення раціональних чисел можна дати і у наступному формулюванні.

Визначення.

Раціональні числа– це числа, які можуть бути записані у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Це визначення також рівнозначне першому визначенню, так як будь-якому звичайному дробу відповідає кінцевий або періодичний десятковий дріб і назад, а будь-якому числу можна зіставити десятковий дріб з нулями після коми.

Наприклад, числа 5 , 0 , −13 , є прикладами раціональних чисел, оскільки їх можна записати у вигляді наступних десяткових дробів 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 і −7,(18) .

Закінчимо теорію цього пункту такими твердженнями:

· Цілі та дробові числа (позитивні та негативні) становлять безліч раціональних чисел;

· кожне раціональне число може бути представлене у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом;

кожне раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом.

На початок сторінки

Додавання позитивних раціональних чисел комутативно та асоціативно,

("а, b Q Q) а + b = b + а;

("а, b, з Q +) (а + b) + с = а + (b + с)

Перш ніж сформулювати визначення множення позитивних раціональних чисел, розглянемо таке завдання: відомо, що довжина відрізка Х виражається дробом при одиниці довжини Е, а довжина одиничного відрізка виміряна за допомогою одиниці Е 1 і виражається дробом. Як визначити число, яким буде представлено довжину відрізка X, якщо виміряти її за допомогою одиниці довжини Е 1 ?

Так як Х = Е, то nХ = mЕ, а з того, що Е = Е1 слід, що qЕ = рЕ1. Помножимо першу отриману рівність на q, а друге – на m. Тоді (nq)Х = (mq)Е і (mq)Е= (mр)Е 1 , звідки (nq)X= (mр)Е 1. Ця рівність показує, що довжина відрізка х при одиниці довжини виражається дробом , , =, тобто. множення дробів пов'язане з переходом від однієї одиниці довжини до іншої при вимірі довжини того самого відрізка.

Визначення. Якщо позитивне число а представлене дробом, а позитивне раціональне число b дробом, їх твором називається число а b , яке представляється дробом.

Збільшення позитивних раціональних чисел комутативно, асоціативно та дистрибутивно щодо складання та віднімання. Доказ цих властивостей ґрунтується на визначенні множення та складання позитивних раціональних чисел, а також на відповідних властивостях додавання та множення натуральних чисел.

46. ​​Як відомо віднімання- це дія, протилежна додавання.

Якщо aі b - позитивні числа, то відняти від числа a число b, значить знайти таке число c, яке при додаванні з числом b дає число a.
a - b = с або с + b = a
Визначення віднімання зберігається всім раціональних чисел. Тобто віднімання позитивних і негативних чисел можна замінити додаванням.
Щоб з одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати протилежне число віднімається.
Або інакше можна сказати, що віднімання числа b - це теж додавання, але з числом протилежним числу b.
a - b = a + (- b)
приклад.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
приклад.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Варто запам'ятати вирази нижче.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила віднімання негативних чисел
Віднімання числа b - це додавання з протилежним числу b.
Це правило зберігається не тільки при відніманні з більшого числа меншого, але й дозволяє від меншого числа відняти більше, тобто завжди можна знайти різницю двох чисел.
Різниця може бути позитивним числом, негативним чи числом нуль.
Приклади віднімання негативних і позитивних чисел.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Зручно запам'ятати правило знаків, що дозволяє зменшити кількість дужок.
Знак «плюс» не змінює знак числа, тому, якщо перед дужкою стоїть плюс, то знак у дужках не змінюється.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Знак мінус перед дужками змінює знак числа в дужках на протилежний.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
З рівностей видно, якщо перед і всередині дужок стоять однакові знаки, то отримуємо «+», і якщо знаки різні, то отримуємо «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Правило знаків зберігається у тому разі, якщо у дужках не одне число, а алгебраїчна сума чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Зверніть увагу, якщо в дужках стоїть кілька чисел і перед дужками стоїть знак мінус, то повинні змінюватися знаки перед усіма числами в цих дужках.
Щоб запам'ятати правило знаків, можна скласти таблицю визначення знаків числа.
Правило знаків для чисел + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Або вивчити просте правило.
Мінус на мінус дає плюс,
Плюс на мінус дає мінус.

Правила поділу негативних чисел.
Щоб знайти приватний модуль, потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника.
Отже, щоб поділити два числа з однаковими знаками, треба:

· модуль поділеного розділити на модуль дільника;

· Перед результатом поставити знак «+».

Приклади поділу чисел із різними знаками:

Для визначення приватного знака можна також користуватися наступною таблицею.
Правило знаків при розподілі
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

При обчисленні «довгих» виразів, у яких фігурують лише множення та розподіл, користуватися правилом знаків дуже зручно. Наприклад, для обчислення дробу
Можна звернути увагу, що в чисельнику 2 знаки мінус, які при множенні дадуть плюс. Також у знаменнику три знаки "мінус", які при множенні дадуть "мінус". Тому наприкінці результат вийде зі знаком мінус.
Скорочення дробу (подальші дії з модулями чисел) виконується так само, як і раніше:
Приватне від розподілу нуля на число, відмінне від нуля, дорівнює нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Ділити на нуль НЕ МОЖНА!
Усі відомі раніше правила розподілу на одиницю діють і безліч раціональних чисел.
а: 1 = a
а: (-1) = - a
а: a = 1 де а - будь-яке раціональне число.
Залежності між результатами множення та поділу, відомі для позитивних чисел, зберігаються і для всіх раціональних чисел (крім числа нуль):
якщо a × b = с; a = с: b; b = с: a;
якщо a: b = с; a = с × b; b = a: c
Дані залежності використовуються для знаходження невідомого множника, діленого та дільника (при вирішенні рівнянь), а також для перевірки результатів множення та поділу.
Приклад знаходження невідомого.
x × (- 5) = 10
x = 10: (-5)
x = - 2

Подібна інформація.