Раціональні логарифмічні нерівності. Логарифмічні нерівності
Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.
Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.
Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.
Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.
Найпростіша логарифмічна нерівність.
Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.
Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.
Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей
Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.
Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.
Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.
Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.
Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,
Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.
Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.
Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності
Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:
- метод заміни множників;
- декомпозиції;
- метод раціоналізації.
Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.
Приклади рішення :
Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.
В результаті ми отримуємо нерівність:
Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з вирішенням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".
Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.
Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.
І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.
Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.
Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.
Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.
Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.
Логарифмічні нерівності зі змінною основою
Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.
Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.
Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.
Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.
Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.
У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!
ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ В ЄДІ
Сєчін Михайло Олександрович
Мала академія наук учнівської молоді РК «Шукач»
МБОУ «Радянська ЗОШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району
Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ «Радянська ЗОШ №1»
Радянського району
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання логарифмічних нерівностей С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.
Предмет дослідження:
3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Зміст
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. Історія питання……………………………………………………...5
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей ………………………… 7
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів…………… 7
2.2. Метод раціоналізації ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартна підстановка……………….......................................... ..... 22
2.4. Завдання з пастками…………………………………………………… 27
Заключение…………………………………………………………………… 30
Література……………………………………………………………………. 31
Вступ
Я навчаюсь в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметом є математика. А тому багато працюю із завданнями частини С. У завданні С3 потрібно вирішити нестандартну нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язану з логарифмами. Під час підготовки до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів розв'язання екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих С3. Методи, які вивчаються у шкільній програмі з цієї теми, не дають бази для вирішення завдань С3. Вчитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а у житті нашому зустрічаються логарифми?
З огляду на це і була обрана тема:
«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання задач С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.
Предмет дослідження:
1) Знайти необхідні відомості про нестандартні методи розв'язання логарифмічних нерівностей.
2) Знайти додаткові відомості про логарифми.
3) Навчитися вирішувати конкретні завдання С3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Практична значимість полягає у розширенні апарату для вирішення задач С3. Даний матеріал можна буде використовувати на деяких уроках для проведення гуртків, факультативних занять з математики.
Проектним продуктом стане збірка "Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями".
Розділ 1. Історія питання
Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень насамперед в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів та інші роботи вимагали колосальних, іноді багаторічних розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпека потонути у невиконаних розрахунках. Проблеми виникали й інших областях, наприклад, у страховому справі потрібні були таблиці складних відсотків щодо різноманітних значень відсотка. Головну складність становили множення, розподіл багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.
Відкриття логарифмів спиралося добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричної прогресії q, q2, q3, ... та арифметичною прогресією їх показників 1, 2, 3,... говорив ще в "Псалміті" Архімед. Іншою причиною було поширення поняття ступеня на негативні та дробові показники. Багато авторів вказували, що множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення та поділ.
Тут ховалася ідея логарифму як показника ступеня.
В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.
1 етап
Логарифми були винайдені не пізніше 1594 незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати новий зручний засіб арифметичних обчислень, хоча вони підійшли до цього завдання по-різному. Непер кінематично висловив логарифмічну функцію і тим самим вступив у нову область теорії функції. Бюргі залишився на ґрунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифму в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Неперу. Він виник із поєднання грецьких слів: logos - "відношення" і ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales - "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".
У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифи було надруковано перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець та аматор математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифм раніше за всіх, опублікували свої таблиці пізніше за інших - в 1620 році. Знаки log та Log були введені у 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" запровадили Менголі в 1659 р. і за ним М. Меркатор в 1668 р., а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.
Російською мовою перші логарифмічні таблиці було видано 1703 року. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки під час обчислення. Перші безпомилкові таблиці вийшли 1857 року у Берліні у обробці німецького математика До. Бремикера (1804-1877).
2 етап
Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язаний з ширшим застосуванням аналітичної геометрії та обчислення нескінченно малих. На той час відноситься встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонньої гіперболи та натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.
Німецький математик, астроном та інженер Ніколаус Меркатор у творі
"Логарифмотехніка" (1668) наводить ряд, що дає розкладання ln(x+1)
ступеням х:
Цей вираз точно відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знаками d, ... , а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони почали визначатися з допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях "Елементарна математика з вищої точки зору", прочитаних у 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу як вихідний пункт побудови теорії логарифмів.
3 етап
Визначення логарифмічної функції як зворотної функції
показовою, логарифма як показника ступеня даної основи
було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)
"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748) послужило подальшому
розвитку теорії логарифмічної функції Таким чином,
пройшло 134 роки з того часу, як логарифми вперше були введені
(вважаючи з 1614 р.), перш ніж математики дійшли визначення
поняття логарифму, яке покладено тепер основою шкільного курсу.
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів.
Рівносильні переходи
якщо а > 1
якщо 0 <
а <
1
Узагальнений метод інтервалів
Цей спосіб найбільш універсальний під час вирішення нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає так:
1. Привести нерівність до такого виду, де у лівій частині знаходиться функція 
, а правої 0.
2. Знайти область визначення функції .
3. Знайти нулі функції тобто вирішити рівняння 
(а розв'язувати рівняння зазвичай простіше, ніж розв'язувати нерівність).
4. Зобразити на числовій прямій область визначення та нулі функції.
5. Визначити знаки функції на одержаних інтервалах.
6. Вибрати інтервали, де функція набирає необхідних значень, і записати відповідь.
приклад 1.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
звідки
При цих значеннях усі вирази, що стоять під знаками логарифмів, є позитивними.
Відповідь:
приклад 2.
Рішення:
1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x> 3. Логарифмуючи за таких xна підставі 10, отримуємо
Остання нерівність можна було вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто. порівнюючи з нулем співмножники. Однак у даному випадку легко визначити інтервали знаковості функції
тому можна застосувати метод інтервалів.
Функція f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ безперервна при x> 3 і звертається в нуль у точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким чином, визначаємо інтервали знаковості функції f(x):
Відповідь:
2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до нерівності ідеї методу інтервалів.
Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b– 1) мають один знак. Тоді наша нерівність при x> 3 рівносильно нерівності
або
Остання нерівність вирішується методом інтервалів
Відповідь:
приклад 3.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
Відповідь:
приклад 4.
Рішення:
Так як 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за всіх дійсних x, то
Для вирішення другої нерівності скористаємося методом інтервалів
У першій нерівності зробимо заміну
тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.
Звідки, оскільки
отримуємо нерівність
яке виконується за тих x, для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Тепер з урахуванням вирішення другої нерівності системи остаточно отримуємо
Відповідь:
Приклад 5.
Рішення:
Нерівність рівносильна сукупності систем
або
Застосуємо метод інтервалів або
Відповідь:
Приклад 6.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі
Нехай
тоді y > 0,
і перша нерівність
системи набуває вигляду
або, розкладаючи
квадратний тричлен на множники,
Застосовуючи до останньої нерівності метод інтервалів,
бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умову y> 0 будуть усі y > 4.
Таким чином вихідна нерівність еквівалентна системі:
Отже, рішеннями нерівності є всі
2.2. Метод раціоналізації.
Раніше методом раціоналізації нерівності не вирішували, її не знали. Це "новий сучасний ефективний метод розв'язання показових та логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому в школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай – 2."
Нині метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Найповніших виданнях типових варіантів..." у рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДОВИЙ!
«Чарівна таблиця»
В інших джерелах
якщо a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;
якщо a >1 та 0 якщо 0<a<1 и b
>1, то log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
якщо 0<a<1 и 00 та (a -1)(b -1)>0. Проведені міркування нескладні, але помітно спрощують розв'язання логарифмічних нерівностей. приклад 4.
log x (x 2 -3)<0
Рішення:
Приклад 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Рішення: Приклад 6.
Для розв'язання цієї нерівності замість знаменника запишемо (х-1-1)(х-1), а замість чисельника - твір (х-1)(х-3-9+х). Приклад 7.
Приклад 8.
2.3. Нестандартне підстановлення. приклад 1.
приклад 2.
приклад 3.
приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
Приклад 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Зробимо заміну у = 3 х -1; тоді ця нерівність набуде вигляду Log 4 log 0,25 Так як log 0,25 Зробимо заміну t = log 4 y і отримаємо нерівність t 2 -2t +≥0, розв'язком якої є проміжки - Таким чином, для знаходження значень маємо сукупність двох найпростіших нерівностей Отже, вихідна нерівність рівносильна сукупності двох показових нерівностей, Рішенням першої нерівності цієї сукупності є проміжок 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Приклад 8.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі Рішенням другої нерівності, що визначає ОДЗ, буде безліч тих x,
для яких x > 0.
Для вирішення першої нерівності зробимо заміну Тоді отримуємо нерівність або Безліч рішень останньої нерівності перебуває методом інтервалів: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, отримуємо або Безліч тих x, які задовольняють останню нерівність належить ОДЗ ( x> 0), отже, є рішенням системи, отже, і вихідної нерівності. Відповідь: 2.4. Завдання з пастки. приклад 1.
Рішення.ОДЗ нерівності є всі х, які задовольняють умові 0 приклад 2.
log 2 (2 x +1-x 2)> log 2 (2 x-1 +1-x) +1.
Відповідь. (0; 0,5) U.
Відповідь :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишемо останню нерівність у вигляді 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Вирішення цієї сукупності є проміжками 0<у≤2 и 8≤у<+.
тобто сукупності 
. Таким чином, вихідна нерівність виконується для всіх значень х із проміжків 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Отже, всі х із проміжку 0
Висновок
Було непросто визначити з великої кількості різних навчальних джерел спеціальні способи вирішення завдань С3. У ході виконаної роботи мені вдалося вивчити нестандартні методи розв'язання складних логарифмічних нерівностей. Це: рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів, метод раціоналізації , нестандартна підстановка , завдання з пастками на ОДЗ. У шкільній програмі ці методи відсутні.
Різними методами вирішив 27 нерівностей, пропонованих на ЄДІ у частині З, саме С3. Ці нерівності з рішеннями за методами стали основою збірки «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями», яка стала проектним продуктом моєї діяльності. Гіпотеза, поставлена мною на початку проекту, підтвердилася: завдання С3 можна ефективно вирішувати, знаючи ці методи.
Крім того, я виявив цікаві факти логарифмів. Мені це було цікаво робити. Мої проектні продукти будуть корисними як для учнів, так і для вчителів.
Висновки:
Таким чином, поставленої мети проекту досягнуто, проблему вирішено. А я отримав найбільш повний та різнобічний досвід проектної діяльності на всіх етапах роботи. У ході роботи над проектом у мене основний вплив, що розвивається, було надано на розумову компетентність, діяльність, пов'язану з логічними розумовими операціями, розвиток творчої компетентності, особистої ініціативи, відповідальності, наполегливості, активності.
Гарантією успіху при створенні дослідницького проекту для мене стали: значний шкільний досвід, вміння здобувати інформацію з різних джерел, перевіряти її достовірність, ранжувати її за значимістю.
Окрім безпосередньо предметних знань з математики, розширив свої практичні навички в галузі інформатики, отримав нові знання та досвід у галузі психології, налагодив контакти з однокласниками, навчився співпрацювати з дорослими людьми. У ході проектної діяльності розвивалися організаційні, інтелектуальні та комунікативні загальнонавчальні вміння та навички.
Література
1. Корянов А. Г., Прокоф'єв А. А. Системи нерівностей з однією змінною (типові завдання С3).
2. Малкова А. Г. Підготовка до ЄДІ з математики.
3. Самарова С. С. Вирішення логарифмічних нерівностей.
4. Математика. Збірник тренувальних робіт за редакцією А.Л. Семенова та І.В. Ященко. -М: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0
Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.
Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».
Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Для початку випишемо ОДЗ логарифму:
Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:
Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.
Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:
Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.
Перетворення логарифмічних нерівностей
Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:
- Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
- Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.
Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:
- Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
- Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
- Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:
Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Потім – нулі знаменника:
x − 1 = 0;
x = 1.
Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:
Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:
Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:
(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Отримали дві множини:
- ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).
Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:
Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.
Часто, при розв'язанні логарифмічних нерівностей зустрічаються завдання зі змінною основою логарифму. Так, нерівність виду
є стандартною шкільною нерівністю. Як правило, для його вирішення застосовується перехід до рівносильної сукупності систем:
Недоліком цього є необхідність вирішення семи нерівностей, крім двох систем і однієї сукупності. Вже при цих квадратичних функціях рішення сукупності може зажадати багато часу.
Можна запропонувати альтернативний, менш трудомісткий спосіб розв'язання цієї стандартної нерівності. Для цього врахуємо таку теорему.
Теорема 1. Нехай безперервна зростаюча функція на множині X. Тоді цьому множині знак збільшення функції збігатися зі знаком збільшення аргументу, тобто. , де 
.
Примітка: якщо безперервна спадна функція на множині X, то .
Повернемося до нерівності. Перейдемо до десяткового логарифму (можна переходити до будь-якого з постійною основою більше одиниці).
Тепер можна скористатися теоремою, помітивши в чисельнику збільшення функцій 
і в знаменнику. Таким чином, вірно
В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно вдвічі, що заощаджує не тільки час, а й дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок та помилок “по неуважності”.
приклад 1.
Порівнюючи з (1) знаходимо 
, 
, .
Переходячи до (2) матимемо:
приклад 2.
Порівнюючи з (1) знаходимо , , .
Переходячи до (2) матимемо:
приклад 3.
Оскільки ліва частина нерівності – зростаюча функція при і 
, то відповіддю буде безліч.
Безліч прикладів, в яких можна застосовувати терему 1, може бути легко розширено, якщо врахувати терему 2.
Нехай на безлічі Xвизначено функції , , , і цьому безлічі знаки і збігаються, тобто. тоді буде справедливо.
приклад 4.
Приклад 5.
При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менший за нуль, коли співмножники різних знаків. Тобто. розглядається сукупність двох систем нерівностей, у яких, як було зазначено на початку, кожна нерівність розпадається ще на сім.
Якщо ж врахувати терему 2, то кожен із співмножників, враховуючи (2), можна замінити іншою функцією, що має той же знак на даному прикладом О.Д.З.
Метод заміни збільшення функції збільшенням аргументу з урахуванням теореми 2 виявляється дуже зручним при вирішенні типових завдань С3 ЄДІ.
Приклад 6.
Приклад 7.
. Позначимо. Отримаємо
. Зауважимо, що з заміни випливає: . Повертаючись до рівняння, отримаємо
.
Приклад 8.
У теоремах, які ми використовуємо, немає обмеження на класи функцій. У цій статті, наприклад, теореми були застосовані до вирішення логарифмічних нерівностей. Декілька наступних прикладів продемонструють перспективність методу при вирішенні інших видів нерівностей.
Цілі уроку:
Дидактичні:
- 1 рівень – навчити вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності, застосовуючи визначення логарифму, властивості логарифмів;
- 2 рівень – вирішувати логарифмічні нерівності, обираючи самостійно спосіб розв'язання;
- 3 рівень – вміти застосовувати знання та вміння у нестандартних ситуаціях.
Розвиваючі:розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, навички порівняння, вміти узагальнювати та робити висновки
Виховні:виховувати акуратність, відповідальність за завдання, взаємодопомога.
Методи навчання: словесний , наочний , практичний , частково-пошуковий , самоврядування , контролю.
Форми організації пізнавальної діяльності учнів: фронтальний , індивідуальний , робота у парах.
Обладнання: набір тестових завдань, опорний конспект, чистий лист для рішень.
Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.
Хід уроку
1. Організаційний момент.Оголошуються тема та цілі уроку, схема проведення уроку: кожному учневі видається оціночний лист, який учень заповнює протягом уроку; для кожної пари учнів – друковані матеріали із завданнями, виконувати завдання потрібно у парах; чисті листи для рішень; опорні листи: визначення логарифму; графік логарифмічної функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей.
Усі рішення після самооцінки здаються вчителю.
Оціночний лист учня
2. Актуалізація знань.
Вказівки вчителя. Згадайте визначення логарифму, графік логарифмічної функції та її властивості. Для цього прочитайте текст на с.88–90, 98–101 підручника “Алгебра та початки аналізу 10–11” за редакцією Ш.А Алімова, Ю.М Колягіна та ін.
Учням лунають листи, на яких записані: визначення логарифму; зображено графік логарифмічної функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей, приклад розв'язання логарифмічної нерівності, що зводиться до квадратного.
3. Вивчення нового матеріалу.
Розв'язання логарифмічних нерівностей ґрунтується на монотонності логарифмічної функції.
Алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей:
А) Знайти область визначення нерівності (підлогарифмічний вираз більше за нуль).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному й тому підставі.
В) Визначити, зростаючою чи спадною є логарифмічна функція: якщо t>1, то зростаюча; якщо 0
Г) Перейти до більш простої нерівності (підлогарифмічних виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона зменшується.
Навчальний елемент №1.
Мета: закріпити вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей
Форма організації пізнавальної діяльності учнів: індивідуальна робота.
Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин. Для кожної нерівності є кілька варіантів відповідей, потрібно вибрати правильний і перевірити ключ.
КЛЮЧ: 13321, максимальна кількість балів – 6 б.
Навчальний елемент №2.
Мета: закріпити розв'язання логарифмічних нерівностей, застосовуючи властивості логарифмів.
Вказівки вчителя. Згадайте основні властивості логарифмів. Для цього прочитайте підручник на с.92, 103–104.
Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин.
КЛЮЧ: 2113, максимальна кількість балів – 8 б.
Навчальний елемент №3.
Мета: вивчити розв'язання логарифмічних нерівностей шляхом зведення до квадратного.
Вказівки вчителя: метод зведення нерівності до квадратного полягає в тому, що потрібно перетворити нерівність до такого виду, щоб деяку логарифмічну функцію позначити новою змінною, отримавши при цьому квадратну нерівність щодо цієї змінної.
Застосуємо метод інтервалів.
Ви пройшли перший рівень засвоєння матеріалу. Тепер вам доведеться самостійно вибрати метод розв'язання логарифмічних рівнянь, використовуючи всі свої знання та можливості.
Навчальний елемент №4.
Мета: закріпити розв'язання логарифмічних нерівностей, обравши самостійно раціональний спосіб розв'язання.
Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин
Навчальний елемент №5.
Вказівки вчителя. Молодці! Ви освоїли розв'язання рівнянь другого рівня складності. Метою подальшої вашої роботи є застосування своїх знань та умінь у більш складних та нестандартних ситуаціях.
Завдання для самостійного вирішення:
Вказівки вчителя. Чудово, якщо ви справилися з усім завданням. Молодці!
Оцінка за весь урок залежить від кількості набраних балів за всіма навчальними елементами:
- якщо N ≥ 20, то ви отримуєте оцінку “5”,
- при 16 ≤ N ≤ 19 – оцінка “4”,
- при 8 ≤ N ≤ 15 – оцінка “3”,
- при N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Оцінні лисиці здати вчителю.
5. Домашнє завдання: якщо ви набрали не більше 15 байт – виконайте роботу над помилками (рішення можна взяти у вчителя), якщо ви набрали більше 15 байт – виконайте творче завдання на тему “Логарифмічні нерівності”.
