Відстань від точки до прямої на площині. Як знаходити відстань від точки до прямої? Знайти відстань від точки М до прямої: формула Відстань від точки до вектора на площині

Ця стаття розповідає про тему « відстані від точки до прямої », розглядаються визначення відстані від точки до прямої з ілюстрованими прикладами методом координат. Кожен блок теорії наприкінці має показані приклади розв'язання таких завдань.

Відстань від точки до прямої знаходиться через визначення відстані від точки до точки. Розглянемо докладніше.

Нехай є пряма a і точка М 1 не належить заданої прямої. Через неї проведемо пряму b, розташовану перпендикулярно щодо прямої a. Точка перетину прямих візьмемо за Н1. Отримаємо, що М 1 Н 1 перпендикуляром, який опустили з точки М 1 до прямої a .

Визначення 1

Відстанню від точки М 1 до прямої aназивається відстань між точками М1 і Н1.

Бувають записи визначення із фігуруванням довжини перпендикуляра.

Визначення 2

Відстань від точки до прямоїназивають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Визначення еквівалентні. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Відомо, що відстань від точки до прямої є найменшою з усіх можливих. Розглянемо це з прикладу.

Якщо взяти точку Q , що лежить на прямій a не збігається з точкою М 1 тоді отримаємо, що відрізок М 1 Q називається похилою, опущеної з М 1 до прямої a . Необхідно позначити, що перпендикуляр з точки М 1 є меншим, ніж будь-яка інша похила, проведена з точки до прямої.

Щоб довести це, розглянемо трикутник М 1 Q 1 Н 1 де М 1 Q 1 є гіпотенузою. Відомо, що її довжина завжди більша за довжину будь-якого з катетів. Отже, маємо, що M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Вихідні дані для знаходження від точки до прямої дозволяють використовувати кілька методів розв'язання: через теорему Піфагора, визначення синуса, косинуса, тангенсу кута та інші. Більшість завдань такого типу вирішують у школі під час уроків геометрії.

Коли знаходження відстані від точки до прямої можна ввести прямокутну систему координат, то застосовують метод координат. У цьому пункті розглянемо два основних методи знаходження шуканої відстані від заданої точки.

Перший спосіб має на увазі пошук відстані як перпендикуляра, проведеного з М 1 до прямої a . У другому способі використовується нормальне рівняння прямої а для знаходження шуканої відстані.

Якщо на площині є точка з координатами M 1 (x 1 , y 1) , розташована в прямокутній системі координат, пряма a , а необхідно знайти відстань M 1 H 1 можна обчислення двома способами. Розглянемо їх.

Перший спосіб

Якщо є координати точки H 1 рівні x 2 y 2 тоді відстань від точки до прямої обчислюється по координатах з формули M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Тепер перейдемо до знаходження координат точки Н1.

Відомо, що пряма лінія О х у відповідає рівнянню прямої на площині. Візьмемо спосіб завдання прямої через написання загального рівняння прямої або рівняння з кутовим коефіцієнтом. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку М1 перпендикулярно заданої прямої a. Пряму позначимо буковою b. Н 1 є точкою перетину прямих a і b означає для визначення координат необхідно скористатися статтею, в якій йдеться про координати точок перетину двох прямих.

Видно, що алгоритм знаходження відстані від заданої точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a проводиться згідно з пунктами:

Визначення 3

• знаходження загального рівняння прямої a має вигляд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k 1 x + b 1 ;
• отримання загального рівняння прямої b , що має вигляд A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y = k 2 x + b 2 якщо пряма b перетинає точку М 1 і є перпендикулярною до заданої прямої a ;
• визначення координат x 2 , y 2 точки Н 1 , що є точкою перетину a і b , для цього здійснюється рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• обчислення шуканої відстані від точки до прямої, використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Другий спосіб

Теорема здатна допомогти відповісти на питання про знаходження відстані від заданої точки дот заданої прямої на площині.

Теорема

Прямокутна система координат має О х у має точку M 1 (x 1 , y 1) , з якої проведена пряма а до площини, що задається нормальним рівнянням площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 , рівно по модулю значенням, одержуваному в лівій частині нормального рівняння прямої, що обчислюється при x = x 1 , y = y 1 означає, що M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Доведення

Прямий а відповідає нормальне рівняння площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 тоді n → = (cos α , cos β) вважається нормальним вектором прямої a при відстані від початку координат до прямої a з p одиницями . Необхідно зобразити всі дані на малюнку, додати точку з координатами M 1 (x 1 y 1) , де радіус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 y 1) . Необхідно провести пряму від точки до прямої, яку позначимо M1H1. Необхідно показати проекції М 2 і Н 2 точок М 1 і Н 2 на пряму, що проходить через точку O з напрямним вектором виду n → = (cos α , cos β) , а числову проекцію вектора позначимо як O M 1 → = (x 1 y 1) до напрямку n → = (cos α , cos β) як n p n → O M 1 → .

Варіації залежать від розташування точки М 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Результати фіксуємо за допомогою формули M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Після чого наводимо рівність до такого виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, щоб отримати n p n → OM → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярний добуток векторів у результаті дає перетворену формулу виду n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , яка є твором у координатній формі виду n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отже, отримуємо, що n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Звідси випливає, що M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорему доведено.

Отримуємо, що знаходження відстані від точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a на площині необхідно виконати кілька дій:

Визначення 4

• отримання нормального рівняння прямої a cos α · x + cos β · y - p = 0 за умови, що його немає в завданні;
• обчислення виразу cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , де отримане значення приймає M 1 H 1 .

Застосуємо ці методи на розв'язанні задач зі знаходженням відстані від точки до площини.

Приклад 1

Знайти відстань від точки з координатами M 1 (-1,2) до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Рішення

Застосуємо перший спосіб вирішення.

Для цього необхідно знайти загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку M 1 (- 1, 2), перпендикулярно до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 . З умови видно, що пряма b є перпендикулярною прямою a тоді її напрямний вектор має координати, рівні (4 , - 3) . Таким чином маємо можливість записати канонічне рівняння прямої b на площині, оскільки є координати точки М 1 належить прямий b . Визначимо координати напрямного вектора прямої b. Отримаємо, що x - (-1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Отримане канонічне рівняння необхідно перетворити на загальне. Тоді отримуємо, що

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Зробимо знаходження координат точок перетину прямих, яке приймемо за позначення Н1. Перетворення виглядають таким чином:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

З вище написаного маємо, що координати точки Н 1 дорівнюють (- 5 ; 5) .

Необхідно обчислити відстань від точки М1 до прямої a. Маємо, що координати точок M 1 (- 1 , 2) і H 1 (- 5 , 5) тоді підставляємо у формулу для знаходження відстані і отримуємо, що

M 1 H 1 = (-5 - (-1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Другий спосіб розв'язання.

Для того щоб вирішити іншим способом, необхідно отримати нормальне рівняння прямої. Обчислюємо значення множника, що нормує, і множимо обидві частини рівняння 4 x - 3 y + 35 = 0 . Звідси отримаємо, що множник, що нормує, дорівнює - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальне рівняння буде виду - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

За алгоритмом обчислення необхідно отримати нормальне рівняння прямої та обчислити його зі значеннями x = -1, y = 2. Тоді отримуємо, що

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (- 1 , 2) до заданої прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 має значення - 5 = 5 .

Відповідь: 5 .

Видно, що в даному методі важливим є використання нормального рівняння прямої, оскільки такий спосіб є найбільш коротким. Але перший спосіб зручний тим, що послідовний і логічний, хоча має більше пунктів обчислення.

Приклад 2

На площині є прямокутна система координат О х у з точкою M 1 (8 , 0) і прямою y = 1 2 x + 1 . Знайти відстань від заданої точки до прямої.

Рішення

Рішення першим способом передбачає приведення заданого рівняння з кутовим коефіцієнтом до рівняння загального виду. Для спрощення можна зробити по-іншому.

Якщо добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих мають значення - 1, значить кутовий коефіцієнт прямої перпендикулярної заданої y = 1 2 x + 1 має значення 2 . Тепер отримаємо рівняння прямої, що проходить через точку з координатами M 1 (8, 0). Маємо, що y – 0 = – 2 · (x – 8) ⇔ y = – 2 x + 16 .

Переходимо до знаходження координат точки Н 1 , тобто точок перетину y = - 2 x + 16 і y = 1 2 x + 1 . Складаємо систему рівнянь та отримуємо:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)

Звідси випливає, що відстань від точки з координатами M 1 (8 , 0) до прямої y = 1 2 x + 1 дорівнює відстані від точки початку та точки кінця з координатами M 1 (8 , 0) та H 1 (6 , 4) . Обчислимо та отримаємо, що M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Рішення другим способом полягає у переході від рівняння з коефіцієнтом до його нормального виду. Тобто отримаємо y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 тоді значення нормуючого множника буде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Звідси випливає, що нормальне рівняння прямої набуває вигляду - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Зробимо обчислення від точки M 1 8 0 до прямої виду - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Відповідь: 2 5 .

Приклад 3

Необхідно обчислити відстань від точки з координатами M 1 (- 2 , 4) до прямих 2 x - 3 = 0 та y + 1 = 0 .

Рішення

Отримуємо рівняння нормального виду прямої 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Після чого переходимо до обчислення відстані від точки M 1 - 2 4 до прямої x - 3 2 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Рівняння прямої y + 1 = 0 має множник, що нормує, зі значенням рівним -1. Це означає, що рівняння набуде вигляду - y - 1 = 0 . Переходимо до обчислення відстані від точки M 1 (- 2 , 4) до прямої - y - 1 = 0 . Отримаємо, що вона дорівнює - 4 - 1 = 5 .

Відповідь: 3 1 2 та 5 .

Детально розглянемо знаходження відстані від заданої точки площини до координатних осях Ох і Оу.

У прямокутній системі координат у осі О у є рівняння прямої, яке є неповним має види х = 0, а О х - y = 0. Рівняння нормальні для осей координат, тоді необхідно знайти відстань від точки з координатами M 1 x 1 , y 1 до прямих. Це робиться, виходячи з формул M 1 H 1 = x 1 і M 1 H 1 = y 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Приклад 4

Знайти відстань від точки M 1 (6 - 7) до координатних прямих, розташованих у площині О х у.

Рішення

Так як рівняння у = 0 відноситься до прямої Ох, можна знайти відстань від M 1 із заданими координатами, до цієї прямої, використовуючи формулу. Отримуємо, що 6 = 6 .

Так як рівняння х = 0 відноситься до прямої О у, то можна знайти відстань від М 1 до цієї прямої за формулою. Тоді отримаємо, що – 7 = 7 .

Відповідь:відстань від М 1 до О х має значення 6 а від М 1 до О у має значення 7 .

Коли в тривимірному просторі маємо точку з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) необхідно знайти відстань від точки A до прямої a .

Розглянемо два способи, які дозволяють проводити обчислення відстань від точки до прямої a розташованої в просторі. Перший випадок розглядає відстань від точки М 1 до прямої, де точка на прямій називається Н 1 є підставою перпендикуляра, проведеного з точки М 1 на пряму a . Другий випадок говорить про те, що точки цієї площини необхідно шукати як висоту паралелограма.

Перший спосіб

З визначення маємо, що відстань від точки М 1 розташованої на прямій а є довжиною перпендикуляра М 1 Н 1 тоді отримаємо, що при знайдених координатах точки Н 1 тоді знайдемо відстань між M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) і H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , виходячи з формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Отримуємо, що рішення йде до того, щоб знайти координати підстави перпендикуляра, проведеного з М 1 на пряму a . Це робиться наступним чином: Н 1 є точкою, де перетинаються пряма a з площиною, яка проходить через задану точку.

Отже, алгоритм визначення відстані від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої a простору має на увазі кілька пунктів:

Визначення 5

• складання рівняння площини в якості рівняння площини, що проходить через задану точку, що знаходиться перпендикулярно прямий;
• визначення координат (x 2 , y 2 , z 2) , що належали точці Н 1 , яка є точкою перетину прямої і площини χ ;
• обчислення відстані від точки до прямої за допомогою формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Другий спосіб

З умови маємо пряму a тоді можемо визначити напрямний вектор a → = a x , a y , a z з координатами x 3 , y 3 , z 3 і певної точки М 3 , що належить прямий a . За наявності координат точок M 1 (x 1 , y 1) і M 3 x 3 , y 3 , z 3 можна провести обчислення M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)

Слід відкласти вектори a → = a x , a y , a z і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 з точки М 3 з'єднаємо і отримаємо фігуру паралелограма. М1Н1 є висотою паралелограма.

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Маємо, що висота М1Н1 є шуканою відстанню, тоді необхідно знайти її за формулою. Тобто шукаємо M1H1.

Позначимо площу паралелограма за букву S знаходиться за формулою, використовуючи вектор a → = (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площі має вигляд S = a → × M 3 M 1 → . Також площа фігури дорівнює добутку довжин його сторін на висоту, отримаємо, що S = a → · M 1 H 1 з a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 є довжиною вектора a → = (a x , a y , a z) , що дорівнює стороні паралелограма. Отже, M 1 H 1 є відстанню від точки до прямої. Її знаходження здійснюється за формулою M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої в просторі, необхідно виконати кілька пунктів алгоритму:

Визначення 6

• визначення напрямного вектора прямий a - a → = (a x, a, z);
• обчислення довжини напрямного вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• отримання координат x 3 , y 3 , z 3 , що належали точці М 3 знаходиться на прямій а;
• обчислення координат вектора M 3 M 1 → ;
• знаходження векторного твору векторів a → (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 як a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для отримання довжини за формулою a → × M 3 M 1 → ;
• обчислення відстані від точки до прямої M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Розв'язання задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої у просторі

Знайти відстань від точки з координатами M 1 2 , - 4 , - 1 до прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Рішення

Перший спосіб починається із запису рівняння площини χ, що проходить через М 1 і перпендикулярно заданій точці. Отримуємо вираз виду:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Потрібно знайти координати точки H 1 , яка є точкою перетину з площиною до заданої за умовою прямої. Слід переходити від канонічного вигляду до того, що перетинається. Тоді отримуємо систему рівнянь виду:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необхідно обчислити систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 за методом Крамера, тоді отримуємо, що:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Звідси маємо, що H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Другий спосіб необхідно почати з пошуку координат у канонічному рівнянні. Для цього необхідно звернути увагу на знаменники дробу. Тоді a → = 2 , - 1 , 5 є напрямним вектором прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необхідно обчислити довжину за формулою a → = 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 30 .

Зрозуміло, що пряма x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 перетинає точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , звідси маємо, що вектор з початком координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) та її кінцем у точці M 1 2 , - 4 , - 1 є M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Знаходимо векторний твір a → = (2 , - 1 , 5) та M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Ми отримуємо вираз виду a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

отримуємо, що довжина векторного твору дорівнює a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Є всі дані для використання формули обчислення відстані від точки для прямої, тому застосуємо її та отримаємо:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Відповідь: 11 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Формула для обчислення відстані від точки до прямої на площині

Якщо задано рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M x , M y) до прямої можна знайти, використовуючи таку формулу

Приклади завдань на обчислення відстані від точки до прямої на площині

приклад 1.

Знайти відстань між прямою 3x + 4y - 6 = 0 та точкою M(-1, 3).

Рішення.Підставимо у формулу коефіцієнти прямої та координати точки

Відповідь:відстань від точки до прямої дорівнює 0.6.

рівняння площини перпендикулярно вектору, що проходить через точки Загальне рівняння площини

Ненульовий вектор , перпендикулярний заданій площині, називається нормальним вектором (або, коротше, нормаллю ) для цієї площини.

Нехай у координатному просторі (у прямокутній системі координат) задані:

а) точка ;

б) ненульовий вектор (рис.4.8 а).

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору Кінець підтвердження.

Розглянемо тепер різні типи рівнянь прямої на площині.

1) Загальне рівняння площиниP .

З висновку рівняння випливає, що одночасно A, Bі Cне рівні 0 (поясніть чому).

Крапка належить площині Pтільки у тому випадку, коли її координати задовольняють рівняння площини. Залежно від коефіцієнтів A, B, Cі Dплощина Pзаймає те чи інше становище:

‑ площина проходить через початок системи координат, ‑ площина не проходить через початок системи координат,

‑ площина паралельна осі X,

X,

‑ площина паралельна осі Y,

‑ площина не паралельна осі Y,

‑ площина паралельна осі Z,

‑ площина не паралельна осі Z.

Доведіть ці твердження самостійно.

Рівняння (6) легко виводиться із рівняння (5). Справді, нехай точка лежить на площині P. Тоді її координати задовольняють рівняння Віднімаючи з рівняння (5) рівняння (7) і групуючи доданки, отримаємо рівняння (6). Розглянемо тепер два вектори з координатами відповідно. З формули (6) випливає, що їх скалярний добуток дорівнює нулю. Отже, вектор перпендикулярний вектору Початок і кінець останнього вектора знаходяться відповідно в точках які належать P. Отже, вектор перпендикулярний площині. P. Відстань від точки до площини P, загальне рівняння якої визначається за формулою Доказ цієї формули повністю аналогічний доказу формули відстані між точкою та прямою (див. рис. 2).
Мал. 2. До висновку формули відстані між площиною та прямою.

Справді, відстань dміж прямою і площиною одно

де - точка лежача на площині. Звідси, як і в лекції № 11, виходить вище наведена формула. Дві площини паралельні, якщо паралельні їхнім нормальним векторам. Звідси отримуємо умову паралельності двох площин - Коефіцієнти загальних рівнянь площин. Дві площини перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх нормальні вектори, звідси отримуємо умову перпендикулярності двох площин, якщо відомі їх загальні рівняння

Кут fміж двома площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами (див. рис. 3) і може, тому, бути обчислений за формулою
Визначення кута між площинами.

(11)

Відстань від точки до площини та способи її знаходження

Відстань від точки до площині- Довжина перпендикуляра, опущеного з точки на цю площину. Існує принаймні два способи знайти відстань від точки до площини: геометричнийі алгебраїчний.

При геометричному способіпотрібно спочатку зрозуміти, як розташований перпендикуляр з точки на площину: може він лежить в якійсь зручній площині, є висотою в якійсь зручному (або не дуже) трикутнику, а може цей перпендикуляр взагалі є висотою в якійсь піраміді.

Після цього першого і найскладнішого етапу завдання розпадається на кілька конкретних планиметричних завдань (можливо, у різних площинах).

При алгебраїчному способіЩоб знайти відстань від точки до площині, потрібно ввести систему координат, знайти координати точки і рівняння площини, і після цього застосувати формулу відстані від точки до площини.

Розглянемо застосування розібраних методів для знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої на площині під час вирішення прикладу.

Знайдіть відстань від точки до прямої:

Спочатку вирішимо завдання першим способом.

За умови завдання нам дано загальне рівняння прямого виду:

Знайдемо загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку перпендикулярно до прямої:

Оскільки пряма b перпендикулярна до прямої a, то напрямний вектор прямої b є нормальним вектором заданої прямої:

тобто напрямний вектор прямий b має координати. Тепер ми можемо записати канонічне рівняння прямої b на площині, тому що знаємо координати точки М 1 через яку проходить пряма b, і координати напрямного вектора прямої b:

Від отриманого канонічного рівняння прямої b перейдемо до загального рівняння прямої:

Тепер знайдемо координати точки перетину прямих a і b (позначимо її H 1), розв'язавши систему рівнянь, складену із загальних рівнянь прямих a і b (за потреби звертайтеся до статті розв'язання систем лінійних рівнянь):

Таким чином, точка H1 має координати.

Залишилося обчислити відстань від точки М 1 до прямої a як відстань між точками і:

Другий спосіб розв'язання задачі.

Отримаємо нормальне рівняння заданої прямої. Для цього обчислимо значення нормуючого множника та помножимо на нього обидві частини вихідного загального рівняння прямої:

(про це ми говорили в розділі приведення загального рівняння прямого до нормального вигляду).

Нормуючий множник дорівнює

тоді нормальне рівняння прямої має вигляд:

Тепер беремо вираз, що стоїть у лівій частині отриманого нормального рівняння прямої, і обчислюємо його значення при:

Відстань від заданої точки до заданої прямої:

дорівнює абсолютній величині отриманого значення, тобто п'яти ().

відстань від точки до прямої:

Очевидно, перевагою методу знаходження відстані від точки до прямої на площині, заснованого на використанні нормального рівняння прямої є порівняно менший обсяг обчислювальної роботи. У свою чергу, перший спосіб знаходження відстані від точки до прямої інтуїтивно зрозумілий і відрізняється послідовністю та логічністю.

На площині зафіксована прямокутна система координат Oxy, задана точка та пряма:

Знайдіть відстань від заданої точки до заданої прямої.

Перший метод.

Можна від заданого рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом перейти до загального рівняння цієї прямої та діяти так само, як у розібраному вище прикладі.

Але можна зробити й інакше.

Ми знаємо, що добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих дорівнює 1 (дивіться статтю перпендикулярні до прямих, перпендикулярність до прямих). Тому кутовий коефіцієнт прямої, яка перпендикулярна заданій прямій:

дорівнює 2. Тоді рівняння прямої, перпендикулярної заданої прямої і проходить через точку, має вигляд:

Тепер знайдемо координати точки H1 - точки перетину прямих:

Таким чином, відстань від точки до прямої:

дорівнює відстані між точками та:

Другий спосіб.

Перейдемо від заданого рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до нормального рівняння цієї прямої:

нормуючий множник дорівнює:

отже, нормальне рівняння заданої прямої має вигляд:

Тепер обчислюємо необхідну відстань від точки до прямої:

Обчисліть відстань від точки до прямої:

і до прямої:

Отримаємо нормальне рівняння прямої:

Тепер обчислимо відстань від точки до прямої:

Нормуючий множник для рівняння прямого виду:

дорівнює 1. Тоді нормальне рівняння цієї прямої має вигляд:

Тепер ми можемо обчислити відстань від точки до прямої:

воно рівне.

Відповідь: та 5.

Наприкінці окремо розглянемо, як відстань від заданої точки площини до координатних прямих Ox і Oy.

У прямокутній системі координат Oxy координатну пряму Oy задає неповне загальне рівняння прямої x=0, а координатну пряму Ox - рівняння y=0. Ці рівняння є нормальними рівняннями прямих Oy і Ox, отже відстань від точки до цих прямих обчислюються за формулами:

відповідно.

Малюнок 5

На площині введено прямокутну систему координат Oxy. Знайдіть відстань від точки до координатних прямих.

Відстань від заданої точки М 1 до координатної прямої Ox (вона задається рівнянням y = 0) дорівнює модулю ординати точки М 1 тобто .

Відстань від заданої точки М 1 до координатної прямої Oy (їй відповідає рівняння x = 0) дорівнює абсолютної абсцеси точки М 1: .

Відповідь: відстань від точки М 1 до прямої Ox дорівнює 6, а відстань від заданої точки до координатної прямої Oy дорівнює.

Метод координат (відстань між точкою та площиною, між прямими)

Відстань між точкою та площиною.

Відстань між точкою та прямою.

Відстань між двома прямими.

Перше, що корисно знати, це як знайти відстань від точки до площини:

Значення A, B, C, D – коефіцієнти площини

x, y, z - координати точки

Завдання. Знайти відстань між точкою А = (3; 7; −2) та площиною 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Все дано, можна відразу підставити значення рівняння:

Завдання. Знайдіть відстань від точки К = (1; −2; 7) до прямої, що проходить через точки V = (8; 6; −13) і T = (−1; −6; 7).

1. Знаходимо вектор прямий.
2. Обчислюємо вектор, що проходить через точку, що шукається, і будь-яку точку на прямій.
   
3. Задаємо матрицю і знаходимо визначник за двома отриманими векторами в 1-му та 2-му пункті.
4. Відстань отримаємо, коли квадратний корінь із суми квадратів коефіцієнтів матриці поділимо на довжину вектора, який задає пряму(Думаю незрозуміло, тож перейдемо до конкретного прикладу).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Вектор знайдемо через точки K і T, хоча так само можна було б через K і V або будь-яку іншу точку на цій прямій.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Вийде матрица без коефіцієнта D (тут він не потрібен для вирішення):

4) Площина вийшла з коефіцієнтами А = 80, В = 40, С = 12,

x, y, z - координати вектора прямої, в даному випадку - вектор TV має координати (9; 12; -20)

Завдання. Знайти відстань між прямою, що проходить через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), і пряма, що проходить через точки M = (4; −1; 4), L = ( −2;3;0).

1. Задаємо вектори обох прямих.
2. Знаходимо вектор, взявши по одній точці з кожної прямої.
3. Записуємо матрицю з 3-х векторів (два рядки з 1-го пункту, один рядок з 2-го) і знаходимо її чисельний визначник.
4. Задаємо матрицю із двох перших векторів (у пункті 1). Перший рядок задаємо як x, y, z.
5. Відстань отримаємо, коли розділимо значення з пункту 3 по модулю на квадратний корінь із суми квадратів пункту 4.

Перейдемо до цифр.

Нехай у тривимірному просторі зафіксовано прямокутну систему координат Oxyz, задана точка , пряма aі потрібно знайти відстань від точки Адо прямої a.

Покажемо два способи, що дозволяють обчислювати відстань від точки до прямої просторі. У першому випадку знаходження відстані від точки М 1 до прямої aзводиться до знаходження відстані від точки М 1 до точки H 1 , де H 1 - основа перпендикуляра, опущеного з точки М 1 на пряму a. У другому випадку відстань від точки до площини знаходимо як висоту паралелограма.

Отже, почнемо.

Перший спосіб знаходження відстані від точки до прямої a у просторі.

Оскільки за визначенням відстань від точки М 1 до прямої a- Це довжина перпендикуляра M 1 H 1 , то, визначивши координати точки H 1 , ми зможемо обчислити потрібну відстань як відстань між точками і за формулою .

Таким чином, завдання зводиться до знаходження координат основи перпендикуляра, побудованого з точки М 1 до прямої a. Зробити це досить просто: крапка H 1 – це точка перетину прямої aз площиною, що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a.

Отже, алгоритм, що дозволяє визначати відстань від точки до прямоїa в просторі, такий:

Другий спосіб, що дозволяє знаходити відстань від точки до прямої a у просторі.

Так як за умови завдання нам задана пряма a, то ми можемо визначити її напрямний вектор та координати деякої точки М 3 , що лежить на прямий a. Тоді за координатами точок і ми можемо обчислити координати вектора: (за потреби звертайтеся до статті координати вектора через координати точок його початку та кінця).

Відкладемо вектори і від точки М 3 і збудуємо на них паралелограм. У цьому паралелограмі проведемо висоту М 1 H 1 .

Очевидно, висота М 1 H 1 побудованого паралелограма дорівнює шуканій відстані від точки М 1 до прямої a. Знайдемо.

З одного боку площа паралелограма (позначимо її S) може бути знайдена через векторний твір векторів і за формулою . З іншого боку площа паралелограма дорівнює добутку довжини його сторони на висоту, тобто, , де - Довжина вектора , що дорівнює довжині сторони аналізованого паралелограма. Отже, відстань від заданої точки М 1 до заданої прямої aможе бути знайдена з рівності як .

Отже, щоб знайти відстань від точки до прямоїa у просторі потрібно

Розв'язання задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої у просторі.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть відстань від точки до прямої .

Рішення.

Перший метод.

Напишемо рівняння площини, що проходить через точку М 1 перпендикулярно заданій прямій:

Знайдемо координати точки H 1 - точки перетину площини та заданої прямої. Для цього виконаємо перехід від канонічних рівнянь прямої до рівнянь двох площин, що перетинаються.

після чого вирішимо систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Таким чином, .

Залишилося обчислити потрібну відстань від точки до прямої як відстань між точками та : .

Другий спосіб.

Числа, що стоять у знаменниках дробів у канонічних рівняннях прямої, є відповідними координатами напрямного вектора цієї прямої, тобто, - напрямний вектор прямий . Обчислимо його довжину: .

Очевидно, що пряма проходить через точку тоді вектор з початком у точці і кінцем у точці є . Знайдемо векторний добуток векторів і :
тоді довжина цього векторного твору дорівнює .

Тепер ми маємо всі дані, щоб скористатися формулою для обчислення відстані від заданої точки до заданої площини: .

Відповідь:

Взаємне розташування прямих у просторі