Рівнобедрений паралелограм. Дослідницький проект "паралелограм та його властивості"
Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих
Властивості паралелограма:
Теорема 22.
Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як мають спільну сторону АС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Значить, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23.
Протилежні кути паралелограма рівні: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24.
Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25.
Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.
Ознаки паралелограма
Теорема 26.
Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27.
Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28.
Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, прилеглі до однієї стороні, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29.
Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, що мають рівні кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30.
Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.
У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.
Доведення
Насамперед проведемо діагональ AC. Виходять два трикутники: ABC і ADC.
Так як ABCD - паралелограм, то справедливо наступне:
AD | BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2як лежачи навхрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4як лежачи навхрест.
Отже, triangle ABC = triangle ADC (за другою ознакою: і AC — загальна).
І, отже, triangle ABC = triangle ADC , то AB = CD і AD = BC .
Доведено!
2. Протилежні кути тотожні.
Доведення
Згідно з доказом властивості 1Ми знаємо, що \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким чином, сума протилежних кутів дорівнює: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Враховуючи, що \triangle ABC = \triangle ADC отримуємо \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доведено!
3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину.
Доведення
Проведемо ще одну діагональ.
за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: AB = CD. Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.
Таким чином видно, що \triangle AOB = \triangle COD за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, BO = OD (напроти кутів \angle 2 і \angle 1 ) і AO = OC (напроти кутів \angle 3 і \angle 4 відповідно).
Доведено!
Ознаки паралелограма
Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.
Для кращого запам'ятовування зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне запитання. "як дізнатися?". Тобто як дізнатися, що задана фігура це паралелограм.
1. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні.
AB = CD; AB || CD Rightarrow ABCD - паралелограм.
Доведення
Розглянемо докладніше. Чому AD | BC?
\triangle ABC = \triangle ADC за властивості 1: AB = CD , AC - загальна і \angle 1 = \angle 2 як навхрест лежать при паралельних AB і CD і січе AC .
Але якщо \triangle ABC = \triangle ADC , \angle 3 = \angle 4 (лежать навпроти AB і CD відповідно). І отже AD || BC (angle 3 і angle 4 - навхрест лежачі теж рівні).
Перша ознака вірна.
2. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD - паралелограм.
Доведення
Розглянемо цю ознаку. Ще раз проведемо діагональ AC.
за властивості 1\triangle ABC = \triangle ACD.
З цього виходить що: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BCі \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CDтобто ABCD - паралелограм.
Друга ознака вірна.
3. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні кути рівні.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Паралелограм.
Доведення
2 \ alpha + 2 \ beta = 360 ^ (\ circ)(оскільки ABCD - чотирикутник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D за умовою).
Виходить, \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) . Але \alpha і \beta є односторонніми внутрішніми при січній AB .
І те, що \alpha + \beta = 180^(\circ) говорить про те, що AD || BC.
При цьому \ alpha і beta - внутрішні односторонні при січній AD . І це означає AB | CD.
Третя ознака вірна.
4. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого діагоналі розділені точкою перетину навпіл.
AO = OC; BO = OD \Rightarrow паралелограм.
Доведення
BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 як вертикальні \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, та \Rightarrow AB || CD.
Аналогічно BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, та \Rightarrow AD || BC.
Четверта ознака вірна.
Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор за найкориснішими ресурсами для
1. Паралелограм
Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.
Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:
Перетнули ще двома:
І ось всередині - паралелограм!
Які є властивості у паралелограма?
Властивості паралелограма.
Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?
На це запитання відповідає така теорема:
Давай намалюємо докладно.
Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно
Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:
Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:
Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання завдання, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.
А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?
На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.
Ознаки паралелограма.
Увага! Починаємо.
Паралелограм.
Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.
2. Прямокутник
Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що
Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?
Звісно, є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?
А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Але є прямокутник і одна відмінна властивість.
Властивість прямокутника
Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.
Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.
3. Ромб
І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?
З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).
І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Властивості ромба
Подивись на картинку:
Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.
Ознаки ромба
І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:
Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.
Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.
Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.
Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Властивості чотирикутників. Паралелограм
Властивості паралелограма
Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.
Теорема про властивості паралелограма.
У будь-якому паралелограмі:
Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.
Отже, чому правильно 1)?
Раз - паралелограм, то:
- як навхрест лежачі
- як навхрест лежать.
Значить (за II ознакою: і - загальна.)
Ну от, а раз, то й – все! – довели.
Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!
Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.
Залишилося лише 3).
Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.
І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).
Властивості довели! Перейдемо до ознак.
Ознаки паралелограма
Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.
У значках це так:
Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:
Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.
Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.
А значить:
Ітеж нескладно. Але... інакше!
Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!
Тому той факт, що означає, що.
А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.
Бачиш, як здорово?
І знову просто:
Так само, в.
Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.
Для повної ясності подивися на схему:
Властивості чотирикутників. Прямокутник.
Властивості прямокутника:
Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()
А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що
Отже, по двох катетах (і - загальний).
Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.
Довели, що!
І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^
Давай зрозуміємо, чому?
Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.
Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!
Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.
Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!
Властивості чотирикутників. Ромб
І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?
З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).
І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Але є й особливі якості. Формулюємо.
Властивості ромба
Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.
Чому? Так, тому ж!
Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.
Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.
Ознаки ромба.
А це чому? А подивися,
Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.
Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.
Властивості чотирикутників. Квадрат
Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.
Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.
Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Властивості паралелограма:
- Протилежні сторони рівні: , .
- Протилежні кути дорівнюють: , .
- Кути з одного боку становлять у сумі: , .
- Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .
Властивості прямокутника:
- Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
- Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).
Властивості ромба:
- Діагоналі ромба перпендикулярні: .
- Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
- Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).
Властивості квадрата:
Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також:
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельно паралельні.
1 . Будь-яка діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
Доведення . За II ознакою (навхрест кути, що лежать, і загальна сторона).
Теорема доведена.
2 . У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.
Доведення .
Аналогічно,
Теорема доведена.
Властивість 3. У паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Доведення .
Теорема доведена.
Властивість 4 . Бісектриса кута паралелограма, перетинаючи протилежну сторону, ділить його на рівнобедрений трикутник і трапецію. (Ч. сл. - вершину - два рівнобедрених?-ка).
Доведення .
Теорема доведена.
5 . У паралелограмі відрізок з кінцями на протилежних сторонах, що проходить через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл.
Доведення .
Теорема доведена.
Властивість 6 . Кут між висотами, опущеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює гострому куту паралелограма.
Доведення .
Теорема доведена.
Властивість 7 . Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 °.
Доведення .
Теорема доведена.
Побудова бісектриси кута. Властивості бісектриси кута трикутника.
1) Побудувати довільний промінь DE.
2) На даному промені побудувати довільне коло з центром у вершині і таке саме
з центром на початку збудованого променя.
3) F і G - точки перетину кола зі сторонами даного кута, H - точка перетину кола з побудованим променем
Побудувати коло з центром у точці H та радіусом, рівним FG.
5) I - точка перетину кіл побудованого променя.
6) Провести пряму через вершину та I.
IDH – необхідний кут.
)
1 . Бісектриса кута трикутника розбиває протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.
Доведення . Нехай x, y відрізки сторони c. Продовжимо промінь BC. На промені BC відкладемо від C відрізок CK, що дорівнює AC.