Розкладання на множники буквене вираження. Розкладання на множники чисел та основних алгебраїчних виразів

Розглянемо конкретні приклади, як розкласти многочлен на множники.

Розкладання багаточленів будемо проводити відповідно до .

Розкласти багаточлени на множники:

Перевіряємо, чи немає спільного множника. є він дорівнює 7cd. Виносимо його за дужки:

Вираз у дужках складається з двох доданків. Спільного множника вже немає, формулою суми кубів вираз не є, отже, розкладання завершено.

Перевіряємо, чи немає спільного множника. Ні. Багаточлен складається із трьох доданків, тому перевіряємо, чи немає формули повного квадрата. Два доданки є квадратами виразів: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третій доданок дорівнює подвоєному добутку цих виразів:2∙5x∙3y=30xy. Отже, цей багаточлен є повним квадратом. Так як подвоєний твір зі знаком «мінус», то це:

Перевіряємо, чи не можна винести загальний множник за дужки. Загальний множник є, він дорівнює a. Виносимо його за дужки:

У дужках — два доданки. Перевіряємо, чи немає формули різниці квадратів чи різниці кубів. a² – квадрат a, 1=1². Отже, вираз у дужках можна розписати за формулою різниці квадратів:

Загальний множник є, він дорівнює 5. Виносимо його за дужки:

у дужках — три доданки. Перевіряємо, чи є вираз повним квадратом. Два складові — квадрати: 16=4² і a² — квадрат a, третій доданок дорівнює подвоєному твору 4 і a: 2∙4∙a=8a. Отже, це повний квадрат. Оскільки всі складові зі знаком «+», вираз у дужках є повним квадратом суми:

Загальний множник -2x виносимо за дужки:

У дужках – сума двох доданків. Перевіряємо, чи є вираз сумою кубів. 64=4?, x?- куб x. Отже, двочлен можна розкласти за такою формулою:

Спільний множник є. Але, оскільки багаточлен складається з 4 членів, ми спочатку, а вже потім виносити за дужки загальний множник. Згрупуємо перший доданок з четвертим, другий — з третім:

З перших дужок виносимо загальний множник 4a, з других - 8b:

Спільного множника поки що немає. Щоб його отримати, з других дужок винесемо за дужки "-", при цьому кожен знак у дужках зміниться на протилежний:

Тепер загальний множник (1-3a) винесемо за дужки:

У других дужках є загальний множник 4 (цей той самий множник, який ми не стали виносити за дужки на початку прикладу):

Оскільки багаточлен складається з чотирьох доданків, виконуємо угруповання. Згрупуємо перший доданок з другим, третій - з четвертим:

У перших дужках загального множника немає, але є формула різниці квадратів, у других дужках загальний множник -5:

З'явився загальний множник (4m-3n). Виносимо його за дужки.

Розкладання многочлена на множники. Частина 1

Розкладання на множники- це універсальний прийом, що допомагає вирішити складні рівняння та нерівності. Перша думка, яка має спасти на думку при розв'язанні рівнянь і нерівностей, у яких у правій частині стоїть нуль - спробувати розкласти ліву частину на множники.

Перерахуємо основні способи розкладання багаточлена на множники:

• винесення загального множника за дужку
• використання формул скороченого множення
• за формулою розкладання на множники квадратного тричлена
• спосіб угруповання
• розподіл багаточлена на двочлен
• метод невизначених коефіцієнтів

У цій статті ми докладно зупинимося на перших трьох способах, решту розглянемо в наступних статтях.

1. Винесення загального множника за дужку.

Щоб винести за дужку, загальний множник треба спочатку його знайти. Коефіцієнт загального множникадорівнює найбільшому загальному дільнику всіх коефіцієнтів.

Літерна частиназагального множника дорівнює добутку виразів, що входять до складу кожного доданка з найменшим показником ступеня.

Схема винесення загального множника виглядає так:

Увага!
Кількість членів у дужках дорівнює кількості доданків у вихідному вираженні. Якщо один із доданків збігається із загальним множником, то при його розподілі на загальний множник, отримуємо одиницю.

приклад 1.

Розкласти на множники багаточленів:

Винесемо за дужки загальний множник. Для цього спочатку його знайдемо.

1. Знаходимо найбільший спільний дільник всіх коефіцієнтів многочлена, тобто. чисел 20, 35 та 15. Він дорівнює 5.

2. Встановлюємо, що змінна міститься у всіх доданків, причому найменший із її показників ступеня дорівнює 2. Змінна міститься у всіх доданків, і найменший із її показників ступеня дорівнює 3.

Змінна міститься тільки у другому доданку, тому вона не входить до складу загального множника.

Отже, загальний множник дорівнює

3. Виносимо за дужки множник, користуючись схемою, наведеною вище:

приклад 2.Вирішити рівняння:

Рішення. Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Винесемо за дужки множник:

Отже, здобули рівняння

Прирівняємо кожен множник до нуля:

Отримуємо – корінь першого рівняння.

Коріння:

Відповідь: -1, 2, 4

2. Розкладання на множники за допомогою формул скороченого множення.

Якщо кількість доданків у многочлені, який ми збираємося розкласти на множники менше чи дорівнює трьох, ми намагаємося застосувати формули скороченого множення.

1. Якщо багаточлен єрізницю двох доданків, то намагаємося застосувати формулу різниці квадратів:

або формулу різниці кубів:

Тут літери і позначають число або вираз алгебри.

2. Якщо многочлен є сумою двох доданків, то, можливо, його можна розкласти на множники за допомогою формули суми кубів:

3. Якщо багаточлен складається з трьох доданків, то намагаємося застосувати формулу квадрата суми:

або формулу квадрата різниці:

Або намагаємося розкласти на множники по формулі розкладання на множники квадратного тричлена:

Тут і - коріння квадратного рівняння

приклад 3.Розкласти на множники вираз:

Рішення. Перед нами сума двох доданків. Спробуємо застосувати формулу суми кубів. Для цього потрібно спочатку кожне доданок подати у вигляді куба якогось виразу, а потім застосувати формулу для суми кубів:

приклад 4.Розкласти на множники вираз:

Рішення. Перед нами різниця квадратів двох виразів. Перший вираз: , другий вираз:

Застосуємо формулу для різниці квадратів:

Розкриємо дужки та наведемо подібні члени, отримаємо:

Калькулятор онлайн.
Виділення квадрата двочлена та розкладання на множники квадратного тричлена.

Тобто. задачі зводяться до знаходження чисел \(p, q \) та \(n, m \)

Програма не тільки дає відповідь на завдання, але й відображає процес вирішення.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення тричлена квадратного, рекомендуємо з ними ознайомитися.

Правила введення квадратного багаточлена

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. В цьому випадку при вирішенні введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Приклад детального рішення

Виділення квадрата двочлена.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Відповідь:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Розкладання на множники.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Відповідь:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Виділення квадрата двочлена із квадратного тричлена

Якщо квадратний тричлен aх 2 +bx+c представлений у вигляді a(х+p) 2 +q, де p і q - дійсні числа, то кажуть, що з квадратного тричлена виділено квадрат двочлена.

Виділимо з тричлена 2x2+12x+14 квадрат двочлена.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Для цього представимо 6х у вигляді твору 2*3*х, а потім додамо і віднімемо 3 2 . Отримаємо:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. ми виділили квадрат двочлена із квадратного тричлена, і показали, що:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Розкладання на множники квадратного тричлена

Якщо квадратний тричлен aх 2 +bx+c представлений у вигляді a(x+n)(x+m), де n та m - дійсні числа, то кажуть, що виконано операцію розкладання на множники квадратного тричлена.

Покажемо з прикладу як це перетворення робиться.

Розкладемо квадратний тричлен 2x2+4x-6 на множники.

Винесемо за дужки коефіцієнт a, тобто. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Перетворимо вираз у дужках.
Для цього представимо 2х у вигляді різниці 3x-1x, а -3 у вигляді -1*3. Отримаємо:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. ми розклали на множники квадратний тричлен, і показали, що:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Зауважимо, що розкладання на множники квадратного тричлена можливе лише тоді, коли квадратне рівняння, що відповідає цьому тричлену має коріння.
Тобто. у нашому випадку розкласти на множники тричленів 2x2+4x-6 можливо, якщо квадратне рівняння 2x2+4x-6=0 має коріння. У процесі розкладання множники ми встановили, що рівняння 2x 2 +4x-6 =0 має два корені 1 і -3, т.к. при цих значеннях рівняння 2(x-1)(x+3)=0 звертається до правильної рівності.

У цій статті Ви знайдете всю необхідну інформацію, що відповідає на запитання, як розкласти число на прості множники. Спочатку дано загальне уявлення про розклад числа на прості множники, наведено приклади розкладів. Далі показано канонічна форма розкладання числа на прості множники. Після цього дано алгоритм розкладання довільних чисел на прості множники та наведено приклади розкладання чисел з використанням цього алгоритму. Також розглянуті альтернативні способи, що дозволяють швидко розкладати цілі невеликі числа на прості множники з використанням ознак ділимості і таблиці множення.

Навігація на сторінці.

Що означає розкласти число на звичайні множники?

Спочатку розберемося з тим, що таке прості множники.

Зрозуміло, якщо в цьому словосполученні є слово «множники», то має місце добуток якихось чисел, а слово «прості», що уточнює, означає, що кожен множник є простим числом . Наприклад, у творі виду 2 · 7 · 7 · 23 присутні чотири простих множники: 2 , 7 , 7 і 23 .

А що означає розкласти число на прості множники?

Це означає, що це число потрібно представити у вигляді твору простих множників, причому значення цього твору має дорівнювати вихідному числу. Як приклад розглянемо добуток трьох простих чисел 2 , 3 і 5 воно дорівнює 30 , таким чином, розкладання числа 30 на прості множники має вигляд 2 · 3 · 5 . Зазвичай розкладання числа на прості множники записують як рівності, у прикладі воно буде таким: 30=2·3·5 . Окремо наголосимо, що прості множники у розкладанні можуть повторюватися. Це явно ілюструє наступний приклад: 144=2·2·2·2·3·3 . А ось уявлення виду 45 = 3 · 15 не є розкладанням на прості множники, так як число 15 - складове.

Виникає таке запитання: «А які взагалі числа можна розкласти на прості множники»?

У пошуках відповіді нього, наведемо такі міркування. Прості числа за визначенням знаходяться серед , великих одиниць. З огляду на цей факт і можна стверджувати, що добуток декількох простих множників є цілим позитивним числом, що перевищує одиницю. Тому розкладання на прості множники має місце лише для позитивних цілих чисел, які більші за 1 .

Але чи всі цілі числа, що перевищують одиницю, розкладаються на прості множники?

Зрозуміло, що прості цілі числа розкласти на прості множники неможливо. Це тим, що прості числа мають лише два позитивних дільника – одиницю і себе, тому вони можуть бути представлені як твори двох чи більшої кількості простих чисел. Якби ціле число z можна було б уявити у вигляді добутку простих чисел a і b , то поняття ділимості дозволило зробити висновок, що z ділиться і на a і на b , що неможливо в силу простоти числа z. Однак вважають, що будь-яке просте число є своїм розкладанням.

А як щодо складених чисел? Чи складні числа розкладаються на прості множники, і чи всі складові числа підлягають такому розкладанню? Ствердну відповідь на низку цих питань дає основна теорема арифметики. Основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке ціле число a , яке більше 1 можна розкласти на добуток простих множників p 1 , p 2 , …, p n , при цьому розкладання має вигляд a = p 1 · p 2 · ... · p n , причому це розкладання єдине, якщо не враховувати порядок проходження множників

Канонічне розкладання числа на прості множники

У розкладанні числа прості множники можуть повторюватися. Прості множники, що повторюються, можна записати більш компактно, використовуючи . Нехай у розкладанні числа a простий множник p 1 зустрічається s 1 разів, простий множник p 2 - s 2 разів, і так далі, p n - s n разів. Тоді розкладання на прості множники числа можна записати як a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · ... · p n s n. Така форма запису є так званим канонічне розкладання числа на прості множники.

Наведемо приклад канонічного розкладання числа на звичайні множники. Нехай нам відоме розкладання 609 840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11, його канонічна форма запису має вигляд 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2.

Канонічне розкладання числа на прості множники дозволяє знайти всі дільники числа та число дільників числа.

Алгоритм розкладання числа на прості множники

Щоб успішно впоратися із завданням розкладання числа на прості множники, потрібно дуже добре володіти інформацією статті прості та складові числа.

Суть процесу розкладання цілого позитивного і перевищує одиницю числа a зрозуміла з підтвердження основний теореми арифметики. Сенс полягає у послідовному знаходженні найменших простих дільників p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , що дозволяє отримати ряд рівностей a = p 1 ·a 1 , де a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , де a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·...·p n ·a n , де a n = a n-1: p n. Коли виходить a n = 1, то рівність a = p 1 · p 2 · ... · p n дасть нам шукане розкладання числа a на прості множники. Тут слід зауважити, що p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Залишилося розібратися зі знаходженням найменших простих дільників на кожному кроці, і ми матимемо алгоритм розкладання числа на прості множники. Знаходити прості дільники нам допоможе таблиця простих чисел. Покажемо, як з її допомогою одержати найменший простий дільник числа z .

Послідовно беремо прості числа з таблиці простих чисел (2, 3, 5, 7, 11 і так далі) і ділимо на них дане число z. Перше просте число, на яке z розділиться націло, і буде найменшим простим дільником. Якщо число z просте, його найменшим простим дільником буде саме число z . Тут слід нагадати, що й z є простим числом, його найменший простий дільник вбирається у числа , де - з z . Таким чином, якщо серед простих чисел, що не перевершують , не знайшлося жодного дільника числа z , то можна робити висновок про те, що z - просте число (докладніше про це написано в розділі теорії під заголовком дане число просте або складове).

Наприклад покажемо, як визначити найменший простий дільник числа 87 . Беремо число 2 . Ділимо 87 на 2, отримуємо 87:2 = 43 (зуп. 1) (якщо необхідно, дивіться статтю). Тобто, при розподілі 87 на 2 виходить залишок 1 тому 2 - не є дільником числа 87 . Беремо наступне просте число із таблиці простих чисел, це число 3 . Ділимо 87 на 3, отримуємо 87:3 = 29. Таким чином, 87 ділиться на 3 націло, отже число 3 є найменшим простим дільником числа 87 .

Зауважимо, що в загальному випадку для розкладання на прості множники числа нам знадобиться таблиця простих чисел до числа, не меншого, ніж . До цієї таблиці нам доведеться звертатися на кожному кроці, тож її потрібно мати під рукою. Наприклад, для розкладання на прості множники числа 95 нам буде достатньо таблиці простих чисел до 10 (оскільки 10 більше, ніж ). А для розкладання числа 846653 вже буде потрібна таблиця простих чисел до 1000 (бо 1000 більше, ніж ).

Тепер ми маємо достатні відомості, щоб записати алгоритм розкладання числа на прості множники. Алгоритм розкладання числа a такий:

• Послідовно перебираючи числа з таблиці простих чисел, знаходимо найменший простий дільник p 1 числа a після чого обчислюємо a 1 =a:p 1 . Якщо a 1 =1 , то число a – просте, і саме є своїм розкладанням на прості множники. Якщо ж a 1 дорівнює 1 , то маємо a = p 1 · a 1 і переходимо до наступного кроку.
• Знаходимо найменший простий дільник p 2 числа a 1 для цього послідовно перебираємо числа з таблиці простих чисел, починаючи з p 1 після чого обчислюємо a 2 = a 1: p 2 . Якщо a 2 =1 , то розкладання числа a на прості множники має вигляд a = p 1 · p 2 . Якщо ж a 2 дорівнює 1 , то маємо a = p 1 · p 2 · a 2 і переходимо до наступного кроку.
• Перебираючи числа з таблиці простих чисел, починаючи з p 2 знаходимо найменший простий дільник p 3 числа a 2 після чого обчислюємо a 3 = a 2: p 3 . Якщо a 3 =1 , то розкладання числа a на прості множники має вигляд a = p 1 · p 2 · p 3 . Якщо ж a 3 дорівнює 1 , то маємо a = p 1 p 2 p 3 a 3 і переходимо до наступного кроку.
• Знаходимо найменший простий дільник p n числа a n-1 перебираючи прості числа, починаючи з p n-1 , а також a n = a n-1: p n , причому a n виходить одно 1 . Цей крок є останнім кроком алгоритму, тут отримуємо шукане розкладання числа a на прості множники: a = p 1 p 2 p p .

Всі результати, отримані на кожному кроці алгоритму розкладання числа на прості множники, для наочності представляють у вигляді наступної таблиці, в якій ліворуч від вертикальної риси записують послідовно в стовпчик числа a, a 1, a 2, …, a n, а праворуч від риси – відповідні найменші прості дільники p 1, p 2, …, p n.

Залишилося розглянути кілька прикладів застосування отриманого алгоритму для розкладання чисел на прості множники.

Приклади розкладання на прості множники

Зараз ми докладно розберемо приклади розкладання чисел на прості множники. При розкладанні будемо застосовувати алгоритм із попереднього пункту. Почнемо з простих випадків і поступово їх ускладнюватимемо, щоб зіткнутися з усіма можливими нюансами, що виникають при розкладанні чисел на прості множники.

приклад.

Розкладіть число 78 на прості множники.

Рішення.

Починаємо пошук першого найменшого простого дільника p 1 числа a = 78. Для цього починаємо послідовно перебирати прості числа із таблиці простих чисел. Беремо число 2 і ділимо нею 78, отримуємо 78:2=39. Число 78 розділилося на 2 без залишку, тому p 1 =2 – перший знайдений простий дільник числа 78 . І тут a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так ми приходимо до рівності a = p 1 · a 1 має вигляд 78 = 2 · 39 . Вочевидь, що a 1 =39 на відміну від 1 , тому переходимо другого кроку алгоритму.

Тепер шукаємо найменший простий дільник p 2 числа a 1 =39. Починаємо перебір чисел із таблиці простих чисел, починаючи з p 1 =2 . Ділимо 39 на 2, отримуємо 39:2 = 19 (зуп. 1). Так як 39 не ділиться націло на 2, то 2 не є його дільником. Тоді беремо наступне число з таблиці простих чисел (число 3) і ділимо на нього 39, отримуємо 39:3 = 13. Отже, p 2 =3 – найменший простий дільник числа 39, причому a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Маємо рівність a = p 1 · p 2 · a 2 у вигляді 78 = 2 · 3 · 13 . Так як a 2 = 13 відмінно від 1, то переходимо до наступного кроку алгоритму.

Тут потрібно знайти найменший простий дільник числа a 2 =13 . У пошуках найменшого простого дільника p 3 числа 13 послідовно перебиратимемо числа з таблиці простих чисел, починаючи з p 2 =3 . Число 13 не ділиться на 3, так як 13:3 = 4 (зуп. 1), також 13 не ділиться на 5, 7 і на 11, так як 13:5 = 2 (зуп. 3), 13:7 = 1 (Зуп. 6) і 13:11 = 1 (Зуп. 2) . Наступним простим числом є 13 і на нього 13 ділиться без залишку, отже, найменший простий дільник p 3 числа 13 є саме число 13 і a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . Оскільки a 3 =1 , цей крок алгоритму є останнім, а шукане розкладання числа 78 на прості множники має вигляд 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Відповідь:

78 = 2 · 3 · 13 .

приклад.

Подайте число 83 006 у вигляді добутку простих множників.

Рішення.

На першому кроці алгоритму розкладання числа на прості множники знаходимо p 1 = 2 і a 1 = a: p 1 = 83006:2 = 41503, звідки 83006 = 2 · 41503.

З другого краю кроці з'ясовуємо, що 2 , 3 і п'ять є простими дільниками числа a 1 =41 503 , а число 7 – є, оскільки 41 503:7=5 929 . Маємо p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41503: 7 = 5929 . Таким чином, 83006 = 2 · 7 · 5929 .

Найменшим простим дільником числа a 2 = 5929 є число 7, так як 5929:7 = 847 . Таким чином, p 3 = 7, a 3 = a 2: p 3 = 5929: 7 = 847, звідки 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847 .

Далі бачимо, що найменший простий дільник p 4 числа a 3 =847 дорівнює 7 . Тоді a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, тому 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121 .

Тепер знаходимо найменший простий дільник числа a 4 = 121, ним є число p 5 = 11 (оскільки 121 ділиться на 11 і не ділиться на 7). Тоді a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, і 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Нарешті, найменший простий дільник числа a 5 = 11 це число p 6 = 11 . Тоді a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1 . Оскільки a 6 =1 , цей крок алгоритму розкладання числа на прості множники є останнім, і шукане розкладання має вигляд 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Отриманий результат можна записати як канонічне розкладання числа на прості множники 83006 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Відповідь:

83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2 · 7 3 · 11 2 991 – просте число. Дійсно, воно не має жодного простого дільника, що не перевершує (можна грубо оцінити як , тому що очевидно, що 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Відповідь:

897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Використання ознак ділимості для розкладання на прості множники

У найпростіших випадках розкласти число на прості множники можна використання алгоритму розкладання з першого пункту цієї статті. Якщо числа невеликі, то для їх розкладання на прості множники часто достатньо знати ознаки ділимості. Наведемо приклади для пояснення.

Наприклад, нам потрібно розкласти на прості множники число 10 . З таблиці множення знаємо, що 2·5=10 , а числа 2 і 5 очевидно прості, тому розкладання прості множники числа 10 має вигляд 10=2·5 .

Ще приклад. За допомогою таблиці множення розкладемо на прості множники число 48 . Ми знаємо, що шість вісім - сорок вісім, тобто, 48 = 6 · 8 . Однак, ні 6 ні 8 не є простими числами. Але ми знаємо, що двічі три – шість, і двічі чотири – вісім, тобто, 6 = 2 · 3 і 8 = 2 · 4 . Тоді 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Залишилося згадати, що двічі два – чотири, тоді отримаємо шукане розкладання на прості множники 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2 . Запишемо це розкладання у канонічній формі: 48 = 2 4 · 3 .

А ось при розкладанні на прості множники числа 3400 можна скористатися ознаками ділимості. Ознаки ділимості на 10, 100 дозволяють стверджувати, що 3400 ділиться на 100 , при цьому 3400 = 34 · 100, а 100 ділиться на 10, при цьому 100 = 10 · 10, отже, 3400 = 34 · 10. А на підставі ознаки ділимості на 2 можна стверджувати, що кожен з множників 34, 10 і 10 ділиться на 2, отримуємо 3 400 = 34 · 10 · 10 = 2 · 17 · 2 · 5 · 2 · 5. Всі множники в отриманому розкладі є простими, тому це розкладання шукається. Залишилося лише переставити множники, щоб вони йшли в порядку зростання: 3400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17 . Запишемо також канонічне розкладання даного числа на прості множники: 3400 = 2 3 · 5 2 · 17 .

При розкладанні даного числа на прості множники можна використовувати по черзі та ознаки подільності та таблицю множення. Подаємо число 75 у вигляді добутку простих множників. Ознака ділимості на 5 дозволяє стверджувати, що 75 ділиться на 5 , при цьому отримуємо, що 75=5·15 . З таблиці множення знаємо, що 15=3·5 , тому, 75=5·3·5 . Це і шукане розкладання числа 75 на прості множники.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів

Що таке розкладання на множники?Це спосіб перетворення незручного та складного прикладу на простий і симпатичний.) Оч-ч-чень потужний прийом! Зустрічається щокроку й у елементарної математики, й у вищої.

Подібні перетворення математичною мовою називаються тотожними перетвореннями виразів. Хто не в темі – прогуляйтеся за посиланням. Там зовсім небагато, просто і корисно. Сенс будь-якого тотожного перетворення - це запис висловлювання в іншому виглядііз збереженням його суті.

Сенс розкладання на множникигранично простий і зрозумілий. Прямо із самої назви. Чи можна забути (або не знати), що таке множник, але те, що це слово походить від слова "помножити", зрозуміти можна?) Розкласти на множники означає: уявити вираз у вигляді множення чогось на щось. Нехай вибачать мені математика та російська мова...) І все.

Наприклад, треба розкласти число 12. Можна сміливо записати:

Ось ми і представили число 12 у вигляді множення 3 на 4. Прошу зауважити, що циферки праворуч (3 та 4) зовсім інші, ніж ліворуч (1 та 2). Але ми чудово розуміємо, що 12 та 3·4 одне і теж.Суть числа 12 від перетворення не змінилась.

А чи можна розкласти 12 по-іншому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Варіантів розкладання – нескінченна кількість.

Розкладання чисел на множники – штука корисна. Дуже допомагає, наприклад, при діях з корінням. Але розкладання на множники виразів алгебри річ не те, що корисна, вона - необхідна!Чисто для прикладу:

Спростити:

Хто не вмієте розкладати вираз на множники, відпочиває осторонь. Хто вміє – спрощує та отримує:

Ефект приголомшливий, правда?) До речі, рішення досить просте. Нижче самі побачите. Або, наприклад, таке завдання:

Вирішити рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Вирішується в умі, між іншим. За допомогою розкладання на множники. Нижче ми вирішимо цей приклад. Відповідь: x1=0; x 2 = 1.

Або, те саме, але для старших):

Вирішити рівняння:

На цих прикладах я показав основне призначеннярозкладання на множники: спрощення дробових виразів та розв'язання деяких типів рівнянь. Рекомендую запам'ятати практичне правило:

Якщо перед нами страшний дрібний вираз, можна спробувати розкласти на множники чисельник і знаменник. Дуже часто дріб скорочується та спрощується.

Якщо перед нами рівняння, де праворуч – нуль, а ліворуч – не зрозумій що, можна спробувати розкласти ліву частину на множники. Іноді допомагає).

Основні методи розкладання на множники.

Ось вони, найпопулярніші способи:

4. Розкладання квадратного тричлена.

Ці методи треба запам'ятати. Саме у такому порядку. Складні приклади перевіряються на всі можливі способи розкладання.І краще вже перевіряти по порядку, щоб не заплутатися... Ось по порядку і почнемо.)

1. Винесення загального множника за дужки.

Простий та надійний спосіб. Від нього погано не буває! Буває або добре, або ніяк.) Тому він і стоїть першим. Розбираємось.

Усі знають (я вірю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Або, у більш загальному вигляді:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+.

Всі рівність працюють як зліва направо, так і навпаки, праворуч наліво. Можна записати:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ось і вся суть винесення загального множника за дужки.

У лівій частині а - загальний множникдля всіх доданків. Множиться на все, що є). Справа це саме азнаходиться вже за дужками.

Практичне застосування способу розглянемо на прикладах. Спочатку варіант простий, навіть примітивний.) Але на цьому варіанті я відзначу (зеленим кольором) дуже важливі моменти для будь-якого розкладання на множники.

Розкласти на множники:

ах+9х

Який загальниймножник сидить в обох доданків? Ікс, зрозуміло! Його й виноситимемо за дужки. Робимо так. Відразу пишемо ікс за дужками:

ах+9х=х(

А у дужках пишемо результат поділу кожного доданкуна цей самий ікс. По порядку:

От і все. Звичайно, так докладно розписувати не потрібно, Це в умі робиться. Але розуміти, що до чого бажано). Фіксуємо у пам'яті:

Пишемо загальний множник за дужками. У дужках записуємо результати поділу всіх доданків на цей загальний множник. По порядку.

Ось ми і розклали вираз ах+9хна множники. Перетворили його на множення ікса на (А+9).Зауважу, що у вихідному виразі теж було множення, навіть два: ах і 9х.Але воно не було розкладено на множники!Тому що, крім множення, у цьому виразі було ще й додавання, знак "+"! А у виразі х(а+9) крім множення нічого немає!

Як так!? - чую обурений голос народу - А в дужках!?)

Так, усередині дужок є додавання. Але фішка в тому, що поки дужки не розкриті, ми розглядаємо їх як одну літеру.І всі дії з дужками робимо цілком, як із однією літерою.У цьому сенсі у виразі х(а+9)окрім множення нічого немає. У цьому суть розкладання на множники.

До речі, чи можна перевірити, чи все правильно ми зробили? Просто! Достатньо назад помножити те, що винесли (ікс) на дужки та подивитися – чи вийшло вихідневираз? Якщо вийшло, все тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Вийшло.)

У цьому примітивному прикладі проблем немає. Але якщо доданків кілька, та ще з різними знаками... Коротше, кожен третій учень косить). Тому:

При необхідності перевіряємо розкладання на множники зворотним множенням.

Розкласти на множники:

3ах+9х

Шукаємо спільний множник. Ну, з ікс все ясно, його можна винести. А чи є ще загальниймножник? Так! Це трійка. Можна ж записати вираз ось так:

3ах+3·3х

Тут відразу видно, що спільний множником буде 3х. Ось його й виносимо:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Розклали.

А що буде, якщо винести тільки х?Та нічого особливого:

3ах+9х=х(3а+9)

Це також буде розкладання на множники. Але в цьому цікавому процесі прийнято розкладати все до упору, поки є можливість. Тут у дужках є можливість винести трійку. Вийде:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

Те саме, тільки з однією зайвою дією.) Запам'ятовуємо:

При винесенні загального множника за дужки, намагаємося винести максимальнийзагальний множник.

Продовжуємо розвагу?)

Розкласти на множники вираз:

3ах+9х-8а-24

Що виноситимемо? Трійку, ікс? Не-е-е... Не можна. Нагадую, виносити можна лише загальниймножник, який є у всіхскладові вирази. На те він і загальний.Тут такого множника немає... Що, можна не розкладати! Ну так, зраділи, як же... Знайомтесь:

2. Угруповання.

Власне, угруповання важко назвати самостійним способом розкладання на множники. Це, скоріше, спосіб викрутитися в складному прикладі.) Треба згрупувати доданки так, щоб все вийшло. Це лише з прикладу показати можна. Отже, перед нами вираз:

3ах+9х-8а-24

Видно, що якісь загальні літери та числа є. Але... Спільногомножника, щоб був у всіх доданків – ні. Не падаємо духом і розбиваємо вираз на шматочки.Групуємо. Так щоб у кожному шматочку був загальний множник, було чого винести. Як розбиваємо? Та просто ставимо дужки.

Нагадаю, що дужки можна ставити будь-де і як завгодно. Аби суть прикладу не змінювалася.Наприклад, можна так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24))

Прошу звернути увагу на другі дужки! Перед ними стоїть знак мінус, а 8аі 24 стали позитивними! Якщо, для перевірки, назад розкрити дужки, знаки зміняться, і ми отримаємо вихідневираз. Тобто. суть висловлювання від дужок не змінилася.

Але якщо ви просто встромили дужки, не враховуючи зміну знака, наприклад, ось так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х) -(8а-24 )

це буде помилкою. Праворуч – вже іншевираз. Розкрийте дужки та все стане видно. Далі можна не вирішувати, так...)

Але повертаємось до розкладання на множники. Дивимося на перші дужки (3ах+9х)і розуміємо, чи можна чого винести? Ну, цей приклад ми вище вирішували, чи можна винести 3х:

(3ах + 9х) = 3х (а + 3)

Вивчаємо другі дужки, там можна винести вісімку:

(8а+24)=8(а+3)

Весь наш вираз вийде:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Розклали на множники? Ні. В результаті розкладання має вийти тільки множення,а у нас знак мінус усе псує. Але... В обох доданків є спільний множник! Це (а+3). Я не дарма говорив, що дужки цілком - це, начебто, одна літера. Значить, ці дужки можна винести за дужки. Так, саме так і звучить.

Робимо, як було розказано вище. Пишемо спільний множник (а+3), у других дужках записуємо результати поділу доданків на (а+3):

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всі! Праворуч крім множення нічого немає! Значить, розкладання на множники завершено успішно!) Ось воно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторимо коротко суть угруповання.

Якщо у виразі немає спільногомножника для всіхдоданків, розбиваємо вираз дужками так, щоб усередині дужок загальний множник був.Виносимо його та дивимося, що вийшло. Якщо пощастило, і в дужках залишилися однакові вирази, виносимо ці дужки за дужки.

Додам, що угруповання – процес творчий). Не завжди з першого разу виходить. Нічого страшного. Іноді доводиться міняти доданки місцями, розглядати різні варіанти угруповання, доки знайдеться вдалий. Головне тут – не падати духом!)

приклади.

Зараз, збагатившись знаннями, можна й хитрі приклади вирішити.) Була на початку уроку трійка таких...

Спростити:

По суті цей приклад ми вже вирішили. Непомітно для себе.) Нагадую: якщо нам дано страшний дріб, пробуємо розкласти чисельник та знаменник на множники. Інших варіантів спрощення просто ні.

Ну, знаменник тут не розкладається, а чисельник... Чисельник ми вже розклали по ходу уроку! Ось так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишемо результат розкладання в чисельник дробу:

За правилом скорочення дробів (основна властивість дробу), ми можемо розділити (одночасно!) чисельник і знаменник на те саме число, або вираз. Дроби від цього не змінюється.Ось і ділимо чисельник і знаменник на вираз (3х-8). І там і там отримаємо одинаки. Остаточний результат спрощення:

Особливо підкреслю: скорочення дробу можливе тоді і лише тоді, коли в чисельнику та знаменнику крім множення виразів нічого нема.Саме тому перетворення суми (різниці) на множеннятак важливо задля спрощення. Звичайно, якщо вирази різні,то й не скоротиться нічого. Буве. Але розкладання на множники дає шанс.Цього шансу без розкладання просто немає.

Приклад із рівнянням:

Вирішити рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Виносимо спільний множник х 4за дужки. Отримуємо:

х 4 (x-1) = 0

Розуміємо, що добуток множників дорівнює нулю тоді і лише тоді,коли якийсь із них дорівнює нулю. Якщо сумніваєтеся, знайдіть мені пару ненульових чисел, які при множенні нуль дадуть.) Ось і пишемо, спочатку перший множник:

За такої рівності другий множник нас не хвилює. Будь-який може бути, все одно в результаті нуль вийде. А яке число четвертою мірою нуль дасть? Тільки нуль! І ніяке інше ... Отже:

Із першим множником розібралися, один корінь знайшли. Розбираємось з другим множником. Тепер нас не хвилює вже перший множник.):

Ось і знайшли рішення: x1=0; x 2 = 1. Будь-яке з цього коріння підходить до нашого рівняння.

Дуже важливе зауваження. Зверніть увагу, ми вирішували рівняння по шматочках!Кожен множник прирівнювали до нуля, не звертаючи уваги інші множники.До речі, якщо в подібному рівнянні буде не два множники, як у нас, а три, п'ять, скільки завгодно – вирішуватимемо так само.По шматочках. Наприклад:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Той, хто розкриє дужки, перемножить все, той назавжди зависне на цьому рівнянні. І почне (в умі!) прирівнювати до нуля всі дужки по порядку. І отримає (за 10 секунд!) вірне рішення: x1=1; x 2 = -5; x3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Таке елегантне рішення можливе, якщо ліва частина рівняння розкладено на множники.Натяк зрозумілий?)

Ну і, останній приклад, для старших):

Вирішити рівняння:

Чимось він схожий на попередній, не знаходите?) Звичайно. Саме час пригадати, що в алгебрі сьомого класу під літерами можуть ховатися і синуси, і логарифми, і все, що завгодно! Розкладання на множники працює у всій математиці.

Виносимо спільний множник lg 4xза дужки. Отримуємо:

lg 4 x=0

Це один корінь. Розбираємось з другим множником.

Ось і остаточна відповідь: x1=1; x 2 = 10.

Сподіваюся, ви усвідомили всю міць розкладання на множники у спрощенні дробів та розв'язанні рівнянь.)

У цьому уроці ми познайомилися з винесенням спільного множника та угрупуванням. Залишається розібратися з формулами скороченого множення та квадратним тричленом.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.