Рішення ду методом варіації довільних постійних. Приклади на метод варіації довільної постійної

Лекція 44. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних постійних. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. (спеціальна права частина).

Соціальні перетворення. Держава та церква.

Соціальна політика більшовиків багато в чому диктувалася їх класовим підходом.Декретом від 10 листопада 1917 р. знищено станову систему, скасовано дореволюційні чини, титули та нагороди. Встановлено виборність суддів; проведено секуляризацію цивільних станів. Встановлено безкоштовну освіту та медичне обслуговування (декрет від 31 жовтня 1918 р.). Жінки зрівнювалися у правах із чоловіками (декрети від 16 та 18 грудня 1917 р.). Декрет про шлюб запроваджував інститут громадянського шлюбу.

Декретом РНК від 20 січня 1918 року церква відокремлена від держави та від системи освіти. Більшість церковного майна конфісковано. Патріарх Московський і всієї Русі Тихін (обраний 5 листопада 1917 року) 19 січня 1918 року зрадив анафемі Радянську владу і закликав до боротьби проти більшовиків.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку

Структура загального розв'язання такого рівняння визначається такою теоремою:

Теорема 1.Загальне рішення неоднорідного рівняння (1) подається як сума якогось окремого рішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного рівняння

Доведення. Потрібно довести, що сума

Існує загальне рішення рівняння (1). Доведемо насамперед, що функція (3) є рішення рівняння (1).

Підставляючи суму в рівняння (1) замість у, будемо мати

Оскільки є рішення рівняння (2), то вираз, що стоїть у перших дужках, тотожно дорівнює нулю. Оскільки є рішення рівняння (1), то вираз, що стоїть у других дужках, дорівнює f(x). Отже, рівність (4) є тотожністю. Таким чином, першу частину теореми доведено.

Доведемо друге твердження: вираз (3) є загальнерозв'язання рівняння (1). Ми повинні довести, що довільні постійні, що входять до цього виразу, можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

які б не були числа х 0 , y 0і (аби х 0було взято з тієї галузі, де функції а 1 , а 2і f(x)безперервні).

Помітивши, що можна уявити у формі . Тоді на підставі умов (5) матимемо

Вирішимо цю систему і визначимо З 1і З 2. Перепишемо систему у вигляді:

Зауважимо, що визначник цієї системи є визначником Вронського для функцій у 1і у 2у точці х = х 0. Оскільки ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже система (6) має певне рішення З 1і З 2, тобто. існують такі значення З 1і З 2, За яких формула (3) визначає рішення рівняння (1), що задовольняє цим початковим умовам. Що й потрібно було довести.

Перейдемо загальному методу знаходження приватних рішень неоднорідного рівняння.

Напишемо загальне рішення однорідного рівняння (2)

Шукатимемо приватне рішення неоднорідного рівняння (1) у формі (7), розглядаючи З 1і З 2як деякі поки невідомі функції від х.

Продиференціюємо рівність (7):

Підберемо потрібні функції З 1і З 2так, щоб виконувалася рівність

Якщо врахувати цю додаткову умову, то перша похідна набуде вигляду

Диференціюючи тепер це вираз, знайдемо:

Підставляючи в рівняння (1), отримаємо

Вирази, що стоять у перших двох дужках, звертаються в нуль, оскільки y 1і y 2- Вирішення однорідного рівняння. Отже, остання рівність набуває вигляду

Таким чином, функція (7) буде вирішенням неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції З 1і З 2задовольняють рівнянням (8) та (9). Складемо систему рівнянь із рівнянь (8) та (9).

Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних рішень y 1і y 2рівняння (2), він не дорівнює нулю. Отже, вирішуючи систему, ми знайдемо як певні функції від х:

Вирішуючи цю систему, знайдемо, звідки в результаті інтегрування отримуємо. Далі підставимо знайдені функції формулу , отримуємо загальне рішення неоднорідного рівняння , де - довільні постійні.

Розглянуто метод розв'язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків із постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа. Метод Лагранжа також застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система рішень однорідного рівняння.

Див. також:

Метод Лагранжа (варіація постійних)

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1) .
Метод варіації постійної, розглянутий нами рівняння першого порядку , також застосуємо й у рівнянь вищих порядків.

Рішення виконується у два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частину та вирішуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить довільних n постійних. На другому етапі ми змінюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x та знаходимо вигляд цих функцій.

Хоча ми тут розглядаємо рівняння із постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосовний і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь. Для цього, однак, має бути відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Як і у разі рівнянь першого порядку, ми шукаємо загальне рішення однорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2) .
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3) .
Тут – довільні постійні; - n лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння (2), які утворюють фундаментальну систему розв'язків цього рівняння.

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у такому вигляді:
(4) .

Якщо ми підставимо (4) (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій . У цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, у тому числі можна визначити n функцій . Додаткові рівняння можна скласти у різний спосіб. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найпростіший вигляд. Для цього, при диференціюванні, потрібно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.

Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної як (4). Диференціюємо (4), застосовуючи правила диференціювання суми та добутку:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від , а потім члени з похідними від :

.
Накладемо на функції першу умову:
(5.1) .
Тоді вираз для першої похідної буде мати більш простий вигляд:
(6.1) .

Тим самим способом знаходимо другу похідну:

.
Накладемо на функції другу умову:
(5.2) .
Тоді
(6.2) .
І так далі. У додаткових умовах ми прирівнюємо члени, що містять похідні функції до нуля.

Таким чином, якщо вибрати наступні додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найпростіший вид:
(6.k) .
Тут.

Знаходимо n-ю похідну:
(6.n)
.

Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;






.
Врахуємо, що всі функції відповідають рівнянню (2):
.
Тоді сума членів, що містять, дають нуль. У результаті отримуємо:
(7) .

В результаті ми отримали систему лінійних рівнянь для похідних:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази для похідних як функції x . Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут - вже не залежать від x постійні. Підставляючи (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.

Зауважимо, що визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (2).

Приклади

Розв'язати рівняння методом варіації постійних (Лагранжа).


Рішення прикладів > > >

Теоретичний мінімум

Теоретично диференціальних рівнянь існує метод, що претендує досить високий для цієї теорії ступінь універсальності.
Йдеться про метод варіації довільної постійної, що застосовується до розв'язання різних класів диференціальних рівнянь та їх
систем. Це саме той випадок, коли теорія – якщо вивести за дужки докази тверджень – мінімальна, але дозволяє добиватися
значних результатів, тому основний акцент буде зроблено на прикладах.

Загальну ідею способу сформулювати досить легко. Нехай задане рівняння (систему рівнянь) вирішити складно чи взагалі незрозуміло,
як її вирішувати. Однак видно, що при виключенні з рівняння деяких доданків воно вирішується. Тоді вирішують саме таке спрощене
рівняння (систему), одержують рішення, що містить кілька довільних констант - залежно від порядку рівняння (кількості
рівнянь у системі). Потім вважають, що константи у знайденому рішенні насправді константами не є, знайдене рішення
підставляється у вихідне рівняння (систему), виходить диференціальне рівняння (чи система рівнянь) визначення "констант".
Існує певна специфіка у застосуванні методу варіації довільної постійної до різних завдань, але це вже зокрема, які будуть
показані на прикладах.

Окремо розглянемо рішення лінійних неоднорідних рівнянь вищих порядків, тобто. рівнянь виду
.
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння та приватного рішення
даного рівняння. Припустимо, що загальне рішення однорідного рівняння вже знайдено, а саме побудовано фундаментальну систему рішень (ФСР)
. Тоді загальне рішення однорідного рівняння дорівнює.
Потрібно знайти будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння. Для цього константи вважаються залежними від змінної.
Далі потрібно вирішити систему рівнянь
.
Теорія гарантує, що ця система алгебраїчних рівнянь щодо похідних від функцій має єдине рішення.
При знаходженні самих функцій константи інтегрування не з'являються: адже шукається будь-яке одне рішення.

У разі розв'язання систем лінійних неоднорідних рівнянь першого порядку виду

алгоритм майже змінюється. Спочатку потрібно знайти ФСР відповідної однорідної системи рівнянь, скласти фундаментальну матрицю
системи , стовпці якої є елементами ФСР. Далі складається рівняння
.
Вирішуючи систему, визначаємо функції , знаходячи таким чином приватне рішення вихідної системи
(фундаментальна матриця множиться на стовпець знайдених функцій).
Додаємо його до загального розв'язання відповідної системи однорідних рівнянь, що будується на основі вже знайденої ФСР.
Виходить загальне рішення вихідної системи.

приклади.

приклад 1. Лінійні неоднорідні рівняння першого порядку.

Розглянемо відповідне однорідне рівняння (шукану функцію позначимо):
.
Це рівняння легко вирішується шляхом поділу змінних:

.
А тепер представимо рішення вихідного рівняння у вигляді , де функцію ще потрібно знайти.
Підставляємо такий вид рішення у вихідне рівняння:
.
Як видно, другий і третій доданок у лівій частині взаємно знищуються - це характерна риса методу варіації довільної постійної.

Ось тут уже – справді, довільна постійна. Таким чином,
.

приклад 2. Рівняння Бернуллі.

Діємо аналогічно першому прикладу – вирішуємо рівняння

шляхом поділу змінних. Вийде , тому рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Підставляємо цю функцію у вихідне рівняння:
.
І знову відбуваються скорочення:
.
Тут потрібно не забути переконатися, що при розподілі на не втрачається рішення. А випадку відповідає рішення вихідного
рівняння. Запам'ятаємо його. Отже,
.
Запишемо.
Це є рішення. При записі відповіді слід також вказати знайдене раніше рішення, оскільки йому не відповідає жодне кінцеве значення
константи.

приклад 3. Лінійні неоднорідні рівняння вищих порядків.

Відразу зауважимо, що це рівняння можна вирішити і простіше, але на ньому зручно показати метод. Хоча деякі переваги
метод варіації довільної постійної і в цьому прикладі є.
Отже, треба починати з ФСР відповідного однорідного рівняння. Нагадаємо, що для знаходження ФСР складається характеристичне
рівняння
.
Таким чином, загальне рішення однорідного рівняння
.
Константи, що входять сюди, і доведеться варіювати. Складаємо сист

Метод варіації довільних постійних застосовується на вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Цей урок призначений для студентів, які вже більш-менш добре орієнтуються в темі. Якщо ви тільки починаєте знайомитися з ДК, тобто. є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. А якщо вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливу упереджену думку, що метод складний. Тому що він простий.

У яких випадках застосовують метод варіації довільних постійних?

1) Метод варіації довільної постійної можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДК 1-го порядку. Якщо рівняння першого порядку, те й стала (константа) теж одна.

2) Метод варіації довільних постійних використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).

Логічно припустити, що урок складатиметься з двох параграфів. Ось написав цю пропозицію, і хвилин десять болісно думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичних прикладів. Але чомусь думок після свят немає жодних, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому одразу візьмемося за перший параграф.

Метод варіації довільної постійної
для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку

Перед розглядом методу варіації довільної постійної бажано бути знайомим із статтею Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішеннянеоднорідного ДК 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміниабо метод Бернуллі(не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)

Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення– метод варіації довільної постійної. Я наведу лише три приклади, причому візьму їх із вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схожим на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних постійних застосовується рідше за метод заміни.

Приклад 1

(Діффур з Прімера №2 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд:

На першому етапі необхідно вирішити просте рівняння:
Тобто тупо обнулюємо праву частину – замість пишемо нуль.
Рівняння Я буду називати допоміжним рівнянням.

У цьому прикладі необхідно вирішити наступне допоміжне рівняння:

Перед нами рівняння з змінними, що розділяються, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів:

Таким чином:
- Загальне рішення допоміжного рівняння.

На другому кроці замінимоконстанту деякою поки щеневідомою функцією, яка залежить від «ікс»:

Звідси і назва методу – варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку ми маємо зараз знайти.

У вихідномунеоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Підставимо і у рівняння :

Контрольний момент – два доданки в лівій частині скорочуються. Якщо цього немає, слід шукати помилку вище.

В результаті заміни отримано рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо.

Яка благодать, експоненти також скорочуються:

До знайденої функції приплюсовуємо «нормальну» константу:

На заключному етапі згадуємо нашу заміну:

Функцію щойно знайдено!

Таким чином, загальне рішення:

Відповідь:загальне рішення:

Якщо ви роздрукуєте два способи рішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили ті самі інтеграли. Відмінність лише алгоритмі решения.

Тепер щось складніше, другий приклад я теж прокоментую:

Приклад 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння
(Діффур з Прімера №8 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Наведемо рівняння до виду :

Обнулимо праву частину і вирішимо допоміжне рівняння:

Загальне рішення допоміжного рівняння:

У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

За правилом диференціювання твору:

Підставимо і у вихідне неоднорідне рівняння:

Два складові в лівій частині скорочуються, значить ми на вірному шляху:

Інтегруємо частинами. Смачна буква з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у рішенні, тому використовуємо, наприклад, букви «а» і «бе»:

Тепер згадуємо проведену заміну:

Відповідь:загальне рішення:

І один приклад для самостійного вирішення:

Приклад 3

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданій початковій умові.

,
(Діффур з Прімера №4 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:
Дане ДК є лінійним неоднорідним. Використовуємо метод варіації довільних постійних. Вирішимо допоміжне рівняння:

Розділяємо змінні та інтегруємо:

Загальне рішення:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Виконаємо підстановку:

Таким чином, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові:

Відповідь:приватне рішення:

Рішення наприкінці уроку може бути зразком для чистового оформлення завдання.

Метод варіації довільних постійних
для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних постійних рівняння другого порядку – штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки зустрічається не так часто. А насправді особливих складнощів немає – перебіг рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.

Для освоєння методу бажано вміти розв'язувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Цей спосіб докладно розглянуто у статті Неоднорідні ДК 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:

Метод підбору, який розглядався на згаданому вище уроці, проходить лише в обмеженому ряді випадків, коли в правій частині знаходяться багаточлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації на допомогу таки приходить метод варіації постійних.

Приклад 4

Знайти загальне рішення диференціального рівняння другого порядку

Рішення:У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому одразу можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокочує. Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Ніщо не віщує грози, початок рішення цілком звичайне:

Знайдемо загальне рішеннявідповідного однорідногорівняння:

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:


– отримано пов'язане комплексне коріння, тому загальне рішення:

Зверніть увагу на запис загального рішення – якщо є дужки, їх розкриваємо.

Тепер робимо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, загальне рішення неоднорідногорівняння будемо шукати у вигляді:

Де – поки щеневідомі функції.

Схоже на звалище побутових відходів, але зараз усе розсортуємо.

Як невідомі виступають похідні функцій. Наша мета – знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому та другому рівнянню системи.

Звідки беруться "ігреки"? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше загальне рішення та записуємо:

Знайдемо похідні:

Із лівими частинами розібралися. Що праворуч?

– це права частина вихідного рівняння, у разі:

Коефіцієнт – це коефіцієнт при другій похідній:

Насправді майже завжди, і наш приклад не виняток.

Все прояснилося, тепер можна скласти систему:

Систему зазвичай вирішують за формулами Крамера, використовуючи стандартний алгоритм. Єдина відмінність полягає в тому, що замість чисел ми маємо функції.

Знайдемо головний визначник системи:

Якщо забули, як розкривається визначник «два на два», зверніться до уроку Як визначити обчислювач?Посилання веде на дошку ганьби =)

Отже, отже, система має єдине рішення.

Знаходимо похідну:

Але це ще не все, поки ми знайшли лише похідну.
Сама функція відновлюється інтегруванням:

Розбираємось з другою функцією:

Тут додаємо «нормальну» константу

На заключному етапі рішення згадуємо, як ми шукали загальне рішення неоднорідного рівняння? В такому:

Потрібні функції щойно знайдені!

Залишилося виконати підстановку та записати відповідь:

Відповідь:загальне рішення:

У принципі, у відповіді можна було розкрити дужки.

Повна перевірка відповіді виконується за стандартною схемою, що розглядалася на уроці Неоднорідні ДК 2-го порядку. Але перевірка буде непростою, оскільки має знаходити досить важкі похідні та проводити громіздку підстановку. Це неприємна особливість, коли ви вирішуєте такі дифури.

Приклад 5

Розв'язати диференціальне рівняння методом варіації довільних постійних

Це приклад самостійного рішення. Насправді у правій частині теж дріб. Згадуємо тригонометричну формулу, її, до речі, необхідно буде застосувати в процесі рішення.

Метод варіації довільних постійних – найуніверсальніший метод. Їм можна вирішити будь-яке рівняння, яке вирішується методом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Постає питання, а чому б і там не використовувати метод варіації довільних постійних? Відповідь очевидна: добір приватного рішення, що розглядався на уроці Неоднорідні рівняння другого порядку, значно прискорює рішення та скорочує запис – ніякого трахкання з визначниками та інтегралами.

Розглянемо два приклади з завданням Коші.

Приклад 6

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданим початковим умовам

,

Рішення:Знову дріб та експонента у цікавому місці.
Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Знайдемо загальне рішеннявідповідного однорідногорівняння:



– отримано різне дійсне коріння, тому загальне рішення:

Загальне рішення неоднорідногорівняння шукаємо у вигляді: , де – поки щеневідомі функції.

Складемо систему:

В даному випадку:
,
Знаходимо похідні:
,

Таким чином:

Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Відновлюємо функцію інтегруванням:

Тут використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

Відновлюємо другу функцію інтегруванням:

Такий інтеграл вирішується методом заміни змінної:

Із самої заміни виражаємо:

Таким чином:

Цей інтеграл можна знайти методом виділення повного квадрата, але в прикладах з диффурами я волію розкладати дріб методом невизначених коефіцієнтів:

Обидві функції знайдено:

В результаті загальне рішення неоднорідного рівняння:

Знайдемо приватне рішення, що задовольняє початкові умови .

Технічно пошук рішення здійснюється стандартним способом, що розглядався у статті Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Тримайтеся, зараз знаходимо похідну від знайденого загального рішення:

Ось таке неподобство. Спрощувати його не обов'язково, легше одразу скласти систему рівнянь. Відповідно до початкових умов :

Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

У відповіді логарифми можна запакувати.

Відповідь:приватне рішення:

Як бачите, труднощі можуть виникнути в інтегралах і похідних, але не в самому алгоритмі методу варіації довільних постійних. Це не я вас залякав, це все збірка Кузнєцова!

Для розслаблення останній, більш простий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Вирішити завдання Коші

,

Приклад нескладний, але творчий, коли складете систему, уважно її подивіться, як вирішувати;-),




В результаті загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає початковим умовам .



Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

Відповідь:приватне рішення:

Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальна система рішень, а - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, шукатимемо рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося у тому, що рішення у такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію рівняння. Для встановлення цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює
. (4)
При обчисленні другої похідної у правій частині (4) з'явиться чотири доданки, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює
. (5)
За тими самими, що раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Нарешті, n-я похідна дорівнює
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних у вихідне рівняння, маємо
. (7)
Друге доданок (7) дорівнює нулю, так як функції y j , j=1,2,..,n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Поєднуючи з попереднім, отримуємо систему рівнянь алгебри для знаходження функцій C" j (x)
(8)
Визначник цієї системи є визначником Вронської фундаментальної системи рішень y 1 ,y 2 ,..,y n відповідного однорідного рівняння L(y)=0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішення системи (8). Знайшовши його, отримаємо функції C" j (x), j=1,2,…,n, а, отже, і C j (x), j=1,2,…,n Підставляючи ці значення (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної постійної чи методом Лагранжа.

Приклад №1. Знайдемо загальне рішення рівняння y" + 4y + 3y = 9e -3 x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 4y + 3y = 0. Коріння його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 = 0 рівні -1 і - 3. Тому фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння складається з функцій y 1 = e - x та y 2 = e -3 x. Розв'язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C" 1 , C" 2 складаємо систему рівнянь (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
вирішуючи яку, знаходимо , інтегруючи отримані функції, маємо
Остаточно отримаємо

Приклад №2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами методом варіації довільних постійних:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Розв'язання рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 · 1 · 8 = 4

Коріння характеристичного рівняння: r 1 = 4, r 2 = 2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції: y1 = e4x, y2 = e2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Пошук приватного рішення шляхом варіації довільної постійної.
Для знаходження похідних C" i складаємо систему рівнянь:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Виразимо C" 1 з першого рівняння:
C" 1 = -c 2 e -2x
і підставимо на друге. У результаті отримуємо:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x / (e 2x +2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Оскільки y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Знайдемо приватне рішення за умови:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Підставляючи x = 0, у знайдене рівняння, отримаємо:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Підставляючи x = 0, отримаємо:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Отримуємо систему із двох рівнянь:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
або
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
або
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Звідки: C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватне рішення запишеться як:
y = 2e 4x · ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x · ln (2e 2x +1) - 2x · e 2x + 2 · e 2x