Вирішення ірраціональних рівнянь усі випадки. Як вирішувати ірраціональні рівняння

Рівняння, у яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними.

Методи вирішення ірраціональних рівнянь, як правило, засновані на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним рівнянням, яке або еквівалентне вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. Найчастіше обидві частини рівняння зводять в один і той самий ступінь. У цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати таке:

1) якщо показник кореня - парне число, то підкорене вираз має бути невід'ємним; при цьому значення кореня також є невід'ємним (визначення кореня з парним показником ступеня);

2) якщо показник кореня - непарне число, то підкорене вираз може бути будь-яким дійсним числом; у цьому випадку знак кореня збігається зі знаком підкореного виразу.

приклад 1.Вирішити рівняння

Зведемо обидві частини рівняння квадрат.
x 2 – 3 = 1;
Перенесемо -3 з лівої частини рівняння в праву і виконаємо приведення подібних доданків.
x 2 = 4;
Отримане неповне квадратне рівняння має два корені -2 та 2.

Зробимо перевірку отриманого коріння, для цього зробимо підстановку значень змінної x у вихідне рівняння.
Перевірка.
При x 1 = -2 - Істинно:
При x 2 = -2 - істинно.
Звідси випливає, що вихідне ірраціональне рівняння має два корені -2 та 2.

приклад 2.Вирішити рівняння .

Це рівняння можна вирішити за такою ж методикою, як і в першому прикладі, але ми зробимо інакше.

Знайдемо ОДЗ цього рівняння. З визначення квадратного кореня слід, що у даному рівнянні одночасно мають виконуватися дві умови:

ОДЗ цього поранення: x.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння =+ 2.

Знаходження ОДЗ у цьому рівнянні є досить важким завданням. Зведемо обидві частини рівняння квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4 + 4x;
=0;
x 1 = 1; х 2 =0.
Здійснивши перевірку встановлюємо, що x 2 = 0 зайвий корінь.
Відповідь: х 1 =1.

приклад 4.Розв'язати рівняння x =.

У цьому прикладі ОДЗ легко знайти. ОДЗ цього рівняння: x[-1;).

Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат, в результаті отримаємо рівняння x 2 = x + 1. Коріння цього рівняння:

Здійснити перевірку знайденого коріння важко. Але, незважаючи на те, що обидва корені належать ОДЗ стверджувати, що обидва корені є корінням вихідного рівняння не можна. Це спричинить помилку. В даному випадку ірраціональне рівняння рівносильне сукупності двох нерівностей та одного рівняння:

x + 10 і x0 і x 2 = x + 1, з якої випливає, що негативний корінь для ірраціонального рівняння є стороннім і його слід відкинути.

Приклад 5 .Розв'язати рівняння+= 7.

Зведемо обидві частини рівняння квадрат і виконаємо приведення подібних членів, переніс доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на 0,5. В результаті ми отримаємо рівняння
= 12, (*) є наслідком вихідного. Знову зведемо обидві частини рівняння квадрат. Отримаємо рівняння (х + 5) (20 - х) = 144, що є наслідком вихідного. Отримане рівняння наводиться до виду x 2 – 15x + 44 =0.

Це рівняння (що є наслідком вихідного) має коріння x 1 = 4, х 2 = 11. Обидва корені, як показує перевірка, задовольняють вихідного рівняння.

Відп. х 1 = 4, х 2 = 11.

Зауваження. При зведенні рівнянь у квадрат учні нерідко в рівняннях типу (*) виробляють перемноження підкорених виразів, тобто замість рівняння = 12, пишуть рівняння = 12. Не призводить до помилок, оскільки рівняння є наслідками рівнянь. Слід, проте, пам'ятати, що у випадку таке перемноження підкорених виразів дає нерівносильні рівняння.

У розглянутих вище прикладах можна було спочатку перенести один із радикалів у праву частину рівняння. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал і після зведення обох частин рівняння квадрат в лівій частині рівняння вийде раціональна функція. Такий прийом (усамітнення радикала) досить часто застосовується під час вирішення ірраціональних рівнянь.

Приклад 6. Вирішити рівняння-=3.

Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння
=+ 3, рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, отримуємо рівняння

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, рівносильне рівнянню

4x – 5 = 3(*). Це рівняння є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини рівняння квадрат, приходимо до рівняння
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), або

7x 2 – 13x – 2 = 0.

Це рівняння є наслідком рівняння (*) (отже, і вихідного рівняння) і має коріння. Перший корінь x 1 = 2 задовольняє вихідного рівняння, а другий x 2 = - не задовольняє.

Відповідь: x = 2.

Зауважимо, що якби ми одразу, не усамітнивши один із радикалів, зводили обидві частини вихідного рівняння у квадрат нам довелося б виконати досить громіздкі перетворення.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь, крім усамітнення радикалів, використовують і інші методи. Розглянемо приклад використання методу заміни невідомого (метод запровадження допоміжної змінної).

Ірраціональне рівняння це будь-яке рівняння, що містить функцію під знаком кореня. Наприклад:

Такі рівняння завжди вирішуються за 3 кроки:

Усамітнити корінь. Іншими словами, якщо ліворуч від знака рівності крім кореня стоять інші числа чи функції, все це треба перенести праворуч, змінивши знак. Зліва при цьому має залишитися лише радикал — без жодних коефіцієнтів.
2. Зводимо обидві частини рівняння квадрат. При цьому пам'ятаємо, що область значень кореня – всі негативні числа. Отже, функція праворуч ірраціонального рівняннятакож має бути невід'ємною: g (x ) ≥ 0.
Третій крок логічно випливає з другого: треба виконати перевірку. Справа в тому, що на другому кроці у нас могли з'явитися зайві корені. І щоб відсікти їх, треба підставити отримані числа-кандидати у вихідне рівняння і перевірити: чи справді виходить вірна числова рівність?

Рішення ірраціонального рівняння

Розберемося з нашим ірраціональним рівнянням, даним на самому початку уроку. Тут корінь уже усамітнений: ліворуч від знаку рівності немає нічого, крім кореня. Зводимо обидві сторони у квадрат:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Вирішуємо отримане квадратне рівняння через дискримінант:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Залишилося лише підставити ці числа вихідне рівняння, тобто. виконати перевірку. Але й тут можна зробити грамотно, щоб спростити підсумкове рішення.

Як спростити рішення

Давайте подумаємо: навіщо ми виконуємо перевірку наприкінці рішення ірраціонального рівняння? Ми хочемо переконатися, що під час встановлення наших коренів праворуч від знака рівності стоятиме невід'ємна кількість. Адже ми вже точно знаємо, що зліва стоїть саме невід'ємне число, тому що арифметичний квадратний корінь (через яке наше рівняння і зветься ірраціональним) за визначенням не може бути меншим за нуль.

Отже, все, що нам треба перевірити, — щоб функція g (x ) = 5 − x , яка стоїть праворуч від знака рівності, була невід'ємною:

g (x) ≥ 0

Підставляємо наше коріння в цю функцію і отримуємо:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g(x2) = g(−2) = 5−(−2) = 5 + 2 = 7 > 0

З отриманих значень випливає, що корінь x 1 = 6 нас не влаштовує, оскільки при підстановці праву частину вихідного рівняння ми отримуємо негативне число. А ось корінь x 2 = −2 нам цілком підходить, бо:

Цей корінь є рішенням квадратного рівняння, отриманого внаслідок зведення обох сторін ірраціонального рівнянняу квадрат.
Права сторона вихідного ірраціонального рівняння при підстановці кореня x 2 = −2 перетворюється на позитивне число, тобто. область значень арифметичного кореня не порушена.

Ось і весь алгоритм! Як бачите, вирішувати рівняння з радикалами не так вже й складно. Головне — не забувати перевіряти отримане коріння, інакше дуже велика ймовірність отримати зайві відповіді.

Методичні розробки до елективного курсу

«Методи рішень ірраціональних рівнянь»

ВСТУП

Пропонований елективний курс «Методи рішень ірраціональних рівнянь» призначений для учнів 11 класу загальноосвітньої школи та є предметно-орієнтованим, спрямований на розширення теоретичних та практичних знань учнів. Елективний курс побудований з опорою на знання та вміння, які отримують учні щодо математики в середній школі.

Специфіка даного курсу у тому, що він призначений насамперед учнів, бажаючих розширити, поглибити, систематизувати, узагальнити свої математичні знання, вивчити єдині методи та прийоми розв'язання ірраціональних рівнянь. У програму включені питання, що частково виходять за рамки чинних програм з математики та нестандартні методи, які дозволяють більш ефективно вирішувати різні завдання.

Більшість завдань ЄДІ вимагають від випускників володіння різними методами розв'язання різного роду рівнянь та їх систем.Матеріал, пов'язаний із рівняннями та системами рівнянь, становить значну частину шкільного курсу математики. Актуальність вибору теми елективного курсу визначається значимістю теми «Ірраціональні рівняння» у шкільному курсі математики та, водночас, браком часу на розгляд нестандартних методів та підходів до вирішення ірраціональних рівнянь, що зустрічаються у завданнях групи «С» ЄДІ.

Поряд з основою завданням навчання математики -забезпечення міцного та свідомого оволодіння учнями системою математичних знань та умінь – даний елективний курс передбачає формування сталого інтересу до предмета, розвиток математичних здібностей, підвищення рівня математичної культури учнів, створює базу для успішної здачі ЄДІ .

Ціль курсу:

Підвищити рівень розуміння та практичної підготовки при вирішенні ірраціональних рівнянь;

Вивчити прийоми та методи розв'язання ірраціональних рівнянь;

Формувати вміння аналізувати, виділяти головне, формувати елементи творчого пошуку з урахуванням прийомів узагальнення;

Розширити знання учнів на цю тему, удосконалювати вміння та навички вирішення різних завдань для успішної здачі ЄДІ.

Завдання курсу:

Розширення знань про методи та способи розв'язання рівнянь алгебри;

Узагальнення та систематизація знань під час навчання у 10-11 класах та підготовці до ЄДІ;

Розвиток уміння самостійно набувати та застосовувати знання;

Залучення учнів до роботи з математичною літературою;

Розвиток логічного мислення учнів, їхньої алгоритмічної культури та математичної інтуїції;

Підвищення математичної культури учня.

Програма елективного курсу передбачає вивчення різних методів і підходів при вирішенні ірраціональних рівнянь, відпрацювання практичних навичок з питань, що розглядаються. Курс розрахований на 17 годину.

Програма ускладнена, перевершує нормальний курс навчання, сприяє розвитку абстрактного мислення, розширює область пізнання учня. Водночас вона зберігає наступність із діючими програмами, будучи їх логічним продовженням.

Навчально-тематичний план

№п/п

Тема занять

Кількість годин

Розв'язання рівнянь з урахуванням області допустимих значень

Вирішення ірраціональних рівнянь шляхом зведення в натуральний ступінь

Розв'язання рівнянь методом запровадження допоміжних змінних (метод заміни)

Розв'язання рівняння з радикалом третього ступеня.

Тотожні перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь

Нетрадиційні завдання. Завдання групи «С» ЄДІ

Форми контролю:домашні контрольні, самостійні роботи, реферати та дослідницькі роботи.

У результаті навчання даного елективного курсу учні повинні вміти вирішувати різні ірраціональні рівняння, використовуючи стандартні та нестандартні методи та прийоми;

засвоїти алгоритм розв'язання стандартних ірраціональних рівнянь;

вміти використовувати властивості рівнянь на вирішення нестандартних завдань;

вміти виконувати тотожні перетворення під час вирішення рівнянь;

мати чітке уявлення про теми єдиного державного іспиту, основні методи їх рішень;

набути досвіду у виборі методів для вирішення нестандартних завдань.

ОСНОВНА ЧАСТИНА.

Рівняння, у яких невідома величина перебуває під знаком радикала, називаються ірраціональними.

До найпростіших ірраціональних рівнянь відносяться рівняння виду:

Основна ідея рішенняірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального рівня алгебри, яке або рівносильно вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. При розв'язанні ірраціональних рівнянь завжди йдеться про відшукання дійсних коренів.

Розглянемо деякі способи розв'язання ірраціональних рівнянь.

1.Рішення ірраціональних рівнянь з урахуванням області допустимих значень (ОДЗ).

Область допустимих значень ірраціонального рівняння складається з тих значень невідомих, за яких невід'ємними є всі вирази, що стоять під знаком радикала парного ступеня.

Іноді знання ОДЗ дозволяє довести, що рівняння немає рішень, інколи ж дозволяє знайти рішення рівняння безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.

Приклад1 . Вирішити рівняння.

Рішення . Знайшовши ОДЗ цього рівняння, приходимо до висновку, що ОДЗ вихідного рівняння – одноелементна множина. Підставивших = 2на це рівняння, приходимо до висновку, щох = 2- Корінь вихідного рівняння.

Відповідь : 2 .

Приклад2.

Рівняння немає рішень, т.к. при кожному допустимому значенні змінної сума двох невід'ємних чисел може бути негативна.

приклад 3.
+ 3 =
.

ОДЗ:

ОДЗ рівняння порожня множина.

Відповідь: рівняння коренів немає.

Приклад4. 3
−4
−
=−(2+
).

ОДЗ:

ОДЗ:
. Перевіркою переконуємося, що х=1 – корінь рівняння.

Відповідь: 1.

Доведіть, що рівняння не має

коріння.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Розв'яжіть рівняння.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(х+3)(2005-х)=0.

2. У озведення обох частин рівняння до натурального ступеня тобто перехід від рівняння

(1)

до рівняння

. (2)

Справедливі такі твердження:

1) за будь-якого рівняння (2) є наслідком рівняння (1);

2) якщо ( n– непарне число), то рівняння (1) та (2 ) рівносильні;

3) якщо ( n– парне число), то рівняння (2) рівносильне рівнянню

, (3)

а рівняння (3) рівносильне сукупності рівнянь

. (4)

Зокрема, рівняння

(5)

рівносильно сукупності рівнянь (4).

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рівняння рівносильне системі

звідки випливає, що х=1 , а корінь не задовольняє другу нерівність. При цьому грамотне рішення не потребує перевірки.

Відповідь:х=1.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильне рівнянню , отримаємо коріння та . Однак за цих значень xне виконується нерівність, і тому дане рівняння не має коріння.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння

рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, оскільки вони обидві позитивні, отримуємо рівняння

яке є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат за умови, що приходимо до рівняння

Це рівняння має коріння. Перший корінь задовольняє вихідну умову, а другий – не задовольняє.

Відповідь: х = 2.

Якщо рівняння містить два і більше радикалів, їх спочатку усамітнюють, та був зводять у квадрат.

приклад 1.

Усамітнивши перший радикал, отримаємо рівняння, рівносильне цьому. Зведемо в квадрат обидві частини рівняння:

Виконавши необхідні перетворення, отримане рівняння зведемо у квадрат

Виконавши перевірку, зауважуємо, що

не входить у область допустимих значень.

Відповідь: 8.

Відповідь: 2

Відповідь: 3; 1,4.

3. Багато ірраціональних рівнянь вирішуються методом запровадження допоміжних змінних.

Зручним засобом вирішення ірраціональних рівнянь іноді є метод запровадження нової змінної, або "Метод заміни".Метод зазвичай застосовується у разі, якщо у рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, що залежить від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якоюсь новою літерою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомої, а потім уже знайти вихідну невідому.

Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння прозорішою. Нова змінна іноді очевидна, іноді дещо завуальована, але відчувається, а іноді виявляється лише в процесі перетворень.

приклад 1.

Нехай
t>0, тоді

t =
,

t 2 +5t-14 = 0,

t 1 = -7, t 2 = 2. t=-7 не задовольняє умову t>0 тоді

х 2 -2х-5 = 0,

х 1 = 1-
х 2 =1+
.

Відповідь: 1-
; 1+
.

приклад 2.Вирішити ірраціональне рівняння

Заміна:

Зворотна заміна: /

Відповідь:

приклад 3.Розв'яжіть рівняння .

Зробимо заміни: , . Вихідне рівняння перепишеться у вигляді , звідки знаходимо, що а = 4bта . Далі, зводячи обидві частини рівняння у квадрат, отримуємо: Звідси х= 15 . Залишилось зробити перевірку:

- Правильно!

Відповідь: 15.

Приклад 4. Вирішити рівняння

Поклавши, отримаємо значно простіше ірраціональне рівняння. Зведемо обидві частини рівняння квадрат: .

; ;

; ; , .

Перевірка знайдених значень, їх підстановка рівняння показує, що – корінь рівняння, а – сторонній корінь.

Повертаючись до вихідної змінної x, Отримуємо рівняння , тобто квадратне рівняння , Розв'язавши яке знаходимо два корені: ,. Обидва корені задовольняють вихідного рівняння.

Відповідь: , .

Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на раціональне.

Приклад 6. Вирішити рівняння .

Перепишемо рівняння так: .

Видно, що якщо ввести нову змінну , то рівняння набуде вигляду , звідки - сторонній корінь та .

З рівняння отримуємо , .

Відповідь: , .

Приклад 7. Вирішити рівняння .

Введемо нову змінну , .

В результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного.

звідки враховуючи обмеження, отримуємо. Вирішуючи рівняння, отримуємо корінь. Відповідь: 2,5.

Завдання для самостійного вирішення.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Метод запровадження двох допоміжних змінних.

Рівняння виду (тут a , b , c , d – деякі числа, m , n – натуральні числа) та ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих:і , де і наступного переходу до еквівалентної системи раціональних рівнянь.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Зведення обох частин цього рівняння четвертий ступінь не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти , то вихідне рівняння переписується так: . Оскільки ми запровадили дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, яке зв'язує yі z. Для цього зведемо рівності в четвертий ступінь і зауважимо, що . Отже, треба розв'язати систему рівнянь

Зведенням у квадрат отримуємо:

Після підстановки маємо: або . Тоді система має два рішення: , ; , , А система не має рішень.

Залишається вирішити систему двох рівнянь із одним невідомим

і систему Перша їх дає , друга дає .

Відповідь: , .

приклад 2.

Нехай

Відповідь:

5. Рівняння з радикалом третього ступеня.
При вирішенні рівнянь, що містять радикали 3-го ступеня, корисно користуватися додаванням тотожності:

приклад 1. .
Зведемо обидві частини цього рівняння в 3-й ступінь і скористаємося вище наведеною тотожністю:

Зауважимо, що вираз, що стоїть у дужках, дорівнює 1, що випливає з початкового рівняння. Враховуючи це та наводячи подібні члени, отримаємо:
Розкриємо дужки, наведемо такі члени і вирішимо квадратне рівняння. Його корінняі. Якщо вважати (за визначенням), що корінь непарного ступеня можна отримувати і з негативних чисел, то обидва отримані числа є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь:.

6.Умножение обох частин рівняння на сполучене однієї з них вираз.

Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження значень, що виходять.

приклад 1.Розв'яжіть рівняння

Рішення:Виберемо функцію

Помножимо обидві частини рівняння на обрану функцію:

Наведемо подібні доданки та отримаємо рівносильне рівняння

Складемо вихідне рівняння та останнє, отримаємо

Відповідь: .

7.Тотожні перетворення при розв'язанні ірраціональних рівнянь

При вирішенні ірраціональних рівнянь часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, так само як зведення у парний ступінь, можуть купуватися або втрачатися рішення.

Розглянемо кілька ситуацій, у яких ці проблеми настають, і навчимося їх розпізнати та запобігати.

I. Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення.Тут застосовна формула .

Тільки необхідно замислитись про безпеку її застосування. Неважко бачити, що її ліва і права частини мають різні області визначення і що ця рівність вірна лише за умови . Тому вихідне рівняння рівносильне системі

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Другий корінь не задовольняє сукупності нерівностей системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.

Відповідь: -1 .

II.Наступне небезпечне перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь, визначається формулою .

Якщо користуватися цією формулою ліворуч, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, в лівій частині обидві функції повинні бути невід'ємними; а правої неотрицательным має бути їх твір.

Розглянемо приклад, де реалізується проблема з використанням формули.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення.Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники

Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення, тому що воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого: немає сенсу при . Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням у квадрат.

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Обидва корені задовольняють нерівності системи.

Відповідь: , .

III. Існує ще більш небезпечна дія – скорочення на загальний множник.

Приклад 3. Вирішити рівняння .

Неправильне міркування: Скоротимо обидві частини рівняння на , отримаємо .

Немає нічого більш небезпечного та неправильного, ніж ця дія. По-перше, відповідне рішення вихідного рівняння було втрачено; по-друге, було придбано два сторонні рішення. Виходить, що нове рівняння немає нічого спільного з вихідним! Наведемо правильне рішення.

Рішення. Перенесемо всі члени до лівої частини рівняння і розкладемо її на множники

Це рівняння рівносильне системі

яка має єдине рішення.

Відповідь: 3 .

ВИСНОВОК.

В рамках вивчення елективного курсу показані нестандартні прийоми розв'язання складних завдань, які успішно розвивають логічне мислення, уміння знайти серед безлічі способів вирішення той, який комфортний для учня та раціональний. Цей курс вимагає від учнів великої самостійної роботи, сприяє підготовці учнів до продовження освіти, підвищення рівня математичної культури.

В роботі були розглянуті основні методи вирішення ірраціональних рівнянь, деякі підходи до вирішення рівнянь вищих ступенів, використання яких передбачається при вирішенні завдань ЄДІ, а також при вступі до ВНЗ та продовження математичної освіти. Також було розкрито зміст основних понять та тверджень, що належать до теорії розв'язання ірраціональних рівнянь. Визначивши найпоширеніший метод розв'язання рівнянь, виявили його застосування у стандартних та не стандартних ситуаціях. Крім того, були розглянуті типові помилки при виконанні тотожних перетворень та способи їх подолання.

При проходженні курсу учні отримають можливість оволодіти різними методами та прийомами розв'язання рівнянь, при цьому навчаться систематизувати та узагальнювати теоретичні відомості, самостійно займатися пошуком вирішення деяких проблем та у зв'язку з цим складати низку завдань та вправ з цих тем. Вибір складного матеріалу допоможе школярам проявити себе у дослідницькій діяльності.

Позитивною стороною курсу є можливість подальшого застосування учнями вивченого матеріалу при здачі ЄДІ, вступі до ВНЗ.

Негативною стороною є те, що не кожен учень може опанувати всі прийоми даного курсу, навіть маючи на те бажання, зважаючи на труднощі більшості розв'язуваних завдань.

ЛІТЕРАТУРА:

Шаригін І.Ф. «Математика для вступників до вузів».-3-тє вид.,-М.: Дрофа, 2000.

Рівняння та нерівності. Довідковий посібник. / Вавілов В.В., Мельников І.І., Олехник С.М., Пасіченко П.І. -М.: Іспит,1998.

Черкасов О.Ю., Якушев О.Г. "Математика: інтенсивний курс підготовки до іспиту". - 8-е вид., Випр. та дод. - М.: Айріс, 2003. - (Домашній репетитор)

Балаян Е.М. Комплексні вправи та варіанти тренувальних завдань до ЄДІ з математики. Ростов на - Дону: Вид-во "Фенікс", 2004.

Сканаві М.І. «Збірник завдань з математики для вступників до вузів». - М., «Вища школа»,1998.

Ігусман О.С. "Математика на усному іспиті". - М., Айріс,1999.

Екзаменаційні матеріали для підготовки до ЄДІ – 2008 – 2012.

В.В.Кочагін, М.Н.Кочагіна «ЄДІ - 2010. Математика. Репетитор» Москва «Освіта» 2010р.

В.А.Гусєв, А.Г.Мордкович «Математика. Довідкові матеріали» Москва «Освіта» 1988р.

Розв'язання ірраціональних рівнянь.

У цій статті ми поговоримо про способи вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь.

Ірраціональним рівняннямназивається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.

Давайте розглянемо два види ірраціональних рівняньякі дуже схожі на перший погляд, але по суті сильно один від одного відрізняються.

(1)

(2)

У першому рівнянні ми бачимо, що невідоме стоїть під знаком кореня третього ступеня. Ми можемо витягувати корінь непарного ступеня з негативного числа, тому у цьому рівнянні немає жодних обмежень ні на вираз, що стоїть під знаком кореня, ні на вираз, що стоїть у правій частині рівняння. Ми можемо звести обидві частини рівняння на третій ступінь, щоб позбутися кореня. Отримаємо рівносильне рівняння:

При зведенні правої та лівої частини рівняння на непарний ступінь ми можемо не побоюватися отримати сторонні корені.

Приклад 1. Розв'яжемо рівняння

Зведемо обидві частини рівняння на третій ступінь. Отримаємо рівносильне рівняння:

Перенесемо всі доданки в один бік і винесемо за дужки х:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: (0; 1; 2)

Подивимося уважно на друге рівняння: . У лівій частині рівняння стоїть квадратний корінь, який набуває лише невід'ємних значень. Тому, щоб рівняння мало рішення, права частина теж має бути невід'ємною. Тому на праву частину рівняння накладається умова:

Title="g(x)>=0"> - это !} умова існування коріння.

Щоб вирішити рівняння такого виду, потрібно обидві частини рівняння звести у квадрат:

(3)

Зведення в квадрат може призвести до появи сторонніх коренів, тому нам потрібно рівняння:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Однак, нерівність (4) випливає з умови (3): якщо у правій частині рівності стоїть квадрат якогось виразу, а квадрат будь-якого виразу може набувати лише невід'ємних значень, отже ліва частина теж має бути невід'ємною. Тому умова (4) автоматично випливає з умови (3) і наше рівняння рівносильно системі:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Приклад 2 .Розв'яжемо рівняння:

Перейдемо до рівносильної системи:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Вирішимо перше рівняння системи і перевіримо, яке коріння задовольняє нерівності.

Нерівності title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Відповідь: x=1

Увага!Якщо ми в процесі вирішення зводимо обидві частини рівняння в квадрат, то слід пам'ятати, що може виникнути стороннє коріння. Тому або потрібно переходити до рівносильної системи, або наприкінці рішення ЗРОБИТИ ПЕРЕВІРКУ: знайти коріння і підставити їх у вихідне рівняння.

Приклад 3. Розв'яжемо рівняння:

Щоб вирішити це рівняння, нам також потрібно звести обидві частини квадрата. Давайте в цьому рівнянні не морочимось з ОДЗ і умовою існування коріння, а просто наприкінці рішення зробимо перевірку.

Зробимо обидві частини рівняння в квадрат:

Перенесемо доданок, що містить корінь вліво, а всі інші доданки вправо:

Ще раз зведемо обидві частини рівняння у квадрат:

По теремі Вієта:

Зробимо перевірку. Для цього підставимо знайдене коріння у вихідне рівняння. Вочевидь, що з права частина вихідного рівняння негативна, а ліва позитивна.

При отримуємо правильну рівність.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.