Вирішення комплексних чисел докладним рішенням. Розв'язання задач з комплексними числами

Для розв'язання задач із комплексними числами необхідно розібратися з основними визначеннями. Головне завдання цієї оглядової статті - пояснити, що таке комплексні числа, і пред'явити методи вирішення основних завдань з комплексними числами. Отже, комплексним числом називатимемо число виду z = a + bi, де a, b- Речові числа, які називають дійсною і уявною частиною комплексного числа відповідно і позначають a = Re (z), b = Im (z).
iназивається уявною одиницею. i 2 = -1. Зокрема, будь-яке речове число можна вважати комплексним: a = a + 0i, де a - речове. Якщо ж a = 0і b ≠ 0, то число прийнято називати чисто уявним.

Тепер запровадимо операції над комплексними числами.
Розглянемо два комплексні числа z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i.

Розглянемо z = a + bi.

Безліч комплексних чисел розширює безліч дійсних чисел, яке своєю чергою розширює безліч раціональних чисел тощо. Цей ланцюжок вкладень можна розглянути малюнку: N – натуральні числа, Z – цілі, Q – раціональні, R – речові, C – комплексні.

Подання комплексних чисел

Алгебраїчна форма запису.

Розглянемо комплексне число z = a + bi, така форма запису комплексного числа називається алгебраїчної. Цю форму запису ми вже детально розібрали у попередньому розділі. Досить часто використовують наступний наочний малюнок

Тригонометрична форма.

З малюнка видно, що число z = a + biможна записати інакше. Очевидно, що a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, отже z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) називається аргументом комплексного числа. Таке уявлення комплексного числа називається тригонометричною формою. Тригонометрична форма запису часом дуже зручна. Наприклад, її зручно використовувати для зведення комплексного числа в цілий ступінь, а саме, якщо z = rcos(φ) + rsin(φ)i, то z n = r n cos(n?) + r n sin(n?) i, ця формула називається формулою Муавра.

Показова форма.

Розглянемо z = rcos(φ) + rsin(φ)i- Комплексне число в тригонометричній формі, запишемо в іншому вигляді z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, остання рівність випливає з формули Ейлера, таким чином ми отримали нову форму запису комплексного числа: z = re iφ, яка називається показовою. Така форма запису також дуже зручна для зведення комплексного числа в ступінь: z n = r n e inφ, тут nне обов'язково ціле, а може бути довільним речовим числом. Така форма запису часто використовується на вирішення завдань.

Основна теорема вищої алгебри

Уявімо, що ми маємо квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, що дискримінант цього рівняння негативний і речових коренів воно не має, але виявляється, що це рівняння має два різні комплексні корені. Так от, основна теорема вищої алгебри стверджує, що будь-який багаточлен ступеня n має хоча б один комплексний корінь. З цього випливає, що будь-який багаточлен ступеня n має рівно n комплексного коріння з урахуванням їх кратності. Ця теорема є дуже важливим результатом математики і широко застосовується. Простим наслідком цієї теореми є такий результат: існує рівно n різних коренів ступеня n з одиниці.

Основні типи завдань

У цьому розділі будуть розглянуті основні типи найпростіших завдань на комплексні числа. Умовно завдання на комплексні числа можна розбити на такі категорії.

• Виконує найпростіші арифметичні операції над комплексними числами.
• Знаходження коріння багаточленів у комплексних числах.
• Зведення комплексних чисел у ступінь.
• Вилучення коренів із комплексних чисел.
• Застосування комплексних чисел для вирішення інших завдань.

Тепер розглянемо загальні методики розв'язання цих завдань.

Виконання найпростіших арифметичних операцій з комплексними числами відбувається за правилами описаними в першому розділі, якщо комплексні числа представлені в тригонометричній або показовій формах, то в цьому випадку можна перевести їх в форму алгебри і проводити операції за відомими правилами.

Знаходження коренів багаточленів зазвичай зводиться до знаходження коренів квадратного рівняння. Припустимо, що у нас є квадратне рівняння, якщо його дискримінант невід'ємний, то його коріння буде речовим і знаходиться за відомою формулою. Якщо ж дискримінант негативний, тобто D = -1∙a 2, де a- Деяке число, то можна представити дискримінант у вигляді D = (ia) 2, отже √D = i|a|а далі можна скористатися вже відомою формулою для коренів квадратного рівняння.

приклад. Повернемося до згаданого вище квадратного рівняння x2+x+1=0.
Дискримінант D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Тепер з легкістю знайдемо коріння:

Зведення комплексних чисел у ступінь можна виконувати кількома способами. Якщо потрібно звести комплексне число в формі алгебри в невеликий ступінь (2 або 3), то можна зробити це безпосереднім перемноженням, але якщо ступінь більше (у завданнях вона часто буває набагато більше), то потрібно записати це число в тригонометричній або показовій формах і скористатися вже відомими методами.

приклад. Розглянемо z = 1 + i і зведемо до десятого ступеня.
Запишемо z у показовій формі: z = √2 e iπ/4 .
Тоді z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Повернемося до форми алгебри: z 10 = -32i .

Вилучення коренів із комплексних чисел є зворотною операцією по відношенню до операції зведення в ступінь, тому проводиться аналогічним чином. Для отримання коріння досить часто використовується показова форма запису числа.

приклад. Знайдемо все коріння ступеня 3 із одиниці. Для цього знайдемо всі корені рівняння z 3 = 1, коріння шукатимемо у показовій формі.
Підставимо в рівняння: r 3 e 3iφ = 1 або r 3 e 3iφ = e 0 .
Звідси: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, отже φ = 2πk/3.
Різне коріння виходить при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Отже 1, e i2π/3, e i4π/3 - коріння.
Або в формі алгебри:

Останній тип завдань включає в себе безліч завдань і немає загальних методів їх вирішення. Наведемо простий приклад такого завдання:

Знайти суму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Хоч у формулюванні цього завдання й не йдеться про комплексні числа, але за допомогою їх можна легко вирішити. Для її вирішення використовуються такі уявлення:


Якщо тепер підставити це уявлення у суму, то завдання зводиться до підсумовування звичайної геометричної прогресії.

Висновок

Комплексні числа широко застосовуються в математиці, у цій оглядовій статті було розглянуто основні операції над комплексними числами, описано кілька типів стандартних завдань та коротко описано загальні методи їх вирішення, для більш детального вивчення можливостей комплексних чисел рекомендується використовувати спеціалізовану літературу.

Література

Вирази, рівняння та системи рівнянь
з комплексними числами

Сьогодні на занятті ми відпрацюємо типові дії з комплексними числами, а також освоїмо техніку розв'язання виразів, рівнянь та систем рівнянь, які ці числа містять. Даний практикум є продовженням уроку, і тому якщо ви неважливо орієнтуєтеся в темі, будь ласка, пройдіть за вказаним вище посиланням. Ну а більш підготовленим читачам пропоную відразу розігрітися:

Приклад 1

Спростити вираз якщо . Подати результат у тригонометричній формі та зобразити його на комплексній площині.

Рішення: Отже, потрібно підставити в «страшний» дріб, провести спрощення, і перекласти отримане комплексне числов тригонометричну форму. Плюс креслення.

Як краще оформити рішення? З «навороченим» виразом алгебри вигідніше розбиратися поетапно. По-перше, менше розсіюється увага, і, по-друге, якщо завдання не зарахують, то буде набагато простіше відшукати помилку.

1) Спочатку спростимо чисельник. Підставимо в нього значення, розкриємо дужки і поправимо зачіску:

…Так, такий ось Квазімодо від комплексних чисел вийшов…

Нагадую, що в ході перетворень використовуються абсолютно нехитрі речі – правило множення багаточленів і рівність, що вже стала банальною. Головне, бути уважним і не заплутатися у знаках.

2) Тепер на черзі знаменник. Якщо то:

Зауважте, в якій незвичній інтерпретації використано формула квадрата суми. Як варіант, тут можна виконати перестановку підформулу. Результати, звісно, ​​збігатимуться.

3) І, нарешті, весь вираз. Якщо то:

Щоб позбутися дробу, помножимо чисельник і знаменник на поєднане знаменнику вираз. При цьому з метою застосування формули різниці квадратівслід попередньо (і вже обов'язково!)поставити негативну дійсну частину на 2 місце:

А зараз ключове правило:

НІ В ЯКОМУ РАЗІ НЕ квапимося! Краще перестрахуватися та прописати зайвий крок.
У виразах, рівняннях та системах з комплексними числами самовпевнені усні обчислення загрожує, як ніколи!

На завершальному кроці відбулося гарне скорочення і це просто чудова ознака.

Примітка : Строго кажучи, тут відбувся розподіл комплексного числа на комплексне число 50 (згадуємо, що). Про цей нюанс я замовчував досі і про нього ми ще поговоримо трохи згодом.

Позначимо наше досягнення буквою

Представимо отриманий результат у тригонометричній формі. Взагалі кажучи, тут можна обійтися без креслення, але якщо потрібно, - трохи раціональніше виконати його прямо зараз:

Обчислимо модуль комплексного числа:

Якщо виконувати креслення у масштабі 1 од. = 1 см (2 зошити клітини), то отримане значення легко перевірити за допомогою звичайної лінійки.

Знайдемо аргумент. Так як число розташоване у 2-й координатній чверті, то:

Кут просто перевіряється транспортиром. Ось у чому полягає безперечний плюс креслення.

Таким чином: – число, що шукається в тригонометричній формі.

Виконаємо перевірку:
, у чому й потрібно переконатися.

Незнайомі значення синуса та косинуса зручно знаходити по тригонометричної таблиці.

Відповідь:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Спростити вираз де . Зобразити отримане число на комплексній площині та записати його у показовій формі.

Намагайтеся не пропускати навчальні приклади. Здаються вони, можливо, і простими, але без тренування «сісти в калюжу» не просто легко, а дуже легко. Тому «набиваємо руку».

Нерідко завдання допускає не єдиний шлях розв'язання:

Приклад 3

Обчислити , якщо ,

Рішення: перш за все, звернемо увагу на оригінальну умову – одне число представлене в алгебраїчній, а інше – у тригонометричній формі, та ще й з градусами. Давайте відразу перепишемо його у більш звичному вигляді: .

У якій формі проводити обчислення? Вираз, очевидно, передбачає першочергове множення і подальше зведення в 10-у ступінь формулі Муавра, яка сформульована для тригонометричної форми комплексного числа Таким чином, видається більш логічним перетворити перше число. Знайдемо його модуль та аргумент:

Використовуємо правило множення комплексних чисел у тригонометричній формі:
якщо то

Роблячи дріб правильним, приходимо до висновку, що можна «скрутити» 4 обороти (Рад.):

Другий спосіб вирішенняполягає в тому, щоб перевести 2-ге число в форму алгебри , виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і скористатися формулою Муавра.

Як бачите, одна «зайва» дія. Бажаючі можуть довести рішення до кінця та переконатися, що результати збігаються.

В умові нічого не сказано про форму підсумкового комплексного числа, тому:

Відповідь:

Але «для краси» або на вимогу результат неважко уявити і в формі алгебри:

Самостійно:

Приклад 4

Спростити вираз

Тут слід згадати дії зі ступенями, хоча єдиного корисного правила методичці немає, ось воно: .

І ще одне важливе зауваження: приклад можна вирішити у двох стилях. Перший варіант – працювати з двомачислами та миритися з дробами. Другий варіант – уявити кожне число у вигляді приватного двох чисел: і позбавитися чотирьохповерхівості. З формальної точки зору не має значення, як вирішувати, але змістовна відмінність є! Будь ласка, добре осмисліть:
- Це комплексне число;
– це приватне двох комплексних чисел ( і ), проте залежно від контексту можна сказати і так: число , подане у вигляді приватного двох комплексних чисел.

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Вирази – добре, а рівняння – краще:

Рівняння з комплексними коефіцієнтами

Чим вони відрізняються від «звичайних» рівнянь? Коефіцієнтами =)

У світлі вищенаведеного зауваження почнемо з цього прикладу:

Приклад 5

Вирішити рівняння

І негайна преамбула за «гарячими слідами»: початковоправа частина рівняння позиціонується, як приватне двох комплексних чисел ( і 13), і тому поганим тоном переписати умову з числом (хоча це і не спричинить помилки). Більш виразно дана відмінність, до речі, проглядається в дробі – якщо, умовно кажучи, то це значення в першу чергу розуміється як «повноцінний» комплексний корінь рівняння, а чи не як дільник числа , і більше – як частина числа !

Рішення, В принципі, теж можна оформити покроково, але в даному випадку шкурка вичинки не стоїть. Початкове завдання полягає в тому, щоб спростити все, що не містить невідомої «зет», внаслідок чого рівняння зведеться до вигляду:

Впевнено спрощуємо середній дріб:

Результат переносимо у праву частину та знаходимо різницю:

Примітка : і знову звертаю вашу увагу на змістовний момент – тут ми не відняли з числа, а підвели дроби до спільного знаменника! Слід зазначити, що вже в ході рішення можна працювати і з числами: , правда, у прикладі такий стиль швидше шкідливий, ніж корисний =)

За правилом пропорції виражаємо «зет»:

Тепер можна знову розділити і помножити на сполучене вираз, але підозріло схожі числа чисельника та знаменника підказують наступний хід:

Відповідь:

З метою перевірки підставимо отримане значення у ліву частину вихідного рівняння та проведемо спрощення:

- Отримана права частина вихідного рівняння, таким чином, корінь знайдено правильно.

…Зараз-зараз… підберу вам щось цікавіше… тримайте:

Приклад 6

Вирішити рівняння

Дане рівняння зводиться до вигляду, отже, є лінійним. Натяк, думаю, зрозумілий - дерзайте!

Звичайно ж… як можна без нього прожити:

Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами

На уроці Комплексні числа для чайниківми дізналися, що квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати пов'язане комплексне коріння, після чого виникає закономірне питання: а чому, власне, самі коефіцієнти не можуть бути комплексними? Сформулюю загальний випадок:

Квадратне рівняння з довільними комплексними коефіцієнтами (1 або 2 з яких або всі три можуть бути, зокрема, і дійсними)має два і лише двакомплексного кореня (Можливо один з яких або обидва дійсні). При цьому коріння (як дійсні, так і з ненульовою уявною частиною)можуть збігатися (бути кратними).

Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами вирішується за такою самою схемою, що і «шкільне» рівняння, з деякими відмінностями у техніці обчислень:

Приклад 7

Знайти коріння квадратного рівняння

Рішення: на першому місці розташована уявна одиниця, і, в принципі, її можна позбутися (помножуючи обидві частини на )Однак у цьому немає особливої ​​потреби.

Для зручності випишемо коефіцієнти:

Не втрачаємо мінус у вільного члена! …Можливо не всім зрозуміло – перепишу рівняння у стандартному вигляді :

Обчислимо дискримінант:

А ось і головна перешкода:

Застосування загальної формули вилучення кореня (Див. останній параграф статті Комплексні числа для чайників) ускладнюється серйозними труднощами, пов'язаними з аргументом підкореного комплексного числа (переконайтеся самі). Але є й інший, «алгебраїчний» шлях! Корінь будемо шукати у вигляді:

Зведемо обидві частини квадрат:

Два комплексні числа рівні, якщо рівні їх дійсні та їх уявні частини. Таким чином, отримуємо таку систему:

Систему простіше вирішити підбором (Грунтовніший шлях – висловити з 2-го рівняння – підставити в 1-е, отримати і вирішити біквадратне рівняння). Припускаючи, що автор завдання не викинув, висуваємо гіпотезу, що і цілі числа. З одного рівняння випливають, що «ікс» за модулембільше, ніж "ігрок". Крім того, позитивний твір повідомляє, що невідомі одного знака. Виходячи з вищесказаного, і орієнтуючись на 2-е рівняння, запишемо всі пари:

Очевидно, що 1-му рівнянню системи задовольняють дві останні пари, таким чином:

Не завадить проміжна перевірка:

що й потрібно перевірити.

Як «робочий» корінь можна вибрати будь-якезначення. Зрозуміло, що краще взяти версію без мінусів:

Знаходимо коріння, не забуваючи, до речі, що:

Відповідь:

Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені рівняння :

1) Підставимо:

правильне рівність.

2) Підставимо:

правильне рівність.

Таким чином, рішення знайдено правильно.

За мотивами щойно розібраного завдання:

Приклад 8

Знайти коріння рівняння

Слід зазначити, що квадратний корінь з суто комплексногочисла чудово витягується і за допомогою загальної формули , де тому у зразку наведено обидва способи. Друге корисне зауваження стосується того, що попереднє вилучення кореня з константи не спрощує рішення.

А тепер можна розслабитися - у цьому прикладі ви відбудетеся легким переляком:)

Приклад 9

Вирішити рівняння та виконати перевірку

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Заключний параграф статті присвячений

системі рівнянь із комплексними числами

Розслабилися і… не напружуємося =) Розглянемо найпростіший випадок – систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:

Приклад 10

Розв'язати систему рівнянь. Відповідь подати в алгебраїчній та показовій формах, зобразити коріння на кресленні.

Рішення: вже сама умова підказує, що система має єдине рішення, тобто нам потрібно знайти два числа, які задовольняють кожномурівняння системи.

Систему реально вирішити «дитячим» способом (висловити одну змінну через іншу) , проте набагато зручніше використовувати формули Крамера. Обчислимо головний визначниксистеми:

Отже, система має єдине рішення.

Повторюся, що краще не поспішати та прописувати кроки максимально докладно:

Домножуємо чисельник і знаменник на уявну одиницю та отримуємо 1-й корінь:

Аналогічно:

Отримано відповідні праві частини, ч.т.п.

Виконаємо креслення:

Представимо коріння у показовій формі. Для цього потрібно знайти їх модулі та аргументи:

1) - арктангенс "двійки" обчислюється "погано", тому так і залишаємо:

Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішення, тобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкіл та їхнім батькам. Учні зможуть підготуватися до контрольних, іспитів, перевірити знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівнянь своїми дітьми. Вміння розв'язувати рівняння – обов'язкова вимога до школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь. З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. Користь онлайн сервісу безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв'язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп'ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов'язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Розв'язання рівняння у загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов'язані між собою. Старший ступінь змінної визначає порядок такого рівняння. Виходячи з цього, для рівнянь використовують різні методи та теореми для знаходження рішень. Рішення рівнянь даного типу означає знаходження шуканого коріння в загальному вигляді. Наш сервіс дозволяє вирішити навіть найскладніше алгебраїчне рівняння онлайн. Ви можете отримати як загальне рішення рівняння, так і часткове для вказаних вами числових значень коефіцієнтів. Для вирішення рівняння алгебри на сайті достатньо коректно заповнити всього два поля: ліву і праву частини заданого рівняння. У алгебраїчних рівнянь зі змінними коефіцієнтами нескінченна кількість рішень, і поставивши певні умови, з множини рішень вибираються приватні. Квадратне рівняння. Квадратне рівняння має вигляд ax2+bx+с=0 при а>0. Рішення рівнянь квадратного виду передбачає знаходження значень x, у яких виконується рівність ax^2+bx+с=0. Для цього є значення дискримінанта за формулою D=b^2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсних кореня, які знаходяться за формулою: D = -b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівняння онлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс з знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь (або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв'язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи. Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчислень, хоч і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою дійти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описом, завдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головна математична дія тут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом. Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зборі коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином, система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняння виду АхХ=В. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв'язання рівнянь матричним методом полягає у знаходженні зворотної матриці А.